Formas cuadráticas...Formas cuadráticas Semana 13 [7/63] Matrices definidas Definición Sea A ∈ M nn(R ), simétrica diremos que A es definida positiva si ∀x 6= 0 xtAx > 0

Semana 13 [1/63]

Formas cuadráticas

5 de noviembre de 2007

Formas cuadráticas

Formas cuadráticas Semana 13 [2/63]

Definición

Forma cuadráticaDada A ∈ Mnn(R) simétrica, definimos:

q : Rn → R

x 7→ q(x) = x tAx .

q es llamada una forma cuadrática en Rn.

Ejemplo:q : R2 → R, q(x1, x2) = x2

1 + 2x1x2 + x22

= (x1, x2)

(1 11 1

) (x1

x2

).

Formas cuadráticas


Definición


q : Rn → R

x 7→ q(x) = x tAx .



1 + 2x1x2 + x22

= (x1, x2)

(1 11 1

) (x1

x2

).

Formas cuadráticas


Definición


q : Rn → R

x 7→ q(x) = x tAx .



1 + 2x1x2 + x22

= (x1, x2)

(1 11 1

) (x1

x2

).

Formas cuadráticas


Matrices definidas

DefiniciónSea A ∈ Mnn(R), simétrica diremos que

A es definida positiva si ∀x 6= 0 x tAx > 0.

A es semidefinida positiva si ∀x x tAx ≥ 0.

A es definida negativa ∀x 6= 0 x tAx < 0.

A es semidefinida negativa ∀x x tAx ≤ 0.

Formas cuadráticas


Matrices definidas






Formas cuadráticas


Matrices definidas






Formas cuadráticas


Matrices definidas






Formas cuadráticas


Caracterización

TeoremaSupongamos que A ∈ Mnn(R) es simétrica. Entonces son equivalentes.

∀x 6= 0 x tAx > 0 (A es definida positiva)

Los valores propios de A son positivos.

Sea A = (aij),

A(1) = [a11] A(2) =

(a11 a12

a21 a22

)A(3) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 A33

. . . A(n) = A

entonces |A(1)| = a11 > 0 , |A(2)| > 0, · · · |A(i)| > 0 · · · |A(n)| = |A| > 0

El método de Gauss utilizando sólo operaciones elementales del tipoEpq(α, 1); p < q permite escalonar A

y además los pivotes son siempre positivos.

Formas cuadráticas


Caracterización




Sea A = (aij),

A(1) = [a11] A(2) =

(a11 a12

a21 a22

)A(3) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 A33

. . . A(n) = A




Formas cuadráticas


Caracterización




Sea A = (aij),

A(1) = [a11] A(2) =

(a11 a12

a21 a22

)A(3) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 A33

. . . A(n) = A




Formas cuadráticas


Caracterización




Sea A = (aij),

A(1) = [a11] A(2) =

(a11 a12

a21 a22

)A(3) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 A33

. . . A(n) = A




Formas cuadráticas


Caracterización




Sea A = (aij),

A(1) = [a11] A(2) =

(a11 a12

a21 a22

)A(3) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 A33

. . . A(n) = A




Formas cuadráticas


Caracterización

AtenciónCuidado con la última propiedad anterior.

A =

(2 11 2

),

es definida positiva.Si al escalonar utilizamos E12(

12,−1) obtenemos(

2 10 −3

2

),

¡Los pivotes no son todos positivos!

Si utilizamos E12(−12, 1) obtenemos

A =

(2 10 3

2

).

Formas cuadráticas


Caracterización


A =

(2 11 2

),


12,−1) obtenemos(

2 10 −3

2

),



A =

(2 10 3

2

).

Formas cuadráticas


Caracterización


A =

(2 11 2

),


12,−1) obtenemos(

2 10 −3

2

),



A =

(2 10 3

2

).

Formas cuadráticas


Caracterización


A =

(2 11 2

),


12,−1) obtenemos(

2 10 −3

2

),



A =

(2 10 3

2

).

Formas cuadráticas


Caracterización


A =

(2 11 2

),


12,−1) obtenemos(

2 10 −3

2

),



A =

(2 10 3

2

).

