Forma Diferencial Das Equações de Transporte - UNICAMP

Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

Equaes de Transporte

2

NDICE GERAL

FORMA GENRICA DAS EQUAES DE TRANSPORTE ............................................................................................. 3 Comentrios a Cerca dos Termos de Transporte ................................................................................ 3 Algumas Definies para as Variveis , J e f ..................................................................................... 4

A EQUAO DA CONSERVAO DA MASSA............................................................................................................. 5

A EQUAO DA CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ...................................................................... 7 Interpretao da Fsica dos Termos Convectivos e do Tensor das Tenses ..................................... 9 Equao Constitutiva para o Tensor das Tenses, T ......................................................................... 11 Simetria do Tensor das Tenses do Fluido, T .................................................................................... 12 As Equaes de Navier-Stokes .......................................................................................................... 14

EQUAO DA CONSERVAO DA VORTICIDADE ................................................................................................... 16 O Termo de Produo de Vorticidade ................................................................................................ 17 A Equao da Presso ....................................................................................................................... 18

EQUAO DA CONSERVAO DA ENERGIA TRMICA .......................................................................................... 20 Equao Consitutiva para Fluxo Calor ............................................................................................... 21 Equao Constitutiva para o Trabalho de Deformao do Fluido ...................................................... 22 A funo dissipao viscosa, ........................................................................................................... 23 Equao de Conservao da Energia Interna .................................................................................... 25 Equao de Conservao da Entalpia ................................................................................................ 25 Equao de Conservao da Energia Trmica em Funo de Cv ..................................................... 26 Equao de Conservao da Energia em Funo de Cp ................................................................... 27 Formas Simplificadas da Equao da Energia em Termos da Temperatura ..................................... 27

EQUAO DA CONSERVAO DA ENERGIA CINTICA ......................................................................................... 28 Equao Energia Mecnica para Fluido Incompressvel .................................................................... 29

EQUAO DA CONSERVAO DE ENTROPIA ......................................................................................................... 31 Produo de Entropia ......................................................................................................................... 31

REFERNCIAS ......................................................................................................................................................... 33


3

Forma Genrica das Equaes de Transporte

O movimento das particulas em um meio continuamente deformvel representado por meio das equaes que descrevem, matematicamente, a conservao de uma grandeza, por exemplo: massa, momento , energia, etc. Estas equaes de conservao, tambm conhecidas como equaes de transporte, esto genericamente representadas na sua forma diferencial na Eq. (1) :

fJVt

(1)

onde , a grandeza a ser transportada, pode ser de natureza escalar ou vetorial; o operador diferencial que representa o divergente e a densidade da grandeza ; as variveis J e f esto relacionadas a fluxos difusivos e fontes/sumidouros relativos ao transporte de . A natureza da equao de transporte de pode ser linear ou no-linear; elptica, parablica ou hiperblica. Estas caractersticas sero definidas ao se explicitar as grandezas, , J e f. Na forma como est expressa a Eq. (1) reconhecida como forma conservativa das equaes de transporte. Esta denominao se deve ao fato dela conter, implicitamente, a equao da conservao da massa. A afirmativa ficar evidente na apresentao a seguir da forma no-conservativa. Aplicando-se a propriedade distributiva nos termos de transporte de na Eq. (1), tem-se que:

fJVVtt

0

(2)

entretanto, o segundo e terceiro termos do lado esquerdo da Eq. (2) totalizam zero pois constituem a equao da conservao da massa, Eq. (5), multiplicados por , portanto, a forma no-conservativa da Eq. (1) fica sendo:

fJVt

. (3)

De forma mais compacta, os termos de transporte tambm podem ser expressos por meio da derivada Substantiva ou Total,

fJDtD . (4)

Deve-se destacar que tanto a forma conservativa, Eq. (1), como a forma no-conservativa, Eq. (4) contm as mesmas informaes. Entretanto o emprego de uma forma ou outra utilizado em diferentes esquemas numricos. Por exemplo, o mtodo das diferenas finitas usualmente emprega a forma no-conservativa enquanto que o mtodo dos volumes finitos usa a forma conservativa.

Comentrios a Cerca dos Termos de Transporte

Observando-se a estrutura das Eqs. (1) e (4) nota-se que o lado direito de ambas o mesmo, entretanto elas mostram duas formas para os termos de transporte de . Enquanto que na forma conservativa o transporte de ,


4

Vt est diretamente associado ao conceito Euleriano expressa pela variao de dentro do V.C. infinitezimal mais o fluxo lquido de V que cruza a S.C.; na forma no-conservativa o transporte de ,

DtD

,

est diretamente associado ao conceito Lagrangiano, onde a derivada substantiva expressa a taxa de variao de seguindo uma partcula. Deve-se salientar que interpretaes tanto para a forma conservativa como para a forma no-conservativa aplicam-se, respectivamente, ao conceito de volume de controle e de sistema. Uma relao direta das variaes de uma propriedade entre um sistema e volume de controle dada pelo Teorema de Transporte de Reynolds.

Algumas Definies para as Variveis , J e f

Nesta seo sero apresentadas algumas definies para as variveis , J e f empregadas em diferentes equaes de conservao com o intito de mostrar a generalidade das formas das Eqs. (1) e (4) . Por convenincia estas definies esto mostradas na Tabela 1 e referem-se s equaes de conservao de massa, quantidade de movimento, vorticidade, energia trmica, energia cintica e entropia.

Tabela 1 Definies das variveis , J e f para as equaes de conservao de massa, quantidade de movimento, vorticidade, energia trmica, energia cintica e entropia.

Varivel J f Massa 1 0 0

Quantidade Movimento V

T Iag

Vorticidade V Energia Cintica k V

T gVV T Energia Interna u kq

'''qV T

Entropia s

kq

VPVkq T22

'''

Na tabela 1, T o tensor das tenses no fluido, u e s a energia interna e entropia especfica do fluido; a temperatura, qk o fluxo de calor por unidade de rea e q''' fonte ou sorvedouro de calor por unidade de volume.

As definies contidas na Tabela 1 permitem, numa notao compacta, o estabelecimento das equaes de conservao e transporte acima listadas. Para tanto, necessrio a definio de equaes auxiliares ou constitutivas para a completa especificao das equaes. Isto aplica-se especificamente


5

ao tensor de tenses do fluido, T, ao fluxo de calor por conduo, qk e s fontes/sumidouros volumtricos de calor, q. As sees seguintes abordam estes temas especficos juntamente com uma interpretao fsica detalhada dos termos de cada uma das equaes de transporte.

A Equao da Conservao da Massa

De acordo com a Tabela 1, a equao da conservao da massa representada por:

0Vt

. (5)

Ela estabelece que a variao temporal da massa por unidade de volume, (kg/s.m3), dentro do volume de controle infinitezimal igual a variao espacial do fluxo de massa por unidade de tempo, (kg/s.m3), que cruza a superfcie de controle.

Aplicando-se a propriedade distributiva na Eq. (5), tem-se que:

0 VDtD VV

t

, (6)

A forma apresentada na Eq. (6) revela que a variao da densidade seguindo a trajetria de uma partcula de fluido igual ao produto da densidade pelo divergente do campo de velocidade. Isto implica em dizer que para um fluido com densidade constante a equao da conservao da massa se reduz para:

0 V , (7) isto o fluxo volumtrico que cruza S.C. identidamente nulo!

A mesma equao (7) ainda vlida para casos especiais onde a densidade do fluido no constante, mas sua derivada total , isto , D/Dt = 0. Estas situaes ocorrem tipicamente em escoamentos com estratificao. Por exemplo em correntes martmas ou tambm em correntes atmosfricas. No primeiro caso a estratificao devido a variao da sanilidade e no segundo est associada ao gradiente de temperatura da atmosfera. Nestes casos encontra-se, ao longo de uma linha de corrente, o valor de constante mas 0 para qualquer outro caminho que no seja uma linha de corrente, veja representao esquemtica na Fig. 1.

