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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA
PRISCILA FRIEDEMANN CARDOSO
Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos
Reversıveis Equivariantes
MARINGA
2017
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA
PRISCILA FRIEDEMANN CARDOSO
ORIENTADORA: PROFª. DRª. PATRICIA HERNANDES BAPTISTELLI
Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos
Reversıveis Equivariantes
Dissertacao apresentada ao programa de Pos-
graduacao em Matematica do Departamento de Ma-
tematica - PMA/UEM, como requisito parcial para
obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.
MARINGA
2017
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)
Cardoso, Priscila Friedemann
C268f Formas normais de sistemas hamiltonianos
reversíveis equivariantes / Priscila Friedemann
Cardoso. -- Maringá, 2017.
vi, 119 f. : il.
Orientador: Profª. Drª. Patrícia Hernandes
Baptistelli.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de
Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-
Graduação em Matemática - Área de Concentração:
Geometria e Topologia, 2017.
Inclui índice.
1. Formas normais 2. Campos Hamiltonianos. 3.
Simetria. 4. Antissimetria. 5. Normal forms. 6.
Hamiltonian fields. 7. Symmetry. 8. Reversing
symmetry. I. Baptistelli, Patrícia Hermandes,
orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro
de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em
Matemática - Área de Concentração: Geometria e
Topologia. III. Título.
CDD 22.ed. 515.353
Ao meu amado esposo
Jean Carlos Cardoso
AGRADECIMENTOS
Inicio agradecendo aquele que escolhi para ser meu parceiro na vida Jean Carlos.
Obrigada por sua paciencia, carinho, encorajamento e incentivo, demonstrados nao apenas
em palavras mas tambem em atitudes.
Agradeco aos meus pais que, mesmo de longe, choraram, sorriram e sonharam junto
comigo. Ao meu irmao e amigo incondicional Daniel.
Aos meus amigos Juliana e Anderson que se fizeram famılia durante este tempo em
Maringa. Obrigada pelas conversas, jantas, pipocas e pelos momentos de estudo. Incluo
neste paragrafo os queridos amigos Guilherme Desoler, Jessica e Monica que se fizeram
especiais principalmente neste ultimo ano de mestrado. Agradeco a famılia do meu esposo,
que se tornou minha tambem, por todo o apoio nessa caminhada.
Apesar de todo incentivo e suporte que recebi de familiares e amigos, este trabalho
jamais seria concluido sem a orientacao da professora Patrıcia. Obrigada por aceitar esse
desafio, pela paciencia e, principalmente, por sua compreensao. Sei que colocou o melhor
de si neste ano de trabalho e lhe admiro por isso.
Agradeco tambem ao CNPq pelo apoio financeiro, fundamental para a conclusao desta
dissertacao.
Por fim, agradeco a Deus pelo que Ele e e pelo que me deu. Obrigada por me ensinar
com amor que sem Ti eu nada sou. Que atraves da Matematica eu veja, cada vez mais,
a Sua beleza refletida na beleza da Sua criacao.
ii
RESUMO
O objetivo principal deste trabalho e determinar formas normais formais de campos
de vetores Hamiltonianos reversıveis equivariantes segundo a acao de um grupo de Lie
compacto. Para isso, apresentamos um metodo algebrico derivado do metodo classico
dado por Belitskii [5, 6] e Elphick et al. [13] que reduz este problema ao calculo dos ge-
radores para o modulo das aplicacoes que sao reversıveis equivariantes segundo a acao de
um grupo de Lie. Neste processo, utilizamos ferramentas da teoria invariante de grupos e
seguimos a abordagem dada em [3]. Finalizamos este trabalho com a aplicacao do metodo
em alguns exemplos especıficos de campos Hamiltonianos Z2-reversıveis-equivariantes
e D4−reversıveis-equivariantes com parte linear semissimples e campos Hamiltonianos
Zφ2 × Zψ2 -reversıveis-equivariantes com parte linear nao semissimples, onde φ e ψ sao in-
volucoes que agem como antissimetrias.
Palavras-chave: Formas normais, campos Hamiltonianos, simetrias, antissimetrias.
iii
ABSTRACT
The main objective of this work is to determine formal normal forms of reversible-
equivariant Hamiltonian vector fields under the action of a compact Lie group. For this,
we present an algebric method derived from the classic method given by Belitskii [5, 6]
and Elphick et al. [13], which reduces this problem to computing the generators for the
module of reversible equivariants by the action of a Lie group. In this process, we use
tools from the invariant theory of groups and follow the approach given in [3]. We finish
this work by applying the method in some specific examples of Z2-reversible-equivariant
and D4−reversible-equivariant Hamiltonian vector fields with semisimple linearization and
Zφ2 × Zψ2 -reversible-equivariant Hamiltonian vector fields with non-semisimple lineariza-
tion, where φ e ψ are involutions acting as reversing symmetries.
Keywords: Normal forms, Hamiltonian fields, symmetries, reversing symmetries.
iv
SUMARIO
Introducao 1
1 Sistemas Hamiltonianos 4
1.1 Algebra Linear Simpletica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sistemas Dinamicos e Campos Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teoria Invariante de Grupos de Lie 14
2.1 Representacao de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Acoes e Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Integral de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Funcoes Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Aplicacoes Equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Teoria Reversıvel Equivariante e Formas Normais 37
3.1 Simetrias e Antissimetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Calculo de Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Operadores de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Calculo dos Geradores Reversıveis Equivariantes . . . . . . . . . . . 44
3.3 Teoria Invariante para o Produto Semidireto . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
v
3.4 Teoria de Formas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Forma Normal de Belitskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2 O Metodo de Elphick et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Formas Normais Reversıveis Equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Campos Hamiltonianos Reversıveis Equivariantes 85
4.1 Formais normais Z2-reversıveis-equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Caso generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2 Caso 1:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.3 Caso p : q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Forma normal D4−reversıvel-equivariante para o caso generico. . . . . . . . 97
4.3 Forma normal Zφ2 × Zψ2−reversıvel-equivariante . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Observacoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Referencias Bibliograficas 113
Indice de Notacoes 116
Indice Remissivo 118
vi
“A matematica nao e uma caminhada cuida-
dosa atraves de uma estrada bem conhecida,
e uma jornada por uma terra selvagem e es-
tranha, onde os exploradores frequentemente
se perdem. A exatidao deve ser um sinal aos
historiadores de que os mapas ja foram fei-
tos e os exploradores se foram para outras
terras.”
(W. S. Anglin)
INTRODUCAO
A nocao convencional de antissimetria (ou reversibilidade) esta relacionada a ob-
servacoes de fenomenos fısicos. Considere, por exemplo, o movimento de um pendulo
no estado ideal (sem atrito ou qualquer outro tipo de perda de energia). Se filmarmos
este movimento e o assistirmos sera impossıvel distinguir quando o vıdeo esta na posicao
convencional ou quando esta invertido, sendo que a unica diferenca entre as imagens e a
posicao inicial e final do pendulo. Esse exemplo foi dado por Lamb em [18] para ilustrar a
dinamica de um sistema reversıvel pelo tempo, ou seja, um sistema que pode voltar para
uma condicao identica a que possuıa inicialmente. Sistemas reversıveis estao presentes,
mesmo que idealmente, na mecanica classica (como a situacao proposta anteriormente),
na termodinamica e na mecanica quantica (veja [18]).
Quando um sistema possui mais de uma antissimetria ele e chamado de sistema re-
versıvel equivariante. Neste caso, a composicao de um numero ımpar de antissimetrias
e uma antissimetria, enquanto que a composicao de um numero par e o que chamamos
de simetria. A diferenca entre simetrias e antissimetrias, do ponto de vista da dinamica,
e que simetrias mapeiam trajetorias sobre outras trajetorias preservando a direcao com
o passar do tempo, enquanto que antissimetrias revertem a direcao das trajetorias com
relacao ao tempo. Alem disso, o conjunto de todas as simetrias e antissimetrias de um
sistema formam um grupo Γ com a propriedade de que o conjunto de todas as simetrias
e um subgrupo normal de ındice 2 de Γ.
1
Historicamente, o interesse em sistemas reversıveis tem aparecido no contexto dos
sistemas Hamiltonianos, primeiramente porque muitos sistemas reversıveis sao Hamilto-
nianos e vice-versa. Em mecanica classica, um sistema Hamiltoniano e um sistema fısico
no qual todas as forcas sao conservativas (nao modificam a energia mecanica do sistema).
Na matematica, um sistema Hamiltoniano e um sistema de equacoes diferenciais obtido
atraves das equacoes de Hamilton. Sistemas Hamiltonianos e reversıveis possuem carac-
terısticas dinamicas importantes em comum, como por exemplo o Teorema do Centro de
Lyapunov e o Teorema da Catastrofe mostrados por Devaney em 1976. Infelizmente, a
relacao entre reversibilidade e Hamiltoniedade e bastante obscura, no sentido de ainda
nao sabermos quais propriedades sao exclusivamente de sistemas reversıveis e quais sao
de sistemas Hamiltonianos.
O foco deste trabalho esta em sistemas Hamiltonianos reversıveis equivariantes, ou
seja, em presenca simultanea de simetrias e antissimetrias, e daremos um tratamento
puramente matematico sem nos preocuparmos com as aplicacoes fısicas do nosso estudo.
Na maioria das vezes, nao e possıvel encontrar solucoes exatas para os sistemas
dinamicos em geral. Por isso, a teoria de formas normais tem sido usada como uma
ferramenta para o estudo qualitativo do comportamento local dos campos de vetores. O
estudo tem sido desenvolvido ha anos por diversos autores, sendo os principais desen-
volvedores e precursores Poincare [25], Birkhoff [7] e Belitskii [5, 6]. O metodo classico
consiste em realizar mudancas de coordenadas no sistema em torno de um ponto singular
a fim de obter um campo de vetores formalmente conjugado ao original e que e mais
conveniente aos propositos da pesquisa. Uma das dificuldades no calculo da forma normal
e a resolucao de uma equacao diferencial parcial associada, o que faz com que a forma
normal seja truncada em um baixo grau. Por isso, Elphick et al. [13] propuseram um
metodo algebrico que dispensa esse calculo, mas leva em consideracao um conjunto S de
simetrias do sistema.
No contexto reversıvel equivariante, muitos autores tem usado a teoria de formas nor-
mais em situacoes distintas para estudar equilıbrio relativo, solucoes periodicas relativas
e famılias de orbitas periodicas (veja por exemplo [10, 11, 16, 17, 21, 24]). Em geral,
a forma normal e calculada sem levar em consideracao as condicoes de simetria e antis-
2
simetria, que sao impostas a forma normal apenas no final do processo. Baseados no
metodo de Elphick et al, Baptistelli et al. desenvolveram em [3] um metodo alternativo
para a obtencao de formas normais reversıveis equivariantes que leva em consideracao as
propriedades simetricas do sistema desde o inıcio do processo. E esta abordagem que nos
seguimos neste trabalho.
O texto esta organizado da seguinte maneira. No Capıtulo 1 fazemos uma sucinta
apresentacao de sistemas dinamicos Hamiltonianos. Para isso, tambem compilamos alguns
conceitos de algebra linear simpletica. No Capıtulo 2 apresentamos os principais topicos
das teorias invariante e equivariante de grupos de Lie. O Capıtulo 3 e destinado a teoria de
formas normais de sistemas reversıveis equivariantes. Nas secoes 3.1 a 3.3 nos dedicamos
a teoria reversıvel equivariante e alguns de seus resultados, com destaque ao Algoritmo
3.2.8, que apresenta uma forma de calcular geradores do modulo das aplicacoes polinomiais
reversıveis equivariantes sobre o anel dos polinomios invariantes. Nas duas ultimas secoes
deste capıtulo apresentamos a teoria de formas normais e o principal resultado deste
trabalho, o Teorema 3.5.8. Por fim, no Capıtulo 4, nos aplicamos o Algoritmo 3.2.8 e o
Teorema 3.5.8 para calcular formas normais de alguns sistemas Hamiltonianos reversıveis
equivariantes pela acao de tres grupos de Lie compactos distintos.
3
CAPITULO 1
SISTEMAS HAMILTONIANOS
Os sistemas Hamiltonianos formam uma subclasse dos sistemas dinamicos conservati-
vos e, apesar dessa restricao, a formulacao hamiltoniana constitui uma base para diversos
metodos matematicos utilizados na matematica e na fısica. Tal formalismo encontra varias
aplicacoes importantes, nao somente na mecanica classica, mas tambem em eletromagne-
tismo, e e o ponto de partida da mecanica quantica e da mecanica estatıstica.
A teoria de sistemas Hamiltonianos teve inıcio apos a formulacao da mecanica classica
segundo Hamilton. Lagrange ja havia libertado a mecanica classica Newtoniana da
exigencia de um sistema de coordenadas inercial e Hamilton adaptou essa ideia passando
a usar um espaco 2n−dimensional. Iniciou-se entao o desenvolvimento do formalismo ma-
tematico necessario para dar suporte a teoria fısica, fazendo nascer a geometria simpletica,
hoje trabalhada independente de motivacoes fısicas.
Comecaremos apresentando os conceitos basicos da algebra linear simpletica necessarios
para o formalismo de sistemas Hamiltonianos que sera apresentado na Secao 1.2. Nossas
principais referencias neste capıtulo sao [19], [23] e [27].
4
1.1 Algebra Linear Simpletica
Nessa secao, vamos estudar espacos vetoriais que possuem uma estrutura especial
dada por uma forma bilinear simpletica, os chamados espacos vetoriais simpleticos. Tais
espacos fazem parte de um contexto introdutorio no estudo da geometria simpletica como
uma ferramenta de suporte na investigacao de campos Hamiltonianos. Para o que segue,
V e um espaco vetorial m−dimensional sobre R e ω : V × V → R e uma forma bilinear
sobre V . Lembremos que ω e antissimetrica se ω(u, v) = −ω(v, u), para todo u, v ∈ V.
O proximo teorema constroi uma base apropriada para o espaco vetorial V quando
dotado de uma forma antissimetrica ω.
Teorema 1.1.1. Seja ω uma forma bilinear antissimetrica sobre V. Entao, existe uma
base B = u1, · · · , uk, e1, · · · , en, f1, · · · , fn de V tal que
1. ω(ui, v) = 0 para todo i = 1, · · · , k e para todo v ∈ V ;
2. ω(ei, ej) = ω(fi, fj) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n;
3. ω(ei, fj) = δij, onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j, para todo i, j = 1, · · · , n.
Demonstracao. Considere o subespaco U de V dado por
U = u ∈ V ; ω(u, v) = 0, ∀v ∈ V (1.1)
e escolha uma base u1, · · · , uk de U. Se U = V, entao ω ≡ 0, de onde segue que n = 0
e temos obviamente valido o primeiro item.
Suponha agora U 6= V. Entao, existe1 um subespaco vetorial W 6= 0 de V tal
que V = U ⊕ W. Tome 0 6= e1 ∈ W e, como e1 ∈ UC , existe tambem f1 ∈ W tal
que ω(e1, f1) 6= 0. Sem perda de generalidade, podemos supor que ω(e1, f1) = 1. Defina
W1 = 〈e1, f1〉 o subespaco vetorial de V gerado por e1 e f1, e considere o conjunto
W ω1 = w ∈ W ; ω(w, v) = 0, ∀v ∈ W1.
1Pode-se consultar [15] por exemplo.
5
Temos que W = W1 ⊕W ω1 . De fato, seja v ∈ W. Se ω(v, e1) = c e ω(v, f1) = d entao
v = (−cf1 + de1) + (v + cf1 − de1), com (−cf1 + de1) ∈ W1 e (v + cf1 − de1) ∈ W ω1 , pois
ω(v + cf1 − de1, pe1 + qf1) = pω(v, e1) + qω(v, f1) + cpω(f1, e1)+
+ cqω(f1, f1)− dpω(e1, e1)− dqω(e1, f1)
= pc+ qd− cp− dq = 0,
para todo c, d, p, q ∈ R, uma vez que ω e antissimetrica e ω(e1, f1) = 1. Entao W = W1 +
W ω1 . Seja v ∈ W1∩W ω
1 . Como v ∈ W1 existem a, b ∈ R tais que v = ae1 +bf1. Alem disso,
como v ∈ W ω1 entao ω(v, e1) = 0 e ω(v, f1) = 0, o que implica em aω(e1, e1)− bω(e1, f1) =
0 = aω(e1, f1)+bω(f1, f1). Como ω e antissimetrica, ω(e1, e1) = 0 e da primeira igualdade
temos b = 0. Consequentemente, a = 0 da segunda igualdade, mostrando que v = 0.
Logo, a soma em questao e direta.
Seja agora 0 6= e2 ∈ W ω1 . Novamente, existe f2 ∈ W ω
1 tal que ω(e2, f2) 6= 0 e assumimos,
sem perda de generalidade, que ω(e2, f2) = 1. Tomando W2 = 〈e2, f2〉 e
W ω2 = w ∈ W ω
1 ; ω(w, v) = 0, ∀v ∈ W2,
e possıvel mostrar que W ω1 = W2 ⊕ W ω
2 . Continuando o processo, podemos decompor
W ω2 = W3 ⊕W ω
3 , W ω3 = W4 ⊕W ω
4 e assim sucessivamente. Como a dimensao de V e
finita, tal processo e finito e obtemos
V = U ⊕W1 ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wn, (1.2)
onde Wi tem base ei, fi e ω(ei, fi) = 1 para todo i = 1 · · · , n. Note que ei ∈ Wi e
ej ∈ W ωi para todo j = i + 1, · · · , n. Logo, ω(ei, ej) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n.
Da mesma forma, ω(fi, fj) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n. Por construcao, ja vimos que
ω(ei, fi) = 1 para todo i = 1, · · · , n. Agora, se i 6= j, digamos i < j, entao ei ∈ Wi e
fj ∈ W ωi de onde segue que ω(ei, fj) = 0. Se i > j, entao fj ∈ Wj e ei ∈ W ω
j e novamente
ω(ei, fj) = 0. Assim ω(ei, fj) = δij.
Claramente, B = u1, · · · , uk, e1, · · · , en, f1, · · · , fn gera V. Para concluirmos que B e
uma base de V resta mostrarmos que tal conjunto e linearmente independente. Suponha
que
α1u1 + · · ·+ αkuk + β1e1 + · · ·+ βnen + γ1f1 + · · ·+ γnfn = 0
6
com α1, · · · , αk, β1, · · · , βn, γ1, · · · , γn ∈ R. Se αi 6= 0 para algum 1 ≤ i ≤ k, entao
ui = − 1
αi
k∑j=1
j 6=i
αjuj +n∑j=1
βjej +n∑j=1
γjfj
.
Como a soma em (1.2) e direta e ui ∈ U, temos βj = γj = 0 para todo j = 1, · · · , n. Mas
entao
ui = − 1
αi(α1u1 + · · ·+ αi−1ui−1 + αi+1ui+1 + · · ·+ αkuk)
o que e um absurdo, pois o conjunto u1, · · · , uk e linearmente independente (e uma base
para U). De modo analogo, se βj 6= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n entao
ej = − 1
βj(γjfj)
pois a soma em (1.2) e direta e ej ∈ Wj = 〈ej, fj〉 . Mas isso novamente e um absurdo
pois terıamos ω(ej, fj) = 0. Se supormos γj = 0 para algum 1 ≤ j ≤ n chegaremos a
uma conclusao analoga. Portanto, αi = 0 para todo i = 1, · · · , k e βj = γj = 0 para todo
j = 1, · · · , n, de onde segue que B e uma base de V.
A base B do teorema anterior nao e necessariamente unica, porem e tradicionalmente
chamada de “base canonica”. Como ω e uma forma bilinear, sua notacao matricial com
respeito a B e dada por ω(u, v) = [u]tΩ[v], onde [u], [v] sao as coordenadas de u, v ∈ V na
base B, respectivamente, t denota a transposta e
Ω =
0k×k 0k×n 0k×n
0n×k 0n In
0n×k −In 0n
(k+2n)×(k+2n)
(1.3)
com In a matriz identidade de ordem n e 0n a matriz nula de ordem n. Note que Ω e
uma matriz antissimetrica. Mais do que isso, ω e uma forma bilinear antissimetrica se, e
somente se, a matriz de ω com respeito a qualquer base de V e antissimetrica.
Definicao 1.1.2. Dizemos que uma forma bilinear antissimetrica ω e simpletica, ou nao
degenerada, se a aplicacao ω : V → V ∗ definida por ω(u)(v) = ω(u, v) e bijetora, onde
V ∗ e o dual de V .
7
Equivalentemente, ω e nao degenerada se vale a equivalencia
ω(u, v) = 0, ∀ v ∈ V ⇔ u = 0. (1.4)
De fato, se ω e bijetora, entao ker ω = 0. Suponha que ω(u, v) = 0 para todo v ∈ V.
Entao ω(u) ≡ 0 e u ∈ ker ω = 0, ou seja, u = 0. Agora, se u = 0 e claro que ω(u, v) = 0
para todo v ∈ V. Por outro lado, suponha que vale (1.4) e tome u ∈ ker ω. Entao ω(u) ≡ 0,
ou seja, ω(u, v) = ω(u)(v) = 0 para todo v ∈ V. Logo u = 0 por hipotese, de onde segue
que ω e injetora. Como dimV = dimV ∗ <∞ segue que ω e bijetora.
Nessas condicoes, a aplicacao ω e entao chamada uma estrutura linear simpletica em
V e (V, ω) e chamado espaco vetorial simpletico.
Note que o nucleo da aplicacao ω e o subespaco U definido em (1.1). Assim, se ω e
nao degenerada, temos que U = ker ω = 0. Neste caso, dimU = 0 e do Teorema 1.1.1
segue que dimV = 2n. Portanto, um espaco vetorial simpletico (V, ω) tem dimensao par
e admite uma base
e1, · · · , en, f1, · · · , fn
satisfazendo ω(ei, fj) = δij e ω(ei, ej) = ω(fi, fj) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n, que e
chamada base simpletica de (V, ω). Neste caso, a matriz em (1.3) fica na forma
Ω =
0n In
−In 0n
(2n)×(2n)
. (1.5)
Exemplo 1.1.3. O exemplo canonico de espaco vetorial simpletico e o espaco euclidiano
R2n com a forma bilinear ω0 : R2n × R2n → R dada por
ω0(u, v) =n∑j=1
(ujvn+j − un+jvj) (1.6)
onde u = (u1, · · · , u2n) e v = (v1, · · · , v2n). E facil ver que ω0(u, v) = [u]tΩ[v], onde Ω e
dada por (1.5). Logo, ω0 e antissimetrica e nao degenerada.
E possıvel mostrar que uma forma bilinear antissimetrica ω : V × V → R e nao
degenerada se, e somente se, sua matriz e inversıvel. A ideia aqui e observar que a matriz
8
de ω e a transposta da matriz de ω com relacao as respectivas bases de V e V ∗. O resultado
agora segue pois ω e nao degenerada se, e somente se, ω e bijetora, o que ocorre se, e
somente se, sua matriz e inversıvel.
Definicao 1.1.4. Um simplectomorfismo ϕ entre os espacos vetoriais simpleticos (V, ω)
e (V ′, ω′) e um isomorfismo linear ϕ : V → V ′ tal que ω(u, v) = ω′(ϕ(u), ϕ(v)), para
todo u, v ∈ V. Se existe tal isomorfismo linear, entao os espacos (V, ω) e (V ′, ω′) sao ditos
simplectomorfos.
Todo espaco vetorial simpletico 2n−dimensional (V, ω) e simplectomorfo ao espaco
(R2n, ω0), onde ω0 e definido em (1.6). De fato, sejam
e1, · · · , en, f1, · · · , fn e e′1, · · · , e′n, f ′1, · · · , f ′n
as bases simpleticas de R2n e V , respectivamente, e defina ϕ : V → R2n por ϕ(v) =n∑i=1
ciei +n∑i=1
difi se v =n∑i=1
cie′i +
n∑i=1
dif′i . E facil verificar que ϕ e um isomorfismo
linear. Vamos mostrar que ω(u, v) = ω0(ϕ(u), ϕ(v)). Sejam u =n∑i=1
aie′i +
n∑i=1
bif′i ,
v =n∑i=1
cie′i +
n∑i=1
dif′i ∈ V. Entao ϕ(u) =
n∑i=1
aiei +n∑i=1
bifi, ϕ(v) =n∑i=1
ciei +n∑i=1
difi e,
pela bilinearidade de ω0, temos
ω0(ϕ(u), ϕ(v)) =n∑
i,j=1
aicjω0(ei, ej) +n∑
i,j=1
aidjω0(ei, fj) +n∑
i,j=1
bicjω0(fi, ej)+
+n∑
i,j=1
bidjω0(fi, fj)
=n∑
i,j=1
aicjω(e′i, e′j) +
n∑i,j=1
aidjω(e′i, f′j) +
n∑i,j=1
bicjω(f ′i , e′j)+
+n∑
i,j=1
bidjω(f ′i , f′j)
= ω(u, v),
a segunda igualdade seguindo pois ω e ω0 satisfazem as condicoes do Teorema 1.1.1.
Assim, quando consideramos um sistema simpletico de coordenadas (dado pela base
simpletica), podemos olhar (V, ω) localmente como (R2n, ω0), para algum n ∈ N.
9
1.2 Sistemas Dinamicos e Campos Hamiltonianos
Um sistema Hamiltoniano e um sistema de equacoes diferenciais que pode ser escrito na
forma das equacoes de Hamilton. Nesta secao introduzimos o conceito de sistema dinamico
e como o trataremos no presente trabalho. Tambem apresentamos a funcao Hamiltoniana,
que induz um campo vetorial especial chamado de campo vetorial Hamiltoniano. Este
campo, por sua vez, induz os chamados sistemas Hamiltonianos.
Definicao 1.2.1. Sejam M um conjunto e G um grupo. Um fluxo e um conjunto de
aplicacoes φt : M →M, com t ∈ G, satisfazendo φ0 = IdM e φr+s = φrφs. Tal fluxo induz
uma aplicacao φ : G×M → M definida por φ(t, x) = φt(x) e o trio (M,G, φ) e dito um
sistema dinamico.
Na definicao acima, quando G ∈ N,Z, o trio (M,G, φ) e um sistema dinamico
discreto e quando G = R, o sistema dinamico e contınuo.
Quando M ⊆ Rn, um campo de vetores2 em M e uma aplicacao X : M → Rn que
associa a cada ponto x ∈ M o vetor X(x) ∈ Rn. Para nossos propositos, vamos sempre
assumir que M = Rn e que o campo e de classe C∞. Dado um campo de vetores X em
Rn, podemos considerar a equacao diferencial ordinaria
x = X(x).
Atraves da solucao desse sistema, e possıvel induzir um fluxo e, por isso, um campo
de vetores induz um sistema dinamico. Reciprocamente, um fluxo induz um campo de
vetores e este, por sua vez, induz uma equacao diferencial. Desta forma, tornamos quase
que indistintos os conceitos de equacoes diferenciais ordinarias (autonomas), sistemas
dinamicos e campos de vetores3. Distincoes entre os tres conceitos, alem de definicoes
mais precisas, podem ser encontradas em [2].
Definicao 1.2.2. Sejam X um campo vetorial em Rn e x0 ∈ Rn. Dizemos que x0 e uma
singularidade (ou um ponto crıtico, ou um ponto de equilıbrio) de X se X(x0) = 0. Caso
contrario, x0 e dito um ponto regular.
2Mais geralmente, se M e uma variedade diferenciavel, um campo de vetores em M e uma aplicacao
X : M → TM , onde TM e o fibrado tangente de M .3A prova deste fato pode ser encontrada em [23].
10
Note que, como x 7→ x0 − x e um difeomorfismo isometrico de classe C∞, podemos
sempre supor que ao menos uma das singularidades, se houver, esta na origem.
Usualmente, define-se um campo Hamiltoniano como segue:
Definicao 1.2.3. Sejam H : V → R uma funcao de classe C2 e ∇H o gradiente de H,
onde (V, ω) e um espaco vetorial simpletico. Um campo de vetores Hamiltoniano e um
campo da forma
XH(x) = J∇H(x), (1.7)
onde x ∈ V e J e a matriz da forma simpletica ω numa dada base de V . Neste caso, H
denomina-se Hamiltoniano ou funcao Hamiltoniana do campo (1.7).