Formas cuadráticas


Formas canónicas

Sea q(x) = x tAx una forma cuadrática.

A simétrica, luego A = PDP t .

Con P = (v1, . . . vn), la base ortonormal de v.p.’s como columnas.

Y

D =

λ1 0

λ2. . .

0 λn

,

Con λ1, . . . , λn los valores propios.

Formas cuadráticas


Formas canónicas




Y

D =

λ1 0

λ2. . .

0 λn

,


Formas cuadráticas


Formas canónicas




Y

D =

λ1 0

λ2. . .

0 λn

,


Formas cuadráticas


Formas canónicas




Y

D =

λ1 0

λ2. . .

0 λn

,


Formas cuadráticas


Formas canónicas

Llamando y = P tx ,

x tAx = x tPDP tx = y tDy =n∑

i=1

λiy2i

Así tenemos, en la nueva variable, la forma cuadrática:

q(y) = λ1y21 + λ2y2

2 + · · · + λny2n .

Formas cuadráticas


Formas canónicas

Llamando y = P tx ,


i=1

λiy2i


q(y) = λ1y21 + λ2y2

2 + · · · + λny2n .

Formas cuadráticas


Formas canónicas

Llamando y = P tx ,


i=1

λiy2i


q(y) = λ1y21 + λ2y2

2 + · · · + λny2n .

Formas cuadráticas


Ejemplo

q(x) = x21 + 2x2

2 +√

3x1x2 = x t(

1√

32√

32 2

)︸︷︷︸

A

x .

Los valores propios de A son:

λ1 =52

λ2 =12

Vectores propios (normalizados) son:

λ1 =52

−→ w1 =12

(1√3

)λ2 =

12

−→ w2 =12

(−√

31

)

Formas cuadráticas


Ejemplo

q(x) = x21 + 2x2

2 +√

3x1x2 = x t(

1√

32√

32 2

)︸︷︷︸

A

x .


λ1 =52

λ2 =12


λ1 =52

−→ w1 =12

(1√3

)λ2 =

12

−→ w2 =12

(−√

31

)

Formas cuadráticas


Ejemplo

q(x) = x21 + 2x2

2 +√

3x1x2 = x t(

1√

32√

32 2

)︸︷︷︸

A

x .


λ1 =52

λ2 =12


λ1 =52

−→ w1 =12

(1√3

)λ2 =

12

−→ w2 =12

(−√

31

)

Formas cuadráticas


Ejemplo

q(x) = x21 + 2x2

2 +√

3x1x2 = x t(

1√

32√

32 2

)︸︷︷︸

A

x .


λ1 =52

λ2 =12


λ1 =52

−→ w1 =12

(1√3

)λ2 =

12

−→ w2 =12

(−√

31

)

Formas cuadráticas


Ejemplo

Así

A = PDP t =

(1

√3

2√3

2 2

)=

( 12 −

√3

2√3

212

) ( 52 00 1

2

) ( 12

√3

2

−√

32

12

).

Y con el cambio de variable:

y =

(y1

y2

)= P tx =

( 12

√3

2

−√

32

12

) (x1

x2

),

la forma cuadrática queda

q(y) =52

y21 +

12

y22 .

�

Formas cuadráticas


Ejemplo

Así

A = PDP t =

(1

√3

2√3

2 2

)=

( 12 −

√3

2√3

212

) ( 52 00 1

2

) ( 12

√3

2

−√

32

12

).


y =

(y1

y2

)= P tx =

( 12

√3

2

−√

32

12

) (x1

x2

),


q(y) =52

y21 +

12

y22 .

�

Formas cuadráticas


Ejemplo

Así

A = PDP t =

(1

√3

2√3

2 2

)=

( 12 −

√3

2√3

212

) ( 52 00 1

2

) ( 12

√3

2

−√

32

12

).


y =

(y1

y2

)= P tx =

( 12

√3

2

−√

32

12

) (x1

x2

),


q(y) =52

y21 +

12

y22 .

�

Formas cuadráticas


Formas canónicas

En el sistema y = P tx , la forma cuadrática se escribe como

q(y) =n∑

i=1

λiy2i =

p∑i=1

λiy2i +

r∑i=p+1

λiy2i

donde:

λ1, . . . , λp son > 0, λp+1, . . . , λr son < 0, λr+1 = · · · = λn = 0.