Fig. 1 Escoamento estratificado, 0V , D/Dt = 0, mas /x 0e /y 0.

= 1 = 2

= 3 y

x


6

A Equao (5) uma equao diferencial parcial de primeira ordem cujas forma para um sistema cartesiano (x,y,z) com velocidades associadas (u,v,w) dada por:

0zw

yv

xu

t

(8)

As formas como esto expressas as equaes (5) ou (8) constituem uma boa oportunidade para associar o teorema da divergncia ao significado fsico da conservao de uma propriedade escalar, no caso a massa. Considerando, por simplicidade, um caso 2D (x,y) com densidade constante, a forma integral da conservao da massa dada por:

0dAnVQSC

. (9)

Os fluxos de vazo mssica que cruzam a SC esto esquematicamente representados na Fig. 2. Cada face da S.C. associada aos pontos cardiais, [n], [s], [l] e [o] ; assim por exemplo [n] representa a face superior na direo y e [o] a face esquerda na direo x.

Fig. 2 Representao esquemtica dos fluxos vazo mssica na S.C.

Os fluxos de vazo mssica que cruzam as faces [o] e [s] so:

yu , xv , (10) considerando um incremento infinitezimal nas direes x e y, os fluxos que cruzam as faces [l] e [n] so:

yxxuu

, xyyvv

, (11)

Com os fluxos expressos pelas Eqs. (10) e (11) possvel determinar o fluxo total que cruza as faces do V.C.,

0yxyv

xuQ

. (12)

A lado esquerdo da Eq. (12) pode ser identificado com o divergente do produto entre a densidade e o campo de velocidades do fluido, conforme decorrncia da transformao da integral de superfcie em volume pelo teorema da divergncia:

y

x

yxxuu

yu

xyyvv

xv

[n]

[s]

[l]

[o]


7

0dVdAnVQVCSC

. (13)

Do ponto de vista fsico, tomar o divergente de V equivale a avaliar o fluxo lquido de massa que cruza

um volume de controle infinitezimal.

A Equao da Conservao da Quantidade de Movimento

A terceira lei de Newton vlida para um sistema e expressa que a taxa de variao de quantidade de movimento de um sistema igual a somatria das foras externas que atuam no sistema:

extsist

FdtVdm

.

A extenso da terceira lei de Newton para materiais continuamente deformveis (fluido), passa pela translao das propriedades do sistema para aquelas medidas a partir de um volume de controle. Esta transformao feita pelo Teorema de Transporte de Reynolds. Tomando-se por foras externas o tensor de deformao do fluido, a fora de campo gravitacional e a acelerao no inercial do referencial do sistema, o balano de foras na forma integral fica sendo:

.C.V I.C.V.C.S.C.V .C.S dadgdAnTdAnVVdtV

.

Por meio do teorema da divergncia chega-se a sua forma diferencial conservativa, coincidente com aquela indicada na Tabela 1,

IagVVVt T , (14) e a no conservativa por:

IagDtVD

T . (15)

O lada esquerdo das Eq. (14) e (15) representam, respectivamente, a taxa de variao da quantidade de movimento que cruza a S.C. por unidade de volume (conceito Euleriano) ou a acelerao seguindo-se a trajetria uma partcula de fluido (conceito Lagrangeano). O lado direito das Eqs. (14) e (15) representa o somatrio das foras externas, por unidade de volume, atuantes no V.C., neste caso representadas pelo tensor de tenses do fluido, T, devido ao campo hidrosttico e s deformaes do fluido, pela fora de campo gravitacional, g e tambm por uma acelerao inercial, caso o referencial das velocidades no seja inercial. Foras de campo de natureza eltrica, eletro-magntica, centrfuga, por exemplo, poderiam ser representadas na forma genrica por meio de uma funo potencial e adicionadas linearmente no lado direito das equaes. A acelerao inercial devido ao movimento relativo do referncial do sistema em relao a um referencial inercial. Como os movimentos de translao e rotao entre referenciais so independentes, a acelerao inercial dada em funo destes,


8

rV2rdtd

dtRda 2

2

I ,

onde R o vetor posio entre referenciais, a rotao do referencial no-inercial e r o vetor posio do referencial no-inercial a um ponto qualquer no seu domnio, conforme indiacado na Fig. 2. O primeiro termo do lado esquerdo representa a acelerao translacional, o segundo termo a acelerao angular, o terceiro e quarto termos representam, respectivamente, a acelerao de Coriolis e Centrfuga.

As Equaes (14) e (15) so equaes vetoriais, isto , possuem trs componentes, uma para cada direo. Elas constituem um sistema de equaes diferenciais parciais no lineares devido aos termos inerciais. Considerando um referencial inercial e um sistema cartesiano, (x,y,z), com velocidades associadas (u,v,w), as componentes da Eq. (14) so:

xzxyxxx gzyxz

wuyvu

xuu

tu

TTT, (15a)

yzyyyxy gzyxz

wvyvv

xuv

tv

TTT, (15b)

zzzyzxz gzyxz

wwyvw

xuw

tw

TTT. (15c)

Figura 2 Representao do referencial No-Inercial (x,y,z) deslocando-se com velocidade linear e angular, dR/dt e , com relao ao referencial Inercial (X,Y,Z).

As equaes (15a) a (15c) representam a conservao de quantidade de movimento nas direes x, y e z, respectivamente; gx, gy e gz representam as componentes do vetor acelerao da gravidade nas direes (x,y,z) e Tij representa a componente do tensor das tenses do fluido que age num plano cuja normal paralela a direo i e cuja direo paralela a direo j.

A forma diferencial da Eq. (15) encobre o significado fsico dos termos a ela associados. O processo de reduo do V.C. a um volume infinitezimal no dissocia o significado que os termos de transporte e do tensor das tenses possuia no caso macroscpico. A seo que segue discute esta similaridade.

Z

X

Y

z

y

x dtrdVrel

r

R


9

Interpretao da Fsica dos Termos Convectivos e do Tensor das Tenses

Os termos convectivos ou de transporte esto representados na forma Integral por meio da Eq. (16)

mdVdAnVPSCSC

, (16)

ela representa o taxa de quantidade de movimento que cruza a SC. A varivel P de natureza vetorial e sua componente na direo x dada por:

dAnVuPSC

x . (17)

Considerando um caso 2D (x,y) por simplicidade, os fluxos Px que cruzam a SC so esquematicamente representados na Fig. 3. Cada face da S.C. associada aos pontos cardiais, [n], [s], [l] e [o] ; assim por exemplo [n] representa a face superior na direo y e [o] a face esquerda na direo x.

Fig. 3 Representao esquemtica dos fluxos de quantidade de movimento na direo (x)

Os fluxos de quantidade de movimento na direo (x) que cruzam as faces [o] e [s] so:

yuu , xuv , (18) considerando um incremento infinitezimal nas direes x e y, os fluxos que cruzam as faces [l] e [n] so:

yxx

uuuu

, xyy

uvuv

, (19)

os termos entre parentesis esto associados aos fluxos de massa que cruzam as superfcies enquanto que o produto destes fluxos pela velocidade na direo (x) resulta na quantidade de movimento na direo paralela velocidade.