Considerando o espaco vetorial simpletico (R2n, ω0), onde ω0 e a forma simpletica
canonica dada por (1.6), um campo Hamiltoniano e da formax =
∂H
∂y(x, y)
y = −∂H∂x
(x, y),
(1.8)
onde (x, y) ∈ R2n e H : R2n → R e de classe C2. Neste caso, J = Ω como definida em
(1.5). Como todo espaco vetorial simpletico e simplectomorfo a (R2n, ω0), a menos de
uma mudanca de coordenadas (simpletica), todo campo Hamiltoniano e da forma (1.8).
Sistemas de equacoes com essa mesma estrutura ja haviam sido obtidos por Lagrange
e Poisson, mas eles nao perceberam que se tratavam de um conjunto basico de equacoes de
movimento. As equacoes (1.8) ganharam o nome de equacoes de Hamilton em homenagem
a Willian Rowan Hamilton4.
Quando nao for especificada a forma simpletica, deve ser entendido que o campo e
Hamiltoniano em relacao a forma simpletica usual ω0 dada em (1.6).
Exemplo 1.2.4. Vamos considerar neste exemplo a equacao do pendulo simples sob a
acao da forca da gravidade g. Considere o pendulo como na figura abaixo, de haste rıgida
de comprimento l e massa desprezıvel, com um extremo fixo e um objeto de massa m no
outro extremo.4Dentre as contribuicoes de Hamilton, destacam-se o desenvolvimento de uma abordagem unificada
para problemas de optica geometrica e dinamica, usando calculo variacional, e trabalhos sobre a algebra
de numeros complexos.
11
Figura 1.1: O pendulo.
Considerando o atrito desprezıvel, a equacao de movimento do pendulo e dada por
θ +g
lsin θ = 0,
que da origem ao sistema de EDO’s de primeira ordemθ = p
p = −gl
sin θ,
onde θ e uma variavel angular e p e o momento. Esse sistema e Hamiltoniano da forma
(1.8) com funcao Hamiltoniana
H(θ, p) =p2
2+g
l(1− cos θ).
Exemplo 1.2.5. O sistema x = x
y = sinx− y
e um sistema Hamiltoniano da forma (1.8). De fato, se
x =∂H
∂y(x, y) e sinx− y = −∂H
∂x(x, y),
entao, integrando com relacao a y e a x, respectivamente, obtemos H(x, y) = xy + f1(x)
e H(x, y) = cos x + yx + f2(y), para algumas funcoes f1, f2 : R → R. Igualando as duas
funcoes, temos que f1(x) = cos x+ b e f2(y) = b para alguma constante b ∈ R. Logo uma
funcao Hamiltoniana deste sistema e H(x, y) = cos x+ xy + b.
12
Mostrar que um sistema e Hamiltoniano nem sempre e facil. Repare que, para isso,
precisamos encontrar uma funcao H : R2n → R de classe C2 tal que XH(x) = J∇H para
alguma matriz J da forma simpletica ω. Como um exemplo, considere o campo de vetores
X(x1, x2, y1, y2) = (αx2,−αx1, βy2,−βy1) e considere a matriz
J1 =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
. (1.9)
Como J1 e antissimetrica, J1 induz uma forma bilinear antissimetrica ω1 sobre R4. Alem
disso, uma vez que det J1 = 1 6= 0, ω1 e nao degenerada. Portanto, considerando o
espaco simpletico (R4, ω1), o campo de vetores em questao e Hamiltoniano da forma
X(x1, x2, y1, y2) = J1∇H(x1, x2, y1, y2) com funcao Hamiltoniana
H(x1, x2, y1, y2) =α
2(x2
1 + x22) +
β
2(y2
1 + y22).
13
CAPITULO 2
TEORIA INVARIANTE DE GRUPOS DE
LIE
Como mencionamos na Introducao, o objetivo desse trabalho e calcular formas normais
de sistemas Hamiltonianos sob a acao de simetrias e antissimetrias. Nossa abordagem para
o estudo sistematico neste contexto segue principalmente as referencias [9] e [14] e se da
atraves da teoria de representacao de grupos em um espaco vetorial V de dimensao finita.
As aplicacoes que regem sistemas dinamicos Γ−reversıveis-equivariantes tem uma forma
geral bem determinada uma vez conhecida a teoria invariante para a acao de Γ em V.
Neste capıtulo introduzimos as ferramentas necessarias para o estudo de tais sistemas
comecando pela teoria de representacao de grupos de Lie e em seguida desenvolvendo as
teorias invariante e equivariante. Todos os exemplos feitos neste capıtulo serao utilizados
no Capıtulo 4 e, uma vez resolvidos aqui, facilitam os arduosos calculos que virao.
2.1 Representacao de Grupos
Um determinado grupo pode agir em um espaco vetorial de varias formas. Por isso,
a teoria de representacao de grupos e fundamental, em particular quando trabalhamos
14
com grupos de Lie compactos, pois estes possuem propriedades algebricas e topologicas
importantes. Um exemplo disso e a existencia de uma integral de Haar invariante pela acao
do grupo, o que nos permite admitir que um grupo de Lie compacto age ortogonalmente
em um espaco vetorial. Daqui em diante, assumimos que o leitor esteja familiarizado
com conceitos de teoria de grupos como subgrupos, subgrupos normais, homomorfismos
e grupos quocientes, bem como com conceitos topologicos de Rn como abertos, fechados
e compactos.
2.1.1 Grupos de Lie
Apesar do conceito de grupo de Lie ser bem mais abrangente, para nossos objetivos
estamos interessados em uma definicao um pouco mais restrita, a de grupo de Lie linear.
Em todo texto, Mn(R) denota o grupo das matrizes quadradas de ordem n, GL(n) o
subgrupo de Mn(R) formado pelas matrizes inversıveis, At denota a transposta de uma
matriz A e In denota a matriz identidade de ordem n.
Definicao 2.1.1. Um grupo de Lie linear e um subgrupo fechado Γ de GL(n).
Note que precisamos considerar uma topologia em GL(n). Para isso, considere em
Mn(R) a topologia induzida pelo isomorfismo φ : Mn(R)→ Rn2
dado pora11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
7−→ (a11, a12, · · · , a1n, a21, · · · , ann),
ou seja, um conjunto U de matrizes e um aberto em Mn(R) se, e somente se, φ(U) e
um aberto em Rn2
. Assim, a topologia adotada em GL(n) e a topologia do subespaco
induzida por Mn(R). Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 2.1.2. O grupo ortogonal O(n), que consiste de todas as matrizes quadradas
15
A de ordem n satisfazendo AAt = In1, e um grupo de Lie linear. De fato, considere
f : Mn(R) → Mn(R)
A 7−→ AAt.
O grupo ortogonal O(n) e a imagem inversa de In por f , ou seja O(n) = f−1(In).
Como In e unitario, tambem e fechado2 em Mn(R) e, como f e contınua, temos que
O(n) e fechado em Mn(R). Agora, observe que O(n) ⊆ GL(n), pois se A ∈ O(n), entao
detA = ±1 6= 0. Assim, O(n) = GL(n)∩O(n) e, por isso, O(n) e fechado em GL(n). Resta
mostrar que O(n) e um subgrupo de GL(n). Claramente, In ∈ O(n). Sejam A,B ∈ O(n).
Entao, Bt = B−1 e segue que
AB−1(AB−1)t = ABt(B−1)tAt = ABtBAt = AInAt = AAt = In,
como desejado.
Exemplo 2.1.3. Seja SO(n) = A ∈ O(n); detA = 1. Esse grupo e chamado grupo
ortogonal especial, ou grupo de rotacao n-dimensional, e e um grupo de Lie linear. De
fato, note que In ∈ SO(n) e se A,B ∈ SO(n), entao Bt = B−1 e temos
detAB−1 = detA detB−1 = detA detBt = detA detB = 1.
Portanto, AB−1 ∈ SO(n) e, assim, SO(n) e um subgrupo de GL(n). Para mostrar que
SO(n) e fechado em GL(n), escreva SO(n) = O(n)∩H, onde H = B ∈ GL(n); detB =
1, e considere a funcao
f : GL(n) → R
A 7−→ detA.
Temos que f e contınua (pois e contınua como funcao de Mn(R) em R e restricao de
contınua e contınua) e H = f−1(1) onde 1 e fechado em R. Logo, H e fechado em
GL(n). Como O(n) tambem e fechado em GL(n) segue o que querıamos.
1Observe que se A ∈ O(n), entao A tambem satisfaz AtA = In, uma vez que a matriz inversa a direita
de A e igual a sua inversa a esquerda.2Essa afirmacao e valida pois Mn(R) e homeomorfo a Rn2
, que e Hausdorff.
16
Exemplo 2.1.4. No caso particular de n = 2, temos que SO(2) e gerado pelas matrizes
de rotacao dadas por
Rθ =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
, (2.1)
com θ ∈ [0, 2π). De fato, se A =
a b
c d
∈ SO(2), entao detA = 1, e, alem disso,
A−1 = At. Calculando a inversa de A e igualando a sua transposta, temos
A =
a b
−b a
.
Como a2 + b2 = 1 (pois AAt = I2), existe θ ∈ [0, 2π) tal que a = cos θ e b = sin θ. Assim,
A = Rθ, provando a afirmacao. Em nosso trabalho, vamos identificar SO(2) com o grupo
do cırculo unitario S1 = z ∈ C; |z| = 1, pela correspondencia Rθ 7−→ θ, uma vez que
cada z ∈ S1 pode ser escrito de forma unica como z = eiθ, com θ ∈ [0, 2π).
Exemplo 2.1.5. Todo grupo finito e isomorfo a um grupo de Lie linear. Para ver isto,
considere G = a1, a2, · · · , an um grupo finito e defina
f : G → S ⊂ SG
ai 7−→ σi : G → G
aj 7→ aiaj,
onde S = σ1, σ2, · · · , σn e SG e o conjunto de todas as permutacoes de elementos de G.3.
Iniciaremos mostrando que S e um subgrupo de SG (e, portanto, um grupo). Supondo
que a1 e o elemento neutro de G, concluımos que σ1 e neutro em S, pois para todo
i = 1, · · · , n tem-se σ1(ai) = a1ai = ai. Se σi(ak) = aiak entao σ−1i (ak) = a−1
i ak, pois
σi(a−1i ak) = ai(a
−1i ak) = (aia
−1i )ak = ak = σ1(ak) para todo k = 1, · · · , n. Assim, se
σi, σj ∈ S, entao
σi(σ−1j (ak)) = σi(a
−1j ak) = (aia
−1j )ak = alak = σl(ak)
3Note que se n 6= 2, entao S e diferente de SG, pois o numero de elementos de S e n enquanto que o
numero de elementos de SG e n!.
17
para algum l = 1, · · · , n e para todo k = 1, · · · , n, implicando em σiσ−1j ∈ S para todo
i, j = 1, · · · , n.Mostremos agora que f e um homomorfismo de grupos. De fato, se al, am ∈
G entao alam = ak para algum ak ∈ G. Logo, σk(aj) = akaj = alamaj = σl σm(aj) para
todo aj ∈ G, ou seja, f(alam) = f(ak) = σk = σl σm = f(al) f(am), como desejado.
Note tambem que se σi = σj para i, j = 1, · · · , n, entao ai = aj, uma vez que G e um
grupo. Consequentemente, f e um isomorfismo de grupos.
Agora, podemos identificar cada permutacao de S com uma matriz de ordem n dada
pela permutacao das colunas (ou linhas) da matriz identidade. Assim, S e identificado
com um subgrupo de GL(n) que e fechado, pois e finito e GL(n) e Hausdorff. Portanto,
associamos a G um grupo de Lie linear, como desejado.
Exemplo 2.1.6. O toro n−dimensional T n = S1 × · · · × S1 (n vezes) e um grupo de Lie
linear. Se θ = (θ1, · · · , θn) ∈ T n podemos identifica-lo com a matriz
Rθ1 0 0 · · · 0
0 Rθ2 0 · · · 0
0 0 Rθ3 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · Rθn
∈ GL(2n),
onde Rθ e como em (2.1).
Definicao 2.1.7. Um grupo de Lie linear e compacto se o for pela topologia induzida
como um subconjunto de Rn2
.
Ate aqui, todos os grupos de Lie que apresentamos sao compactos4. Porem existem
grupos de Lie que nao sao compactos, como e o caso de Rn. Temos que Rn e isomorfo ao
grupo de matrizes da forma1 a1 a2 · · · an
0 1 0 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · 1
∈ GL(n+ 1),
4Nos omitiremos a demonstracao desta afirmacao.
18
onde aj ∈ R para todo j = 1, · · · , n. Tal grupo nao e limitado pois qualquer matriz deste
tipo possui entradas que nao sao limitadas e, portanto, Rn nao e compacto.
Em nosso trabalho, consideramos especificamente grupos de Lie compactos e, embora
a definicao de grupo de Lie seja mais geral do que a de grupo de Lie linear, e fato que
todo grupo de Lie compacto e topologicamente isomorfo a um grupo de Lie linear (veja
[8]). Por isso, no caso da Definicao 2.1.1, Γ e chamado somente de grupo de Lie.
2.1.2 Acoes e Representacoes
Estamos interessados agora em determinar como um grupo de Lie transforma o espaco
Rn, ou seja, em como seus elementos agem em um determinado sistema. Formalizamos
essa ideia com o conceito de acao e representacao de grupos.
Definicao 2.1.8. Sejam Γ um grupo de Lie e V um espaco vetorial real de dimensao
finita. Dizemos que Γ age linearmente em V se existe uma aplicacao contınua, chamada
acao,
ψ : Γ× V → V
(γ, v) 7−→ γ · v
tal que para cada γ ∈ Γ a aplicacao ργ : V → V definida por ργ(v) = γ · v e linear e
ργ1 ργ2 = ργ1γ2 para todo γ1, γ2 ∈ Γ.
A aplicacao
ρ : Γ → GL(V )
γ 7−→ ργ
e chamada de representacao de Γ em V , onde GL(V ) e o grupo das transformacoes
lineares inversıveis de V em V .
Primeiramente notemos que ργ e de fato inversıvel para todo γ ∈ Γ. Sejam v1, v2 ∈ V
tais que ργ(v1) = ργ(v2), ou seja, γ · v1 = γ · v2. Aplicando a acao de γ−1 (que existe
pois Γ e um grupo) em ambos os lados dessa igualdade, temos pela definicao de acao que
(γγ−1) · v1 = (γγ−1) · v2 o que implica em v1 = v2. Portanto, ργ e injetora. Pelo Teorema
19
do Nucleo e da Imagem segue o alegado. Agora note que ρ define um homomorfismo de
Γ em GL(V ). De fato,
ρ(γ1γ2)(v) = ργ1γ2(v) = ργ1(ργ2(v)) = ρ(γ1) ρ(γ2)(v),
para todo v ∈ V.
Desta maneira, a toda acao esta associada uma representacao que nos diz como Γ
transforma o espaco todo V. Como V e um espaco vetorial real de dimensao finita n > 0,
podemos assumir V ∼= Rn, como nos seguintes exemplos.
Exemplo 2.1.9. Como todo grupo de Lie linear Γ e um grupo de matrizes em GL(n),
para algum n, existe uma acao natural de Γ em Rn dada pela multiplicacao de matriz por
vetor. De fato, a aplicacao
Γ× Rn → Rn
(M, v) 7−→ Mv,
onde Mv representa a multiplicacao da matriz M ∈ Γ pelas coordenadas de v ∈ Rn (em
uma dada base de Rn), e contınua. Ainda se u, v ∈ Rn e α ∈ R entao
ρM(u+ αv) = M(u+ αv) = Mu+ αMv = ρM(u) + αρM(v),
de onde segue que ρM e linear para todo M ∈ Γ. Por fim, se M,N ∈ Γ, entao ρM ρN(v) =
M(Nv) = (MN)v = ρMN(v) para todo v ∈ Rn.
Exemplo 2.1.10. Todo grupo Γ age trivialmente em Rn como γ ·v = v, para todo v ∈ Rn
e todo γ ∈ Γ. Note que esta acao, dada por ψ(γ, v) = v, e uma projecao e, portanto, e
contınua. Alem disso, se u, v ∈ Rn, α ∈ R e γ1, γ2 ∈ Γ entao
ργ(u+ αv) = u+ αv = ργ(u) + αργ(v) e
ργ1 ργ2(v) = γ1 · (γ2 · v) = γ1 · v = v = (γ1γ2) · v = ργ1γ2(v).
Exemplo 2.1.11. A aplicacao
ψ : S1 × C → C
(θ, z) 7−→ eiθz
20
e uma acao de S1 em C. De fato, ψ e claramente contınua e
ρθ(u+ αv) = eiθ(u+ αv) = eiθu+ αeiθv = ρθ(u) + αρθ(v),
para todo u, v ∈ C e θ ∈ S1. Alem disso,
θ · (ϕ · z) = θ · (eiϕz) = eiθ(eiϕz) = eiθeiϕz = ei(θ+ϕ)z = (θ + ϕ) · z,
onde + e a operacao do grupo S1.
Exemplo 2.1.12. Para qualquer inteiro k, a aplicacao que leva S1×C em C definida por
θ · z = eikθz
tambem e uma acao de S1 em C. A justificativa desse fato e analoga a feita no exemplo
anterior. Note que se k = 0 a acao e a trivial e se k = 1 a acao e a dada no Exemplo
2.1.11.
2.1.3 Integral de Haar
A integral de Haar e uma das principais ferramentas utilizadas no Capıtulo 3. Nesta
subsecao mostraremos que todo grupo de Lie linear compacto e um subgrupo fechado de
O(n), usando algumas propriedades desta integral. Daqui em diante, Γ e um grupo de
Lie.
Definicao 2.1.13. Seja f : Γ→ R uma funcao contınua. Entao, a operacao
∫Γ
fdγ ∈ R,
tambem denotada por
∫γ∈Γ
f(γ), e uma integral em Γ se satisfaz as seguintes condicoes:
(i) Linearidade, ou seja
∫Γ
(λf + µg)dγ = λ
∫Γ
fdγ + µ
∫Γ
gdγ, onde f, g : Γ → R sao
contınuas e λ, µ ∈ R.
(ii) Positividade, que significa que se f(γ) ≥ 0 para todo γ ∈ Γ, entao
∫Γ
fdγ ≥ 0.
Esta operacao e uma Integral de Haar se, alem dos itens (i) e (ii), satisfaz
(iii) Invariancia por translacao, isto e,
∫γ∈Γ
f(δγ) =
∫γ∈Γ
f(γ), para todo δ ∈ Γ fixado.
21
Quando Γ e um grupo de Lie compacto, a integral de Haar e finita e dizemos que ela
e uma integral de Haar normalizada se
∫Γ
1dγ = 1. A prova da existencia e unicidade da
integral de Haar normalizada esta feita em [9, I, Theorem 5.13], bem como a demonstracao
de que para grupos compactos, a integral de Haar tambem e invariante por translacoes a
direita, ou seja, ∫γ∈Γ
f(γδ) =
∫γ∈Γ
f(γ), ∀δ ∈ Γ fixado.
Observacao 2.1.14. Aplicacoes da forma f : Γ→ Rn tambem podem ser integraveis por
Haar, fazendo a integracao separadamente em cada componente.
Observacao 2.1.15. Seja C(Rn,R) o espaco das funcoes contınuas Rn 7−→ R. A integral
de Haar pode ser definida para aplicacoes f : Γ → C(Rn,R) como
∫Γ
fdγ : Rn → R
tal que
(∫Γ
fdγ
)(x) =
∫Γ
f(γ)(x)dγ. Juntamente com a observacao anterior, vemos e
possıvel integrar aplicacoes da forma f : Γ → C(Rn,Rn). Faremos uso dessa observacao
na Definicao 3.5.3.
Exibimos abaixo um exemplo para o caso em que Γ e finito.
Exemplo 2.1.16. Seja Γ um grupo de Lie finito de ordem |Γ|. Entao, para qualquer
f : Γ→ R contınua temos ∫Γ
fdγ =1
|Γ|∑γ∈Γ
f(γ). (2.2)
De fato, se f, g : Γ→ R e λ, µ ∈ R entao∫Γ
(λf + µg)dγ =1
|Γ|∑γ∈Γ
(λf + µg)(γ)
=1
|Γ|∑γ∈Γ
(λf(γ) + µg(γ))
=1
|Γ|∑γ∈Γ
λf(γ) +1
|Γ|∑γ∈Γ
µg(γ)
= λ
∫Γ
fdγ + µ
∫Γ
gdγ
e, se f(γ) ≥ 0 para todo γ ∈ Γ, entao claramente, a operacao definida em (2.2) e positiva.
Para mostrar que esta integral e invariante, fixe δ ∈ Γ. Entao,∫γ∈Γ
f(δγ) =1
|Γ|∑γ∈Γ
f(δγ) =1
|Γ|∑α∈Γ
f(α) =
∫γ∈Γ
fdγ,
22
onde a segunda igualdade segue do fato de que a aplicacao γ 7−→ δγ e bijetora e a terceira
segue de (2.2). Alem disso, ela e normalizada pois
∫Γ
1dγ =1
|Γ|∑γ∈Γ
1 =1
|Γ||Γ| = 1. Pela
unicidade, temos que a operacao definida em (2.2) e a integral de Haar de f em Γ.
O teorema a seguir e um caso particular do Teorema de Fubini para a integral de Haar
enunciado e demonstrado em [9, I, Proposition 5.16].
Teorema 2.1.17. Sejam Γ um grupo de Lie compacto e Σ ⊂ Γ um subgrupo fechado de
ındice 2 de Γ. Para qualquer funcao contınua f : Γ→ R temos∫Γ
f(γ)dγ =1
2
(∫Σ
f(γ)dγ +
∫Σ
f(δγ)dγ
),
para δ ∈ Γ\Σ fixado.
Da proposicao que encerra esta subsecao implica que podemos identificar grupos de
Lie compactos em GL(n) com subgrupos fechados de O(n).
Proposicao 2.1.18. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espaco vetorial
de dimensao finita V e seja [ργ] a matriz associada a transformacao linear ργ dada pela
representacao de Γ em V. Entao, existe um produto interno em V tal que, para todo γ ∈ Γ,
[ργ] e ortogonal.
Demonstracao. Seja 〈 , 〉 um produto interno em V. Para v, w ∈ V, considere a funcao
contınua5
fv,w : Γ → R
γ 7−→ 〈ργ(v), ργ(w)〉 .
Assim, fica bem definido outro produto interno em V dado por
〈v, w〉Γ =
∫γ∈Γ
fv,w(γ) =
∫γ∈Γ
〈ργ(v), ργ(w)〉 .
5Veja que fv,w(γ) = 〈gv, gw〉 (γ) = 〈gv(γ), gw(γ)〉, onde gv(γ) = γ ·v pode ser definida para todo v ∈ V.
Agora, se ϕ e a acao de Γ em V, entao ϕ e contınua, bem como sua restricao ϕv ao conjunto Γ × v.
Alem disso, µv : Γ→ Γ× v definida por γ 7→ (γ, v) e contınua (a primeira coordenada e a identidade e a
segunda e uma funcao constante). Logo, gv(γ) = ϕv µv(γ) e contınua para todo v ∈ V. Como o produto
interno de funcoes contınuas e uma funcao contınua (veja [20, Capıtulo 1, Secao 7, Teorema 16]), segue
que fv,w e contınua.
23
De fato, a bilinearidade de 〈 , 〉Γ segue da linearidade de ργ e da integral de Haar, e da
bilinearidade de 〈 , 〉 . A comutatividade de 〈 , 〉Γ segue da comutatividade de 〈 , 〉 . Por
fim, a nao negatividade de 〈 , 〉Γ segue uma vez que 〈 , 〉 e nao negativo e a integral de
Haar satisfaz (ii) da Definicao 2.1.13.
Agora, da propriedade de invariancia por translacao, segue que, para todo δ ∈ Γ
fixado,
〈v, w〉Γ =
∫γ∈Γ
fv,w(γ) =
∫γ∈Γ
fv,w(γδ)
=
∫γ∈Γ
〈ργδ(v), ργδ(w)〉 =
∫γ∈Γ
〈ργ(ρδ(v)), ργ(ρδ(w))〉
= 〈ρδ(v), ρδ(w)〉Γ .
Uma vez que δ ∈ Γ e arbitrario, 〈v, w〉Γ = 〈ργ(v), ργ(w)〉Γ para todo γ ∈ Γ. Assim,
〈v, w〉Γ = 〈ργ(v), ργ(w)〉Γ =⟨v, ρ∗γργw
⟩Γ,
para todo v, w ∈ V, onde ρ∗γ e o operador adjunto de ργ. Logo, ρ∗γργ e o operador identidade,
de onde [ρ∗γ][ργ] = In, com [ργ] denotando a matriz do operador com relacao a uma base
ortonormal de V . Como V e um espaco vetorial real de dimensao finita, entao [ρ∗γ] = [ργ]t,
onde t representa a transposta. Logo, [ργ]t[ργ] = In, ou seja, [ργ] ∈ O(n), para todo
γ ∈ Γ.
2.2 Funcoes Invariantes
As funcoes invariantes formam uma base para toda teoria reversıvel equivariante que
vamos apresentar no proximo capıtulo. Veremos que o conjunto dessas funcoes forma
um anel e as demais estruturas envolvidas formam modulos sobre este anel. Alem disso,
garantir a existencia e encontrar um conjunto de geradores para o anel dos invariantes e
fundamental para calcularmos as formas normais do Capıtulo 3.
Daqui em diante, vamos nos referir a acao ργ(x) = γ · x simplesmente por γx. Alem
disso, V se refere sempre a um espaco vetorial real de dimensao finita.
Definicao 2.2.1. Seja (ρ, V ) o espaco vetorial V sob a representacao ρ de um grupo de
Lie Γ. Uma funcao a valores reais f : (ρ, V )→ R e invariante sobre Γ, ou Γ−invariante,
24
se
f(γx) = f(x), (2.3)
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Um polinomio invariante e definido da mesma forma tomando f
um polinomio.
Observacao 2.2.2. Se Γ e finitamente gerado, pela linearidade da acao, para verificar
que uma funcao e Γ−invariante e suficiente mostrar que a condicao (2.3) e satisfeita para
um conjunto de geradores de Γ.
Nos exemplos a seguir nos restringiremos ao caso polinomial.
Exemplo 2.2.3. Seja Γ = Z2 = 1,−1 agindo nao trivialmente em R, ou seja, 1 · x = x
e −1 · x = −x, para todo x ∈ R. Suponha que f(x) =∑
aixi com ai ∈ R. Entao, se f e
Z2−invariante temos f(x) = f(−x), para todo x ∈ R, de onde∑
aixi =
∑ai(−1)ixi.
Assim∑
((−1)i − 1)aixi = 0, o que implica em (−1)i − 1 = 0 ou ai = 0. Portanto, i e
par ou ai = 0, ou seja, f(x) =∑
bjx2j, com bj = a2j ∈ R. Logo, f e uma funcao par da
forma f(x) = h(x2), onde h : R→ R e uma funcao polinomial dada por h(x) =∑
bjxj.
Exemplo 2.2.4. Seja S1 agindo em R2 ≡ C da forma θ · z = eiθz para todo θ ∈ S1.
Entao f e S1−invariante se f(eiθz) = f(z) para todo z ∈ C e todo θ ∈ S1. Se f : C→ C e
uma funcao polinomial, escrevemos6 f(z) =∑
aαβzαzβ com aαβ ∈ C. Porem, definimos
invariancia para polinomios cuja imagem e real. Logo, f(z) = f(z) para todo z ∈ C e os
coeficientes aαβ satisfazem
aαβ = aβα. (2.4)
Se queremos f(eiθz) = f(z), entao∑aαβz
αzβ =∑
aαβ(eiθz)α(eiθz)β
=∑
aαβeiθ(α−β)zαzβ
6Escrevemos o polinomio nas coordenadas z e z, pois elas transformam C em um espaco vetorial real.
Entretanto, para z = x + iy, temos x = (z + z)/2 e y = (z − z)/2i, assim os coeficientes do polinomio
podem ser complexos.
25
para todo z ∈ C, ou seja, aαβ = aαβeiθ(α−β) para todo θ ∈ S1. Agora, isso acontece se
aαβ = 0 ou se α = β. Assim, a S1−invariancia implica em
f(z) =∑
aααzαzα,
onde aαα ∈ R uma vez que aαα = aαα por (2.4). Assim, definindo h : R → R por
h(x) =∑
aαxα teremos que f(z) = h(zz).
Queremos observar aqui que se considerarmos a acao de S1 em R2, basta trocarmos
z = x+ iy por (x, y) ∈ R2 e teremos f(x, y) = h(x2 + y2).