Definamoszi =

√λiyi i = 1, . . . , p

zi =√−λiyi i = p + 1, . . . , r

zi = yi i = r + 1, . . . , n

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(y) =n∑

i=1

λiy2i =

p∑i=1

λiy2i +

r∑i=p+1

λiy2i

donde:


Definamoszi =

√λiyi i = 1, . . . , p

zi =√−λiyi i = p + 1, . . . , r

zi = yi i = r + 1, . . . , n

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(y) =n∑

i=1

λiy2i =

p∑i=1

λiy2i +

r∑i=p+1

λiy2i

donde:


Definamoszi =

√λiyi i = 1, . . . , p

zi =√−λiyi i = p + 1, . . . , r

zi = yi i = r + 1, . . . , n

Formas cuadráticas


Formas canónicas

Así

z =

√λ1 0√

λ2. . . √

λp √−λp+1

. . . √−λr

1. . .

0 1

y = Qy .

luego tenemos z = QP tx .

Formas cuadráticas


Formas canónicas

En la variable z, la forma cuadrática queda:

q(z) = z21 + z2

2 + · · · + z2p − z2

p+1 − z2p+2 · · · − z2

r ,

El cambio de coordenadas y = P tx corresponde a una rotación desistemas de coordenadas.

El cambio z = Qy corresponde a dilatar y contraer ciertas direcciones(homotecia).

En nuestro ejemplo z1 =√

52y1 z2 =

√12y2

z21 + z2

2 = (

√52

y1)2 + (

√12

y2)2 =

52

y21 +

12

y22

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + z2

2 + · · · + z2p − z2

p+1 − z2p+2 · · · − z2

r ,




52y1 z2 =

√12y2

z21 + z2

2 = (

√52

y1)2 + (

√12

y2)2 =

52

y21 +

12

y22

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + z2

2 + · · · + z2p − z2

p+1 − z2p+2 · · · − z2

r ,




52y1 z2 =

√12y2

z21 + z2

2 = (

√52

y1)2 + (

√12

y2)2 =

52

y21 +

12

y22

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + z2

2 + · · · + z2p − z2

p+1 − z2p+2 · · · − z2

r ,




52y1 z2 =

√12y2

z21 + z2

2 = (

√52

y1)2 + (

√12

y2)2 =

52

y21 +

12

y22

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + z2

2 + · · · + z2p − z2

p+1 − z2p+2 · · · − z2

r ,




52y1 z2 =

√12y2

z21 + z2

2 = (

√52

y1)2 + (

√12

y2)2 =

52

y21 +

12

y22

Formas cuadráticas


Formas canónicas

TeoremaSea x tAx una forma cuadrática, existe L invertible tal que si z = Lx ,entonces

q(z) = z21 + · · · + z2

p − (z2p+1 + · · · + z2

r ),

donder=rango A = número de valores propios 6= 0,

p = número de valores propios > 0.

Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + · · · + z2

p − (z2p+1 + · · · + z2

r ),



Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + · · · + z2

p − (z2p+1 + · · · + z2

r ),



Formas cuadráticas


Formas canónicas


q(z) = z21 + · · · + z2

p − (z2p+1 + · · · + z2

r ),



Formas cuadráticas


Cónicas en R2

CónicaEs la solución a la ecuación:

ax2 + by2 + 2cxy + dy + fx = e

o en forma matricial

(x , y)

(a cc b

) (xy

)+ (d , f )

(xy

)= e = v tAv + gtv = e,

dondeA =

(a cc b

), v =

(xy

), g =

(df

)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2




(x , y)

(a cc b

) (xy

)+ (d , f )

(xy

)= e = v tAv + gtv = e,

dondeA =

(a cc b

), v =

(xy

), g =

(df

)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2




(x , y)

(a cc b

) (xy

)+ (d , f )

(xy

)= e = v tAv + gtv = e,

dondeA =

(a cc b

), v =

(xy

), g =

(df

)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Supongamos que A = PDP t , con D =

(λ1 00 λ2

)y P = (v1v2).