Com os fluxos expressos pelas Eqs. (13) e (14) possvel determinar Px,

yxyvu

xuuPx

, (20)

de modo similar pode-se mostrar que os fluxo de quantidade de movimento na direo y, Py, dado por:

y

x

yxx

uuuu

yuu

xyy

uvuv

xuv

[n]

[s]

[l]

[o]


10

yxyvv

xuvPy

, (21)

As Equaes (20) e (21) mostram que o fluxo lquido de quantidade de movimento que cruza a S.C. constituem o vetor P. A associao entre a forma diferencial dos termos convectivos a forma integral fica ento estabelecida. Esta associao tambm uma manifestao da transformao da integral de superfcie em integral de volume pelo teorema da divergncia.

O fluxo de quantidade de movimento que cruza cada face da S.C. tem natureza tensorial. Isto , para defini-lo necessrio uma rea (no caso face) e uma direo. Este tensor formado pelo produto didico dos vetores velocidade,

vvuv

vuuuuuVV ji

W ,

logo o fluxo de quantidade de movimento que cruza a S.C. pode ser expresso pela divergncia de W no V.C. utilizando o teorema da divergncia:

dVVdAVVPVCSC

. (22)

Reconhecendo que o divergente de uma grandeza tensorial um vetor, as componentes .W constituem o fluxo de quantidade de movimento por unidade de volume, p

:

yvv

xuv

yvu

xuu

pp

oux

uupp

yx

j

iji W

(23)

Do ponto de vista fsico, tomar o divergente de VV equivale a avaliar o fluxo lquido de quantidade de

movimento, por unidade de volume, que cruza um volume de controle infinitezimal. O operador diferencial divergente aplicado a um tensor reduz sua ordem, e neste caso, fornece as componentes do vetor quantidade de movimento.

O tensor das tenses T no fluido possui interpretao similar. Neste caso ele representa as foras externas que agem na S.C. cuja resultante avaliada na sua forma integral por

dAnJSC

T . (24)

Considerando um caso 2D (x,y) por simplicidade, a fora resultante na direo x devido ao tensor T est esquematicamente representada na Fig. 3. Como nos casos anteriores, cada face da S.C. associada aos pontos cardiais, [n], [s], [l] e [o] .

y yxxxx

xx

TT yxx T

xyyyx

yx

TT

xT

[n]

[s]

[l]

[o]


11

Fig. 4 Representao esquemtica das foras atuantes na direo (x) devido ao tensor T.

Coletando as componentes de T atuantes em cada face da S.C. na direo (x) obtm-se a fora resultante nesta direo:

yxyx

J yxxxx

TT , (20)

de modo similar pode-se mostrar que a fora resultante na direo (y), devido ao tensor T dada por:

yxyx

J yyxyy

TT . (21)

As equaes (20) e (21) so as foras resultantes nas direes (x) e (y) respectivamente, causadas pelo tensor das tenses T. Resultado equivalente pode ser encontrado aplicando-se a transformao de integral de rea para volume,

ddAnJVCSC

TT . (22)

O lado direito da igualdade mostra que as componentes da fora resultante, por unidade de volume, so expressos por:

yx

yxjj

ouxT

jjyyxy

yxxx

yx

j

i,ji TT

TT

T

(23)

Do ponto de vista fsico, tomar o divergente de T equivale a avaliar a fora resultante produzida pela ao da tenso, por unidade de volume, que atua numa superfcie de controle infinitezimal. O operador diferencial divergente aplicado a um tensor reduz sua ordem, e neste caso, fornece as componentes do vetor da fora resultante.

Equao Constitutiva para o Tensor das Tenses, T

Para definir completamente as Eqs. (15a) a (15c) necessrio estabelecer uma dependncia entre o tensor de tenses no fluido, T, e o tensor de deformaes, S, correspondente ao campo de velocidades. A equao que estabelece a dependncia entre T e S denominada por equao constitutiva do fluido. Uma discusso em maior profundidade sobre equaes constitutivas ser adiada para um prximo captulo. No momento ser apresentado a equao constitutiva que estabelece uma relao linear entre T e S, tambm conhecida como equao constitutiva para um fluido Newtoniano. A denominao de fluido Newtoniano tambm frequente na literatura. Ela refere-se a fluidos com comportamento linear entre T , Q e S:


12

SQ PT 2 , (24) onde e so coeficientes de proporcionalidade entre T, S e Q denominados por primeiro e segundo coeficientes de viscosidade do fluido, P, Q e S so, respectivamente, os tensores da presso hidrosttica, divergncia de volume e a parte simtrica do tensor de deformao do fluido, dados por:

P000P000P

P

V00

0V000V

Q TVV21 S ,

onde P a presso termodinmica do fluido, e TVeV,V representa o divergente, o gradiente

e seu transposto do vetor velocidades.

Por convenincia, as componentes de S em coordenadas cartesianas (x,y,z), so:

zw2

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv2

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu2

21S .

A relao entre o segundo coeficiente de viscosidade e o primeiro dada pela hiptese de Stokes:

32

e tambm conhecido como a viscosidade dinmica do fluido. O tensor das tenses T representado de forma mais compacta em notao indicial cartesiana:

i

j

j

iji

k

kjiji x

uxu

xuP ,,, 3

2T . (25)

Reconhecendo que o tensor T composto por duas parcelas: uma devido a presso termodinmica e outra devido ao movimento do fluido, denomina-se por T o tensor de desvio das tenses para caracterizar a parcela devido ao movimento do fluido,

i

j

j

ij,i

k

kj,ixu

xu

xu

32'T . (26)

Para fluidos incompressveis, 0V , o tensor das tenses simplifica-se para:

i

j

j

ij,ij,i x

uxuPT . (27)

Simetria do Tensor das Tenses do Fluido, T


13

Uma importante propriedade que o campo de tenses do fluido apresenta sua simetria em relao a diagonal principal, isto , o tensor T simtrico,

z,xx,z

y,zz,y

x,yy,x

TT

TT

TT

. (28)

A relevncia desta propriedade reside no fato que a simetria do tensor deve ser atendida por qualquer tipo de fluido e que portanto qualquer lei constitutiva que relacione o campo de tenses com o campo de deformaes do fluido deve atende-la.