Exemplo 2.2.5. Seja S1 agindo em C2 como θ(z1, z2) = (eiθz1, eiθz2). Se f : C2 → R e
uma funcao polinomial S1−invariante, entao existe uma funcao polinomial h : R4 → R
tal que
f(z1, z2) = h(|z1|2, |z2|2, Re(z1z2), Im(z1z2)).
De fato, escreva f como
f(z1, z2) =∑
aαβγδzα1 z1
βzγ2z2δ, (2.5)
onde aαβγδ ∈ C e (z1, z2) ∈ C2. Como f toma valores reais, ou seja, f = f, segue que
aαβγδ = aβαδγ. Alem disso, como f(θ(z1, z2)) = f(z1, z2) entao∑aαβγδz
α1 z1
βzγ2z2δ =
∑aαβγδe
iθ(α−β+γ−δ)zα1 z1βzγ2z2
δ,
para todo θ ∈ S1 e (z1, z2) ∈ C2, e isso ocorre se aαβγδ = 0 ou se α − β + γ − δ = 0.
Portanto, aαβγδ = 0 ou α− β = δ − γ. Logo, se aαβγδ 6= 0 entao observe queα ≥ β ⇒ δ − γ ≥ 0 ⇒ δ ≥ γ
α < β ⇒ δ − γ < 0 ⇒ δ < γ.
Assim, fatorando as potencias de z1z1 e z2z2, obtemos
f(z1, z2) =∑α<β
aαβγδ(z1z1)αz1β−α(z2z2)δzγ−δ2 +
+∑α≥β
aαβγδ(z1z1)βzα−β1 (z2z2)γz2δ−γ
=∑α<β
aαβγδ(z1z1)α(z2z2)δz1β−αzγ−δ2
+∑α≤β
aβαδγ(z1z1)α(z2z2)δzβ−α1 z2γ−δ, (2.6)
26
onde a segunda igualdade segue renomeando as potencias da segunda parcela da soma.
Escrevendo β − α = γ − δ = n, aαβγδ = xαβγδ + iyαβγδ e lembrando que aαβγδ = aβαδγ, a
equacao acima torna-se
f(z1, z2) =∑α<β
(xαβγδ + iyαβγδ)(z1z1)α(z2z2)δ(z1z2)n
+∑α≤β
(xαβγδ − iyαβγδ)(z1z1)α(z2z2)δ(z1z2)n
=∑α<β
xαβγδ(z1z1)α(z2z2)δ((z1z2)n + (z1z2)n)
+∑α<β
iyαβγδ(z1z1)α(z2z2)δ((z1z2)n − (z1z2)n)
+xααδδ(z1z1)α(z2z2)δ,
onde xαβγδ, yαβγδ ∈ R. Notamos que a parcela referente a α = β segue pois n = β−α = 0
e como aααδδ = aααδδ temos que yααδδ = 0. Se z e um numero complexo qualquer, entao
zn + zn = (z + z)(zn−1 + zn−1)− (zz)(zn−2 + zn−2)
i(zn − zn) = i(z − z)(zn−1 + zn−1) + i(zz)(zn−2 − zn−2).
Por essas identidades, vemos que os termos zn + zn e i(zn− zn) sao redutıveis para n ≥ 2,
n ∈ Z. Logo, se z = z1z2, f tem a forma
f(z1, z2) =∑
Ajklm(z1z1)j(z2z2)k(z1z2 + z1z2)l(i(z1z2 − z1z2))m,
onde Ajklm ∈ R. Com respeito ao termo (i(z1z2− z1z2))m temos que se m e par, im = ±1
e daı (z1z2 − z1z2)m pode ser escrito atraves dos outros termos. Caso contrario, como
i(z1z2 − z1z2) = 2Im(z1z2) e (z1z2 + z1z2) = 2Re(z1z2), temos, finalmente,
f(z1, z2) =∑
Bjklm(z1z1)j(z2z2)k(Re(z1z2))l(Im(z1z2))m,
com Bjklm ∈ R, j, k, l,m ∈ N, como desejado.
Denotaremos o conjunto das funcoes polinomiais Γ−invariantes f : V → R por PV (Γ).
Observe que PV (Γ) tem estrutura de anel, uma vez que somas e produtos de polinomios
Γ−invariantes sao ainda Γ−invariantes.
27
Nos exemplos anteriores, encontramos um subconjunto finito de polinomios invariantes
u1, u2, · · · , us tal que cada polinomio invariante pode ser escrito como uma funcao
polinomial de u1, · · · , us. Dizemos que tal conjunto forma uma base de Hilbert para os
invariantes. A existencia desse conjunto finito e garantida pelo seguinte teorema:
Teorema 2.2.6. (Teorema de Hilbert-Weyl) Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em
V. Entao, existe uma base de Hilbert finita para o anel PV (Γ).
A demonstracao desse teorema e bastante interessante mas necessita de resultados
preliminares e ferramentas de algebra comutativa. Por isso nao nos cabe faze-la aqui,
mas, aos curiosos, sua demonstracao pode ser encontrada em [14, XII, § 6].
Para finalizar, um exemplo relevante ao nosso trabalho que foi deixado como exercıcio
em [14] e sera utilizado nas aplicacoes do Capıtulo 4.
Exemplo 2.2.7. Seja S1 agindo em C2 por θ(z1, z2) = (ekiθz1, eliθz2), onde k, l sao copri-
mos. Entao, uma base de Hilbert para PC2(S1) e |z1|2, |z2|2, Re(zl1zk2), Im(zl1zk2).
Para mostrar nossa afirmacao, vamos seguir os passos do Exemplo 2.2.5. Seja f uma
funcao polinomial nas variaveis z1, z2 escrito como (2.5). Novamente, como f = f, temos
aαβγδ = aβαδγ. Se f e invariante pela acao acima, entao f(θ(z1, z2)) = f(z1, z2), ou seja,∑aαβγδz
α1 z1
βzγ2z2δ =
∑aαβγδe
iθ(αk−βk+γl−δl)zα1 z1βzγ2z2
δ.
Isso ocorre se aαβγδ = 0 ou se k(α− β) + l(γ − δ) = 0.
Note que k(α − β) + l(γ − δ) = 0 implica em k(β − α) = l(γ − δ). Como k e l sao
coprimos e β − α e inteiro, necessariamente k divide γ − δ. Com o mesmo argumento, l
divide β − α, ou seja, β − α = lm e γ − δ = kn para alguns m,n ∈ Z.
Agora, f pode ser escrito como em (2.6) e, escrevendo aαβγδ = xαβγδ + iyαβγδ com
28
xαβγδ, yαβγδ ∈ R e, usando novamente que aαβγδ = aβαδγ temos
f(z1, z2) =∑α<β
(xαβγδ + iyαβγδ)(z1z1)α(z2z2)δ(z1lmzkn2 )
+∑α≤β
(xαβγδ − iyαβγδ)(z1z1)α(z2z2)δ(zlm1 z2kn)
=∑α<β
xαβγδ(z1z1)α(z2z2)δ(z1lmzkn2 + zlm1 z2
kn)
+∑α<β
iyαβγδ(z1z1)α(z2z2)δ(z1lmzkn2 − zlm1 z2
kn)
+xααδδ(z1z1)α(z2z2)δ.
Usando as seguintes identidades indutivamente,
(z1lmzkn2 + zlm1 z2
kn) = (z1lzk2 + zl1z2
k)(z1(m−1)lz
(n−1)k2 + z
(m−1)l1 z2
(n−1)k) +
−(z1z1)l(z2z2)k(z1(m−2)lz
(n−2)k2 + z
(m−2)l1 z2
(n−2)k) e
i(z1lmzkn2 − zlm1 z2
kn) = i(z1lzk2 − zl1z2
k)(z1(m−1)lz
(n−1)k2 + z
(m−1)l1 z2
(n−1)k) +
+i(z1z1)l(z2z2)k(z1(m−2)lz
(n−2)k2 − z(m−2)l
1 z2(n−2)k),
com m,n ≥ 2 e considerando que (z1lzk2 + zl1z2
k) = 2Re(zl1z2k) e i(z1
lzk2 − zl1z2k) =
2Im(zl1z2k), concluımos finalmente que
f(z1, z2) =∑
Brstu(z1z1)r(z2z2)s(Re(zl1z2k))t(Im(zl1z2
k))u,
com Brstu ∈ R, r, s, t, u ∈ N. Portanto |z1|2, |z2|2, Re(zl1zk2), Im(zl1zk2) constitui uma base
de Hilbert para PC2(S1) com a acao considerada neste exemplo.
Como visto, determinar uma base de Hilbert para o anel PV (Γ) pode ser uma tarefa
extremamente difıcil. Existem programas computacionais, como o Singular [28], que nos
auxiliam nesta tarefa quando o grupo Γ e finitamente gerado.
2.3 Aplicacoes Equivariantes
Nesta secao, vamos descrever a primeira estrutura modular sobre o anel PV (Γ), a
saber, as aplicacoes que comutam com a acao de Γ. Em todo o texto, denotamos por
(ρ, V ) o espaco vetorial V sob a representacao ρ de um grupo de Lie Γ em V.
29
Definicao 2.3.1. Dizemos que uma aplicacao g : (ρ, V ) → (η,W ) comuta com Γ, ou e
Γ−equivariante, se
g(ργ(x)) = ηγg(x), (2.7)
para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V. Quando (ρ, V ) = (η,W ) dizemos que g satisfazendo
(2.7) e puramente equivariante. Uma aplicacao polinomial equivariante e definida da
mesma forma.
Denotaremos o espaco das aplicacoes polinomiais Γ−equivariantes por ~PV,W (Γ) e das
puramente Γ−equivariantes por ~PV (Γ). O elemento γ ∈ Γ que satisfaz (2.7) e chamado
simetria da aplicacao g.
Por um abuso de notacao, escrevemos a igualdade (2.7) simplesmente como
g(γx) = γg(x),
quando nao houver duvidas sobre as respectivas acoes e representacoes.
E possıvel ver que se f : (ρ, V ) → R e uma funcao Γ−invariante e se g : (ρ, V ) →
(η,W ) e uma aplicacao Γ-equivariante, entao o produto fg : (ρ, V ) → (η,W ) e Γ-
equivariante. Com igual facilidade, e possıvel ver que ~PV,W (Γ) e um modulo sobre o
anel dos polinomios invariantes PV (Γ)7. Entao, faz sentido a definicao abaixo.
Definicao 2.3.2. Dizemos que as aplicacoes polinomiais Γ−equivariantes g1, · · · , gr ge-
ram o modulo ~PV,W (Γ) sobre o anel PV (Γ) se toda aplicacao Γ−equivariante g ∈ ~PV,W (Γ)
pode ser escrita como
g = f1g1 + · · ·+ frgr,
para certos f1, · · · fr ∈ PV (Γ). Neste caso, escrevemos ~PV,W (Γ) = PV (Γ)g1, · · · , gr.
Abaixo enunciamos a versao equivariante do Teorema de Hilbert-Weyl, cuja demons-
tracao pode ser encontrada em [14, XII, Theorem 6.8].
7Se R e um anel, um R−modulo a direita e um grupo abeliano aditivo (M,+) em conjunto com uma
operacao M×R→M, (m, r) 7−→ mr, que satisfaz (m+n)r = mr+nr,m(r+s) = mr+ms,m(rs) = (mr)s
e m1R = m, para todo m,n ∈M, e r, s ∈ R. Um R− modulo a esquerda e definido de maneira simetrica
e dizemos que M e um R−modulo se o for a direita e a esquerda.
30
Teorema 2.3.3. Se Γ e um grupo de Lie compacto agindo em V e em W, entao existe um
conjunto finito g1, · · · , gr de aplicacoes polinomiais Γ−equivariantes que gera o modulo
~PV,W (Γ) sobre o anel PV (Γ).
Nos proximos exemplos, ate o fim desta secao, vamos determinar os geradores de
modulos puramente equivariantes sob acoes distintas de um grupo de Lie compacto Γ.
Exemplo 2.3.4. O exemplo mais simples nos e dado quando Γ = Z2 age em R como no
Exemplo 2.2.3. Se g ∈ ~PR(Z2), entao g : R→ R e um polinomio da forma g(x) =∑
aixi,
com ai ∈ R, que satisfaz g(−x) = −g(x), para todo x ∈ R. Logo ai(−x)i = −aixi,
implicando que ou ai = 0 ou i e ımpar, ou seja,
g(x) =∑
bjx2j+1 =
∑bjx
2jx = h(x2)x,
onde bj = a2j+1. Pelo Exemplo 2.2.3, podemos escrever g(x) = f(x)x, onde f ∈ PR(Z2).
Portanto,
~PR(Z2) = PR(Z2)g1,
onde g1(x) = x.
Exemplo 2.3.5. Seja Γ = S1 agindo em C como θ · z = eiθz. Vamos mostrar que toda
g ∈ ~PC(S1) tem a forma
g(z) = p(z)z + q(z)iz, (2.8)
onde p, q ∈ PC(S1). Para isso, tome g : C→ C um polinomio S1−equivariante
g(z) =∑
bjkzjzk (2.9)
com bjk ∈ C. Como g(θz) = θg(z), ou seja, g(z) = θ−1g(θz) para todo z ∈ C, temos
g(z) = e−iθ∑
bjkeiθ(j−k)zjzk
=∑
bjkeiθ(j−k−1)zjzk,
para todo θ ∈ S1, z ∈ C. Por (2.9) segue que bjk = 0 ou j = k + 1 e daı
g(z) =∑
bk+1,k(zz)kz.
31
Como bk+1,k ∈ C, podemos denotar bk+1,k = xk + iyk, com xk, yk ∈ R, de onde temos
g(z) =∑
xk(zz)kz +∑
yk(zz)kiz.
Tomando p, q : C→ R como p(z) =∑
xk(zz)k e q(z) =∑
yk(zz)k temos, pelo Exemplo
2.2.4, que p, q ∈ PC(S1), o que prova (2.8). Aqui tambem, se trocarmos C por R2 temos
que os geradores serao g1(x, y) = (x, y) e g2(x, y) = (−y, x).
Exemplo 2.3.6. Seja S1 agindo em C2 como no Exemplo 2.2.5. Vamos mostrar que
o modulo das aplicacoes polinomiais equivariantes sobre o anel PC2(S1) e gerado pelas
aplicacoes gi, com 1 ≤ i ≤ 8, onde
g1(z1, z2) = (z1, 0), g2(z1, z2) = (z2, 0), g3(z1, z2) = (iz1, 0), g4(z1, z2) = (iz2, 0),
g5(z1, z2) = (0, z1), g6(z1, z2) = (0, z2), g7(z1, z2) = (0, iz1), g8(z1, z2) = (0, iz2).
Seja g : C2 → C2 uma aplicacao polinomial equivariante por esta acao de S1. Escre-
vendo g = (p, q), com p, q : C2 → C, temos
(p(θ(z1, z2)), q(θ(z1, z2))) = θ(p(z1, z2), q(z1, z2)) = (eiθp(z1, z2), eiθq(z1, z2)),
para todo θ ∈ S1, (z1, z2) ∈ C2. Entao, p(eiθz1, eiθz2)) = eiθp(z1, z2), o mesmo valendo
para q. Escrevendo p como
p(z1, z2) =∑
aαβγδzα1 z1
βzγ2z2δ, (2.10)
com aαβγδ ∈ C, temos que a igualdade p(z1, z2) = e−iθp(eiθz1, eiθz2) e satisfeita se, e
somente se,
p(z1, z2) = e−iθ∑
aαβγδeiθ(α−β+γ−δ)zα1 z1
βzγ2z2δ,
para todo θ ∈ [0, 2π), (z1, z2) ∈ C2. Logo, α−β+γ−δ−1 = 0 quando aαβγδ 6= 0. Observe
que se α ≥ β, entao γ ≤ δ + 1 e se α < β, entao γ > δ + 1. Assim, no primeiro caso,
se α − β = m ∈ N, entao δ − γ = m − 1 e, no segundo caso se β − α = n ∈ N, entao
γ− δ = n+ 1. Fatorando em (2.10) os termos de menor grau e substituindo os respectivos
32
expoentes por n,m, n+ 1 e m− 1 temos
p(z1, z2) =∑α<β
aαβγδ(z1z1)αz1β−α(z2z2)δzγ−δ2 +
∑α>β
aαβγδ(z1z1)βzα−β1 (z2z2)γz2δ−γ+
+ aαα(δ+1)δ(z1z1)α(z2z2)δz2
=∑α<β
aαβγδ(z1z1)α(z2z2)δz1nzn+1
2 +∑α>β
aαβγδ(z1z1)β(z2z2)γzm1 z2m−1+
+ aαα(δ+1)δ(z1z1)α(z2z2)δz2. (2.11)
Das identidades
z1nzn+1
2 = (z1z2 + z1z2)z1n−1zn2 − (z1z1)(z2z2)z1
n−2zn−12
zm1 z2m−1 = (z1z2 + z1z2)zm−1
1 z2m−2 − (z1z1)(z2z2)zm−2
1 z2m−3
validas para m ≥ 3 e n ≥ 2, podemos reduzir os termos z1nzn+1
2 e zm1 z2m−1 ate m = 2 e
n = 1, o que nos da, respectivamente,
z1z22 = (z1z2 + z1z2)z2 − (z2z2)z1
z21z2 = (z1z2 + z1z2)z1 − (z1z1)z2.
Rearranjando os termos em (2.11), escrevemos p como
p(z1, z2) =∑
Arst(z1z1)r(z2z2)s(z1z2 + z1z2)tz1 +∑
Buvw(z1z1)u(z2z2)v(z1z2 + z1z2)wz2
com Arst e Buvw ∈ C. Se Arst = Mrst + iNrst e Buvw = Puvw + iQuvw, com Mrst, Nrst, Puvw
e Quvw ∈ R, entao reescrevemos p como
p(z1, z2) = f1(z1, z2)z1 + f2(z1, z2)iz1 + f3(z1, z2)z2 + f4(z1, z2)iz2,
com fi : C2 → R funcoes de |z1|2, |z2|2, Re(z1z2) para i = 1, 2, 3, 4. Analogamente,
encontraremos
q(z1, z2) = g1(z1, z2)z1 + g2(z1, z2)iz1 + g3(z1, z2)z2 + g4(z1, z2)iz2,
com g1 : C2 → R funcoes de |z1|2, |z2|2, Re(z1z2) para i = 1, 2, 3, 4. Portanto,
g(z1, z2) =f1(z1, z2)(z1, 0) + f2(z1, z2)(iz1, 0) + f3(z1, z2)(z2, 0) + f4(z1, z2)(iz2, 0)+
+ g1(z1, z2)(0, z1) + g2(z1, z2)(0, iz1) + g3(z1, z2)(0, z2) + g4(z1, z2)(0, iz2),
com f1, f2, f3, f4, g1, g2, g3 e g4 ∈ PC2(S1), pelo Exemplo 2.2.5.
33
Exemplo 2.3.7. Seja S1 agindo em C2 como no Exemplo 2.2.7. Entao, o modulo ~PC2(S1)
dos equivariantes segundo essa acao e gerado pelas aplicacoes
h1(z1, z2) = (z1, 0), h2(z1, z2) = (iz1, 0), h3(z1, z2) = (zl−11 zk2 , 0), h4(z1, z2) = (izl−1
1 zk2 , 0),
h5(z1, z2) = (0, z2), h6(z1, z2) = (0, iz2), h7(z1, z2) = (0, zl1zk−12 ) e h8(z1, z2) = (0, izl1z
k−12 ).
Se g ∈ ~PC2(S1), entao g(θ(z1, z2)) = θg(z1, z2), para todo θ ∈ S1, (z1, z2) ∈ C2. Escre-
vendo g(z1, z2) = (p(z1, z2), q(z1, z2)), com p, q : C2 → C, temos
g(z1, z2) = θ−1g(θ(z1, z2)) = (e−kiθp(ekiθz1, eliθz2), e−liθq(ekiθz1, e
liθz2))
e daı
p(z1, z2) = e−kiθp(ekiθz1, eliθz2) e q(z1, z2) = e−liθq(ekiθz1, e
liθz2), (2.12)
para todo θ ∈ [0, 2π), (z1, z2) ∈ C2. Como p e polinomial, podemos escrever
p(z1, z2) =∑
aαβγδzα1 z1
βzγ2z2δ, (2.13)
com aαβγδ ∈ C. Pela condicao (2.12)
p(z1, z2) = e−kiθ∑
aαβγδek(α−β)+l(γ−δ)zα1 z1
βzγ2z2δ
e tal igualdade e valida se aαβγδ = 0 ou k(α− β − 1) + l(γ − δ) = 0. Supondo a segunda
igualdade, como k e l sao coprimos, necessariamente l divide α− β − 1 e k divide γ − δ.
Entao α− β ≡ 1(mod l) e γ − δ ≡ 0(mod k). Observe que se α ≥ β + 1 entao γ ≤ δ e se
α < β + 1 entao γ > δ. Fatorando em (2.13) as potencias de z1z1 e z2z2, obtemos
p(z1, z2) =∑α−1≥β
aαβγδ(z1z1)βzα−β1 (z2z2)γz2δ−γ +
∑α−1<β
aαβγδ(z1z1)αz1β−α(z2z2)δzγ−δ2
=∑α−1≥β
aαβγδ(z1z1)β(z2z2)γzml+11 z2
nk +∑α−1<β
aαβγδ(z1z1)α(z2z2δ)z1
m′l−1zn′k
2 ,
(2.14)
para alguns l,m, n,m′, n′ ∈ N, com m′ 6= 0. Das identidades
zml+11 z2
nk = (zl1z2k + z1
lzk2 )z(m−1)l+11 z2
(n−1)k − (z1z1)l(z2z2)kz(m−2)l+11 z2
(n−2)k,
z1m′l−1zn
′k2 = (zl1z2
k + z1lzk2 )z1
(m′−1)l−1z(n′−1)k2 − (z1z1)l(z2z2)kz1
(m′−2)l−1z(n′−2)k2 ,
34
observamos que os termos zml+11 z2
nk e z1m′l−1zn
′k2 sao redutıveis para m,n ≥ 2 e m′, n′ ≥ 3,
respectivamente. Alem disso, para m = n = 1, m′ = n′ = 2, temos
zl+11 z2
k = (zl1z2k + z1
lzk2 )z1 − (z1z1)z1l−1zk2 e
z12l−1z2k
2 = (zl1z2k + z1
lzk2 )z1l−1zk2 − (z1z1)l−1(z2z2)kz1.
Portanto, (2.14) torna-se
p(z1, z2) =∑
Arst(z1z1)r(z2z2)s(zl1z2k + z1
lzk2 )tz1+
+∑
Buvw(z1z1)u(z2z2)v(zl1z2k + z1
lzk2 )wz1l−1zk2 .
Escrevendo Arst = Mrst + iNrst e Buvw = Puvw + iQuvw, com Mrst, Nrst, Puvw, Quvw ∈ R e
observando que zl1z2k + z1
lzk2 = 2Re(zl1z2k) temos
p(z1, z2) = f1(z1, z2)z1 + f2(z1, z2)iz1 + f3(z1, z2)z1l−1zk2 + f4(z1, z2)iz1
l−1zk2 ,
com fi : C2 → R, i = 1, 2, 3, 4, funcoes de |z1|2, |z2|2, Re(zl1z2k), ou seja, fi ∈ PC2(S1),
pelo Exemplo 2.2.7.
Fazendo o mesmo processo para q : C2 → C, obtemos
q(z1, z2) = g1(z1, z2)z2 + g2(z1, z2)iz2 + g3(z1, z2)zl1z2k−1 + g4(z1, z2)izl1z2
k−1
com g1, g2, g3, g4 ∈ PC2(S1). Temos entao
g(z1, z2) =f1(z1, z2)(z1, 0) + f2(z1, z2)(iz1, 0) + f3(z1, z2)(z1l−1zk2 , 0) + f4(z1, z2)(iz1
l−1zk2 , 0)
+g1(z1, z2)(0, z2) + g2(z1, z2)(0, iz2) + g3(z1, z2)(0, zl1z2k−1) + g4(z1, z2)(0, izl1z2
k−1),
com fi, gi ∈ PC2(S1), como desejado.
Para encerrar este capıtulo, introduzimos o conceito de modulo livre.
Definicao 2.3.8. Dizemos que g1, · · · , gr geram livremente o modulo ~PV (Γ) sobre PV (Γ)
se a relacao
f1g1 + · · ·+ frgr ≡ 0,
onde fj ∈ PV (Γ), implicar que f1 ≡ · · · ≡ fr ≡ 0. Neste caso, dizemos que ~PV (Γ) e um
modulo livre sobre PV (Γ).
35
Exemplo 2.3.9. Segundo a acao de S1 em C dada no Exemplo 2.3.5, ~PC(S1) e um
modulo livre sobre PC(S1). De fato, pelo Exemplo 2.3.5 temos que ~PC(S1) e gerado por
g1(z) = z e g2(z) = iz sobre PC(S1), cuja base de Hilbert e u(z) = zz. Suponha
que p(z)z + q(z)iz = 0, onde p, q : C → R sao funcoes arbitrarias em PC(S1). Entao,
z(p(z) + iq(z)) = 0 para todo z ∈ C, de onde p(z) + iq(z) = 0. Como p(z), q(z) ∈ R e z e
qualquer, temos p ≡ q ≡ 0 como desejado.
36
CAPITULO 3
TEORIA REVERSIVEL EQUIVARIANTE
E FORMAS NORMAIS
Muitos problemas em sistemas dinamicos possuem estruturas especiais que sao pre-
servadas no estudo qualitativo do sistema. Uma dessas estruturas e um dos objetivos
em nosso estudo e e dada pela presenca de transformacoes que deixam as equacoes de
movimento invariantes, as ja mencionadas simetrias (equivariancias) e antissimetrias (re-
versibilidades) . Um exemplo simples deste comportamento e o pendulo ideal (sem perda
de energia) mencionado na Introducao.
A teoria de formas normais e uma ferramenta importante na analise qualitativa lo-
cal (em uma vizinhanca de um ponto singular) de sistemas em presenca de simetrias e
antissimetrias e o seu desenvolvimento e o nosso segundo objetivo principal.
Neste capıtulo, vamos continuar descrevendo a abordagem algebrica inerente ao con-
texto reversıvel equivariante, analisando as relacoes entre a teoria reversıvel e a teoria
invariante apresentada no Capıtulo 2. Num segundo momento, vamos apresentar a teoria
de formas normais para campos de vetores reversıveis equivariantes como uma adaptacao
da teoria desenvolvida por Belitskii [5, 6] e Elphick et al. [13], usando as ferramentas
algebricas apresentadas no Capıtulo 2 e no presente.
37
Em todo este capıtulo assumimos Γ um grupo de Lie compacto agindo linearmente em
um espaco vetorial V de dimensao finita. Nossa abordagem aqui baseia-se nas referencias
[1] e [3].
3.1 Simetrias e Antissimetrias
Considere um homomorfismo de grupos
σ : Γ→ Z2. (3.1)
Vamos denotar por Γ+ o kernel de σ. Se σ e o homomorfismo trivial, entao obviamente
Γ = Γ+. Caso contrario, Γ+ e um subgrupo proprio de Γ. Em ambos os casos, Γ+ e um
subgrupo normal de Γ ja que e o kernel de um homomorfismo de grupos. Denotamos por
Γ− o complementar de Γ+ em Γ. Temos entao a seguinte definicao:
Definicao 3.1.1. Um elemento γ ∈ Γ+ e chamado simetria de Γ e um elemento γ ∈ Γ−
e chamado antissimetria de Γ.
O proximo resultado deriva simplesmente do fato de σ ser um homomorfismo de gru-
pos.
Proposicao 3.1.2. O produto de duas simetrias ou de duas antissimetrias e uma sime-
tria; o produto de uma simetria e uma antissimetria e uma antissimetria e o inverso de
uma simetria (respectivamente, antissimetria) e uma simetria (respectivamente, antissi-
metria).
Devido a proposicao anterior, para todo γ ∈ Γ+ temos γΓ+ = Γ+. Alem disso, se
δ ∈ Γ−, entao δΓ+ = Γ− pois, pela proposicao anterior, δΓ+ ⊆ Γ− e se β ∈ Γ− podemos
escrever β = δ(δ−1β) ∈ δΓ+. Logo, se σ e nao trivial, entao existem duas classes laterais
de Γ+ em Γ: Γ+ e δΓ+, com δ ∈ Γ− fixado (porem arbitrario). Portanto, neste caso, Γ+
e um subgrupo normal de Γ de ındice 2. Alem disso, podemos escrever
Γ = Γ+ ∪ Γ− = Γ+ ∪ δΓ+,
para qualquer δ ∈ Γ− fixado.