Entonces la ecuación de la cónica es:

e = v tPDP tv + gtv = v tPDP tv + g PP t︸︷︷︸I

v .

Si u = P tv :e = utDu + gtu con g = P tg =

(fd

).

Y la cónica quedae = λ1u2

1 + λ2u22 + f u1 + du2

Formas cuadráticas


Cónicas en R2


(λ1 00 λ2

)y P = (v1v2).



v .


(fd

).


1 + λ2u22 + f u1 + du2

Formas cuadráticas


Cónicas en R2


(λ1 00 λ2

)y P = (v1v2).



v .


(fd

).


1 + λ2u22 + f u1 + du2

Formas cuadráticas


Cónicas en R2


(λ1 00 λ2

)y P = (v1v2).



v .


(fd

).


1 + λ2u22 + f u1 + du2

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

e = λ1u21 + λ2u2

2 + f u1 + du2

λ1 = λ2 = 0 (⇔ a = b = c = 0)

La solución es {(x , y) | dy + fx = e} que en general es una recta (o vacíosi d = f = 0 y e 6= 0).

λ1 6= 0 o λ2 6= 0, llamemos

u′1 = u1 − α

u′2 = u2 − β

λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 + u′1{2λ1α + f} + u′2{2βλ2 + d} = e

con e = e − (λ1α2 + λ2β

2 + fα + dβ)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

e = λ1u21 + λ2u2

2 + f u1 + du2

λ1 = λ2 = 0 (⇔ a = b = c = 0)



u′1 = u1 − α

u′2 = u2 − β

λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 + u′1{2λ1α + f} + u′2{2βλ2 + d} = e

con e = e − (λ1α2 + λ2β

2 + fα + dβ)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

e = λ1u21 + λ2u2

2 + f u1 + du2

λ1 = λ2 = 0 (⇔ a = b = c = 0)



u′1 = u1 − α

u′2 = u2 − β

λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 + u′1{2λ1α + f} + u′2{2βλ2 + d} = e

con e = e − (λ1α2 + λ2β

2 + fα + dβ)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

e = λ1u21 + λ2u2

2 + f u1 + du2

λ1 = λ2 = 0 (⇔ a = b = c = 0)



u′1 = u1 − α

u′2 = u2 − β

λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 + u′1{2λ1α + f} + u′2{2βλ2 + d} = e

con e = e − (λ1α2 + λ2β

2 + fα + dβ)

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d

2λ2, α = 0 y se llega a la ecuación

λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.

La solución serán dos rectas paralelas: u′2 = ±√

eλ2

si eλ2≥ 0 (una sola si

e = 0)o será vacío si e

λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2

f, que corresponde a una parábola.

Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d


λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.


eλ2



λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2


Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d


λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.


eλ2



λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2


Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d


λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.


eλ2



λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2


Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d


λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.


eλ2



λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2


Formas cuadráticas


Cónicas en R2

Si λ1 = 0 (λ2 6= 0) tomemos:β = − d


λ2(u′2)2 + f u′1 = e.

1 Si f = 0 (u′2)2 = e

λ2.


eλ2



λ2< 0.

2 Si f 6= 0.u′1 =

e−λ2(u′2)2


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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2

.En el sistema u′1, u′2 tenemos la ecuación

λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e

1 λ1 > 0, λ2 > 0, e ≥ 0; ó λ1 < 0, λ2 < 0, e ≤ 0La solución es una elipse (una circunferencia si λ1 = λ2).

2 Si λ1 > 0, λ2 > 0, e < 0; o λ1 < 0, λ2 < 0, e > 0 no hay solución.

3 λ1 > 0 y λ2 < 0 podemos suponer que e ≥ 0.

λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,

que corresponde a una hipérbola con eje de simetría el eje u′1.

4 λ1 < 0, λ2 > 0, e ≥ 0 el conjunto solución es una hipérbola con ejede simetría u′2.

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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



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Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



Formas cuadráticas


Cónicas en R2

λ1 6= 0 y λ2 6= 0, tomamos α = − f2λ1

y β = − d2λ2


λ1(u′1)2 + λ2(u′2)

2 = e




λ1(u′1)2 − |λ2|(u′2)2 = e,



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