A demonstrao desta propriedade parte do postulado que o torque resultante aplicado a uma partcula de fluido seja nulo. A equao de conservao da quantidade de movimento angular do sistema obtida considerando-se que a variao da quantidade de movimento angular do sistema igual a somatria dos torques externos aplicados ao sistema,

extFxVxDtD , (29) onde x o vetor posio que liga a origem do referencial partcula de fluido. Considerando que as foras externas que geram momentos so as foras de superfcies, representadas pelo tensor das tenses, T, e pela fora de campo, g, ento com o auxlio da Eq. (15) a Eq. (29) passa a ser:

gxxVxDtD T . (29)

Aplicando-se a propriedade distributiva no primeiro termo da Eq. (29), tem-se que:

gxxxDtDV

DtVDx

T

0

(30)

mas reconhecendo-se que o segundo termo nulo uma vez que DtxDV o produto vetorial entre dois vetores idnticos, a Eq. (30) toma a forma:

T

xg-

DtVDx

. (31)

O divergente do produto vetorial entre o vetor posio x e o tensor T um vetor cuja representao em notao indicial da componente na direo r :

j,ikii j k

r,k,jrr xxx TT

,

em termos das direes 1,2 e 3, a componente (1) do vetor resulta das variaes que os ndices j, k e i assumem quando r = 1, conforme mostrado abaixo:

3,323

3,222

3,121

2,333

2,232

2,131

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

TTTTTT

T


14

aplicando o operador de diferenciao nos produtos e coletando os termos semelhantes, tem-se que:

3,22,33,3

33,2

23,1

122,3

32,2

22,1

13

1

xxxx

xxxx

x

TTTTTTTT

T

,

mas reconhecendo-se que os dois primeiros termos do lado esquerdo resultam da componente na direo (1) de 1Tx , isto , 3,22,311 xx TTT T , (32a) de maneira similar, as componentes nas direes 2 e 3 so:

3,11,322 xx TTT T , (32b) 2,11,233 xx TTT T , (32c) Substituindo-se a Eq. (32) na Eq. (31), tem-se que a componente na direo (k) da Eq. (31) passa a ser:

T T i,ji,j,k

k

g--DtVDx

0

. (33)

O torque exercido numa partcula de fluido igual ao lado direito da Eq. (33). Observa-se que cada componente do torque nulo uma vez que ele resulta do produto vetorial entre x e a Equao da conservao da quantidade de movimento. Em vista que o lado esquerdo da Eq. (33) nulo seu lado direito tambm deve ser, portanto

0i,ji,j,k T , isto somente verdadeiro se o tensor T for simtrico, Ti,j = Tj,i , como afirmado na Eq. (28).

As Equaes de Navier-Stokes

As equaes de transporte de quantidade de movimento expressas pelas tenses do fluido, Eq. (14), aplicam-se a qualquer classe de fluidos desde que seja especificado uma equao constitutiva para o fluido. As equaes de Navier-Stokes so obtidas a partir da substituio da equao constitutiva para fluido Newtoniano, Eq. (25) na Eq. (14). Desta forma, pode-se dizer que elas particularizam a equao de transporte de quantidade de movimento no sentido destas serem aplicveis somente para fluidos que exibem comportamento linear entre T e S, ou seja, fluidos Newtonianos.

A forma mais geral da Equao de Navier-Stokes mostrada na Eq. (28). Ela aplica-se para escoamentos com propriedades fsicas variveis, isto , e podem variar em todo o campo do escoamento,

g2V32PVVV

t

S . (34)


15

Lambrando-se que a Equao de NS um modelo baseado em princpios fsicos fundamentais, sua formulao constitui um dos grandes sucessos da mecnica dos fluidos. Ela vm sendo estudada, testada e aplicada nos mais diversos fenmenos fsicos que envolvem transporte de fluidos por mais de um sculo sem haver sido contestada.

A forma geral da equao de NS pode ser simplificada se sua aplicao for para fluidos incompressveis com propriedades constantes, neste caso a Eq. (28) se transforma para:

g2PVVVt

S . (35)

Para propriedades constantes, existe a identidade entre o tensor de deformaes e o campo de velocidades,

VVVV2 2T S . (36) Substituindo-se Eq. (30) na Eq. (29), chega-se uma das formas mais populares da eq. de NS para fluidos com propriedades constantes,

gVPVVVt

2

, (31a)

ou na forma no-conservativa,

gVPDtVD

2 . (31b)

O significado de cada termo da Eq.(31) dado como segue: primeiro termo a variao da quantidade de movimento que tambm pode ser entendido como a fora por unidade de volume de uma partcula infinitezimal visto que o produto da densidade pela acelerao material; o segundo e terceiro termos referem-se as foras de superfcie que atuam no volume de controle infinitezimal, eles representam a ao das foras resultantes do tensor das tenses no fluido que est sub-dividido em duas partes: uma resultante do campo de presses e outra devido as deformaes dada pelo campo de velocidades; finalmente o quarto termo representa a fora de campo gravitacional por unidade de volume.

Em termos das componentes (u,v,w), a Eq.(31) escrita

x2

2

2

2

2

2g

zu

yu

xu

xP

zwu

yvu

xuu

tu

, (32a)

y2

2

2

2

2

2g

zv

yv

xv

yP

zwv

yvv

xuv

tv

, (32b)

z2

2

2

2

2

2g

zw

yw

xw

zP

zww

yvw

xuw

tw

. (32c)

Com o auxlio da identidade vetorial:

VV2

VVV2

(33)


16

pode-se escrever uma forma alternativa Equao de NS aplicada para fluidos com propriedades constantes. Substituindo-se Eq. (33) na Eq. (31b), tem-se que:

VVgzP

2VV

tV 2 (34)

onde a vorticidade definida na Eq. (35). Deve-se enfatizar que a informao contida na Eq. (34) a mesma daquela contida na Eq. (31), entretanto este formato conveniente para destacar que os termos associados a energia mecnica do fluido, isto , energia cintica, trabalho de presso e energia potencial se conservam desde que o escoamento seja isento de vorticidade e de viscosidade. Neste caso, para um escoamento em regime permanente, a Eq. (34) se reduz a conhecida equao de Bernoulli:

constantegzP2V2 (34)

Equao da Conservao da Vorticidade

O campo de escoamento pode ser expresso tanto por meio do balano da quantidade de movimento linear quanto pela variao da velocidade angular das partculas. Frequentemente determinados fenmenos em fluido-dinmica so fcilmente visualizados por meio da rotao do fluido ao invs das variveis primitivas U,V,W e P. No entanto deve-se enfatizar que tanto o conceito de transporte e conservao da vorticidade como o balano de foras so equivalente e contm a mesma informao pois a equao da vorticidade obtida a partir de uma transformao linear da equao de quantidade de movimento.

A vorticidade definida por meio de um conceito cinemtico: V

, (35) que expressa o vetor como sendo igual duas vezes a frequncia de um elemento de fluido em estado de rotao. Partindo-se da Eq. (34) e aplicando-se o operador rotacional em ambos os lados da equao temos:

VVgzP

2VV

tV 2 , (34)

mas reconhecendo-se que a aplicao do rotacional ao gradiente de uma funo fornece um resultado nulo, isto 0 , a Eq. (34) passa a ser,

2Vt

. (35)

Por sua vez, o segundo termo do lado esquerdo da Eq. (35) pode ser decomposto em:

VVVVV , (36) Para um fluido incompressvel, 0V e, com a ajuda da Eq. (36) a Eq. (35) passa a ser:


17

2VVt

. (37)

Antes de atribuir-se o significado fsico a cada termo da Eq. (37), conveniente demonstrar que a parte anti-simtrica do tensor de deformao no contribui para a determinao do termo V

. Para demonstrar esta propriedade decompe-se o tensor deformao em suas partes simtricas e anti-simtricas, S e R, respectivamente;

RS V . (38) As componentes do tensor R, por ser anti-simtrico podem ser expressas pelas componentes do vetor vorticidade,

kk,j,ij,i 21 R ,

ento o produto,

kjk,j,ij,ki 21 R ,

mas a ordem dos ndices j e k no tensor alternante i,j,k pode ser trocada sem alterar o sinal da igualdade,

kjj,k,ikjk,j,ij,ki 21

21 R ,

Invertendo-se mais uma vez a ordem dos ndices i,,j,k, em obtem-se uma mudana de sinal porque o tensor alternante anti-simtrico. Portanto chega-se a igualdade:

kjk,j,ikjk,j,ij,ki 21

21 R .

A igualdade verdadeira somente se ambos os lados forem identicamente nulos. Consequentemente, somente a parte simtrica do tensor de deformaes contribui na Eq. (38). Ento, a equao da conservao de vorticidade, na sua forma no-conservativa, expressa por:

2Vt

S . (39a)

ou na forma conservativa,

SVt

. (39b)

Comparando-se a equao da vorticidade, Eq. (39), com a equao de transporte de quantidade de movimento em variveis primitivas, nota-se duas importantes diferenas: a ausncia do termo de presso e o aparecimento de um termo fonte: S . A ausncia dos termos de presso porque foi tomado o rotacional em ambos os lados da equao de quantidade de movimento, e 0P . O termo fonte adicional revela um mecanismo de produo ou destruio de vorticidade no possvel de ser identificado em formulaes com variveis primitivas. No entanto, o campo de velocidades determinado pela formulao com variveis primitivas coincide com aquele determinado a partir da vorticidade. Nas sees seguintes sero discutidos alguns aspectos relativo ao termo de produo de vorticidade e equao da presso.