Sob este formalismo algebrico temos a seguinte definicao:
38
Definicao 3.1.3. Sejam σ : Γ → Z2 um epimorfismo1 e (ρ, V ) o espaco V sob a repre-
sentacao ρ de Γ. Uma funcao polinomial f : (ρ, V )→ R e chamada de Γ−anti-invariante,
ou simplesmente anti-invariante, se
f(γx) = σ(γ)f(x) (3.2)
para todo x ∈ V e para todo γ ∈ Γ. Uma aplicacao polinomial g : (ρ, V ) → (ρ, V ) e
chamada de Γ−reversıvel-equivariante, ou reversıvel-equivariante, se
g(γx) = σ(γ)γg(x), (3.3)
para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V.
Denotamos por QV (Γ) o espaco de todas as funcoes polinomiais Γ−anti-invariantes e
por ~QV (Γ) o espaco de todas as aplicacoes polinomiais Γ−reversıveis-equivariantes.
Na definicao acima, se σ e o homomorfismo trivial, entao f satisfazendo (3.2) se reduz
a uma funcao Γ−invariante e g satisfazendo (3.3) se reduz a uma aplicacao puramente
Γ−equivariante.
Observacao 3.1.4. Note que a existencia de um epimorfismo σ : Γ → Z2 e garantida
sempre que Γ possuir um subgrupo normal de ındice 2. Caso contrario, nao faz sentido
falarmos em QV (Γ) e ~QV (Γ).
Assim como ~PV (Γ), os espacos QV (Γ) e ~QV (Γ) tambem possuem estrutura de modulos
sobre o anel PV (Γ). Para ver isso, considere a seguinte definicao:
Definicao 3.1.5. Sejam ρ uma representacao de Γ em V e σ : Γ→ Z2 um epimorfismo.
A representacao σ−dual de ρ e a representacao de Γ em V definida por
ρσ : Γ → GL(V )
γ 7−→ σ(γ)ργ.
A acao correspondente e chamada de acao dual. Alem disso, podemos definir uma acao
de Γ em R por
ϕ : Γ× R → R
(γ, x) 7−→ σ(γ)x.
1Um homomorfismo sobrejetor
39
Assim, se g ∈ ~QV (Γ) entao, por (3.3), temos
g(ργ(x)) = g(γx) = σ(γ)γg(x) = ρσ(γ)(g(x)),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V , ou seja, g pode ser vista como uma aplicacao equivariante
de (ρ, V ) em (ρσ, V ). Do mesmo modo, se f ∈ QV (Γ), entao por (3.2) temos valida a
igualdade f(ργ(x)) = σ(γ)f(x), para todo γ ∈ Γ, x ∈ V, e podemos ver f como uma
aplicacao equivariante de (ρ, V ) em (σ,R). Portanto, QV (Γ) e ~QV (Γ) tem a estrutura de
modulo herdada de ~PV,W (Γ) e, pelo Teorema 2.3.3, ambos QV (Γ) e ~QV (Γ) sao finitamente
gerados sobre PV (Γ).
O lema a seguir caracteriza o anel PV (Γ) e os modulos QV (Γ), ~PV (Γ) e ~QV (Γ),
relacionando-os com os invariantes e equivariantes sob Γ+ apenas.
Lema 3.1.6. Seja Γ+ o subgrupo das simetrias de Γ e fixe δ ∈ Γ− = Γ\Γ+. Entao,
PV (Γ) = f ∈ PV (Γ+); f(δx) = f(x), ∀ x ∈ V
~PV (Γ) = g ∈ ~PV (Γ+); g(δx) = δg(x), ∀ x ∈ V
QV (Γ) = f ∈ PV (Γ+); f(δx) = −f(x), ∀ x ∈ V
~QV (Γ) = g ∈ ~PV (Γ+); g(δx) = −δg(x), ∀ x ∈ V .
Demonstracao. Vamos demonstrar somente a terceira igualdade e as demais seguem ana-
logamente. Considere um epimorfismo σ : Γ → Z2 com Γ+ = kerσ e Γ− = Γ\Γ+. Seja
f ∈ PV (Γ+) tal que f(δx) = −f(x) para todo x ∈ V. Entao f(γx) = f(x), para todo
γ ∈ Γ+. Alem disso, uma vez que Γ− = δΓ+, dado γ ∈ Γ−, podemos escrever γ = δγ′ para
algum γ′ ∈ Γ+ e daı
f(γx) = f((δγ′)x) = f(δ(γ′x)) = −f(γ′x) = −f(x).
Portanto, f(γx) = σ(γ)f(x) para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V, ou seja, f ∈ QV (Γ).
Para a inclusao contraria, seja f ∈ QV (Γ). Entao, f(γx) = σ(γ)f(x) para todo x ∈ V e
para todo γ ∈ Γ. Mas, σ(γ) = 1 se γ ∈ Γ+ e σ(γ) = −1 se γ ∈ Γ−. Entao f ∈ PV (Γ+) e
f(δx) = −f(x) para todo x ∈ V, como desejado.
A fim de facilitar futuros calculos, enunciamos o seguinte lema, cuja demonstracao
segue da definicao de produto de aplicacoes, da definicao dos respectivos modulos e anel
e da linearidade da acao de Γ em V.
40
Lema 3.1.7. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V. Sejam f ∈ PV (Γ), p ∈
QV (Γ), g ∈ ~PV (Γ) e q ∈ ~QV (Γ). Entao, fp ∈ QV (Γ), fg ∈ ~PV (Γ), pq ∈ ~PV (Γ), fq ∈~QV (Γ), pg ∈ ~QV (Γ).
Demonstracao. Sejam p ∈ QV (Γ) e q ∈ ~QV (Γ). Entao
pq(γx) = p(γx)q(γx) = σ(γ)p(x)σ(γ)γq(x) = σ(γ)2γp(x)q(x) = γ(pq)(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Os outros casos seguem analogamente.
3.2 Calculo de Geradores
Ja vimos que se Γ e um grupo de Lie compacto, entao QV (Γ) e ~QV (Γ) sao modulos
finitamente gerados sobre PV (Γ). Nessa secao vamos apresentar um algoritmo que nos
fornece seus geradores a partir do conhecimento dos invariantes e equivariantes apenas
sob a acao do grupo de simetrias Γ+. A principal ferramenta utilizada neste processo sao os
operadores e σ−operadores de Reynolds. A importancia da construcao dos geradores de
~QV (Γ) se tornara clara no calculo das formas normais reversıveis equivariantes apresentada
neste capıtulo e no proximo.
3.2.1 Operadores de Reynolds
Os operadores e σ−operadores de Reynolds constituem um importante mecanismo
algebrico na teoria invariante de grupos de Lie. Sua definicao faz uso do grupo Γ+ das
simetrias de Γ.
Definicao 3.2.1. Sejam Γ um grupo de Lie compacto e σ : Γ → Z2 um epimorfismo de
grupos. Considere Γ+ = kerσ e fixe δ ∈ Γ−. Os operadores de Reynolds sobre PV (Γ+) e
~PV (Γ+) sao aplicacoes R : PV (Γ+)→ PV (Γ+) e ~R : ~PV (Γ+)→ ~PV (Γ+) definidas por
R(f)(x) =1
2(f(x) + f(δx)) e ~R(g)(x) =
1
2(g(x) + δ−1g(δx)), (3.4)
respectivamente. Os σ−operadores de Reynolds sobre PV (Γ+) e ~PV (Γ+) sao aplicacoes
S : PV (Γ+)→ PV (Γ+) e ~S : ~PV (Γ+)→ ~PV (Γ+) definidas por
S(f)(x) =1
2(f(x)− f(δx)) e ~S(g)(x) =
1
2(g(x)− δ−1g(δx)), (3.5)
41
respectivamente.
Para a proxima proposicao IdPV (Γ+) e Id~PV (Γ+) denotam os operadores identidade em
PV (Γ+) e ~PV (Γ+), respectivamente.
Proposicao 3.2.2. Os operadores de Reynolds R, ~R, S e ~S definidos em (3.4) e (3.5),
respectivamente, satisfazem as seguintes propriedades:
(i) Sao homomorfismos de PV (Γ)−modulos tais que
R + S = IdPV (Γ+) e ~R + ~S = Id~PV (Γ+).
(ii) Eles sao projecoes idempotentes com
ImS = kerR = QV (Γ) e kerS = ImR = PV (Γ);
Im~S = ker ~R = ~QV (Γ) e ker ~S = Im~R = ~PV (Γ).
(iii) Valem as seguintes decomposicoes como espacos vetoriais:
PV (Γ+) = kerR⊕ ImR = kerS ⊕ ImS e
~PV (Γ+) = ker ~R⊕ Im~R = ker ~S ⊕ Im~S.
Demonstracao. (i) Temos que PV (Γ) ⊆ PV (Γ+) pelo Lema 3.1.6. Logo, PV (Γ) e um su-
banel do anel PV (Γ+) de modo que PV (Γ+) pode ser visto como um PV (Γ)−modulo.
Por consequencia, como ~PV (Γ+) e um modulo sobre PV (Γ+) temos que ~PV (Γ+) e
um PV (Γ)−modulo. Agora, fixando δ ∈ Γ−, se f, g ∈ PV (Γ+) e p ∈ PV (Γ) temos
para todo x ∈ V
R(f + g)(x) =1
2((f + g)(x) + (f + g)(δx))
=1
2(f(x) + g(x) + f(δx) + g(δx))
=1
2(f(x) + f(δx)) +
1
2(g(x) + g(δx)) = R(f)(x) +R(g)(x)
e
R(pf)(x) =1
2(pf(x) + pf(δx))
=1
2(p(x)f(x) + p(δx)f(δx))
=1
2(p(x)f(x) + p(x)f(δx))
=1
2p(x)(f(x) + f(δx)) = (pR(f))(x).
42
Da mesma forma, mostramos que R(fp) = (R(f)p). Portanto, R e um homomor-
fismo de PV (Γ)−modulos. Para os outros operadores a demonstracao e analoga.
Alem disso,
(R + S)(f)(x) = R(f)(x) + S(f)(x) =1
2(f(x) + f(δx)) +
1
2(f(x)− f(δx)) = f(x),
para todo f ∈ PV (Γ+) e para todo x ∈ V. Logo, R+S = IdPV (Γ+). Da mesma forma,
usando a definicao de ~R e ~S temos que ~R + ~S = Id~PV (Γ+).
(ii) Vamos mostrar que ker ~R = ~QV (Γ) e que Im~R = ~PV (Γ) e as demais igualdades
seguem de modo analogo. Seja f ∈ ker ~R e fixe δ ∈ Γ−. Entao, f ∈ ~PV (Γ+) e, para
todo x ∈ V, ~R(f)(x) = 0. Por definicao,1
2(f(x) + δ−1f(δx)) = 0, o que implica em
f(x) = −δ−1f(δx), para todo x ∈ V. Portanto, f(δx) = −δf(x) e pelo Lema 3.1.6,
f ∈ ~QV (Γ). Por outro lado, se f ∈ ~QV (Γ), entao f(δx) = σ(δ)δf(x) = −δf(x), para
todo x ∈ V. Logo, δ−1f(δx) = −f(x) e, consequentemente, R(f) ≡ 0. Portanto,
ker ~R = ~QV (Γ).
Seja agora f ∈ ~PV (Γ+). Por definicao ~R(f) ∈ ~PV (Γ+). Vamos usar novamente o
Lema 3.1.6 para mostrar que ~R(f) ∈ ~PV (Γ). Temos:
~R(f)(δx) =1
2(f(δx) + δ−1f(δδx))
=1
2(f(δx) + δ−1δ2f(x))
=1
2(f(δx) + δf(x))
=1
2δ(δ−1f(δx) + f(x)) = δ ~R(f)(x),
a segunda igualdade seguindo pois δ2 ∈ Γ+. Assim, Im~R ⊆ ~PV (Γ). Por outro lado,
se f ∈ ~PV (Γ), entao f(δx) = δf(x) e daı
f(x) =1
2(f(x) + f(x)) =
1
2(f(x) + δ−1f(δx)) = ~R(f)(x) (3.6)
para todo x ∈ V. Portanto, segue a igualdade Im~R = ~PV (Γ). Resta mostrar a
idempotencia de ~R. De fato, de (3.6) segue que ~R|~PV (Γ) = Id~PV (Γ). Como ~R(f) ∈~PV (Γ), para todo f ∈ ~PV (Γ+), temos que ~R ~R(f) = ~R(~R(f)) = ~R(f), de onde
~R2 = ~R.
43
(iii) Mostremos somente a igualdade ~PV (Γ+) = ker ~R ⊕ Im~R. Ja temos que Im~R ⊆~PV (Γ+), bem como ker ~R ⊆ ~PV (Γ+) implicando que ker ~R + Im~R ⊆ ~PV (Γ+). Seja
f ∈ ~PV (Γ+). Podemos escrever f = (f − ~R(f)) + ~R(f). Como ~R e idempotente
e e um homomorfismo de modulos, temos ~R(f − ~R(f)) = ~R(f) − ~R2(f) ≡ 0,
ou seja, f − ~R(f) ∈ ker(~R). Entao, f = (f − ~R(f)) + ~R(f) ∈ ker ~R + Im~R e
a igualdade segue. Resta mostrar que a soma e direta. Se f ∈ ker ~R ∩ Im~R,
entao ~R(f) ≡ 0 e existe f ∈ ~PV (Γ+) tal que ~R(f) = f. Como ~R e idempotente,
f = ~R(f) = ~R(~R(f)) = ~R(f) ≡ 0, fazendo-nos concluir o resultado.
Do item (iii) da proposicao anterior estao consequencias imediatas e valiosas, tanto
para o desenvolvimento da teoria quanto para as aplicacoes do ultimo capıtulo. Por isso,
daremos destaque a elas, enunciando-as em forma de corolario.
Corolario 3.2.3. Sejam Γ agindo linearmente em V e Γ+ o grupo das simetrias de Γ.
Entao, as seguintes decomposicoes em soma direta de modulos sobre o anel PV (Γ) valem:
PV (Γ+) = PV (Γ)⊕QV (Γ) e (3.7)
~PV (Γ+) = ~PV (Γ)⊕ ~QV (Γ). (3.8)
3.2.2 Calculo dos Geradores Reversıveis Equivariantes
A sequencia de resultados dessa subsecao culminara em um algoritmo para a deter-
minacao dos geradores do modulo ~QV (Γ) sobre o anel de invariantes PV (Γ). Comecamos
com um teorema que nos mostra como encontrarmos os geradores dos anti-invariantes
como um modulo sobre PV (Γ). Para a demonstracao deste teorema usamos a notacao de
multi-ındice, ou seja, aα representa aα1α2···αs se α = (α1, α2, · · · , αs) e uma s−upla de
inteiros nao negativos.
Teorema 3.2.4. Seja Γ agindo linearmente em V e fixe σ : Γ→ Z2 um epimorfismo de
grupos com kerσ = Γ+. Considere o operador S definido em (3.5). Se u1, · · · , us e uma
base de Hilbert para PV (Γ+), entao o conjunto
S(u1), · · · , S(us) (3.9)
44
gera QV (Γ) como modulo sobre PV (Γ).
Demonstracao. Sejam f ∈ QV (Γ) e u1, · · · , us uma base de Hilbert para PV (Γ+). Fixe
δ ∈ Γ− qualquer. Como IPV (Γ+) = R+S, podemos escrever ui = R(ui) +S(ui), para todo
i = 1, · · · , s. Deste modo, o conjunto R(ui), S(ui); i = 1, · · · , s tambem forma uma
base de Hilbert para PV (Γ+). Pelo Lema 3.1.6, f ∈ PV (Γ+) e o escrevemos como
f(x) =∑α
aα[R(u1)(x)]α1 · · · [R(us)(x)]αs [S(u1)(x)]β1 · · · [S(us)(x)]βs , (3.10)
onde α = (α1, · · · , αs, β1, · · · , βs) ∈ N2s e aα ∈ R. Sabemos pela Proposicao 3.2.2 que
R(ui) ∈ PV (Γ) e S(ui) ∈ QV (Γ). Entao,
f(δx) =∑α
aα[R(u1)(δx)]α1 · · · [R(us)(δx)]αs [S(u1)(δx)]β1 · · · [S(us)(δx)]βs
=∑α
(−1)β1+···+βsaα[R(u1)(x)]α1 · · · [R(us)(x)]αs [S(u1)(x)]β1 · · · [S(us)(x)]βs .
Como f ∈ QV (Γ) temos que f(δx) = −f(x), para todo x ∈ V, ou seja,
0 = f(δx) + f(x)
=∑α
((−1)β1+···+βs + 1)aα[R(u1)(x)]α1 · · · [R(us)(x)]αs [S(u1)(x)]β1 · · · [S(us)(x)]βs ,
de onde aα = 0 ou β1 + · · ·+ βs e um numero ımpar. Neste caso, β1 + · · ·+ βj−1 + (βj −
1) + βj+1 + · · ·+ βs e par e temos a parcela kα(x)S(uj)(x) onde
kα(x) = aα[R(u1)(x)]α1 · · · [R(us)(x)]αs [S(u1)(x)]β1 · · · [S(uj)(x)]βj−1 · · · [S(us)(x)]βs ,
para algum j = 1, · · · , s. Tal produto e Γ-invariante, uma vez que temos um produto par
de funcoes Γ−anti-invariantes2. Logo, kα ∈ PV (Γ). Escrevemos Lj para a soma de todas
as funcoes kα que acompanham S(uj). Assim, para todo x ∈ V,
f(x) =s∑j=1
Lj(x)S(uj)(x) =
(s∑j=1
LjS(uj)
)(x),
com Lj ∈ PV (Γ) e, portanto, segue o resultado.
2Basta observar que se fi ∈ QV (Γ), com 1 ≤ i ≤ n, e f(x) = f1(x) · · · fn(x), com n par, entao
f(δx) = (−1)nf1(x) · · · fn(x) = f(x). Logo, f e Γ−invariante.
45
Corolario 3.2.5. Nas condicoes do teorema anterior, o conjunto 1, S(u1), · · · , S(us)
gera PV (Γ+) como um modulo sobre PV (Γ).
Demonstracao. O resultado segue usando a decomposicao dada em (3.7). De fato, se
f ∈ PV (Γ+), entao
f = f0 +s∑j=1
fjS(uj),
com fi ∈ PV (Γ), para todo i = 0, · · · , s e S(uj) geradores de QV (Γ). Portanto, PV (Γ+) =
PV (Γ)1, S(u1), · · · , S(us).
Lema 3.2.6. Seja S(u0) ≡ 1, S(u1), · · · , S(us) um conjunto de geradores para PV (Γ+)
como no corolario anterior. Seja H0, · · · , Hr um conjunto de geradores para o modulo
~PV (Γ+) sobre o anel PV (Γ+). Entao,
Hij = S(ui)Hj; i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r
e um conjunto de geradores para o modulo ~PV (Γ+) sobre o anel PV (Γ).
Demonstracao. Seja G ∈ ~PV (Γ+). Entao existem pj ∈ PV (Γ+), j = 0, · · · , r tais que
G =r∑j=0
pjHj. Como S(u0) ≡ 1, S(u1), · · · , S(us) gera PV (Γ+) sobre PV (Γ), entao para
cada j = 0, · · · , r existem pij ∈ PV (Γ) com i = 0, · · · , s tais que pj =s∑i=0
pijS(ui).
Substituindo devidamente temos
G =r∑j=0
pjHj =r∑j=0
(s∑i=0
pijS(ui)
)Hj =
s,r∑i,j=0
pijS(ui)Hj,
com pij ∈ PV (Γ) e S(ui)Hj ∈ ~PV (Γ+), conforme o Lema 3.1.7, para todo i = 0, · · · , s e
j = 0, · · · , r.
Segue, portanto, o principal resultado desta secao:
Teorema 3.2.7. Seja Hij; i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r um conjunto de geradores para
~PV (Γ+) sobre PV (Γ) obtido como no lema anterior. Considere o σ−operador de Reynolds
~S definido em (3.5). Entao
~S(Hij); i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r
e um conjunto de geradores para ~Q(Γ) sobre PV (Γ).
46
Demonstracao. Seja G ∈ ~QV (Γ). Sabemos, pela Proposicao 3.2.2, que ~QV (Γ) = Im~S.
Logo, existe G ∈ ~PV (Γ+) tal que G = ~S(G). Por hipotese, G =
s,r∑i,j=0
pijHij com pij ∈
PV (Γ). Como ~S e um homomorfismo de PV (Γ)−modulos, temos
G = ~S(
s,r∑i,j=0
pijHij) =
s,r∑i,j=0
pij ~S(Hij),
com pij ∈ PV (Γ) e ~S(Hij) ∈ ~QV (Γ), o que prova o resultado.
Vamos organizar todos os resultados desta subsecao na forma de um algoritmo, que
sera utilizado no Capıtulo 4 na determinacao das formas normais de campos de vetores
Hamiltonianos reversıveis equivariantes.
Algoritmo 3.2.8. (Geradores Reversıveis equivariantes)
1. Considere Γ um grupo de Lie compacto. Fixe um epimorfismo σ : Γ → Z2, com
kerσ = Γ+, e fixe uma antissimetria δ ∈ Γ−;
2. Considere uma base de Hilbert u1, · · · , us para PV (Γ+) e H0, · · · , Hr um con-
junto de geradores para ~PV (Γ+) sobre PV (Γ+);
3. Defina S(u0) ≡ 1 e faca S(ui) para i = 1, · · · , s;
4. Construa Hij = S(ui)Hj para i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r;
5. Para i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r, calcule ~S(Hij).
Resultado: Conjunto de geradores ~S(Hij); i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , s para ~QV (Γ)
como modulo sobre PV (Γ).
Ainda com o proposito de determinarmos formas normais, e necessario a obtencao de
uma base de Hilbert para PV (Γ). O proximo teorema, cuja demonstracao e encontrada
em [4], nos mostra que podemos fazer isto a partir de uma base de Hilbert para PV (Γ+).
Teorema 3.2.9. Sejam Γ agindo linearmente em V e σ : Γ → Z2 um epimorfismo com
kerσ = Γ+. Considere os operadores R e S definidos em (3.4) e (3.5), respectivamente.
Se u1, · · · , us e uma base de Hilbert para o anel PV (Γ+), entao o conjunto
R(ui), S(ui)S(uj); i, j = 1, · · · , s
47
e uma base de Hilbert para o anel PV (Γ).
Demonstracao. Vamos seguir a mesma ideia da demonstracao do Teorema 3.2.4. Comecamos
fixando δ ∈ Γ− e seja f ∈ PV (Γ). Sabemos que R(u1), · · · , R(us), S(u1), · · · , S(us) e
tambem uma base de Hilbert para PV (Γ+). Como f ∈ PV (Γ), em particular f ∈ PV (Γ+)
e podemos escreve-la como em (3.10). Ja que R(ui) ∈ PV (Γ) e S(ui) ∈ QV (Γ) para todo
i = 1, · · · , s, entao
f(δx) =∑α
(−1)β1+···+βsaα[R(u1)(x)]α1 · · · [R(us)(x)]αs [S(u1)(x)]β1 · · · [S(us)(x)]βs .
Como f ∈ PV (Γ) temos que f(δx) = f(x), de onde aα = 0 ou β1 + · · ·+ βs e um numero
par. Como produto par de funcoes Γ-anti-invariantes e Γ-invariante, temos que
kα(x) = aα[S(u1)(x)]β1 · · · [S(us)(x)]βs
e uma funcao Γ-invariante. Assim, de (3.10) os geradores de PV (Γ), como anel, sao dados
por
R(u1)(x), · · · , R(us), S(u1)β1 · · ·S(us)βs ,
onde β1 + · · ·+ βs e par. Portanto, o conjunto R(ui), S(ui)S(uj); i, j = 1, · · · , s e uma
base de Hilbert para PV (Γ).
Similar ao resultado anterior, o proximo teorema nos mostra uma forma de encontrar
os geradores de ~PV (Γ) como um modulo sobre PV (Γ) a partir de um conjunto de geradores
para o modulo ~PV (Γ+) sobre PV (Γ). Este processo sera usado no caso especıfico das formas
normais de campos hamiltonianos Zφ2 × Zψ2−reversıveis-equivariantes do Capıtulo 4. Sua
demonstracao e identica a demonstracao do Teorema 3.2.7 trocando ~S por ~R e por isso a
omitimos aqui.
Teorema 3.2.10. Seja Hij; 0 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ r um conjunto gerador de ~PV (Γ+)
sobre PV (Γ) obtido como no Lema 3.2.6. Considere o operador ~R definido em (3.4).
Entao
~R(Hij); 0 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ r
e um conjunto gerador para o modulo ~PV (Γ) sobre PV (Γ).
48
3.3 Teoria Invariante para o Produto Semidireto
Para calcularmos as formas normais pelo metodo descrito na Subsecao 3.5, precisare-
mos construir o produto semidireto de dois grupos. Essa construcao generaliza o produto
direto e depende da existencia de um homomorfismo de grupos. Essa secao destina-se a
descrever algumas ferramentas da teoria invariante para os produtos direto e semidireto.
Para o que segue, denotamos por Aut(Γ) o grupo dos automorfismos de Γ com a operacao
de composicao.
Definicao 3.3.1. Dados dois grupos Γ1 e Γ2, o produto semidireto de Γ1 e Γ2, denotado
por Γ o Γ2, e o produto direto Γ1 × Γ2 como conjunto munido de uma operacao induzida
por um homomorfismo µ : Γ2 → Aut(Γ1), onde
(γ1, γ2) ·µ (τ1, τ2) = (γ1µ(γ2)(τ1), γ2τ2).
O produto semidireto tem estrutura de grupo e, da forma como foi definido, segue que
Γ1 × 0 / Γ1 o Γ2. Note tambem que se µ e o homomorfismo trivial, que leva γ2 ∈ Γ2 no
automorfismo identidade de Γ1, entao Γ1 o Γ2 = Γ1 × Γ2.
Dadas (ρ, V ) e (η, V ) representacoes de Γ1 e Γ2 em V, respectivamente, gostarıamos
de definir uma representacao do produto semidireto Γ1 o Γ2 em V. Para isso, considere
as acoes (γ1, x) 7→ γ1x e (γ2, x) 7→ γ2x de Γ1 e Γ2, respectivamente, e defina a operacao
(Γ1 o Γ2)× V → V por
(γ1, γ2)x = γ1(γ2x). (3.11)
Note que (3.11) pode ser reescrita como (γ1, γ2)x = ργ1(ηγ2(x)), para todo γ1 ∈ Γ1,
γ2 ∈ Γ2, x ∈ V. Entao, temos:
Proposicao 3.3.2. A operacao definida em (3.11) define uma acao de Γ1 oΓ2 em V se,
e somente se, ρµ(γ2)(γ1) = ηγ2 ργ1 η−1γ2. Em particular, quando Γ1 o Γ2 = Γ1 × Γ2 como
grupo, a operacao em questao define uma acao se, e somente se, as acoes de Γ1 e de Γ2
comutam.
Demonstracao. Veja primeiramente que a aplicacao definida em (3.11) e contınua pois e
a composta das acoes de Γ1 e Γ2 em V, que sao contınuas. Alem disso, ela define uma
49
acao se, e somente se, para cada (γ1, γ2) ∈ Γ1 o Γ2, a aplicacao %(γ1,γ2) : V → V definida
por %(γ1,γ2)(x) = γ1(γ2x) e linear e
(γ1, γ2)((τ1, τ2)x) = ((γ1, γ2) ·µ (τ1, τ2))x, (3.12)
para todo (γ1, γ2), (τ1, τ2) ∈ Γ1 o Γ2 e x ∈ V. A primeira condicao sempre ocorre pois
%(γ1,γ2) = ργ1 ηγ2 , sendo ργ1 e ηγ2 lineares. Assim, a aplicacao (3.11) define uma acao se,
e somente se, vale (3.12). Por um lado,
(γ1, γ2)((τ1, τ2)x) = ργ1(ηγ2(ρτ1(ητ2(x)))) = ργ1 ηγ2 ρτ1 ητ2(x)
e por outro lado
((γ1, γ2) ·µ (τ1, τ2))x = (γ1µ(γ2)(τ1), γ2τ2)x = ργ1µ(γ2)(τ1) ηγ2τ2(x)
= ργ1 ρµ(γ2)(τ1) ηγ2 ητ2(x),
para todo x ∈ V. Portanto, (3.12) vale se, e somente se,
ργ1 ηγ2 ρτ1 ητ2 = ργ1 ρµ(γ2)(τ1) ηγ2 ητ2 ,
ou seja, ρµ(γ2)(τ1) = ηγ2 ρτ1 η−1γ2
para todo τ1 ∈ Γ1 e γ2 ∈ Γ2.
