Formación de Patrones

Desiderio A. Vásquez

Indiana University Purdue University Fort Wayne

• El universo presenta una gran variedad de formas alrededor nuestro.

• Equilibrio termodinámico.

• Patrones se forman fuera del equilibrio.

• Cuales son los mecanismos fundamentales que llevan a esta formación de estructuras.

Convección de Rayleigh-Benard

Caliente

Frio

1708 T3

gdR

El movimiento del fluido empieza cuando la diferencia de temperaturas es mayor que la temperatura crítica

M. Cross et al. Rev. Mod. Phys. 68, 851 (1993)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Hurricane_Isabel_14_sept_2003_1445Z.jpg

• Inestabilidad del estado homogéneo.

• Se rompe la simetría translacional.

• Parámetro crítico que determina la inestabilidad.

• Efectos no lineales seleccionan la forma.

Inestabilidad de Turing

“The Chemical Basis of Morphogenesis”, Phil. Trans. R. Soc. London, 641, 237 (14 August 1952)

• Reacción Química: Activador e inhibidor.

• La reacción presenta un estado de equilibrio estable.

• Diferentes difusividades generan inestabilidad.

• La difusividad del inhibidor tiene que ser más grande que la del activador.

V. Casetts, E. Dulos, J. Boissenade, and P. De Kepper,“Experimental evidence of a sustained standing Turing-type nonequilibrium chemical pattern”Phys. Rev. Lett. 64, 2953 - 2956 (1990)

Modelo de Reacción-Difusión

),(2 YXfXD

tX

X

),( YXgYDtY

Y 2

EX

XYX

DYXB

XA

32

Reacción del Bruselador

YXBXYXg

YXXBAYXf2),(

)1(),(

2

Ecuación de reacción

Estado Estacionario X0 =A , Y0 =B/A

• Se introducen perturbaciones pequeñas

YYYXXX 0 ,0

• Se estudian perturbaciones de cierta longitud de onda

tikxtikx eeYYeeXX , k k

• Parametros se escogen en A=10, B=100

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Re

(Ra

zon

de

cre

cim

ieto

)

Numvero de Onda K

d=2.

d=1

d=0.5

Inestabilidad de Turing solo si Dy/Dx =d > 1

),( YXfXDXVtX

X 2

Reacción-Difusión-Advección

),( YXgYDYVtY

Y 2

Flujo de Poiseuille: xa

zVzxV ˆ)41(

2

3),(

2

2

xa

zVzxV ˆ)41(

2

3),(

2

2

Flujo de Poiseuille

x

z

Inestabilidad Flujo Cortante

• Reacción química no oscilatoria.

• La difusividad del activador puede ser mayor que la del inhibidor

• El activador y el inhibidor tienen la misma velocidad del fluido.

D=0.0

D=0.2

D=1.0

D

VaDDeff

210

22

Taylor Dispersion (1953)

dD

D

DVa

DVa

y

x

x

y 1

210/

210/22

22

xx

yy

effx

effyeff

DVaD

DVaD

D

Dd

210/

210/22

22

Modelo de dos capas

),()( 111221

21 YXfXX

x

XD

t

XX

),()( 222122

222 YXfXX

x

XD

x

XV

t

XX

μv

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

Re

(Gro

wth

Ra

te)

wavenumber k

V=0V=20V=25V=40

d=0.5 < 1

Conclusión

Patrones químicos se pueden formar con d<1.

Flujo cortante

Kuramoto-Sivashinsky + Fluido

Ley de Darcy

Ra= 0.1 Ra=-0.1

CONCLUSION

Convección permite la formación de patrones extendidos.