O Termo de Produo de Vorticidade


18

A Equao (37) mostra que o transporte de vorticidade balanceado pela difuso da vorticidade e pelo termo de produo ou destruio de vorticidade, S . Este mecanismo, no revelado pela formulao com variveis primitivas, representa uma amplificao e uma rotao ou redistribuio do vetor vorticidade pela taxa de deformao. As componentes vetoriais do termo de produo so dadas nas relaes abaixo:

zzzyzyxzx

zyzyyyxyx

zxzyxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

z

y

x

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

S , (40a)

ou, de forma mais compacta, sua componente na direo (i) em termos da notao indicial representada por:

i,SS jji . (40b) Pode-se constatar na Eq. (40) que cada componente vetorial do termo de produo constituida por duas parcelas: uma representando a redistribuio de vorticidade e outra devido ao estiramento da componente da vorticidade. Tomando-se como exemplo a componente na direo z da Eq. (40a) tem-se que as parcelas:

yzyxzx SS representam uma redistribuio do produto vorticidade-deformao que ocorrem nos planos x e y para a componente (z) da equao da vorticidade. Por sua vez o termo:

zzzS representa o alongamento da componente de vorticidade na direo z dado pela deformao na mesma direo, vortex stretching.

De modo geral, a vorticidade pode ser amplificada se a Si,j >0, por outro lado ela pode ser reduzida caso Si,j >0. Este termo de produo ou destruio de vorticidade ocorre somente em escoamentos 3D. Para escoamentos 2D o vetor vorticidade possui apenas uma componente no nula na direo normal ao plano do escoamento enquanto que o tensor deformao tem componentes no nulas somente aquelas que correspondem ao plano. Por exemplo, um escoamento no plano (x,y), apresenta somente a componente wz diferente de zero e o tensor deformao tem somente as componentes Sxx , Sxy Syx e Syy no nulas,

0

0

0

000

0

0

0

0

yyxy

yxxx

z

SS

SS

S , (40a)

consequentemente, um campo 2D no consegue redistribuir ou alongar o vetor vorticidade.

A Equao da Presso

A partir do campo de vorticidade o campo de presses pode ser determinado. Considere a Eq. N-S para um fluido com propriedades constantes, isto , e constantes. Tomando-se a divergncia de ambos os lados:


19

VpVVVt

2 , (41)

denominando-se a divergncia do campo de velocidade por , isto , = 0V , Eq. (41) re-escrita em funo de :

2pVVt

, (42)

O termo VV , pode tambm ser expresso pela identidade: 2T V:VV2VV . () (43) Reconhecendo-se que o gradiente de velocidades representado pelo tensor de deformao S (simtrico) e pelo de rotao R (anti-simtrico)

RS

RS TT VVVVV ,

ento o produto tensorial do tensor de deformao tambm pode ser expresso em funo de suas partes simtrica e anti-simtrica:

RRSSRRSRRSSS TTTTT :::::::

00

VVT

,

os termos nulos so em virtude do produto entre tensores simtricos e anti-simtricos e o ltimo termo reconhecido como a magnitude do vetor vorticidade,

22

i

j

j

ixu

xuRRRRT :: ,

ento a Eq. (43) fica representada por:

2 SS :: VV T , (44) Substituindo Eq. (44) na Eq. (42) chega-se a forma da equao da presso em termos do resduo de massa, isto , em funo de :

2222 P1

21:V2

tSS

. (46)

Na forma de resduo de conservao de massa nulo, isto , =0, a Eq. (46) simplifica-se para: () A identidade obtida com o auxlio das relaes: VVVVVV VV T

VVV :TT TTT


20

22 :p1 SS (47)

A equao (47) define o acoplamento entre o campo de presso e o campo de velocidades via tensor de deformao e o mdulo da vorticidade. Nota-se que a presso governada por uma equao de Poisson. Uma vez conhecido-se o campo de vorticidades pode-se determinar o campo de presso.

Equao similar a Eq. (46) foi tambm utilizada por Harlow & Welch (1965) para descrever o acoplamento entre o campo de presso num mtodo numrico com variveis primitivas. Ela ou suas derivaes so extensivamente empregada em mtodos de volumes finitos tipo SOLA, SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLEST entre outros.

Em coordenadas cartesianas e bi-dimensional (x,y) & (u,v), a equao da presso toma a forma:

22

2yv

xv

yu2

xup1

(49)

ou, substituindo-se a indentidade fornecida pela equao da conservao de massa,

yv

xu2

yv

xu

yv

xu0

222 (50)

chega-se a sua forma alternativa:

y

vxu2

xv

yu2p1 2 (51)

Equao da Conservao da Energia Trmica

A equao de transporte de energia trmica obtida a partir da primeira lei da termodinmica:

WQdtdE

sist (52)

que estabelece que a variao de energia E para um sistema igual a soma dos fluxos de calor e trabalho que cruzam a fronteira do sistema. Na formulao da primeira lei, segue-se a conveo de sinal: o calor recebido e o trabalho exercido pelo sistema so positivos por sua vez, o calor rejeitado e o trabalho recebido pelo sistema so negativos. Entende-se por trabalho qualquer transformao cujo efeito final possa ser representado pela elevao de um peso (Reynolds, 1977).

Em termos das taxas temporais da variao dos fluxos de energia a primeira lei pode ser re-escrita como:

.......... W''' CSCVCS kCSCV dAndqdAnqdAnVedte

, (53)

que estabelece que a taxa de variao de energia por unidade de volume (e) (Watts/m3), igual a soma dos fluxos de calor e trabalho que cruzam a superfcie e dos fontes e sumidouros de energia por unidade de volume (Watts/m3), q. Eles representam a energia trmica liberada ou absorvida por reaes qumicas.


21

Aplicando-se o teorema da divergncia, chega-se a forma diferencial da equao da energia:

'''W qqDtDe

k , (54)

Os modos de energia a serem considerados sero aqueles mais comuns a sistemas trmicos: energia cintica, energia potencial e energia interna. Assim, a energia especfica e passa a representar estas parcelas como indicado:

rgVV21ue

, (55)

onde r o vetor posio. Finalmente o termo fonte, q''', representa as fontes e sumidouros de energia por unidade de volume (Watts/m3) dentro do V.C. provenientes, por exemplo, da energia liberada por reaes qumicas.