Portanto, neste trabalho, sempre que Γ1 e Γ2 admitirem um produto semidireto Γ1oΓ2
com uma representacao %(γ1,γ2) = ργ1 ηγ2 , vamos assumir as condicoes da proposicao
anterior.
O proximo resultado relaciona, de certo modo, a teoria invariante para Γ1 o Γ2 com a
teoria invariante de Γ1 e Γ2. Tal resultado e de fundamental importancia na deducao das
formas normais no Capıtulo 4, quando Γ1 for um grupo de Lie compacto cujos elementos
agem como simetrias. Sendo assim, suponha que exista um epimorfismo σ2 : Γ2 → Z2 e
defina
σ : Γ1 o Γ2 → Z2
(γ1, γ2) 7−→ σ2(γ2).(3.13)
Esta construcao e um modo de ver Γ1 como um grupo que contem somente simetrias, ou
seja, dotado do homomorfismo trivial σ1 : Γ1 → Z2. Temos, entao o seguinte resultado:
50
Proposicao 3.3.3. Sejam Γ1 e Γ2 grupos de Lie compactos agindo linearmente em V e
considere o epimorfismo σ definido em (3.13). Entao
(i) PV (Γ1 o Γ2) = PV (Γ1) ∩ PV (Γ2);
(ii) ~PV (Γ1 o Γ2) = ~PV (Γ1) ∩ ~PV (Γ2);
(iii) QV (Γ1 o Γ2) = PV (Γ1) ∩QV (Γ2);
(iv) ~QV (Γ1 o Γ2) = ~PV (Γ1) ∩ ~QV (Γ2).
Demonstracao. Mostremos apenas o item (iv), os demais itens seguem de forma analoga.
Sejam g ∈ ~QV (Γ1 o Γ2), (γ1, γ2) ∈ Γ1 o Γ2 e x ∈ V quaisquer. Entao
g(γ1(γ2x)) = g((γ1, γ2)x) = σ(γ1, γ2)γ1γ2g(x).
Sejam e1, e2 os elementos neutros de Γ1 e Γ2, respectivamente. Entao
g(γ2x) = g(e1(γ2x)) = σ(e1, γ2)e1γ2g(x) = σ2(γ2)γ2g(x),
para todo γ2 ∈ Γ2, x ∈ V, de onde g ∈ ~QV (Γ2). Ainda
g(γ1x) = g(γ1(e2x)) = σ(γ1, e2)γ1e2g(x) = σ2(e2)γ1g(x) = γ1g(x),
para todo γ1 ∈ Γ1, x ∈ V, uma vez que σ2(e2) = 1. Logo, g ∈ ~PV (Γ1) e, portanto,
g ∈ ~PV (Γ1) ∩ ~QV (Γ2).
Seja agora g ∈ ~PV (Γ1) ∩ ~QV (Γ2). Entao
g((γ1, γ2)x) = g(γ1(γ2x)) = γ1g(γ2x) = γ1σ2(γ2)γ2g(x) = σ(γ1, γ2)γ1γ2g(x),
para todo (γ1, γ2) ∈ Γ1 o Γ2, x ∈ V , onde a segunda igualdade segue pois g ∈ ~PV (Γ1) e a
terceira segue pois g ∈ ~QV (Γ2). Portanto, g ∈ ~QV (Γ1 o Γ2).
As igualdades da Proposicao 3.3.3 valem, obviamente, para o produto direto Γ1 × Γ2
quando Γ1 e Γ2 agem em um mesmo espaco V . Agora, se Γ1 e Γ2 sao grupos agindo em
V e W respectivamente, podemos definir as acoes induzidas de Γ1 e Γ2 em V ×W como
51
γ1(x, y) = (γ1x, y) e γ2(x, y) = (x, γ2y), para todo γ1 ∈ Γ1, γ2 ∈ Γ2, (x, y) ∈ V ×W. Entao
a acao diagonal do grupo Γ1 × Γ2 em V ×W e definida por
(γ1, γ2)(x, y) = (γ1x, γ2y).
Neste caso, se ρ e a representacao de Γ1 em V e η e a representacao de Γ2 em W, entao a
representacao diagonal de (γ1, γ2) ∈ Γ1 × Γ2 em V ×W corresponde a matriz [ργ1 ] 0
0 [ηγ2 ]
∈ GL(V ×W ),
onde [ργ1 ] e [ηγ2 ] denotam as matrizes das respectivas representacoes.
Finalizamos esta secao com dois resultados da teoria invariante para a acao diagonal
de Γ1 × Γ2 em V ×W.
Lema 3.3.4. Sejam Γ1, Γ2 grupos de Lie compactos agindo linearmente em V e W, res-
pectivamente. Sejam u1, · · · , ur e v1, · · · , vs bases de Hilbert para PV (Γ1) e PW (Γ2),
respectivamente. Definimos Uc : V ×W → R e Vd : V ×W → R como Uc(x, y) = uc(x) e
Vd(x, y) = vd(y) para c = 1, · · · , r e d = 1, · · · , s. Entao U1, · · · , Ur, V1, · · · , Vs e uma
base de Hilbert para PV×W (Γ1 × Γ2).
Demonstracao. Seja H ∈ PV×W (Γ1 × Γ2) e escreva H(x, y) =∑α,β
aαβxαyβ, com aαβ ∈ R,
α, β ∈ N. Pela proposicao anterior, H ∈ PV×W (Γ1) ∩ PV×W (Γ2) o que implica em
H(γ1x, y) = H(x, y) e H(x, γ2y) = H(x, y),
para todo γ1 ∈ Γ1, γ2 ∈ Γ2, (x, y) ∈ V ×W. Entao∑α,β
aαβ(γ1x)αyβ =∑α,β
aαβxαyβ =
∑α,β
aαβxα(γ2y)β,
ou seja,∑α,β
aαβ((γ1x)α − xα)yβ = 0 =∑α,β
aαβxα((γ2y)β − yβ).
Como x ∈ V e y ∈ W sao arbitrarios, segue que (γ1x)α = xα e (γ2y)β = yβ uma vez
que aαβ 6= 0. Defina pα(x) = xα e qβ(y) = yβ. Das duas ultimas igualdades temos que
pα ∈ PV (Γ1) e qβ ∈ PW (Γ2) se aαβ 6= 0. Assim, existem p′α : Rr → R e q′β : Rs → R
52
tais que pα(x) = p′α(u1(x), · · · , ur(x)) e qβ(y) = q′β(v1(y), · · · , vs(y)), para todo x ∈ V e
y ∈ W. Portanto, existe h : Rr+s → R tal que
H(x, y) =∑α,β
aαβpα(x)qβ(y)
=∑α,β
aαβp′α(u1(x), · · · , ur(x))q′β(v1(y), · · · , vs(y))
= h(u1(x), · · · , ur(x), v1(y), · · · , vs(y))
= h(U1(x, y), · · · , Ur(x, y), V1(x, y), · · · , Vs(x, y)).
Como H ∈ PV×W (Γ1 × Γ2) e arbitrario, segue o resultado.
Lema 3.3.5. Nas condicoes do lema anterior, sejam ~PV (Γ1) e ~PW (Γ2) modulos dos
Γ1−equivariantes e Γ2−equivariantes sobre PV (Γ1) e PW (Γ2), respectivamente. Suponha-
mos que ambos os modulos sejam livres e que ~PV (Γ1) = PV (Γ1)f1, · · · , fm e ~PW (Γ2) =
PW (Γ2)g1, · · · , gn. Definimos Fi : V ×W → V e Gj : V ×W → W por Fi(x, y) = fi(x)
e Gj(x, y) = gj(y) para i = 1, · · · ,m e j = 1, · · · , n. Entao,
~PV×W (Γ1 × Γ2) = PV×W (Γ1 × Γ2)
F1
0
, · · · ,
Fm
0
,
0
G1
, · · · ,
0
Gn
.
Demonstracao. Seja H ∈ ~PV×W (Γ1 × Γ2) e escreva H ≡ (p, q) com p : V ×W → V e
q : V ×W → W. Como a acao de Γ1 × Γ2 e diagonal temos
H(γ1x, γ2y) = H((γ1, γ2)(x, y)) = (γ1, γ2)H(x, y) = (γ1p(x, y), γ2q(x, y)),
para todo (γ1, γ2) ∈ Γ1 × Γ2 e (x, y) ∈ V ×W, de onde
p(γ1x, γ2y) = γ1p(x, y) e q(γ1x, γ2y) = γ2q(x, y). (3.14)
Defina, para cada y ∈ W,
py : V → V
x 7−→ p(x, y).
Por (3.14), py(γ1x) = p(γ1x, y) = γ1p(x, y) = γ1py(x), ou seja, py ∈ ~PV (Γ1). Por hipotese,
para cada y ∈ W, existem hyi ∈ PV (Γ1), i = 1, · · · ,m, tais que
py(x) =m∑i=1
hyi (x)fi(x). (3.15)
53
Defina agora
hi : V ×W → R
(x, y) 7−→ hyi (x).
Entao, de (3.15) e pela definicao de Fi obtemos
p(x, y) =m∑i=1
hi(x, y)Fi(x, y),
para todo (x, y) ∈ V ×W. Como hyi ∈ PV (Γ1) temos que hi ∈ PV×W (Γ1). Mostremos que
hi ∈ PV×W (Γ2). De (3.14), tomando γ1 = e1 o elemento neutro de Γ1, podemos concluir
que p(x, γ2y) = p(x, y), para todo γ2 ∈ Γ2, (x, y) ∈ V × W. Alem disso, Fi(x, γ2y) =
fi(x) = Fi(x, y). Entao,
m∑i=1
hi(x, y)Fi(x, y) = p(x, y) = p(x, γ2y) =m∑i=1
hi(x, γ2y)Fi(x, γ2y) =m∑i=1
hi(x, γ2y)Fi(x, y),
ou seja,
m∑i=1
(hyi (x)− hγ2yi (x))fi(x) =m∑i=1
(hi(x, y)− hi(x, γ2y))Fi(x, y) = 0,
para todo γ2 ∈ Γ2, (x, y) ∈ V ×W. Uma vez que f1, · · · , fm gera livremente o modulo
~PV (Γ1) sobre PV (Γ1) e hyi − hγ2yi ∈ PV (Γ1), segue que hyi (x) = hγ2yi (x) para todo i =
1, · · · ,m, x ∈ V, y ∈ W e γ2 ∈ Γ2. Reescrevendo esta igualdade, temos hi(x, γ2y) =
hi(x, y), provando que hi ∈ PV×W (Γ2). Pela proposicao anterior, hi ∈ PV×W (Γ1×Γ2). Por
meio de uma construcao analoga, tambem podemos mostrar que
q(x, y) =n∑j=1
h′j(x, y)Gj(x, y),
onde h′j ∈ PV×W (Γ1 × Γ2) para todo j = 1, · · · , n. Portanto,
H(x, y) = (p(x, y), q(x, y)) =m∑i=1
hi(x, y)(Fi(x, y), 0) +n∑j=1
h′j(x, y)(0, Gj(x, y)),
com hi, h′j ∈ PV×W (Γ1 × Γ2), como querıamos.
Exemplo 3.3.6. Considere Γ = S1 agindo em V = C como θz = eiθz. Pelo Exemplo
2.2.4 temos que u(z) = zz e uma base de Hilbert para PC(S1). Pelos Exemplos 2.3.5
54
e 2.3.9 temos que ~PC(S1) = PC(S1)z, iz, sendo ~PC(S1) um modulo livre sobre PC(S1).
Considere o toro T n = S1 × · · · × S1 agindo em Cn por
(θ1, · · · , θn)(z1, · · · , zn) = (eiθ1z1, · · · , eiθnzn).
Claramente, tal acao e diagonal e, pelo Lema 3.3.4, uma base de Hilbert para PCn(T n) e
z1z1, · · · , znzn. Ainda, pelo Lema 3.3.5
~PCn(T n) = PCn(T n)(z1, 0 · · · , 0), (iz1, 0 · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, zn), (0, · · · , 0, izn).
Alem disso, ~PCn(T n) e um modulo livremente gerado sobre PCn(T n). De fato, suponha
que
(f1(z)z1 + g1(z)iz1, · · · , fn(z)zn + gn(z)izn) ≡ 0,
onde z = (z1, z2, · · · , zn) e fj, gj ∈ PCn(T n), para todo j = 1, · · · , n. Entao fj(z)zj +
gj(z)izj ≡ 0 para todo j = 1, · · · , n. Logo, fj(z) + igj(z) = 0 e, como fj, gj sao funcoes
com imagem real, segue que fj ≡ gj ≡ 0 para todo j = 1, · · · , n, provando o desejado.
3.4 Teoria de Formas Normais
A teoria de formas normais tem sido usada como uma ferramenta para o estudo local
e qualitativo de campos de vetores. Segundo Belitskii [5, 6], o conceito e os primeiros
resultados da teoria iniciaram-se com Poincare em 1928, com o objetivo de encontrar
coordenadas locais de modo que o sistema dinamico em questao tenha uma forma mais
conveniente ou mais “simples”, perto de um ponto de equilıbrio. Essa simplificacao e
obtida atraves de mudancas de coordenadas em cada grau da expansao em serie de Tay-
lor do campo de vetores, de modo que essas mudancas preservem propriedades a serem
investigadas. O metodo desenvolvido por Belitskii [5, 6] reduz este processo ao calculo do
kernel do chamado operador homologico.
Na proxima subsecao, apresentamos a forma normal de Belitskii seguindo [12] como
principal referencia, cuja abordagem pode ser aplicada a qualquer sistema dinamico, in-
cluindo os reversıveis equivariantes e os Hamiltonianos. Na Subsecao 3.4.2, apresentamos
55
o metodo de Elphick et al. desenvolvido em [13] e que nos fornece um metodo alternativo
ao de Belitskii baseado na matriz da parte linear do sistema.
Para o que segue, V e um espaco vetorial real de dimensao n ≥ 1 e ~P kV denota o espaco
vetorial real das aplicacoes polinomiais homogeneas de V em V e de grau k. Um monomio
em ~P kV e uma expressao da forma xαej, onde α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, xα = xα1
1 xα22 · · ·xαn
n
e ej e o j−esimo elemento da base canonica de V ≡ Rn. E possıvel mostrar que ~P kV tem
dimensao finita igual a n
(n+ k − 1
k
)(veja [12]).
3.4.1 Forma Normal de Belitskii
Considere o sistema de equacoes diferenciais dado por
x = h(x), (3.16)
onde x ∈ V e h : V → V e um campo de vetores de classe C∞ tal que h(0) = 0.
Dizemos que dois campos vetoriais h, f : V → V sao conjugados se existe um difeo-
morfismo φ : V → V tal que f(x) = dφ(x)−1h(φ(x)), para todo x ∈ V. Nosso primeiro
objetivo e encontrar um campo conjugado a h em (3.16) que seja mais “simples” (termo
que parece ser consenso entre os autores, apesar de “simples” ser bastante abstrato) e que
mantenha a parte linear de (3.16) e a dinamica do fluxo numa vizinhanca da origem.
Seja L = dh(0) a linearizacao de h na origem3. Podemos expandir h em sua serie de
Taylor formal4 em torno da origem como
L+ h2 + h3 + · · · ,
com hk ∈ ~P kV para cada k ≥ 2. Em outras palavras, em uma vizinhanca Ω suficientemente
pequena da origem, o sistema (3.16) pode ser reescrito como
x = L(x) +H(x) (3.17)
onde H(x) = h2(x) + h3(x) + · · · , para todo x ∈ Ω.
3Em toda a parte confundimos L = dh(0) com sua matriz na base canonica de V ≡ Rn.4Quando utilizamos o termo “serie formal” nos referimos apenas a expansao de Taylor, sem necessa-
riamente haver convergencia da serie. Alem disso, nessa expansao surge um problema tecnico quando h
e suas derivadas de todas as ordens se anulam na origem. Por isso, desconsideramos esse caso.
56
Para cada k ≥ 2, considere uma sequencia indutiva de mudancas de coordenadas da
forma
x = ξ(y) = y + ξk(y), (3.18)
onde ξk ∈ ~P kV , ξ
k(0) = 0 e y ∈ Ωk com Ωk uma vizinhanca da origem em V. Faremos
algumas observacoes sobre tais mudancas de coordenadas. Primeiramente, veja que para
cada y ∈ Ωk,
dξ(y) = Id+ dξk(y),
onde Id : V → V denota o operador identidade. Logo, dξ(y) e inversıvel com a inversa
dada por (dξ(y))−1 = Id+∞∑i=1
(−1)i(dξk(y))i. De fato,
dξ(y)(dξ(y))−1 = (Id+ dξk(y))(Id+∞∑i=1
(−1)i(dξk(y))i)
= Id+∞∑i=1
(−1)i(dξk(y))i) + dξk(y) +∞∑i=1
(−1)i(dξk(y))i+1
= Id− dξk(y) +∞∑i=2
(−1)i(dξk(y))i) + dξk(y) +∞∑i=1
(−1)i(dξk(y))i+1)
= Id.
Por fim, como ξ(y) = y+O(|y|2),5 e como y esta numa vizinhanca suficientemente pequena
da origem temos que dξ(0) = (dξ(0))−1 = Id. Voltando a (3.18) temos que x = dξ(y)y,
de onde segue que
y = f(y), (3.19)
com f(y) = (dξ(y))−1h(ξ(y)) = (dξ(y))−1(L(ξ(y)) +H(ξ(y))) e y ∈ Ω.
Mostremos que tais mudancas de coordenadas mantem a parte linear de (3.17). De-
notando por D(y) a derivada de dξ(y)−1 com respeito a y temos
df(y) = D(y)(L(ξ(y)) +H(ξ(y))) + (dξ(y))−1(Ldξ(y) + dH(ξ(y))dξ(y)).
5A expressao O(|y|s) sera usada para denotar os termos polinomiais de grau maior ou igual a s, com
s ≥ 2.
57
Aplicando em y = 0 obtemos a linearizacao de f na origem:
df(0) = D(0)(L(ξ(0)) +H(ξ(0))) + (dξ(0))−1(Ldξ(0) + dH(ξ(0))dξ(0))
= D(0)(L(0) +H(0)) + (dξ(0))−1Ldξ(0) + dξ(0)−1dH(0)dξ(0)
= dξ(0)−1Ldξ(0),
uma vez que ξ(0) = H(0) = 0 e dH(0) = 0. Como dξ(0) = dξ(0)−1 = Id, temos que
df(0) = L, ou seja, podemos, entao escrever o novo sistema (3.19) como
y = L(y) + g(y),
onde g ∈ ~PV tem termos de ordem k ≥ 2.
Antes de prosseguirmos, como ξ : V → V e continuamente diferenciavel e dξ(0) e
inversıvel, temos pelo Teorema da Funcao Inversa6 que ξ e um difeomorfismo em al-
guma vizinhanca Ω da origem. Alem disso, h e f sao campos conjugados na vizinhanca
Ω uma vez que a mudanca de coordenadas (3.18) transforma h no campo conjugado
f(y) = dξ(y)−1h(ξ(y)) do sistema (3.19), satisfazendo os propositos iniciais da teoria. E
possıvel provar que a relacao de conjugacao estabelecida entre os campos e uma relacao
de equivalencia.
Antes do principal teorema desta subsecao, Teorema 3.4.2, definimos o seguinte ope-
rador:
Definicao 3.4.1. Dado L : V → V um operador linear, definimos, para cada k ≥ 2, a
aplicacao AdkL : ~P kV → ~P k
V por
AdkLf(x) = df(x)L(x)− L(f(x)), (3.20)
com f ∈ ~P kV e x ∈ V.
E facil ver que AdkL e tambem um operador linear. Como AdkL(~P kV ) e um subespaco
vetorial de ~P kV , cuja dimensao e finita, existe um subespaco complementar Ck de AdkL(~P k
V )
6“Seja f : U → Rm de classe Ck (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm. Se a ∈ U e tal que df(a) e inversıvel, entao
existem abertos W ⊂ U e Z ⊂ Rm contendo a e f(a), respectivamente, tal que a f |W e um difeomorfismo
sobre Z”.
58
em ~P kV . Podemos entao escrever
~P kV = AdkL(~P k
V )⊕ Ck. (3.21)
para cada k ≥ 2.
Teorema 3.4.2. Seja h : V → V um campo de vetores de classe C∞ com h(0) =
0 e dh(0) = L. Fixe um inteiro r ≥ 2 e considere a decomposicao (3.21) para k =
2, · · · , r. Entao existe uma sequencia de transformacoes polinomiais proximas a identidade
da forma x = y + ξk(y), y ∈ Ωk, onde ξk ∈ ~P kV e Ωk e uma vizinhanca da origem, com
Ωk+1 ⊂ Ωk, tal que nas novas coordenadas o sistema (3.16) tem a forma
y = L(y) + g2(y) + · · ·+ gr(y) +O(|y|r+1), y ∈ Ωr, (3.22)
onde gk ∈ Ck para k = 2, · · · , r.
Demonstracao. Seja h como nas hipoteses do teorema e considere
L(x) + h2(x) + h3(x) + · · ·+ hr(x) +O(|x|r+1)
a serie de Taylor formal de h na origem. Considere a mudanca de coordenadas dada em
(3.18). Entao, truncando a serie de h na ordem k, para k ≥ 2, e lembrando que dξk(y)
tem grau k − 1, reescrevemos (3.19) como
y = dξ(y)−1(L(ξ(y)) +H(ξ(y)))
= (Id− dξk(y) +O(|y|2k−2))(L(ξ(y)) + h2(ξ(y)) + · · ·+ hk(ξ(y))
= (L(y) + L(ξk(y)) + h2(y + ξk(y)) + · · ·+ hk(y + ξk(y)) +
− (dξk(y)L(y) + dξk(y)L(ξk(y)) + dξk(y)h2(ξ(y)) + · · ·+ dξk(y)hk(ξ(y))) +O(|y|2k−2)
= L(y) + h2(y) + · · ·+ hk−1(y) + [hk(y)− (dξk(y)L(y)− L(ξk(y)))] +O(|y|k+1)
= L(y) + h2(y) + · · ·+ hk−1(y) + [hk(y)− AdkL(ξk(y))] +O(|y|k+1), (3.23)
para y ∈ Ωk onde Ωk e uma vizinhanca pequena o suficiente da origem tal que dξ(y) =
Id+ dξk(y) seja inversıvel.
Para k = 2, temos que (3.23) fica como
y = L(y) + (h2(y)− Ad2Lξ
2(y)) +O(|y|3), (3.24)
59
com y ∈ Ω2. Pela decomposicao (3.21), existem f 2 ∈ Ad2L( ~P 2
V ) e g2 ∈ C2 tais que
h2 = f 2 + g2. Sendo assim, escolhemos ξ2 ∈ ~P 2V de forma que f 2 = Ad2
Lξ2. Substituindo
em (3.24), temos
y = L(y) + g2(y) +O(|y|3),
onde y ∈ Ω2 e g2 ∈ C2.
Procedemos agora por inducao sobre k. Assumimos o teorema valido para k − 1 ≥ 1,
ou seja, existem sucessivas mudancas de coordenadas que transformam o sistema (3.16)
em
x = L(x) + g2(x) + g3(x) + · · ·+ gk−1(x) + hk(x) +O(|x|k+1),
onde x ∈ Ωk−1, gt ∈ Ct para t = 2, · · · , k − 1, hk ∈ ~P k
V e Ωk−1 e uma vizinhanca da
origem. Tome a mudanca de coordenadas x = y + ξk(y), com y ∈ Ωk, onde escolhemos
ξk ∈ ~P kV de modo que hk = AdkLξ
k + gk para algum gk ∈ Ck. Alem disso, Ωk ⊆ Ωk−1 e
uma vizinhanca da origem na qual Id+ dξk(y) e inversıvel. Entao, observando que (3.23)
nos mostra que as transformacoes da forma (3.18) nao alteram os termos de ordem menor
que k, temos o novo sistema
y = L(y) + g2(y) + g3(y) + · · ·+ gk−1(y) + (hk(y)− AdkLξk(y)) +O(|y|k+1)
= L(y) + g2(y) + g3(y) + · · ·+ gk−1(y) + (AdkLξk + gk(y)− AdkLξk(y)) +O(|y|k+1)
= L(y) + g2(y) + g3(y) + · · ·+ gk−1(y) + gk(y) +O(|y|k+1),
com y ∈ Ωk, concluindo a prova.
Definicao 3.4.3. Para cada k ≥ 2, a equacao truncada de (3.22)
y = L(y) + g2(y) + g3(y) + · · ·+ gr−1(y) + gr(y),
onde gk ∈ Ck, k = 2, · · · , r, e chamada uma forma normal de (3.16) de ordem r.
Observacao 3.4.4. Como a serie de Taylor para h em (3.16) e apenas formal, temos
que os campos (3.16) e (3.22) sao conjugados no sentido de que suas respectivas series de
Taylor sao conjugadas entre si.
60
Portanto, para determinar uma forma normal de um sistema, precisamos encontrar
os espacos complementares Ck’s em (3.21), k = 2, · · · , r. Claramente, a forma normal
nao e unica ja que depende da escolha dos Ck’s. O metodo do operador adjunto, mais
conhecido como metodo de Belitskii pois foi introduzido por ele, consiste em tomar Ck
como o complemento ortogonal de AdkL(~P kV ) segundo um produto interno definido em ~P k
V .
Vamos formalizar tal metodo a partir de agora.
Definicao 3.4.5. Sejam p, q ∈ ~P kV dados por
p(x) =n∑j=1
∑|α|=k
pαjxαej e q(x) =
n∑j=1
∑|α|=k
qαjxαej,
onde pαj, qαj ∈ R, ej e o j−esimo elemento da base canonica de V ≡ Rn e |α| = α1 +
· · ·+ αn. Definimos o produto interno 〈 , 〉 : ~P kV × ~P k
V → R por
〈p, q〉 =n∑j=1
∑|α|=k
pαjqαjα!, (3.25)
onde α! = α1! · · ·αn!.
Exemplo 3.4.6. Considere V = R2 e k = 3. Vamos calcular o produto interno das
aplicacoes
p(x1, x2) = (2x21x2 + x1x
22, x
31 + 3x3
2) e q(x1, x2) = (5x31, x
32).
Colocando nas notacoes da definicao do produto interno, temos
p(x) = (p(2,1),1x(2,1) + p(1,2),1x
(1,2), p(3,0),2x(3,0) + p(0,3),2x
(0,3))
q(x) = (q(3,0),1x(3,0), q(0,3),2x
(0,3)),
onde p(2,1),1 = 2, p(1,2),1 = 1, p(3,0),2 = 1, p(0,3),2 = 3, q(3,0),1 = 5 e q(0,3),2 = 1. Entao
〈p, q〉 = p(2,1),1q(2,1),12!1! + p(1,2),1q(1,2),11!2! + p(3,0),2q(3,0),23!0! +
+p(0,3),2q(0,3),20!3! + p(3,0),1q(3,0),13!0!.
Agora, q(2,1),1 e o coeficiente do termo x21x2e1 em q(x), ou seja, q(2,1),1 = 0. Da mesma
maneira, q(1,2),1 = p(3,0),2 = p(3,0),1 = 0. Portanto,
〈p, q〉 = p(0,3),2q(0,3),20!3! = 18.
61
As quatro propriedades de produto interno se verificam facilmente para (3.25). Vamos
omitir os passos aqui. Como ~P kV tem dimensao finita e admite um produto interno temos
entao garantida a existencia de um operador adjunto de AdkL com respeito a (3.25) que
denotamos por (AdkL)∗. Mais do que isso, atraves do teorema abaixo, sabemos caracterizar
(AdkL)∗.
Teorema 3.4.7. Sejam L : V → V um operador linear e AdkL definido em (3.20). Para
cada k ≥ 2, AdkL∗ e o operador adjunto de AdkL com respeito ao produto interno definido
em (3.25), onde L∗ e o adjunto de L com respeito ao produto interno canonico em V.
Demonstracao. Sejam p, q ∈ ~P kV dados por p(x) =
n∑i=1
∑|α|=k
pαixαei e q(x) =
n∑j=1
∑|β|=k
qβjxβej.
Queremos mostrar que⟨AdkLp, q
⟩=⟨p,AdkL∗q
⟩. De um lado, usando a linearidade de AdkL
e do produto interno temos
⟨AdkLp, q
⟩=
⟨AdkL(
n∑i=1
∑|α|=k
pαixαei),
n∑j=1
∑|β|=k
qβjxβej
⟩
=n∑j=1
∑|β|=k
qβj
⟨n∑i=1
∑|α|=k
pαiAdkL(xαei), x
βej
⟩
=n∑
i,j=1
∑|α|=|β|=k
pαiqβj⟨AdkL(xαei), x
βej⟩.