Substituindo-se os modos de energia na Eq. (54) tem-se ():

'''W qqVgVV21

DtD

DtuD

k

. (56)

Para concluir a equao de conservao da energia necessrio constituir leis fsicas que representem o fluxo de calor e de trabalho de deformao do fluido assim como adequa-los conveno de sinal dos fluxos de energia da primeira lei.

Equao Consitutiva para Fluxo Calor

O fluxo de calor kq

que cruza a S.C. dado pela lei de Fourier,

kqk (57) onde k a condutibilidade trmica do fluido e sua temperatura. O sinal negativo a frente da Eq. (57) para satisfazer a conveno de sinais dos fluxos de calor da primeira lei: calor rejeitado pelo sistema positivo e calor recebido pelo sistema negativo. Isto, expresso em termos do vetor normal a SC, do elemento de rea e do fluxo qk dado pelas relaes:

sistema pelo recebido calor sistema pelo rejeitado calor

0AqnQ0AqnQ

k

k

e representado na figura 5.

O termo de energia potencial: D(gr)/Dt =gDr/Dt pq. g constante. Do ponto de vista Lagrangeano, se r o vetor posio, ento Dr/Dt a taxa de variao de r seguindo-se uma partcula, ou seja a velocidade, assim, D(gr)/Dt = g.V.

A

n qk

sistema

ambiente

S.C.


22

Fig. 5 Representao do fluxo de calor cruzando a superfcie de controle

Equao Constitutiva para o Trabalho de Deformao do Fluido

O trabalho por unidade de tempo e unidade de rea devido a deformao do fluido dado pelo divergente do produto entre o tensor das tenses do fluido e a velocidade:

V TW . (58) O sinal negativo a frente da Eq. (58) para satisfazer a conveno de sinais do trabalho na primeira lei: trabalho realizado pelo sistema positivo e trabalho recebido pelo sistema negativo. As figuras 6 e 7 ilustram o trabalho exercido pelas foras normais e tangenciais que tem como resultado final a elevao de um peso. A Fig. 6 representa um mbolo que desloca um peso devido a ao das tenses normais, Tn. A Fig. 7 representa uma placa que desliza pela ao da tenso tangencial do fluido, Tt , e eleva um peso devido a um mecanismo de roldanas. Nas figuras em questo a direo crescente do eixo ordenado e o sentido do vetor gravidade esto respresentados. A velocidade, coincidente com o sentido do eixo positivo representada por V em ambas figuras. Considerando a Fig. 6, a tenso que o mbolo exerce no fluido Tn< 0(pq. tem o sentido de z < 0) e aquela que o fluido exerce no slido TRn > 0 (pq. tem o sentido de z>0) de tal forma que Tn+TRn=0. De forma similar, a tenso tangencial exercida pela placa no fluido Tt < 0 (pq. tem o sentido de x < 0) e aquela do fluido na placa TRt > 0 (pq. tem o sentido de x > 0) de tal forma que Tt + TRt = 0. Considerando os sinais algbricos devido ao sentido das tenses, pode-se expressar o trabalho exercido por elas atravs de:

AVW

AVW

t

n

tn

T T

,

onde T o tensor que atua num plano normal ou tangencial ao elemento de rea A.

Fig. 6 Representao do trabalho devido s tenses normais realizado pelo sistema.

g

z

TRn

Tn

V

Tn

TRn

V

Elevao

Instante (t) Instante (t + t)


23

Fig. 7 Representao do trabalho devido s tenses tangenciais realizado pelo sistema.

O trabalho de deformao por unidade de tempo pode ser nulo se as foras por unidade de rea representadas pelo tensor T ou a velocidade forem nulas na fronteira do V.C. A afirmativa se verifica aplicando-se o teorema da divergncia:

.....

S.C em nulos forem V ou T se TT

0 dAVndVCSCV

(59)

O trabalho por unidade de tempo por unidade de rea, W, pode ser decomposto em duas parcelas: uma devido a presso termodinmica do fluido e outra devido s deformaes volumetricas e angulares do fluido:

VVPVVP ''W TT , (60) onde o tensor simtrico de Kronecker, P a presso termodinmica e T o tensor simtrico do desvio das tenses.

A funo dissipao viscosa,

O termo de dissipao viscosa, para fluidos Newtonianos, sempre positivo porque ele pode ser expresso pela soma de um quadrado de termos como ser visto nesta sub-seo. Isto implica em dizer que para todos os escoamentos existe uma degradao de energia mecnica (cintica, presso ou potencial) em energia trmica. Isto fluidos viscosos degradam energia mecnica de maneira irreversvel.

A funo dissipao viscosa advem do desdobramento do trabalho de deformao do fluido,

VVVVV ::' T'T'T'T'T TT , (61) a igualdade vlida reconhecendo-se que T um tensor simtrico e portanto, TT = T. A funo dissipao viscosa, identificada pelo segundo termo do lado direito da Eq. (61)

V :'T , (62)

substituindo-se a definio do tensor desvio de tenses na Eq. (62),

V2VVV :::' ST , (63)

Elevao

x x

V V

TRt TRt g

Tt Tt

Instante (t) Instante (t + t)


24

onde o segundo coeficiente de viscosidade do fluido. Notando-se que VV S:: porque o tensor de Kronecker simtrico e que portanto para o produto ser diferente de zero ele deve ser com a parte simtrica de V. Neste caso forma geral da funo dissipao para um fluido Newtoniano e compressvel passa a ser:

V2VV 2 ::' ST . (64) Alternativamente pode-se reconhecer que o gradiente de velocidades tambm expresso por suas componentes simtricas e anti-simtricas. Neste caso a expresso para a funo dissipao toma a forma:

RSTT :':' V , (65) mas, como o tensor T simtrico, ento o produto T:R nulo e a funo dissipao pode ser expressa somente pelo produto entre o tensor desvio das tenses e o tensor deformao:

STT :'V:' . (66) Substituindo-se a definio do tensor desvio de tenses na Eq. (xx),

SS : 2V 2 , (67) A representao da funo dissipao dada pela Eq. (64) como aquela dada pela Eq. (67) so distintas porm seu resultado o mesmo por ambos procedimentos. Em notao indicial cartesiana a Eq. (64) representada por:

i

j

j

i

j

i2

i

ixU

xU

xU

xU

, (68)

enquanto que a Eq. (67) dada por:

2

i

j

j

i2

i

ixU

xU

2xU

. (69)

Conforme pode-se observar na Eq. (69), a funo dissipao sempre positiva porque resulta do quadrado do produto de funes que envolvem derivadas do campo de velocidades. Por outro lado, pode ser negativo, como segundo a hiptese de Stokes ( = -2/3). No entanto as condies necessrias para que a funo dissipao seja sempre positiva (Warsi 1992) so:

0 que e 023 que desde 0 . Para referncia, a funo dissipao em coordenadas cartesianas, escrita por:

2222222

yW

zV

zU

xW

xV

yU

zW

yV

xU2V

32

onde o primeiro termo est associado dissipao devido a dilatao volumtrica do fluido (inexistente para fluidos incompressveis), o segundo deformao linear do fluido e o terceiro deformao angular do fluido.


25

Equao de Conservao da Energia Interna

Substituindo-se as equaes que constituem o fluxo de calor e trabalho de deformao na Eq. (56) tem-se a equao de conservao de energia interna, cintica e potencial:

'''' qVVPkVgVV21

DtD

DtuD

T . (70)

Multiplicando-se a equao de conservao da quantidade de movimento pelo vetor velocidade, chega-se a uma verso da equao de conservao da energia cintica e potencial:

gVVPVDt

VDV T' (71)

Subtraindo-se a Eq. (71), que refere-se as parcelas da energia cintica e potencial, da Eq. (70), que contm a energia especfica e, obtem-se a equao de conservao da energia interna do fluido ():

''' qVPkDt

uD (72)

onde a funo dissipao viscosa definida na Eq. (62). Na forma conservativa, a equao de transporte da energia interna do fluido representada por:

''' qVPkVu

tu

. (73)

O significado dos termos da Eqs. (72) ou Eq. (73) segue. O lado esquerdo das equaes representa a taxa de variao da energia interna de um sistema. O lado direito representa o fluxo de calor por conduo que cruza a fronteira do sistema, o trabalho de compresso, a funo dissipao e por ltimo fontes volumtricas (watts/m3) de calor. O trabalho de compresso pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido se expande ou contrai; esta variao de sinal tambm indica que a troca entre energia interna em energia mecnica (presso) reversvel. A funo dissipao viscosa vem precedida de um sinal positivo, ao contrrio do que ocorre com a equao de conservao da energia cintica. Neste caso o sinal positivo indica que h uma converso direta de energia mecnica (presso, cintica ou potencial) em energia interna. A converso se d de modo irreversvel e degrada a energia mecnica.

A energia trmica do fluido tambm pode ser expressa por meio de outras variveis termodinmicas. Nas prximas sees desenvolve-se a equao da energia em termos da entalpia, do calor especfico a volume constante e do calor especfico a presso constante.

Equao de Conservao da Entalpia

A equao da conservao da energia pode ser expressa por meio da taxa de variao de entalpia do fluido manipulando-se o termo reversvel de trabalho de presso: P.V. Da equao de conservao de massa, pode-se expressar o divergente do campo de velocidades em termos da taxa de variao da densidade:

DtD1V

, (74)

Chega-se a equao da energia interna do fluido reconhecendo-se na Eq. (xx) que TT = T pelo fato de T ser um tensor simtrico. Isto permite dizer que (T.V)= TT.V+TT:V = T.V+T:V


26

substituindo a definio da Eq. (xx) no termo de trabalho de presso:

DtDPP

DtD

DtDPVP

. (75)

Substituindo-se Eq. (75) na equao da energia interna e reconhecendo-se que a entalpia especfica do fluido :

Puh , chega-se a equao de conservao da energia em termos da entalpia h do fluido:

'''qDtDPk

DtDh . (76)

Equao de Conservao da Energia Trmica em Funo de Cv

Frequentemente conveniente trabalhar com a equao da energia em termos do produto entre temperatura e calor especfico ao invs da energia interna ou entalpia do fluido. Para expressar a equao da energia em funo da temperatura e do calor especfico a volume constante necessrio reconhecer que a energia interna do fluido uma funo do volume especfico v e da temperatura (Reynolds, 1977):

dCdPPduduud vvvv

vv

, (77)

onde Cv a capacidade trmica do fluido a volume constante. Tomando-se a derivada substantiva da Eq. (xx) e multiplicando-se ambos os lados por , tem-se:

DtDC

DtDPP

DtuD

v

v

v . (78)

Reconhecendo-se que:

V

DtD1

Dt1D

DtD

v (79)

e tambm que a derivada da presso com a temperatura mantendo-se o volume constante para uma substncia pura pode ser dada por ( ):

PP

v, (80)

onde o coeficiente de compressibilidade isobrica e o coeficiente de compressibilidade isotrmica definidos por:

Esta relao pode ser demonstrada por meio das relaes termodinmica de Maxwell:

PPs P

v vv

v , veja Reynolds (1977).


27

Pv1v1

P vv e . (81)

Substituindo-se as definies das Eqs. (78) a (80) na equao da energia em termos da energia interna do fluido, Eq. (63), chega-se a forma da equao da energia em termos do calor especfico a volume constante:

'''qVkDtDCv

, (82)

ou na sua forma conservativa:

'''qVkVt

Cv

. (83)

Equao de Conservao da Energia em Funo de Cp

A equao da conservao da energia trmica tambm pode ser escrita em termos do calor especfico a presso constante e da temperatura reconhecendo-se que a entalpia especfica uma funo da presso e da temperatura de uma substncia simples:

dP1dCdPPhdhdh P

P

v , (84)

onde CP a capacidade trmica do fluido a presso constante e v o volume especfico. Tomando-se a derivada substantiva da Eq. (84) e multiplicando-se ambos os lados por , tem-se:

DtDP1

DtDC

DtDh

P . (85)

Substituindo-se Eq. (85) na Eq. (76) chega-se a forma final da equao da conservao da energia trmica em termos do calor especfico a presso constante e da temperatura:

'''qDtDPk

DtDCP , (86)


'''qDtDPkV

tCP

. (87)

Formas Simplificadas da Equao da Energia em Termos da Temperatura

Considerveis simplificaes podem ser alcanadas na representao da Eq. (87) se forem realizadas hipteses sobre o comportamento do fluido e do escoamento.

Para gases perfeitos o coeficiente de compressibilidade isobrica unitrio, isto , = 1, neste caso a Eq. (xx) passa a ser:

'''qDtDPkV

tCP

. (88)


28

Para lquidos incompressveis, = 0, ento:

'''qkVt

CP

, (89)

em particular para lquidos incompressveis, CP=Cv sendo usual representa-los por C somente, a capacidade trmica do lquido. Finalmente em casos onde a condutibilidade trmica constante, sem fontes volumtricas de calor e com funo dissipao viscosa desprezvel, chega-se a sua forma mais simples:

2

PCkV

t

, (90)

onde a difusividade trmica do fluido. Em termos de coordenadas cartesianas a Eq. (90) representada por:

2

2

2

2

2

2

zyxzW

yV

xU

t. (91)

Equao da Conservao da Energia Cintica

A energia cintica do fluido por unidade de massa expressa pelo produto escalar do vetor velocidade do fluido:

222221

21

21 WVUUVVK i

. (92)

A equao de transporte da energia cintica obtida a partir do produto escalar do vetor velocidade com a equao de quantidade de movimento:

gP

DtVDV

T' , (93)

onde T o tensor desvio das tenses. Ela uma equao escalar porm lineramente dependente das trs componentes da equao de quantidade de movimento. As informaes de uma ou de outra equao se equivalem dado sua interdepncia. No entanto, pode ser conveniente analizar o campo de escoamento a partir da energia cintica do fluido ao invs das variveis primitivas.Termo a termo os produtos escalares da equao (93) so expressos por:

DtDK

DtVDV

, (94a)

VPVPPV , (94b) VVV :T'T'T' (94c)


29

finalmente, considerando-se que a gravidade est alinhada com o sentido do eixo z decrescente,

DtDgzgzVgzVgV . (94d)

Substituindo-se as igualdades da Eq. (94a-d) na Eq. (93), encontra-se a equao de transporte da energia cintica:

DtDgzgzVVVPVPVKK

t

T' . (95)

O lado esquerdo da Eq. (95) refere-se ao transporte de K pelo escoamento. O lado direito expressa os modos de trabalho e dissipao de energia. O primeiro e segundo termo referem-se ao trabalho que as foras de presso exercem no volume de controle infinitezimal. Em particular a segunda parcela est associada aos efeitos compressveis uma vez que V pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido est expandindo ou contraindo. Este modo de trabalho reversvel uma vez que energia trmica armazenada na contrao ou dispendida na expanso do gs pode ser convertida novamente em energia cintica. O terceiro termo refere-se ao trabalho exercido pelas foras viscosas ou o trabalho de deformao do fluido. O quarto termo a funo dissipao viscosa. Por ser sempre positivo, ele responsvel pela transformao de energia cintica, presso ou gravitacional em energia trmica de maneira irreversvel. Finalmente a energia potencial expressa na combinao dos dois ltimos termos. Ele relevante para problemas com superfcie livre; em escoamentos forados ele pode ser incorporado ao termo de presso.