Do outro lado, usando a linearidade de AdkL∗ e do produto interno tambem temos
⟨p,AdkL∗q
⟩=
n∑i,j=1
∑|α|=|β|=k
pαiqβj⟨xαei, Ad
kL∗(x
βej)⟩.
Assim, para provar a igualdade desejada, basta provarmos que⟨AdkLf, g
⟩=⟨f, AdkL∗g
⟩,
onde f(x) = xαei e g(x) = xβej para todo i, j = 1, · · · , n e α, β tais que |α| = |β| = k.
Lembramos que vamos confundir os operadores L e df(x) com suas formas matriciais.
Escrevendo L = (alm) e levando em consideracao que
∂xα
∂xl=∂xα1
1 xα22 · · ·xαn
n
∂xl= αl
xα
xl
62
temos por (3.20) que
AdkLf(x) =
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0...
......
∂xα
∂x1
∂xα
∂x2
· · · ∂xα
∂xn......
. . ....
0 0 · · · 0
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
x1
x2...
xi...
xn
+
−
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
0
0...
xα...
0
=
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0...
......
n∑l=1
al1αlxα
xl
n∑l=1
al2αlxα
xl· · ·
n∑l=1
alnαlxα
xl...
.... . .
...
0 0 · · · 0
x1
x2...
xi...
xn
−
a1ixα
a2ixα
...
aiixα...
anixα
=
(n∑l=1
n∑m=1
αlalmxαxmxl
)ei − (a1ix
αe1 + · · ·+ anixαen)
=
(n∑l=1
n∑m=1
αlalmxαxmxl
)ei −
n∑l=1
alixαel
Como L∗ = Lt segundo uma base ortonormal V com relacao ao produto interno de V
onde t denota a transposta, obtemos analogamente que
AdkLtg(x) = dg(x)Ltx− Ltg(x)
=
(n∑l=1
n∑m=1
βmalmxβxlxm
)ej −
n∑m=1
ajmxβem.
63
Logo,
⟨AdkLf(x), g(x)
⟩=
⟨(n∑l=1
n∑m=1
αlalmxαxmxl
)ei −
n∑l=1
alixαel, x
βej
⟩
=n∑l=1
n∑m=1
αlalm
⟨xαxmxl
ei, xβej
⟩−
n∑l=1
ali⟨xαel, x
βej⟩
=n∑l=1
(αlal1
⟨xαx1
xlei, x
βej
⟩+ · · ·+ αlaln
⟨xαxnxl
ei, xβej
⟩)−(a1i
⟨xαe1, x
βej⟩
+ · · ·+ ani⟨xαen, x
βej⟩)
=
(n∑l=1
αlall − aii
)α!, se i = j e α = β;
αlalmβ!, se i = j, βl = αl − 1, βm = αm + 1, e βs = αs,
para algum l 6= m e todo s 6= l,m;
−ajiα!, se i 6= j e α = β;
0, nos demais casos,
e
⟨f(x), AdkLtg(x)
⟩=
(n∑l=1
βlall − aii
)β!, se i = j e α = β;
βlalmα!, se i = j, αl = βl + 1, αm = βm − 1, e βs = αs
para algum l 6= m e todo s 6= l,m;
−ajiβ!, se i 6= j e α = β;
0, nos demais casos.
Com relacao a segunda linha de cada expressao temos
αlalmβ! = αlalmβ1! · · · βm! · · · βn!
= αlalmα1! · · · (αl − 1)! · · · (αm + 1)! · · ·αn!
= (αm + 1)almα!
= βmalmα!.
Portanto, segue que (AdkL)∗ = AdkLt = AdkL∗ , como desejado.
Assim sendo, segundo o produto interno (3.25), podemos escrever
~P kV = AdkL(~P k
V )⊕ (AdkL(~P kV ))⊥,
64
onde
AdkL(~P kV )⊥ = g ∈ ~P k
V ;⟨g, AdkLf
⟩= 0, ∀ f ∈ ~P k
V .
Portanto, AdkL(~P kV )⊥ e uma possıvel escolha, proposta por Belitskii em [5, 6], para o sub-
espaco Ck em (3.21). Mas se g ∈ AdkL(~P kV )⊥, entao
⟨g, AdkLf
⟩=⟨AdkLtg, f
⟩= 0 para
todo f ∈ ~P kV , o que implica em AdkLtg = 0, ou seja, g ∈ ker(AdkLt). Reciprocamente, se
g ∈ ker(AdkLt), entao g ∈ (AdkL(~P kV ))⊥. Portanto,
AdkL(~P kV )⊥ = ker(AdkLt).
Segue pelo Teorema 3.4.2 que o sistema (3.16) e formalmente conjugado ao sistema
x = L(x) + g2(x) + g3(x) + · · · , onde gk ∈ ker(AdkLt) para k ≥ 2. Portanto, o metodo
da forma normal de Belitskii consiste em determinar solucoes polinomiais gk ∈ ~P kV para a
equacao AdkLtgk ≡ 0. Mostramos agora que, na pratica, este processo equivale a encontrar
os polinomios de um dado grau k sem termos constantes e lineares que estao em kerAdLt ,
onde AdLt e um operador linear definido em ~PV , o espaco vetorial das aplicacoes poli-
nomiais em V, tal que AdLt |~PkV
= AdkLt . Para isso, note primeiramente que ~P kV ⊂ ~PV e
que
~PV =∞⊕k=0
~P kV .
Definicao 3.4.8. Dado L um operador linear em V, definimos AdL : ~PV → ~PV , chamado
operador homologico, por
AdLξ(x) = dξ(x)L(x)− L(ξ(x)), (3.26)
para todo ξ ∈ ~PV .
Como AdL e linear e preserva a graduacao de ~PV , temos que AdkL = AdL|~PkV. Considere
um polinomio de grau r da forma g = g2 + g3 + · · · gr, onde gk ∈ ~P kV , k = 2, · · · , r. Entao
g ∈ ker(AdLt) se, e somente se gk ∈ ker(AdkLt). De fato, como
AdLtg = AdLt(g2 + · · ·+ gr) = AdLtg2 + · · ·+ AdLtgr = Ad2Ltg2 + · · ·+ AdrLtgr,
65
entao se gk ∈ kerAdkLt para k = 2, · · · , r temos AdLtg ≡ 0. Por outro lado, se Ad2Ltg2 +
· · ·+ AdrLtgr ≡ 0, entao AdkLtgk ≡ 0 para todo k = 2, · · · , r uma vez que AdLtgk ∈ ~P kV .
Assim, pelo metodo de Belitskii, uma forma normal de ordem r e obtida se determi-
narmos as solucoes polinomiais ξ de grau r, sem constantes e termos lineares, da equacao
diferencial parcial (EDP) AdLtξ ≡ 0. Mostraremos como isso e feito no proximo exemplo.
Exemplo 3.4.9. Considere o sistema x = h(x), com h : R2 → R2 de classe C∞ tal que
h(0) = 0 e L = dh(0) =
0 1
0 0
. Seja ξ(x) = (ξ1(x), ξ2(x)) ∈ R2, onde x = (x1, x2) ∈
R2 e ξi sao polinomios de grau r ≥ 2. Entao, por (3.26) temos
AdLtξ(x) =
∂ξ1
∂x1
(x)∂ξ1
∂x2
(x)
∂ξ2
∂x1
(x)∂ξ2
∂x2
(x)
0 0
1 0
x1
x2
− 0 0
1 0
ξ1(x)
ξ2(x)
=
x1∂ξ1
∂x2
(x)
x1∂ξ2
∂x2
(x)− ξ1(x)
.
Como queremos AdLtξ(x) = 0, para todo x ∈ R2, nosso problema resume-se a encontrar
uma solucao para o sistema de EDP’sx1∂ξ1
∂x2
(x) = 0
x1∂ξ2
∂x2
(x)− ξ1(x) = 0,
(3.27)
para todo x ∈ R2. Como a primeira equacao de (3.27) deve valer para todo x1 ∈ R, temos
necessariamente∂ξ1
∂x2
(x) = 0. Entao ξ1 e constante com relacao a x2 e podemos escrever
ξ1(x) = ϕ(x1) + a, para alguma constante a ∈ R e alguma funcao polinomial ϕ : R→ R.
Como queremos ξ1 sem termos lineares e constantes, podemos escrever ξ1(x) = x1f1(x1),
onde f1(x1) e um polinomio de grau r − 1 sem termos constantes. Pela segunda equacao
de (3.27), temos x1∂ξ2(x)
∂x2
− x1f1(x1) = 0, para todo x1 ∈ R, ou seja,∂ξ2(x)
∂x2
= f1(x1).
Logo, ξ2(x) = f1(x1)x2 + f2(x1), onde f2(x1) e um polinomio em x1 de grau r sem termos
constantes e lineares. Portanto, uma forma normal de grau r para o sistema x = h(x) e
x = L(x) + ξ(x) =
0 1
0 0
x1
x2
+
x1f1(x)
x2f1(x1) + f2(x1)
,
66
ou seja, x1 = x2 + x1f1(x1)
x2 = x2f1(x1) + f2(x1).
3.4.2 O Metodo de Elphick et al.
Em geral nao e facil determinar o kernel do operador AdtL uma vez que isso envolve
resolver uma EDP. Neste caso, a forma normal e truncada em uma baixa ordem pois
os calculos ficam mais complicados conforme a ordem aumenta. Uma alternativa a este
metodo foi dada por Elphick et al. em [13] ao mostrar que o subespaco complementar Ck
pode ser considerado como o modulo das aplicacoes polinomiais de V em V equivariantes
por um grupo de matrizes a um parametro, definido a partir da linearizacao L do campo
de vetores (Teorema 3.4.14). Isso e bastante confortavel para nos, pois podemos utilizar
as ferramentas da teoria invariante apresentada no Capıtulo 2 para encontrar as formas
normais.
Lembremos que se B e uma matriz quadrada, eB =∞∑i=0
Bi
i!. Lembremos tambem que
vamos confundir L = dh(0) com sua matriz de ordem n = dimV. Defina entao o grupo
abeliano
R = erLt
; r ∈ R ⊂ GL(n), (3.28)
com L = dh(0), onde h em (3.16) e um campo de vetores.
Como o fecho R ⊆ GL(n)7 e um subgrupo fechado, entao R e um grupo de Lie linear.
Sendo assim, temos:
Definicao 3.4.10. Definimos o grupo de Lie S como
S = R = erLt ; r ∈ R. (3.29)
Com calculos simples e possıvel mostrar que como R e abeliano, entao S tambem e,
pois se P,Q ∈ S\R entao existem sequencias nao constantes (Xn)n∈N, (Yn)n∈N ⊂ R tais
7Pela Proposicao 2.11 de [26] se G e um grupo topologico e H ≤ G e um subgrupo, entao o fecho H
tambem e um subgrupo de G.
67
que limXn = P e limYn = Q. Daı
PQ = (limXn)(limYn) = lim(XnYn) = lim(YnXn) = lim(Yn) lim(Xn) = QP.
Alem disso, S comuta com a matriz Lt. De fato, se s ∈ S, entao s = lim erjLt
, para
alguma sequencia (rj)j∈N de numeros reais. Daı, considerando sij =riji!, para todo i, j ∈ N,
temos
sLt = lim erjLt
Lt = lim(∞∑i=0
sij(Lt)i)Lt = lim(
∞∑i=0
sij(Lt)i+1)
= lim(Lt∞∑i=0
sij(Lt)i) = Lt lim(
∞∑i=0
sij(Lt)i) = Lts.
A acao natural de S em V e dada pelo produto de matriz por vetor.
Exemplo 3.4.11. Vamos determinar o grupo S relativo a matriz L =
0 1
0 0
. Seja
B = rLt =
0 0
r 0
com r ∈ R. Entao, Bi ≡ 0 para todo i ≥ 2, ou seja,
eB =∞∑i=0
Bi
i!= I2 +B =
1 0
r 1
,
onde r ∈ R. Entao,
R =
1 0
r 1
; r ∈ R
.
Note assim que R ∼= R e, portanto, R e fechado. Logo S = R. Uma ultima observacao
acerca desse exemplo e que, como R nao e limitado, ele ilustra o fato de que S definido
em (3.29) nao e necessariamente compacto.
A proposicao abaixo esta demonstrada em [14, XVI, Proposition 5.7] e sera de grande
valia para as aplicacoes feitas no ultimo capıtulo desta dissertacao. Ela determina uma
caracterizacao do grupo S quando L tem apenas autovalores puramente imaginarios.
68
Proposicao 3.4.12. Decomponha L = D + N onde D e uma matriz semissimples8, N
e uma matriz nilpotente e ND = DN. Se os autovalores nao nulos de L sao puramente
imaginarios, entao
S =
Tk se N = 0
R× T k se N 6= 0,
onde k e o numero de autovalores algebricamente independentes de L, T k = erD; r ∈ R
e R = erNt
; r ∈ R.
O lema a seguir mostra que Ck = kerAdkLt coincide com o espaco ~P kV (S) das aplicacoes
polinomiais em V que sao S−equivariantes. O Teorema 3.4.14, devido a Elphick et al.
[13], segue quase que imediatamente.
Lema 3.4.13. Seja p ∈ ~P kV para k ≥ 2 fixado. Seja L = dh(0) a parte linear do campo
de vetores h e considere o operador AdkLt definido em (3.20). Entao,
(i) AdkLtp(x) =d
dre−rL
t
p(erLt
x)|r=0;
(ii) ~P kV (S) = kerAdkLt , onde ~P k
V (S) e o espaco das aplicacoes p ∈ ~P kV que sao S-
equivariantes.
Demonstracao. (i) Vamos direto aos calculos:
d
dre−rL
t
p(erLt
x) = −Lte−rLt
p(erLt
x) + e−rLt
(dp)(erLt
x)LterLt
x
= e−rLt
((dp)(erLt
x)LterLt
x− Ltp(erLt
x))
= e−rLt
AdkLtp(erLt
x),
onde a segunda igualdade segue pois Lt comuta com e−rLt
. Quando r = 0 segue qued
dre−rL
t
p(erLt
x)|r=0 = AdkLtp(x) como desejado.
8Sejam F um subcorpo de C, V um espaco vetorial complexo de dimensao finita sobre F e T um
operador linear sobre V. Entao, T e semissimples se, e somente se, T e diagonalizavel sobre C (veja [15,
Teorema 7, pagina 232]).
69
(ii) Seja p ∈ ~P kV (S). Entao p comuta com S, em particular, p(erL
t
x) = erLt
p(x), para
todo r ∈ R. Por (i)
AdkLtp(x) =d
dre−rL
t
p(erLt
x)|r=0
=d
dre−rL
t
erLt
p(x)|r=0
=d
drp(x)|r=0 = 0
para todo x ∈ V, de onde p ∈ kerAdkLt . Reciprocamente, se AdkLtp ≡ 0 entao, uma vez
que e−rLt
AdkLtp(erLt
x) =d
dre−rL
t
p(erLt
x), temosd
dre−rL
t
p(erLt
x) = 0 para todo x ∈ V.
Isto implica que e−rLt
p(erLt
x) e constante com relacao a r. Em especial, para r = 0 temos
e−rLt
p(erLt
x) = p(x), ou seja, erLt
p(x) = p(erLt
x), para todo x ∈ V. Portanto, p comuta
com R. Por fim, se s ∈ S entao s = lim erjLt
, para alguma sequencia (rj)j∈N de numeros
reais e, portanto,
p(sx) = p(lim erjLt
x) = lim p(erjLt
x) = lim erjLt
p(x) = sp(x)
para todo s ∈ S e x ∈ V, a segunda igualdade segue pois p e polinomial. Logo p e
S-equivariante.
Teorema 3.4.14. Seja S como definido em (3.29). Entao, para k ≥ 2,
~P kV = ~P k
V (S)⊕ AdkL(~P kV ).
Demonstracao. Como mostrado no lema anterior, ~P kV (S) = kerAdkLt . Como pelo metodo
de Belitskii ~P kV = AdkLt(~P k
V )⊕ (AdkLt(~P kV ))⊥, onde AdkLt(~P k
V )⊥ = kerAdkLt , segue imediata-
mente o resultado.
Assim, pelo metodo de Elphick et al., uma forma normal de ordem r para o sistema
(3.16) e dada por x = L(x) + g2(x) + · · · + gr(x), onde gk ∈ ~P kV (S) para k = 2, · · · , r.
Portanto, este metodo nos permite usar ferramentas da teoria invariante de grupos na
determinacao de uma forma normal de um sistema, uma vez que o processo se resume
na determinacao dos geradores de grau k do modulo ~PV (S). Neste caso, e possıvel deter-
minar a forma normal em qualquer ordem que se deseje pois a dificuldade de encontrar
os geradores de ~PV (S) independe da ordem. Ou seja, a determinacao dos geradores
70
S−equivariantes nos permite escrever um polinomio S−equivariante em qualquer grau e,
para exibir a forma normal truncada, basta truncarmos o polinomio neste grau. Essa e
uma diferenca relevante entre as formas normais de Belitskii e de Elphick et al., ja que a
primeira delas, por ter em seu processo o calculo de um sistema de EDP’s, muitas vezes
precisa ser determinada grau a grau.
Exemplificaremos o metodo de Elphick et al. a seguir. Denotemos por P kV (S) o espaco
dos polinomios homogeneos de grau k que sao S−invariantes e por ~P kV (S) o espaco das
aplicacoes polinomiais homogeneas de grau k que sao S−equivariantes.
Exemplo 3.4.15. Considere o sistema (3.16) onde L = dh(0) =
0 1
0 0
. O grupo S
com relacao a esta matriz ja foi calculado no Exemplo 3.4.11 e considere-o agindo em R2
pela multiplicacao de matriz por vetor 1 0
r 1
x1
x2
=
x1
rx1 + x2
,
para todo r ∈ R, (x1, x2) ∈ R2. Para calcularmos a forma normal deste sistema precisamos
encontrar os geradores dos equivariantes com relacao a S, ou seja, precisamos determinar
uma base de Hilbert para PR2(S) e os geradores de ~PR2(S) sobre este anel. Apesar de S
nao ser compacto, e possıvel estabelecer tais calculos desde que PR2(S) e ~PR2(S) sejam
finitamente gerados.
Seja fk ∈ P kR2(S) dado por fk(x1, x2) =
∑i+j=k
aijxi1x
j2, com aij ∈ R. Supondo fk in-
variante com relacao a S temos que fk(x1, rx1 + x2) = fk(x1, x2), para todo r ∈ R e
(x1, x2) ∈ R2, ou seja, ∑i+j=k
aijxi1x
j2 =
∑i+j=k
aijxi1(x2 + rx1)j.
Como r ∈ R e qualquer, fk nao pode depender de x2. Assim fk(x1, x2) = akxk1, para algum
ak ∈ R.
Tome agora f ∈ PR2(S). Como PR2(S) =∞⊕k=0
P kR2(S), existem fk ∈ P k
R2(S) para todo
71
k ∈ N tais que
f(x1, x2) = f0(x1, x2) + f1(x1, x2) + f2(x1, x2) + · · ·
= a0 + a1x1 + a2x21 + · · ·
= g(x1),
para alguma funcao polinomial g : R→ R. Logo, u(x1, x2) = x1 e uma base de Hilbert
para PR2(S).
Vamos calcular agora os geradores de ~P kR2(S). Seja p = (p1, p2) ∈ ~P k
R2(S). Entao,
sp(x) = p(sx), para todo s ∈ S e x ∈ R2, de onde
s · (p1(x1, x2), p2(x1, x2)) = (p1(s · (x1, x2)), p2(s · (x1, x2)))
ou seja,
(p1(x1, x2), rp1(x1, x2) + p2(x1, x2)) = (p1(x1, rx1 + x2), p2(x1, rx1 + x2)),
para todo r ∈ R e (x1, x2) ∈ R2. Entao
p1(x1, x2) = p1(x1, rx1 + x2) (3.30)
p2(x1, x2) = p2(x1, rx1 + x2)− rp1(x1, x2). (3.31)
Para que a igualdade em (3.30) seja valida, p1 deve ser independente de x2, pois r ∈ R
e qualquer. Como p1 e homogeneo de grau k, p1(x1, x2) = cxk1 para algum c ∈ R.
Substituindo em (3.31) temos p2(x1, x2) = p2(x1, rx1 + x2) − rcxk1. Diferenciando essa
ultima equacao com respeito a r, obtemos 0 =∂p2
∂x2
(x1, rx1 + x2)x1 − cxk1, ou seja,
∂p2
∂x2
(x1, x2) = cxk−11 (para r = 0). Portanto,
p2(x1, x2) = cxk−11 x2 + dxk1,
para algum d ∈ R, pois p2 e homogeneo de grau k. Assim,
p(x1, x2) = (cxk1, cxk−11 x2 + dxk1) = c(xk1, x
k−11 x2) + d(0, xk1),
para c, d ∈ R. Entao h1,k(x1, x2) = (xk1, xk−11 x2) e h2,k(x1, x2) = (0, xk1) geram ~P k
R2(S) como
espaco vetorial sobre R para todo k ≥ 1. Para k = 0, p1(x1, x2) = a0 e p2(x1, x2) = b0
72
para alguns a0, b0 ∈ R. Da equacao (3.31) temos que b0 = b0− ra0 para todo r ∈ R, o que
implica em a0 = 0. Como b0 e qualquer, p(x1, x2) = b0(0, 1) e daı h0(x1, x2) = (0, 1) gera
~P 0R2(S) sobre R.
Seja agora g ∈ ~PR2(S). Similarmente, vale que ~PR2(S) =∞⊕k=0
~P kR2(S) e, entao, para
gk ∈ ~P kR2(S), temos
g(x1, x2) = g0(x1, x2) + g1(x1, x2) + g2(x1, x2) + · · ·
= b0(0, 1) + a1(0, x1) + b1(x1, x2) + a2(0, x21) + b2(x2
1, x1x2) + · · ·
= b0(0, 1) + a1x1(0, 1) + b1(x1, x2) + a2x21(0, 1) + b2x1(x1, x2) + · · ·
= k1(x1)(0, 1) + k2(x1)(x1, x2),
com ai, bi ∈ R e k1, k2 ∈ PR2(S), pois u(x1, x2) = x1 constitui uma base de Hilbert para
o anel PR2(S). Portanto, H0(x1, x2) = (0, 1) e H1(x1, x2) = (x1, x2) geram ~PR2(S) sobre
PR2(S).
Pelo metodo de Elphick et al. temos que uma forma normal para o sistema (3.16) e
dada por x = L(x) + g(x), onde g ∈ ~PR2(S) tem grau maior ou igual a 2 sem termos
constantes ou lineares, ou seja,
g(x) = u1(x)(x1, x2) + u2(x)(0, 1),
onde u1, u2 ∈ PR2(S) sao tais que u1 nao tem termos constantes e u2 nao tem termos
constantes e lineares. Logo, uma forma normal e x1
x2
=
0 1
0 0
x1
x2
+
x1f1(x1)
f1(x1)x2 + f2(x1)
,
que na forma de sistema torna-sex1 = x2 + x1f1(x1)
x2 = x2f1(x1) + f2(x1)
com f1, f2 funcoes polinomiais, sendo f1 sem termos constantes e f2 sem termos constantes
e lineares. Note que essa forma normal coincide com a encontrada no Exemplo 3.4.9
usando o metodo de Belitskii.
73
Observe que ~PR2(S) e um modulo livremente gerado sobre PR2(S). De fato, suponha
que
p(x1, x2)(0, 1) + q(x1, x2)(x1, x2) ≡ 0,
com p, q ∈ PR2(S). Entao, (q(x1, x2)x1, p(x1, x2)+q(x1, x2)x2) ≡ 0, ou seja, q(x1, x2)x1 = 0
e p(x1, x2) + q(x1, x2)x2 = 0 para todo (x1, x2) ∈ R2. Da primeira condicao segue que
q ≡ 0 e, substituindo na segunda condicao, temos que p ≡ 0, como desejado.
3.5 Formas Normais Reversıveis Equivariantes
Uma maneira de encontrar formas normais de sistemas que sao reversıveis equivariantes
segundo a acao de um grupo de Lie compacto Γ e pelo metodo classico de Belitskii ou
pelo metodo algebrico de Elphick et al., impondo, no final do processo, as simetrias e as
antissimetrias do campo de vetores na forma normal predeterminada. Descrevemos nesta
secao um metodo alternativo, que e a versao reversıvel equivariante do Teorema 3.4.14,
levando em consideracao a teoria invariante para Γ e para S com base na abordagem
apresentada no Capıtulo 2. Como sabemos, S nao e necessariamente compacto, mas a
teoria continua valida se existirem conjuntos finitos de geradores para o anel de invariantes
PV (S) e para o modulo de equivariantes ~PV (S) sobre PV (S).
Nossa abordagem nesta secao baseia-se em [3]. Seguindo o que viemos fazendo, a ideia
e reconhecer um subespaco complementar de AdkL(~P kV (Γ)) em ~Qk
V (Γ) — o espaco das
aplicacoes polinomiais homogeneas Γ−reversıveis-equivariantes de grau k — e procurar
os gk’s do Teorema 3.4.2 em tal complementar. O metodo e puramente algebrico e assim
como ocorreu na Subsecao 3.4.2, o aparecimento do grupo de simetrias S culminara no
resultado principal, o Teorema 3.5.8.
Para o que segue, sejam Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espaco vetorial real
de dimensao finita V , σ : Γ→ Z2 um epimorfismo de grupos com Γ+ = kerσ e considere
o sistema de equacoes diferenciais (3.16) de classe C∞ com h(0) = 0 e h ∈ ~QV (Γ).
A primeira observacao que fazemos e que se h e Γ-reversıvel-equivariante, entao L =
dh(0) tambem e. De fato, lembrando que confundimos γ ∈ Γ com sua representacao
(operador linear) ργ, temos que h(γx) = σ(γ)γh(x) para todo x ∈ V e γ ∈ Γ. Derivando
74
ambos os lados desta igualdade temos que dh(γx)γ = σ(γ)γdh(x), que em x = 0 nos
da dh(0)γ = σ(γ)γdh(0). Aplicando em x ∈ V segue que L(γx) = σ(γ)γL(x) para todo
x ∈ V e para todo γ ∈ Γ.
Comecamos com algumas propriedades preliminares do operador homologico AdL de-
finido em (3.26) onde, de agora em diante, L = dh(0) e um operador Γ−reversıvel-
equivariante.
Lema 3.5.1. O operador AdL : ~PV → ~PV definido em (3.26) permuta as parcelas da
decomposicao ~PV (Γ+) = ~PV (Γ)⊕ ~QV (Γ) dada em (3.8).
Demonstracao. Seja g ∈ ~PV (Γ) ⊂ ~PV . Entao g(γx) = γg(x) de onde dg(γx)γ = γdg(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Assim,
AdLg(γx) = dg(γx)L(γx)− L(g(γx))
= γdg(x)γ−1σ(γ)γL(x)− L(γg(x))
= σ(γ)γdg(x)L(x)− σ(γ)γL(g(x))
= σ(γ)γ(dg(x)L(x)− L(g(x)))
= σ(γ)γAdLg(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V, ou seja, AdLg ∈ ~QV (Γ). Agora, seja p ∈ ~QV (Γ). Entao p(γx) =
σ(γ)γp(x) de onde dp(γx)γ = σ(γ)γdp(x). Lembrando que (σ(γ))2 = 1, temos, para todo
x ∈ V e γ ∈ Γ, que
AdLp(γx) = dp(γx)L(γx)− L(p(γx))
= σ(γ)γdp(x)γ−1L(γx)− L(σ(γ)γp(x))
= σ(γ)γdp(x)γ−1σ(γ)γL(x)− σ(γ)L(γp(x))
= γdp(x)L(x)− (σ(γ))2γL(p(x))
= γdp(x)L(x)− γL(p(x))
= γAdLp(x),
ou seja, AdLp ∈ ~PV (Γ).
Para o proximo resultado lembramos que Γ− = Γ\Γ+ denota o conjunto das antissi-
metrias de Γ, ou seja, σ(δ) = −1 para todo δ ∈ Γ−.
75
Lema 3.5.2. Sejam ~R e ~S os operadores de Reynolds definidos em (3.4) e (3.5), respec-
tivamente. Para todo p ∈ ~PV (Γ+) ⊂ ~PV temos
~S(AdL(p)) = AdL(~R(p)).