Equao Energia Mecnica para Fluido Incompressvel

Uma forma alternativa de se analisar a Eq. (95) agrupando os termos de energia mecnica, que correspondem a soma das parcelas da energia cintica, trabalho de presso e potencial, em um nico operador. Para um fluido incompressvel em regime permanente ela toma a forma:

T'VgzPKV . (96) O lado esquerdo da equao refere-se ao fluxo de energia mecnica que cruza a superfcie de controle. Os termos do lado direito representam o trabalho de deformao do fluido e a dissipao viscosa. Na ausncia de trabalho de deformao e em virtude da conservao da energia, nota-se que o termo de dissipao viscosa o agente responsvel pela degradao de energia mecnica em energia trmica (irreversvel). Isto pode ser observado em escoamentos confinados por fronteiras slidas. Aplicando-se o teorema de Gauss na integral de volume do lado direito da Eq. (96) constata-se que o trabalho de deformao nulo em vista da velocidade da fronteira ser nula.

O lado direito da equao (96) tambm pode ser expresso na forma

T'

VgzPKV

. (97)

Reconhecendo que o divergente do tensor desvio das tenses pode ser expresso por:

V

2S2T' , ento o lado direito da Eq. (97) fica sendo


30

TVVKVK

VVV

:22

2

T'2

, (98)

a demonstrao desta identidade dada na nota de rodap (*) (Hinze, 1959; Townsend, 1976). Substituindo-se a Eq. (98) em (97), chega-se a duas formas alternativas para equao de transporte da energia cintica especfica do fluido:

2VPVKKV *2 , (99a) V:VPVKKV *2 , (99b) onde P* = (P+gz). A equao (99) revela o transporte da energia cintica em termos dos mecanismos de conveco e difuso de K. Os termos adicionais so o trabalho de presso, termo viscoso e funo dissipao para a Eq. (99b). Note que apesar do termo viscoso associado a eq. (99a) ser sempre positivo (quadrado do grad. V) ele no representa a funo dissipao. Uma relao direta entre a dissipao e os termos viscosos dada subtraindo-se Eq. (99b) de (99a):

TV:VV 2 (100) ou em notao indicial:

i

j

j

i

j

ixU

xU

xU

2

, (101a)

ou tambm (Wilcox, 1998),

i

ji

jj

ixU

Uxx

U2

. (101b)

Como comentrio final deve-se observar a semelhana entre a Eq. (96) e a Eq. (35), repetida aqui por convenincia:

VVgzPK 2 . (35)

De fato elas so linearmente dependentes pois multiplicando-se Eq. (35) por V chega-se a forma da Eq. (99a).

( * )

T

jj

jii

i

j

j

i

jj

ii

i

j

j

i

jj

ji

jj

ii

j

i

jj

ii

jj

ii

VVKxxUU

UxU

xU

xx

UU

xU

xU

xxUU

xx

UU

xU

xx

UU

xxUU

:222

222222

21

212

121


31

Equao da Conservao de Entropia

A equao de conservao ou transporte da entropia baseia-se na segunda lei da termodinmica. Sua relevncia reside do fato dela permitir otimizar processos trmicos a partir da minimizao da gerao da entropia ou, de forma equivalmente, maximizar o trabalho disponvel (exergia).

A funo potencial termodinmico entalpia pode ser expressa por meio da entropia e da presso de um sistema:

dPdsdh , (100)

onde representa a temperatura absoluta e h e s a entalpia e entropia especficas. Em termos da derivada total a Eq. (100) fica:

DtDP1

DtDs

DtDh

. (101)

Substituindo-se Eq. (101) na equao de conservao da entalpia, Eq. (76), chega-se a equao da conservao da entropia:

'''qkDtDs

, (102)


'''qkVsts . (103)

As Eqs. (102) e (103) expressam a taxa de variao da entropia em funo do fluxo de calor por conduo, da dissipao viscosa e das fontes de calor.

Produo de Entropia

Mais interessante que a determinao do transporte da entropia no campo de escoamento a avaliao da produo de entropia. Esta realizada com o auxlio da segunda lei da termodinmica que estabelece que todos os processos reais so irreversveis, isto a variao da entropia do sistema maior ou igual a razo do fluxo de calor e temperatura que cruza a fronteira do sistema:

dQdS (104)

que em termos dos fluxos que cruzam o V.C. pode ser expressa por:


32

dqdQdAnVsdts CVCSCSCV ........ '''

. (105)

Aplicando-se o Teorema da divergncia e introduzindo a lei de Fourier para representar o fluxo de calor que cruza a fronteira chega-se a forma diferencial desigualdade da segunda lei:

'''qkVsts

. (106)

A desigualdade pode ser substituida pelo sinal de igual introduzindo-se um termo de produo de entropia, Ps, no lado direito da Eq. (106),

sPqkVsts '''

. (107)

Uma comparao direta entre as Eqs. (107) e (103) mostra que o termo de produo de entropia por unidade expresso por meio de () :

00

2

2s

kP

. (108)

O primeiro e o segundo termo, sendo sempre positivos, causam um aumento da entropia do sistema. Eles representam, respectivamente, a gerao de entropia por meio de um contato trmico imperfeito (gradiente finito de temperatura) e pela dissipao viscosa do fluido.

Em um escoamento bi-dimensional incompressvel com propriedades constantes, a taxa de produo de entropia por unidade de volume em coordenadas cartesianas dada por:

0yv

xu

yv

xu2

yxkP

22222

2s

. (109)

De modo complementar pode-se definir o trabalho perdido, WL, como sendo diretamente proporcional a taxa de gerao de entropia:

s0L PW , (110) onde 0 a temperatura absoluta do reservatrio trmico ambiente (0 = constante). A Eq. (110) revela a transformao irreversvel do trabalho til em energia trmica.

() Chega-se a forma final do termo de gerao de entropia por meio da igualdade:

2

2

2kkkkkk


33

Referncias

[1] White, F.M.; "Viscous Fluid Flow", McGraw Hill (1974)

[2] Moore, F.K.; "Theory of Laminar Flows", Princeton Un. Press (1964)

[3] Rosenhead, L.; "Laminar Boundary Layers", Oxford (1963)

[4] Warsi, Z.U.A., "Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches", CRC (1993)

[5] Panton, R. Incompressible Flow, John Wiley (1984)

[6] Tennekes, H. and Lumley, J.L., A First Course in Turbulence, MIT Press, 1972,

[7] Reynolds W.C. and Perkins, H.C., Engineering Thermodynamics, Mc Graw Hill, (1977)

[8] Hinze, J.O., Turbulence, McGraw Hill, (1959)

[9] Townsend, A.A., The Strucuture of Turbulent Shear Flow, Cambridge Un. Press, 2nd ed., (1976).

[10] Wilcox, D.C., Turbulence Modeling for CFD, 2nd ed., DCW Industries, (1998).

Documents

Forma Diferencial Das Equações de Transporte - UNICAMP