Demonstracao. Seja δ ∈ Γ− fixado. Entao σ(δ) = σ(δ−1) = −1. Lembrando que L e
Γ−reversıvel-equivariante temos
AdL(~R(p))(x) = AdL(1
2(p(x) + δ−1p(δx)))
=1
2(AdLp(x) + AdL(δ−1p(δx)))
=1
2(AdLp(x) + (d(δ−1p(δx))L(x)− L(δ−1p(δx))))
=1
2(AdLp(x) + (δ−1dp(δx)δL(x)− σ(δ−1)δ−1L(p(δx))))
=1
2(AdLp(x) + (δ−1dp(δx)δL(x) + δ−1L(p(δx))))
=1
2(AdLp(x) + (σ(δ)2δ−1dp(δx)δL(x) + δ−1L(p(δx))))
=1
2(AdLp(x) + σ(δ)δ−1(dp(δx)σ(δ)δL(x)− L(p(δx))))
=1
2(AdLp(x)− δ−1(dp(δx)L(δx)− L(p(δx))))
=1
2(AdLp(x)− δ−1AdLp(δx))
= ~S(AdLp)(x),
para todo x ∈ V e para todo p ∈ ~PV (Γ+) e, portanto, segue o resultado.
Vamos mostrar agora que esta bem definido um produto semidireto entre os grupos
de simetrias Γ e S, onde S e como em (3.29), bem como uma acao deste produto em V.
Considere o produto semidireto S o Γ munido da operacao
(s1, γ1) ·µ (s2, γ2) = (s1µ(γ1)(s2), γ1γ2),
para todo s1, s2 ∈ S e γ1, γ2 ∈ Γ, induzida pelo homomorfismo µ : Γ → Aut(S) definido
por
µ(γ)(s) = sσ(γ),
76
para todo γ ∈ Γ e s ∈ S. Observe que se γ ∈ Γ+ entao µ(γ) e a identidade e se γ ∈ Γ−,
entao µ(γ)(s) = s−1, ou seja, µ(γ) e um automorfismo de S, para todo γ ∈ Γ. Mostremos
que µ e de fato um homomorfismo. Sejam γ1, γ2 ∈ Γ. Entao
µ(γ1γ2)(s) = sσ(γ1γ2) = sσ(γ1)σ(γ2) = (sσ(γ2))σ(γ1) = µ(γ1)(sσ(γ2)) = µ(γ1)(µ(γ2)s))
= µ(γ1) µ(γ2)(s),
para todo s ∈ S.
Vejamos agora que a aplicacao
(S o Γ)× V → V
((s, γ), v) 7−→ s(γv)(3.32)
e uma acao de S o Γ em V. De fato, pela Proposicao 3.3.2 a operacao (3.32) define uma
acao se a representacao de µ(γ)(s) e uma conjugacao.
Primeiramente vejamos que γerLt
= eσ(γ)rLt
γ para todo γ ∈ Γ e r ∈ R, pois, como Γ
e compacto, podemos supor que ele age ortogonalmente em V, ou seja, γt = γ−1. Sendo
assim temos
γ−1Lt = γtLt = (Lγ)t = (σ(γ)γL)t = σ(γ)Ltγt = σ(γ)Ltγ−1,
uma vez que L e Γ−reversıvel-equivariante. Logo, Lt = σ(γ)−1γ−1Ltγ para todo γ ∈ Γ,
ou seja, Lt = σ(γ)γ−1Ltγ. Agora, observe que
(Lt)2 = (σ(γ)γ−1Ltγ)(σ(γ)γ−1Ltγ)
= σ(γ)2γ−1Ltγγ−1Ltγ
= σ(γ)2γ−1(Lt)2γ.
Procedendo por inducao, temos que (Lt)i = (σ(γ))iγ−1(Lt)iγ. Tendo isso em maos, segue
que
γerLt
= γ∞∑i=0
(rLt)i
i!=∞∑i=0
γ(rLt)i
i!=∞∑i=0
(σ(γ))i(rLt)i
i!γ = eσ(γ)rLt
γ, (3.33)
para todo γ ∈ Γ, r ∈ R. Disto segue que γs = sσ(γ)γ para todo γ ∈ Γ, s ∈ S. De fato, seja
s ∈ S\R, onde R e como em (3.28). Entao existe uma sequencia (sn)n∈N inteiramente
77
contida em R convergindo para s. Como sn ∈ R para todo n ∈ N segue de (3.33) que
γsn = sσ(γ)n γ, para todo γ ∈ Γ. Fixe γ ∈ Γ (arbitrario) e defina as funcoes
ϕ1 : S → Gl(n) e ϕ2 : S → Gl(n)
s 7−→ γs s 7−→ sσ(γ)γ.
Ambas sao claramente contınuas, pois produto e inversao de matrizes sao contınuas. Dessa
forma, ϕ1(s) = ϕ1(lim sn) = limϕ1(sn) e ϕ2(s) = ϕ2(lim sn) = limϕ2(sn) e, portanto,
γs = ϕ1(s) = limϕ1(sn) = lim γsn = lim sσ(γ)n γ = limϕ2(sn) = ϕ2(s) = sσ(γ)γ,
onde a quarta igualdade segue pois sn ∈ R. Segue portanto que µ(γ)(s) = sσ(γ) = γsγ−1,
ou seja, µ(γ)s e uma conjugacao. Pela Proposicao 3.3.2 a aplicacao dada em (3.32) e uma
acao do produto semidireto Γ o S em V, como desejado.
Para os proximos resultados, defina a aplicacao linear
? : Γ× ~PV → ~PV
(γ, g) 7−→ γ ? g
por γ ? g(x) = γ−1g(γx), para todo x ∈ V. Esta operacao define uma acao de Γ em ~PV
induzida pela acao de Γ em V.
Definicao 3.5.3. Fixado δ ∈ Γ−, definimos π : ~PV → ~PV como
π(p) =1
2
(∫Γ+
τ ? pdτ −∫
Γ+
(δτ) ? pdτ
), (3.34)
onde
∫Γ+
e a integral de Haar normalizada em Γ+.
Pela Observacao 2.1.15, tal definicao faz sentido pois V ∼= Rn para algum inteiro
positivo n e, assim, ~PV ⊂ C(Rn,Rn). Mais especificamente, na definicao anterior, estamos
integrando funcoes fp, gp : Γ+ → ~PV das formas fp(τ) = τ ? p e gp(τ) = (δτ) ? p para
p ∈ ~PV fixado, porem arbitrario.
Para o proximo lema vamos restringir π a ~P kV e continuar denotando por π.
Lema 3.5.4. A aplicacao π : ~P kV → ~Qk
V (Γ) e uma projecao linear.
78
Demonstracao. Seja δ ∈ Γ− fixado. A linearidade de π segue pois a integral de Haar e a
operacao ? sao lineares. Alem disso, se p ∈ ~P kV entao π(p) tambem pertence a ~P k
V , uma vez
γ ? p e tambem um polinomio homogeneo de grau k e a integral de Haar mantem o grau
desses polinomios (veja [14, XVI, Lema 5.10]). Queremos mostrar que π(p) ∈ ~QkV (Γ), ou
seja, π(p)(γx) = σ(γ)γπ(p)(x) para todo p ∈ ~P kV , x ∈ V. Mas isto e equivalente a mostrar
que σ(γ)γ−1π(p)(γx) = π(p)(x), para todo x ∈ V, ou seja, que
σ(γ)γ ? π(p) = π(p),
para todo p ∈ ~P kV . Temos que τ ? (γ ? p) = (γτ) ? p, para todo p ∈ ~P k
V . De fato, dados
τ, γ ∈ Γ,
τ ? γ ? p(x) = τ ? (γ−1p(γx)) = τ−1(γ−1p(γτx)) = (γτ)−1p(γτx) = γτ ? p(x), (3.35)
para todo x ∈ V. Entao, por (3.34) e para todo γ ∈ Γ fixado (porem arbitrario), temos
σ(γ)γ ? π(p) = σ(γ)γ ?
(1
2
∫Γ+
τ ? pdτ − 1
2
∫Γ+
(δτ) ? pdτ
)= σ(γ)
1
2
(∫Γ+
γ ? τ ? pdτ −∫
Γ+
γ ? (δτ) ? pdτ
)= σ(γ)
1
2
(∫Γ+
(τγ) ? pdτ −∫
Γ+
(δτγ) ? pdτ
). (3.36)
Se γ ∈ Γ+, entao σ(γ) = 1 e pela invariancia a direita da integral de Haar, a igualdade
(3.36) torna-se
σ(γ)γ ? π(p) =1
2
(∫Γ+
τ ? pdτ −∫
Γ+
(δτ) ? pdτ
)= π(p).
Se, por outro lado, γ ∈ Γ− = δΓ+, entao σ(γ) = −1 e γ = δλ para algum λ ∈ Γ+.
Como γ, δ estao fixados, λ tambem esta. Por [9, I, Theorem 5.12], se ϕ : Γ → Γ e um
automorfismo entao
∫Γ
f(γ)dγ =
∫Γ
f ϕ(γ)dγ, para todo f : Γ → ~P kV . Defina, entao
f1, f2 : Γ → ~P kV por f1(τ) = τδλ ? p, f2(τ) = δτδλ ? p e considere o automorfismo
79
ϕ(τ) = δτδ−1. Logo, (3.36) torna-se
σ(γ)γ ? π(p) = −1
2
(∫Γ+
(τδλ) ? pdτ −∫
Γ+
(δτδλ) ? pdτ
)= −1
2
(∫Γ+
f1(τ)dτ −∫
Γ+
f2(τ)dτ
)= −1
2
(∫Γ+
f1 ϕ(τ)dτ −∫
Γ+
f2 ϕ(τ)dτ
)= −1
2
(∫Γ+
(δτλ) ? pdτ −∫
Γ+
(δ2τλ) ? pdτ
)=
1
2
(−∫
Γ+
(δτ) ? pdτ +
∫Γ+
τ ? pdτ
)= π(p),
onde a penultima igualdade segue do fato da integral de Haar ser invariante a direita e
a esquerda por Γ+, com λ, δ2 ∈ Γ+. Logo, π(p) ∈ ~QkV (Γ), para todo p ∈ ~P k
V , ou seja,
π(~P kV ) ⊆ ~Qk
V (Γ).
Seja agora p ∈ ~QkV (Γ). Entao, se τ ∈ Γ+, temos
τ ? p(x) = τ−1p(τx) = σ(τ)τ−1τp(x) = p(x) e
(δτ) ? p(x) = (δτ)−1p(δτx) = σ(δτ)(δτ)−1(δτ)p(x) = −p(x).
para todo x ∈ V, uma vez que δ ∈ Γ−. Daı, por (3.34) e lembrando que
∫Γ+
e normalizada,
π(p) =1
2
(∫Γ+
τ ? pdτ −∫
Γ+
(δτ) ? pdτ
)=
1
2
(∫Γ+
pdτ −∫
Γ+
−pdτ)
=1
2
(∫Γ+
pdτ +
∫Γ+
pdτ
)= p
∫Γ+
dτ
= p.
Entao, p ∈ π(~P kV ) e, assim, π(~P k
V ) = ~QkV (Γ). Pelo que mostramos acima, π restrita a
~QkV (Γ) e o operador identidade e, portanto, π e uma projecao sobre ~Qk
V (Γ).
Lema 3.5.5. A projecao π definida em (3.34) satisfaz π(~P kV (S)) = ~Qk
V (So Γ).
80
Demonstracao. Seja g ∈ ~QkV (S o Γ). Entao g ∈ ~P k
V (S) ∩ ~QkV (Γ), pela Proposicao 3.3.3.
Pelo lema anterior, como g ∈ ~QkV (Γ) entao g = π(g) ∈ π(~P k
V (S)), ou seja, ~QkV (S o Γ) ⊆
π(~P kV (S)). Por outro lado, seja p ∈ ~P k
V (S). Pelo lema anterior, como ~P kV (S) ⊂ ~P k
V , temos
que π(p) ∈ ~QkV (Γ). Se mostrarmos que π(p) ∈ ~P k
V (S) terminamos, pois ~QkV (S o Γ) =
~P kV (S) ∩ ~Qk
V (Γ). Precisamos entao mostrar que π(p)(sx) = sπ(p)(x), para todo x ∈ V e
s ∈ (S), ou seja, s−1π(p)(sx) = π(p)(x) para todo x ∈ V e s ∈ S. Mas isso e mostrar
que s ? π(p) = π(p) para todo p ∈ ~P kV (S) e, de fato, isto ocorre. Primeiramente veja que,
como µ(γ)(s) = sσ(γ) = γsγ−1 para todo γ ∈ Γ, s ∈ S, entao γs = sγ, se γ ∈ Γ+
γs = s−1γ se γ ∈ Γ−.
Assim, se τ ∈ Γ+ e usando que p ∈ ~P kV (S), temos
(τs) ? p(x) = (τs)−1p(τsx) = (sτ)−1p(sτx) = τ−1s−1sp(τx) = τ ? p(x) e
(δτs) ? p(x) = (δτs)−1p(δτsx) = (s−1δτ)−1p(s−1δτx) = (δτ)−1ss−1p(δτx) = (δτ) ? p(x),
para todo x ∈ V, s ∈ S e para δ ∈ Γ− fixado. Entao, usando (3.35) segue, para cada
s ∈ S,
s ? π(p) = s ?1
2
(∫Γ+
τ ? pdτ −∫
Γ+
δτ ? pdτ
)=
1
2
(∫Γ+
(τs) ? pdτ −∫
Γ+
(δτs) ? pdτ
)=
1
2
(∫Γ+
τ ? pdτ −∫
Γ+
δτ ? pdτ
)= π(p),
o que demonstra o resultado.
Lema 3.5.6. Considere AdkL definida em (3.20). A projecao π dada em (3.34) satisfaz
π(AdkL(~P kV )) = AdkL(~P k
V (Γ)).
Demonstracao. Seja p ∈ ~P kV . Para todo γ ∈ Γ temos
d(γ ? p)x = d(γ−1pγx) = γ−1(dp)(γx)γ,
81
para todo x ∈ V. Como L e Γ−reversıvel-equivariante segue que
AdkL(γ ? p)(x) = d(γ ? p)(x)L(x)− L((γ ? p)(x))
= γ−1(dp)(γx)γL(x)− L(γ−1p(γx))
= γ−1(dp)(γx)γL(x)− σ(γ−1)γ−1L(p(γx))
= (σ(γ))2γ−1(dp)(γx)γL(x)− σ(γ)γ−1L(p(γx))
= σ(γ)γ−1((dp)(γx)σ(γ)γL(x)− L(p(γx)))
= σ(γ)γ−1((dp)(γx)L(γx)− L(p(γx)))
= σ(γ)γ ? AdkLp(x),
para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Assim γ ? AdkLp = σ(γ)AdkL(γ ? p), para todo p ∈ ~P kV , de onde
π(AdkLp) =1
2
(∫Γ+
γ ? AdkLpdγ −∫
Γ+
(δγ) ? AdkLpdγ
)=
1
2
(∫Γ+
σ(γ)AdkL(γ ? p)dγ −∫
Γ+
σ(δγ)AdkL(δγ ? p)dγ
)=
1
2
(∫Γ+
AdkL(γ ? p)dγ +
∫Γ+
AdkL(δγ ? p)dγ
)= AdkL
(1
2
(∫Γ+
γ ? pdγ +
∫Γ+
(δγ) ? pdγ
))= AdkL
(∫Γ
γ ? pdγ
),
onde a ultima igualdade segue do Teorema 2.1.17. Agora, se
∫Γ
γ ? pdγ ∈ ~P kV (Γ) terıamos
π(AdkL(~P kV )) ⊆ AdkL(~P k
V (Γ)). De fato, considere fp : Γ → ~P kV definido por fp(γ) = γ ? p.
Dado τ ∈ Γ fixado, temos
τ ?
∫Γ
γ ? pdγ =
∫Γ
τ ? γ ? pdγ =
∫Γ
(γτ) ? pdγ =
∫Γ
fp(γτ)dγ
=
∫Γ
fp(γ)dγ =
∫Γ
γ ? pdγ,
onde a segunda igualdade segue de (3.35) e a penultima igualdade segue da invariancia
da integral de Haar a direita, mostrando que
τ−1
∫Γ
γ ? p(τx)dγ =
∫Γ
γ ? p(x)dγ,
82
para todo τ ∈ Γ, ou seja,
∫Γ
γ ? pdγ ∈ ~P kV (Γ) como desejado. Ainda, se p ∈ ~P k
V (Γ) entao
γ ? p(x) = γ−1p(γx) = γ−1γp(x) = p(x),
para todo x ∈ V, γ ∈ Γ, de onde para cada γ ∈ Γ temos
p = p · 1 = p
∫Γ
dγ =
∫Γ
pdγ =
∫Γ
γ ? pdγ,
uma vez que a integral de Haar sobre Γ e normalizada. Logo, dado p ∈ ~P kV (Γ) temos
AdkLp = AdkL(
∫Γ
γ ? pdγ) = π(AdkLp)
e, portanto, AdkL(~P kV (Γ)) ⊆ π(AdkL(~P k
V )) uma vez que ~P kV (Γ) ⊆ ~P k
V . Segue entao o resul-
tado.
O seguinte resultado e a versao reversıvel equivariante do Teorema 3.4.14.
Teorema 3.5.7. Seja S como definido em (3.29). Para cada k ≥ 2 temos
~QkV (Γ) = ~Qk
V (So Γ)⊕ AdkL(~P kV (Γ)).
Demonstracao. Aplicando a projecao π na igualdade ~P kV = ~P k
V (S)⊕AdkL(~P kV ) do Teorema
3.4.14 teremos π(~P kV ) = π(~P k
V (S)) + π(AdkL(~P kV )). Pelos Lemas 3.5.4, 3.5.5 e 3.5.6 segue
que
~QkV (Γ) = ~Qk
V (S o Γ) + AdkL(~P kV (Γ)).
Resta mostrar entao que esta soma e direta. Ja sabemos que ~QkV (SoΓ) = ~P k
V (S)∩ ~QkV (Γ)
e, do Teorema 3.4.14, que ~P kV (S) ∩ AdkL(~P k
V ) = 0. Como ~P kV (Γ) ⊆ ~P k
V temos ~P kV (S) ∩
AdkL(~P kV (Γ)) = 0, de onde segue que ~Qk
V (SoΓ)∩AdkL(~P kV (Γ)) = 0, como desejado.
Toda a discussao dessa secao juntamente com o teorema anterior resulta no principal
resultado deste trabalho, que determina uma maneira algebrica de encontrar uma forma
normal de um sistema reversıvel equivariante.
Teorema 3.5.8. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V e considere h ∈ ~QV (Γ)
com h(0) = 0 e L = dh(0). Seja S como em (3.29). Entao a forma normal de x = h(x)
e dada por
x = L(x) + g2(x) + g3(x) + · · · , (3.37)
83
onde para cada k ≥ 2, gk ∈ ~QkV (So Γ).
Demonstracao. Para cada k ≥ 2 fixado, considere a mudanca de coordenadas proxima a
identidade x = ξ(y) = y + ξk(y). Queremos que tal mudanca de coordenadas preserve as
simetrias e antissimetrias do sistema, ou seja, se h e Γ-reversıvel-equivariante, entao f(y) =
dξ(y)−1h(ξ(y)) dada em (3.19) tambem e. Vamos mostrar que se ξk e Γ−equivariante,
isto acontece. Primeiro note que, neste caso, ξ tambem e Γ−equivariante. De fato,
ξ(γy) = γy + ξk(γx) = γ(y + ξk(x)) = γξ(y),
para todo γ ∈ Γ, y ∈ V. Logo, dξ(γy)γ = γdξ(y) e daı dξ(γy) = γdξ(y)γ−1, para todo
γ ∈ Γ, y ∈ V. Assim,
f(γy) = (dξ(γy))−1h(ξ(γy))
= (γdξ(y)γ−1)−1h(γξ(y))
= γdξ(y)−1γ−1σ(γ)γh(ξ(y))
= σ(γ)γf(y),
mostrando que f em (3.19) e Γ−reversıvel-equivariante. Alem disso, ja sabemos dos Lemas
3.5.4 e 3.5.6 que AdkL(~P kV (Γ)) ⊂ ~Qk
V (Γ). Assim, AdkLξk ∈ ~Qk
V (Γ) e devemos considerar AdkL
definido em (3.20) restrito as aplicacoes em ~P kV (Γ). Pelo Teorema 3.4.2, cada gk em (3.37)
esta no subespaco complementar de AdkL(~P kV (Γ)) que e, neste caso, ~Qk
V (S o Γ).
No proximo capıtulo dedicamo-nos ao calculo das formas normais de sistemas Hamil-
tonianos reversıveis equivariantes segundo a acao de especıficos grupos de Lie compactos.
84
CAPITULO 4
CAMPOS HAMILTONIANOS
REVERSIVEIS EQUIVARIANTES
Este capıtulo e uma contribuicao ao estudo local de sistemas Hamiltonianos reversıveis
equivariantes definidos em um espaco vetorial V de dimensao finita em presenca de duas
involucoes lineares1 φ e ψ que agem como antissimetrias em V. Estes sao casos particulares
de sistemas Hamiltonianos Γ-reversıveis-equivariantes. As involucoes φ e ψ podem comu-
tar ou nao. No primeiro caso, elas geram o grupo Γ = Zφ2 × Zψ2 , onde uma componente
e gerada por φ e a outra por ψ. No segundo caso, o grupo em acao e o diedral D4, que e
um dos dois grupos nao abelianos com 8 elementos.
No presente capıtulo, tais sistemas tem a forma
x = XH(x) (4.1)
definido em um espaco vetorial V de dimensao finita, onde XH(x) e um campo Hamilto-
niano como em (1.7) e e reversıvel equivariante segundo um dos grupos Γ = Z2, Γ = D4
ou Γ = Zφ2×Zψ2 , onde φ e ψ comutam entre si. Nosso objetivo aqui e entao aplicar a teoria
de formas normais apresentada na Secao 3.5, mais especificamente o Teorema 3.5.8, para
1Uma involucao φ e uma aplicacao inversıvel que e igual a sua inversa, ou seja, φ2 = Id.
85
calcular a forma normal de (4.1). A Secao 4.1 e destinada ao calculo de formas normais
Z2−reversıveis-equivariantes de campos Hamiltonianos com aproximacao linear do tipo
L =
0 −α 0 0
α 0 0 0
0 0 0 −β
0 0 β 0
, (4.2)
com α, β ∈ R, nos casos αβ−1 /∈ Q (caso generico), α = β (caso 1 : 1) e qα− pβ = 0 com
p, q ∈ Z, p 6= q (caso p : q).
As Secoes 4.2 e 4.3 sao destinadas ao calculo de formas normais de campos Hamiltoni-
anos reversıveis equivariantes segundo a acao de D4 e Zφ2×Zψ2 , respectivamente. Na Secao
4.2, o campo tem parte linear do tipo (4.2) para o caso generico, ou seja, αβ−1 /∈ Q. Na
Secao 4.3 o campo Hamiltoniano Zφ2 × Zψ2 -reversıvel-equivariante tem parte linear
M =
0 1
0 0
0 ω1
−ω1 0. . .
0 ωn
−ωn 0
, (4.3)
onde ω1, · · · , ωn sao algebricamente independentes2. Lembremos que Γ+ denota o sub-
grupo das simetrias de Γ e Γ− = Γ\Γ+.
Na Secao 4.4 vamos provar que existem, de fato, campos Hamiltonianos com as line-
arizacoes L e M dadas em (4.2) e (4.3), respectivamente.
2Se M e uma matriz da forma (4.3), dizemos que M e ressonante se existem inteiros nao nulos
k1, · · · , kn tais que k1ω1 + · · ·+ knωn = 0. Caso contrario, M e nao ressonante e ω1, · · · , ωn sao algebri-
camente independentes.
86
4.1 Formais normais Z2-reversıveis-equivariantes
Nesta secao vamos calcular formas normais de sistemas Hamiltonianos Z2-reversıveis-
equivariantes da forma (4.1) com parte linear do tipo (4.2), onde Γ = Z2 = id, δ age
em R4 como
δ(x1, x2, y1, y2) = (−x1, x2, y1,−y2). (4.4)
Consideramos aqui o epimorfismo σ : Γ → Z2 tal que δ ∈ Γ−. E facil ver que L em (4.2)
anticomuta com δ, bastando tomar δ em sua forma matricial, ou seja, Lδ = −δL.
Em alguns casos, sera mais facil trabalhar em C2 ao inves de R4. Neste caso temos
δ(z1, z2) = (−z1, z2), onde z1 = x1 + ix2∼= (x1, x2) e z2 = y1 + iy2
∼= (y1, y2). Alem disso,
sobre o corpo dos numeros complexos, L pode ser escrita como
L =
αi 0
0 βi
, (4.5)
que e uma matriz diagonal. Entao L e semissimples e seus autovalores sao αi e βi.
4.1.1 Caso generico
Comecemos com o caso em que αβ−1 /∈ Q. Decompomos L como L = D + N , onde
D = L e semissimples e N = 0 e nilpotente. Seus autovalores αi e βi sao algebricamente
independentes pois αβ−1 /∈ Q. Pela Proposicao 3.4.12 temos que o conjunto S definido
em (3.29) e o toro T 2 = S1 × S1. Observe tambem que tal grupo age diagonalmente em
R4 = R2 × R2.
Para o calculo da forma normal precisamos encontrar os geradores do modulo ~QR4(T 2o
Z2) das aplicacoes S o Z2−reversıveis-equivariantes e, para isso, utilizamos o Algoritmo
3.2.8. O primeiro passo e encontrar uma base de Hilbert para o anel PR4((T 2 o Z2)+),
que coincide com PR4(T 2 × id) = PR4(T 2) ∩ PR4(id) = PR4(T 2), e os geradores de
~PR4(T 2) sobre PR4(T 2). Pelo Exemplo 3.3.6, para n = 2 e escrevendo em coordenadas reais,
temos que uma base de Hilbert para PR4(T 2) e u1, u2 com u1(x1, x2, y1, y2) = x21 + x2
2
e u2(x1, x2, y1, y2) = y21 + y2
2. Pelo mesmo exemplo, ~PR4(T 2) = PR4(T 2)H0, H1, H2, H3
com
H0(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, 0, 0), H1(x1, x2, y1, y2) = (−x2, x1, 0, 0),
87
H2(x1, x2, y1, y2) = (0, 0, y1, y2) e H3(x1, x2, y1, y2) = (0, 0,−y2, y1).
Convencionamos entao S(u0) ≡ 1 e calculamos S(u1) e S(u2), para S definido em (3.5)
e δ = (s, δ) ∈ (T 2 o Z2)− = T 2 o Z2\T 2 × id, onde escolhemos s = (0, 0) o elemento
neutro de S = T 2 e δ e como em (4.4). Entao,
δ(x1, x2, y1, y2) = s(δ(x1, x2, y1, y2)) = s(−x1, x2, y1,−y2) = (−x1, x2, y1,−y2), (4.6)
para todo (x1, x2, y1, y2) ∈ R4. Note que u1 e u2 sao invariantes pela acao de δ. Entao, pelo
item (ii) da Proposicao 3.2.2, S(u1) = S(u2) ≡ 0. Fazemos agora Hij = S(ui)Hj. Como
S(u1) = S(u2) ≡ 0 resta-nos H0j = Hj, para j = 0, 1, 2, 3. O ultimo passo do Algoritmo
3.2.8 e calcularmos ~S(Hij) = ~S(Hj), para ~S definido em (3.5) e j = 0, 1, 2, 3. Veja que
H0(δ(x1, x2, y1, y2)) = H0(−x1, x2, y1,−y2) = (−x1, x2, 0, 0) = δ(x1, x2, 0, 0)
= δH0(x1, x2, y1, y2),
H1(δ(x1, x2, y1, y2)) = H1(−x1, x2, y1,−y2) = (−x2,−x1, 0, 0) = δ(x2,−x1, 0, 0)
= −δH1(x1, x2, y1, y2),
H2(δ(x1, x2, y1, y2)) = H2(−x1, x2, y1,−y2) = (0, 0, y1,−y2) = δ(0, 0, y1, y2)
= δH2(x1, x2, y1, y2) e
H3(δ(x1, x2, y1, y2)) = H3(−x1, x2, y1,−y2) = (0, 0, y2, y1) = δ(0, 0, y2,−y1)
= −δH3(x1, x2, y1, y2).
Em outras palavras, H0 e H2 sao T 2 oZ2-equivariantes e H1 e H3 sao T 2 oZ2-reversıveis-
equivariantes. Novamente pelo item (ii) da Proposicao 3.2.2, temos ~S(H0) = ~S(H2) ≡ 0,
~S(H1) = H1, e ~S(H3) = H3. Assim, pelo Algoritmo 3.2.8,
~QR4(T 2 o Z2) = PR4(T 2 o Z2)H1, H3.
Precisamos ainda de uma base de Hilbert para o anel PR4(T 2 o Z2). Como ja temos
uma base para PR4((T 2 o Z2)+), que e dada por u1, u2, pelo Teorema 3.2.9, basta
calcularmos R(ui) e S(ui)S(uj) com i, j = 1, 2 onde R e S sao definidos em (3.4) e (3.5),
respectivamente. Sabemos que S(u1) = S(u2) ≡ 0 e, uma vez que u1, u2 sao invariantes
por Z2, segue que R(ui) = ui para i = 1, 2. Portanto u1, u2 tambem e uma base de
88
Hilbert para PR4(T 2 oZ2). Pelo Teorema 3.5.8, a forma normal Z2-reversıvel-equivariante
do sistema (4.1) e
x = L(x) + f0(x)H1(x) + f1(x)H3(x),
com x = (x1, x2, y1, y2) ∈ R4 e f0, f1 ∈ PR4(T 2 o Z2), que em termos matriciais torna-sex1
x2
y1
y2
=
0 −α 0 0
α 0 0 0
0 0 0 −β
0 0 β 0
x1
x2
y1
y2
+ f0(x)
−x2
x1
0
0
+ f1(x)
0
0
−y2
y1
.
Portanto, a forma normal procurada e
x1 = −αx2 − x2f0(x1, x2, y1, y2)
x2 = αx1 + x1f0(x1, x2, y1, y2)
y1 = −βy2 − y2f1(x1, x2, y1, y2)
y2 = βy1 + y1f1(x1, x2, y1, y2)
(4.7)
onde f0(x1, x2, y1, y2) =∞∑
i+j=1
aij(x21 + x2
2)i(y21 + y2
2)j e f1(x1, x2, y1, y2) =∞∑
i+j=1
bij(x21 +
x22)i(y2
1 + y22)j, com aij, bij ∈ R.
Esta mesma forma normal tambem foi obtida em [23], onde Martins usou o metodo
classico desenvolvido por Belitskii sem impor a reversibilidade de Z2, obtendo primeiro
uma pre-forma normal. Depois disso, Martins considerou a acao de Z2 para obter a forma
normal (4.7). O metodo algebrico que nos apresentamos aqui (Teorema 3.5.8) nos permite
impor a reversibilidade de Z2 desde o inıcio dos calculos.
4.1.2 Caso 1:1
Consideramos aqui o caso α = β e calculamos a forma normal Z2-reversıvel-equivariante
de (4.1) com linearizacao L como em (4.2). Para facilitar os calculos, vamos trabalhar
com C2 ao inves de R4. Podemos escrever L = D + N, onde D = L e semissimples
89
e N = 0 e nilpotente, mas agora L tem apenas um autovalor algebricamente indepen-
dente, pois α = β. Pela Proposicao 3.4.12, S = S1 e consideramos sua acao em C2 como
θ(z1, z2) = (eiθz1, eiθz2), para todo (z1, z2) ∈ C2, θ ∈ S1.
Para aplicarmos o Teorema 3.5.8, precisamos dos geradores do modulo das aplicacoes
S1 oZ2−reversıveis-equivariantes sobre o anel PC2(S1 oZ2). Sigamos novamente o Algo-
ritmo 3.2.8. Veja que PC2((S1 oZ2)+) = PC2(S1×id) = PC2(S1)∩PC2(id) = PC2(S1)
e da mesma forma ~PC2((S1 o Z2)+) = ~PC2(S1). Pelos Exemplos 2.2.5 e 2.3.6,
u1(z1, z2) = |z1|2, u2(z1, z2) = |z2|2, u3(z1, z2) = Re(z1z2), e u4(z1, z2) = Im(z1z2)
formam uma base de Hilbert para PC2(S1) e
H0(z1, z2) = (z1, 0), H1(z1, z2) = (z2, 0), H2(z1, z2) = (iz1, 0), H3(z1, z2) = (iz2, 0),
H4(z1, z2) = (0, z1), H5(z1, z2) = (0, z2), H6(z1, z2) = (0, iz1), e H7(z1, z2) = (0, iz2)
geram ~PC2(S1) sobre PC2(S1).
Lembrando que δ(z1, z2) = (−z1, z2), fixe δ = (0, δ) ∈ (S1oZ2)− = S1oZ2\S1×id,
onde 0 e o elemento neutro do grupo S1. E facil ver que u1 e u2 sao invariantes por δ.
Agora,
u3(δ(z1, z2)) = u3(−z1, z2) = Re(−z1z2) = −Re(z1z2) = −Re(z1z2) = −u3(z1, z2),
ou seja, u3 ∈ QC2(Z2). Ja u4 e invariante por δ, pois
u4(δ(z1, z2)) = u4(−z1, z2) = Im(−z1z2) = Im(z1z2) = u4(z1, z2).
Assim, por (ii) da Proposicao 3.2.2, S(u1) = S(u2) = S(u4) ≡ 0, e S(u3) = u3. Definindo
S(u0) ≡ 1, construımos Hij = S(ui)Hj e calculamos ~S(Hij), para todo i = 0, · · · , 4,
j = 0, · · · , 7 com os operadores S e ~S definidos em (3.5). Entao, faremos os calculos
apenas para H0j = Hj e H3j = u3Hj com j = 0, · · · , 7, visto que Hij = 0 para i = 1, 2, 4.
90
Temos
H0(δ(z1, z2)) = H0(−z1, z2) = (−z1, 0) = δ(z1, 0) = δH0(z1, z2),
H1(δ(z1, z2)) = H1(−z1, z2) = (z2, 0) = −δ(z2, 0) = −δH1(z1, z2),
H2(δ(z1, z2)) = H2(−z1, z2) = (−iz1, 0) = −δ(iz1, 0) = −δH2(z1, z2),
H3(δ(z1, z2)) = H3(−z1, z2) = (iz2, 0) = δ(iz2, 0) = δH3(z1, z2),
H4(δ(z1, z2)) = H4(−z1, z2) = (0,−z1) = −δ(0, z1) = −δH4(z1, z2),
H5(δ(z1, z2)) = H5(−z1, z2) = (0, z2) = δ(0, z2) = δH5(z1, z2),
H6(δ(z1, z2)) = H6(−z1, z2) = (0,−iz1) = δ(0, iz1) = δH6(z1, z2),
H7(δ(z1, z2)) = H7(−z1, z2) = (0, iz2) = −δ(0, iz2) = −δH7(z1, z2),
ou seja, H0, H3, H5, H6 ∈ ~PC2(Z2) e H1, H2, H4, H7 ∈ ~QC2(Z2). Portanto, novamente por
(ii) da Proposicao 3.2.2, temos ~S(Hi) ≡ 0 para i = 0, 3, 5, 6 e ~S(Hj) = Hj, para j =
1, 2, 4, 7. Agora, como S(u3) = u3 ∈ QC2(Z2) entao, pelo Lema 3.1.7, temos u3H0, u3H3,
u3H5, u3H6 ∈ ~QC2(Z2) e u3H1, u3H2, u3H4, u3H7 ∈ ~PC2(Z2). Novamente pela Proposicao
3.2.2, ~S(H3j) = H3j, para j = 0, 3, 5, 6 e ~S(H3j) ≡ 0 para j = 1, 2, 4, 7. Dessa forma,
~S(Hi) = Hi e ~S(H3j) = H3j = u3Hj para i = 1, 2, 4, 7 e j = 0, 3, 5, 6, determinam os
geradores do modulo ~Q2(S1 o Z2) sobre o anel PC2(S1 o Z2). Mais especificamente,
K1(z1, z2) = H1(z1, z2) = (z2, 0)
K2(z1, z2) = H2(z1, z2) = (iz1, 0)
K3(z1, z2) = H30(z1, z2) = Re(z1z2)(z1, 0)
K4(z1, z2) = H33(z1, z2) = Re(z1z2)(iz2, 0)
K5(z1, z2) = H4(z1, z2) = (0, z1)
K6(z1, z2) = H7(z1, z2) = (0, iz2)
K7(z1, z2) = H35(z1, z2) = Re(z1z2)(0, z2)
K8(z1, z2) = H36(z1, z2) = Re(z1z2)(0, iz1),
geram ~QC2(S1 o Z2) sobre PC2(S1 o Z2).
91
Precisamos ainda calcular uma base de Hilbert para PC2(S1 oZ2). Como conhecemos
uma base de PC2(S1), basta utilizarmos o Teorema 3.2.9 tomando Γ+ = S1. Calculos
diretos mostram que u1, u2 e u4 sao invariantes e u3 e anti-invariante pela acao de S1 oZ2
dada em (4.6). Entao R(uj) = uj, R(u3) ≡ 0 ≡ S(uj) e S(u3) = u3 para todo j = 1, 2, 4,
gracas a Proposicao 3.2.2. Assim,
u1(z1, z2) = |z1|2, u2(z1, z2) = |z2|2, u4(z1, z2) = Im(z1z2) e (u3(z1, z2))2 = (Re(z1z2))2
compoem uma base de Hilbert para PC2(S1 o Z2), segundo o Teorema 3.2.9.
Portanto, uma forma normal Z2-reversıvel-equivariante para o sistema (4.1) em que
α = β na linearizacao L e dada por
z = L(z) +8∑j=1
fj(z)Kj(z),
com z = (z1, z2) ∈ C2 e fj ∈ PC2(S1 o Z2) para j = 1, · · · , 8. Lembrando que L pode ser
escrita como (4.5), uma forma normal para o sistema em questao e entaoz1 = αiz1 + f1(z1, z2)z2 + f2(z1, z2)iz1 + f3(z1, z2)Re(z1z2)z1 + f4(z1, z2)Re(z1z2)iz2
z2 = βiz2 + f5(z1, z2)z1 + f6(z1, z2)iz2 + f7(z1, z2)Re(z1z2)z2 + f8(z1, z2)Re(z1z2)iz1
onde ft com t = 1, · · · , 8 e da forma
ft(z1, z2) =∞∑
i+j+k+l=1
aijkl(|z1|2)i(|z2|2)j(Im(z1z2))k((Re(z1z2))2)l,
com aijkl ∈ R.
4.1.3 Caso p : q
Suponha agora que existam p, q ∈ Z, tais que qα−pβ = 0. Sem perda de generalidade
podemos supor que p e q sao primos entre si. Entao β =q
pα e reescrevemos L em (4.5)
como
L =
αi 0
0q
pαi
. (4.8)
92
Assim como no caso anterior, temos pela Proposicao 3.4.12 que S definido em (3.29) e o
grupo do cırculo S1. Para determinar uma acao apropriada de S1 em C2, determinemos
como pode ser escrito o grupo S. Pela definicao de R dada em (3.28) temos3
R =
Rθ 0
0 R qpθ
; θ ∈ R eq
p∈ Q
.
Por [26, Secao 6.1, Exemplo 5] temos que R e fechado e compacto em T 2 e, portanto,
R = S. Note que, por meio de um isomorfismo de grupos, podemos considerar
S =
Rpθ 0
0 Rqθ
; θ ∈ R
∼= S1
de modo que S age em C2 como produto de matriz por vetor, ou seja, θ(z1, z2) =
(epiθz1, eiqθz2), para todo θ ∈ R, (z1, z2) ∈ C2.
Novamente, usamos o Algoritmo 3.2.8. Como PC2((S1 o Z2)+) = PC2(S1), bem como
~PC2((S1 o Z2)+) = ~PC2(S1), ja obtivemos pelos Exemplos 2.2.7 e 2.3.7 que
u1(z1, z2) = |z1|2, u2(z1, z2) = |z2|2, u3(z1, z2) = Re(zq1zp2) e u4(z1, z2) = Im(zq1z
p2)
formam uma base de Hilbert para o anel dos invariantes PC2(S1) e que as aplicacoes
H0(z1, z2) =(z1, 0), H1(z1, z2) = (iz1, 0), H2(z1, z2) = (zq−11 zp2 , 0), H3(z1, z2) = (izq−1
1 zp2 , 0),
H4(z1, z2) =(0, z2), H5(z1, z2) = (0, iz2), H6(z1, z2) = (0, zq1zp−12 ) e H7(z1, z2) = (0, izq1z
p−12 )
compoem um conjunto de geradores para o modulo ~PC2(S1) sobre o anel PC2(S1).
Ja vimos na subsecao anterior que u1 e u2 sao invariantes por δ = (0, δ), cuja acao
tambem e dada por (4.6), o que implica em S(u1) = S(u2) ≡ 0, para S como em (3.5).
Vejamos o que ocorre com u3 e u4. Temos que
u3(δ(z1, z2)) = u3(−z1, z2) = Re((−z1)qzp2) = Re((−1)qz1qzp2)
=
Re(zq1z2
p), se q e par
−Re(zq1z2p), se q e ımpar
3Basta calcular erLt
, com r ∈ R e considerar θ = rα.
93
e, consequentemente, pelo item (ii) da Proposicao 3.2.2,S(u3) ≡ 0, se q e par
S(u3) = u3, se q e ımpar.
Fazendo a mesma analise para u4 temos queS(u4) = u4, se q e par
S(u4) ≡ 0, se q e ımpar.
Convencionando S(u0) ≡ 1, vamos calcular Hij = S(ui)Hj e depois ~S(Hij), com i =
0, · · · , 4 e j = 0, · · · , 7. Mas antes note que4
H0(δ(z1, z2)) = H0(−z1, z2) = (−z1, 0) = δH0(z1, z2),
H1(δ(z1, z2)) = H1(−z1, z2) = (−iz1, 0) = −δH1(z1, z2),
H2(δ(z1, z2)) = H2(−z1, z2) = ((−z1)q−1z2p, 0) =
δH2(z1, z2), se q e par
−δH2(z1, z2), se q e ımpar
,
H3(δ(z1, z2)) = H3(−z1, z2) = (i(−z1)q−1z2p, 0) =
−δH3(z1, z2), se q e par
δH3(z1, z2), se q e ımpar
,
H4(δ(z1, z2)) = H4(−z1, z2) = (0, z2) = δH4(z1, z2),
H5(δ(z1, z2)) = H5(−z1, z2) = (0, iz2) = −δH5(z1, z2),
H6(δ(z1, z2)) = H6(−z1, z2) = (0, (−z1)qzp−12 ) =
δH6(z1, z2), se q e par
−δH6(z1, z2), se q e ımpar
,
H7(δ(z1, z2)) = H3(−z1, z2) = (0, i(−z1)qzp2) =
−δH7(z1, z2), se q e par
δH7(z1, z2), se q e ımpar
.
Assim sendo, H0, H4 ∈ ~PC2(S1), H1, H5 ∈ ~QC2(S1) e os demais casos dependem de q. Por
isso, vamos dividir nos casos: q par e q ımpar.
(i) q e par.
4Para as aplicacoes H0, H1, H4 e H5 as contas ja foram feitas na subsecao anterior, la denotadas por
H0, H2, H5 e H7, respectivamente.
94
Neste caso, S(u1) = S(u2) = S(u3) ≡ 0 e S(u4) = u4. Entao, ao formarmos Hij =
S(ui)Hj temos apenas os elementos H0j = Hj e H4j = u4Hj para j = 1, · · · , 7. Como q e
par, da analise anterior segue que H2, H6 ∈ ~PC2(S1) e H3, H7 ∈ ~QC2(S1). Pela Proposicao
3.2.2 temos ~S(Hj) ≡ 0 para todo j = 0, 2, 4, 6, pois nestes casos Hj ∈ ~PC2(S1). Alem
disso, ~S(Hj) = Hj se j = 1, 3, 5, 7, pois estes pertencem a ~QC2(S1). Pelo Lema 3.1.7
temos que u4Hk ∈ ~QC2(S1) se k = 0, 2, 4, 6 e u4Hj ∈ ~PC2(S1) se j = 1, 3, 5, 7. Entao,
novamente pelo item (ii) da Proposicao 3.2.2 temos S(u4)Hk = u4Hk e ~S(u4Hj) ≡ 0
para todo k = 0, 2, 4, 6 e j = 1, 3, 5, 7. Portanto, pelo Algoritmo 3.2.8, as aplicacoes
~S(u4Hk) = u4Hk geram ~QC2(S1) sobre PC2(S1), para k = 0, 2, 4, 6 e j = 1, 3, 5, 7. Ou seja,
as aplicacoes
K1(z1, z2) = (iz1, 0), K2(z1, z2) = (izq−11 zp2 , 0), K3(z1, z2) = Im(zq1z
p2)(z1, 0),
K4(z1, z2) = Im(zq1zp2)(zq−1
1 zp2 , 0), H5(z1, z2) = (0, iz2), K6(z1, z2) = (0, izq1zp−12 ),
K7(z1, z2) = Im(zq1zp2)(0, z2), K8(z1, z2) = Im(zq1z
p2)(0, zq1z
p−12 )
geram ~QC2(S1 o Z2) sobre PC2(S1 o Z2).
Para a forma normal, resta encontrar uma base de Hilbert para PC2(SoZ2). Considere
R e S como definidos em (3.4) e (3.5), respectivamente. Sabemos que S(uj) ≡ 0 se
j = 1, 2, 3 e S(u4) = u4. Portanto, R(uj) = uj se j = 1, 2, 3 e R(u4) ≡ 0. Logo, o Teorema
3.2.9 nos da que
u1(z1, z2) = |z1|2, u2(z1, z2) = |z2|2, u3(z1, z2) = Re(zq1zp2), (u4(z1, z2))2 = (Im(zq1z
p2))2
formam uma base de Hilbert para PC2(S1 o Z2).
Portanto, se q e par, uma forma normal Z2-reversıvel-equivariante para (4.1) e dada
por
z = L(z) +8∑j=1
fj(z)Kj(z), (4.9)
com z = (z1, z2) ∈ C2, fj ∈ PC2(S1 o Z2) e Kj os geradores de ~QC2(S1 o Z2) para
95
j = 1, · · · , 8. Lembrando que L e como em (4.8), temos a forma normal
z1 = αiz1 + f1(z1, z2)iz1 + f2(z1, z2)iz1q−1zp2 + f3(z1, z2)Im(zq1z2
p)z1+
+f4(z1, z2)Im(zq1z2p)z1
q−1zp2
z2 =q
pαiz2 + f5(z1, z2)iz2 + f6(z1, z2)izq1z2
p−1 + f7(z1, z2)Im(zq1z2p)z2+
+f8(z1, z2)Im(zq1z2p)zq1z2
p−1.
onde os ft’s sao da forma
ft(z1, z2) =∞∑
i+j+k+l=1
aijkl(|z1|2)i(|z2|2)j(Re(zq1z2p))k((Im(zq1z2
p))2)l,
com aijkl ∈ R.
(ii) q e ımpar.
Neste caso, S(u1) = S(u2) = S(u4) ≡ 0 e S(u3) = u3. Logo, consideramos apenas
H0j = Hj e H3j = u3Hj para j = 1, · · · , 7. Procedendo como no caso anterior, temos
~S(H0) = ~S(H3) = ~S(H4) = ~S(H7) = ~S(H31) = ~S(H32) = ~S(H35) = ~S(H36) ≡ 0,
~S(Hj) = Hj se j = 1, 2, 5, 6 e ~S(H3k) = H3k se k = 0, 3, 4, 7. Portanto, pelo Algoritmo
3.2.8 temos que as aplicacoes
K1(z1, z2) = (iz1, 0), K2(z1, z2) = (zq−11 zp2 , 0), K3(z1, z2) = Re(zq1z
p2)(z1, 0),
K4(z1, z2) = Re(zq1zp2)(izq−1
1 zp2 , 0), K5(z1, z2) = (0, iz2), K6(z1, z2) = (0, zq1zp−12 ),
K7(z1, z2) = Re(zq1zp2)(0, z2), K8(z1, z2) = Re(zq1z
p2)(0, izq1z
p−12 )
geram ~QC2(S1 o Z2) sobre PC2(S1 o Z2).
Como R(u1) = u1, R(u2) = u2 e para q ımpar tambem temos R(u3) ≡ 0 e R(u4) = u4,
entao S(u1) = S(u2) = S(u4) ≡ 0 e S(u3) = u3 de onde, pelo Teorema 3.2.9, segue que
u1(z1, z2) = |z1|2, u2(z1, z2) = |z2|2, (u3(z1, z2))2 = (Re(zq1zp2))2 e u4(z1, z2) = Im(zq1z
p2)
formam uma base de Hilbert para PC2(S1 o Z2).
Portanto, para q ımpar, uma forma normal Z2-reversıvel-equivariante para (4.1) e dada
96
por (4.9) onde L e como em (4.8), ou seja,
z1 = αiz1 + f1(z1, z2)iz1 + f2(z1, z2)z1q−1zp2 + f3(z1, z2)Re(zq1z2
p)z1+
+f4(z1, z2)Re(zq1z2p)iz1
q−1zp2
z2 =q
pαiz2 + f5(z1, z2)iz2 + f6(z1, z2)zq1z2
p−1 + f7(z1, z2)Re(zq1z2p)z2+
+f8(z1, z2)Re(zq1z2p)izq1z2
p−1,
onde os ft’s sao da forma
ft(z1, z2) =∞∑
i+j+k+l=1
aijkl(|z1|2)i(|z2|2)j(Re(zq1z2p))2k(Im(zq1z2
p))l,
para todo t = 1, · · · , 8 com aijkl ∈ R.
4.2 Forma normal D4−reversıvel-equivariante para o
caso generico.
Nesta secao vamos calcular uma forma normal para o sistema Hamiltoniano (4.1)
com parte linear L como em (4.2), para o caso em que αβ−1 /∈ Q e XH e D4-reversıvel-
equivariante. Para isso, consideramos o grupo diedral D4 = id, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3,
onde r4 = s2 = id e rs = sr−1, que e um grupo de Lie linear pois e finito.
Considere G = 〈φ, ψ〉 um grupo nao-comutativo de difeomorfismos cujos geradores sao
involucoes tais que (φψ)2 = (ψφ)2 e φ(0) = ψ(0) = 0. Por [23, Lema 2.18] temos que G e
isomorfo ao grupo diedral D4 — o grupo de simetrias do quadrado. Para ver isto, basta
considerar o isomorfismo T : D4 → G definido por
T (r) = φψ e T (s) = ψ.
Pelo Teorema de Montgomery-Bochner citado em [23], existe uma mudanca de coordena-
das de modo que cada difeomorfismo φ, ψ seja linear. Mais do que isso, por [23, Corolario
2.20], se G′ e o grupo linearizado correspondente a G, dado pelo Teorema de Montgomery-
Bochner, entao G′ tambem e isomorfo a D4. Por fim, Martins mostra em [23, Corolario
2.25] que se um campo de vetores X : R4 → R4 e D4-reversıvel-equivariante, onde r e
97
s agem como antissimetrias em V, entao existe um sistema de coordenadas onde X e
Gj-reversıvel-equivariante para algum dos grupos Gj dados por
G1 = 〈A,B1〉 , G2 = 〈A,B2〉 , G3 = 〈A,B3〉
G4 = 〈A,B4〉 , G5 = 〈A,B5〉 , G6 = 〈A,B6〉 ,
onde
A =
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 1
e
B1 =
0 −1 0 0
−1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
, B2 =
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
, B3 =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
,
B4 =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
, B5 =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 1
, B6 =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
agem como antissimetrias em R4.
Vamos assumir aqui que o campo XH em (4.1) e G1-reversıvel-equivariante, onde A e
B1 sao antissimetrias de G1. Note que, de fato, L em (4.2) anticomuta com A e B1, ou
seja, L e G1-reversıvel-equivariante.
Suponha que αβ−1 /∈ Q. Vamos mostrar agora que a forma normal G1-reversıvel-
equivariante de (4.1) coincide com a forma normal Z2−reversıvel-equivariante obtida na
Subsecao 4.1.1.
98
Como A e B1 sao antissimetrias de Γ = G1, entao os elementos
γ1 = AB1 =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, γ2 = B1A =
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
γ3 = (AB1)2 =
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
,
juntamente com a matriz identidade, formam o subgrupo das simetrias (G1)+, que de-
notamos aqui simplesmente por Γ+ = id, γ1, γ2, γ3. Considerando a acao de G1 em R4
como o produto de matriz por vetor, temos
γ1(x1, x2, y1, y2) = (x2,−x1,−y1,−y2),
γ2(x1, x2, y1, y2) = (−x2, x1,−y1,−y2),
γ3(x1, x2, y1, y2) = (−x1,−x2, y1, y2),
para todo (x1, x2, y1, y2) ∈ R4. Para calcularmos a forma normal, precisamos de um con-
junto de geradores para ~QR4(SoG1) sobre o anel PR4(SoG1), onde S e determinado como
em (3.29). Pelo Algoritmo 3.2.8, para determinar tal conjunto de geradores, precisamos
primeiro de uma base de Hilbert para PR4(S o Γ+) e um conjunto de geradores para o
modulo ~PR4(S o Γ+) sobre PR4(S o Γ+), uma vez que, assumindo S como um grupo de
simetrias, temos (S oG1) = S o Γ+.
Comecamos lembrando que o grupo S para o caso generico ja foi obtido na Subsecao
4.1.1, sendo S = T 2. Se f ∈ PR4(T 2 o Γ+), entao f ∈ PR4(T 2) ∩ PR4(Γ+). Pelo Exemplo
3.3.6 temos, para n = 2 e usando coordenadas reais, que
f(x1, x2, y1, y2) =∑
aαβ(x21 + x2
2)α(y21 + y2
2)β,
com aαβ ∈ R. Atraves de calculos simples verificamos que
f(γi(x1, x2, y1, y2)) = f(x1, x2, y1, y2),
99
para todo i = 1, 2, 3, ou seja, f e invariante por Γ+. Assim, PR4(T 2 o Γ+) = PR4(T 2) e
uma base de Hilbert para PR4(T 2 o Γ+) e dada pelas funcoes
u1(x1, x2, y1, y2) = x21 + x2
2 e u2(x1, x2, y1, y2) = y21 + y2
2. (4.10)
Para os equivariantes, se g ∈ ~PR4(T 2 o Γ+) entao g ∈ ~PR4(T 2) ∩ ~PR4(Γ+). Pelo Exemplo
3.3.6, novamente para n = 2 e usando coordenadas reais, podemos escrever
g(x) = f1(x)(x1, x2, 0, 0) + f2(x)(−x2, x1, 0, 0) + f3(x)(0, 0, y1, y2) + f4(x)(0, 0,−y2, y1)
onde x = (x1, x2, y1, y2) ∈ R4 e fj ∈ PR4(T 2), j = 1, · · · , 4, ou seja,
g(x) = (f1(x)x1 − f2(x)x2, f1(x)x2 + f2(x)x1, f3(x)y1 − f4(x)y2, f3(x)y2 + f4(x)y1).
Como fj ∈ PR4(T 2) = PR4(T 2 o Γ+), entao f(γjx) = fj(x) para todo x ∈ R4 e j = 1, 2, 3.
Logo,
g(γ1(x1, x2, y1, y2)) = g(x2,−x1,−y1,−y2)
= (f1(x)x2 + f2(x)x1,−f1(x)x1 + f2(x)x2,
− f3(x)y1 + f4(x)y2,−f3(x)y2 − f4(x)y1)
= γ1g(x1, x2, y1, y2),
para todo (x1, x2, y1, y2) ∈ R4. Analogamente, temos que g(γjx) = γjg(x) para j = 2, 3,
mostrando que g ∈ ~PR4(Γ+). Logo,
H0(x1, x2, y1, y2) = (x1, x2, 0, 0), H1(x1, x2, y1, y2) = (−x2, x1, 0, 0)
H2(x1, x2, y1, y2) = (0, 0, y1, y2), H3(x1, x2, y1, y2) = (0, 0,−y2, y1)
geram ~PR4(T 2 o Γ+) sobre PR4(T 2 o Γ+).
Seguindo o Algoritmo 3.2.8, defina S(u0) ≡ 1 e fixe a antissimetria δ = (s, A) ∈
(T 2 oG1)−, com s = (0, 0) o elemento neutro de T 2, de onde
δ(x1, x2, y1, y2) = (−x1, x2,−y1, y2).
Como u1(δ(x1, x2, y1, y2)) = u1(x1, x2, y1, y2) e u2(δ(x1, x2, y1, y2)) = u2(x1, x2, y1, y2), te-
mos S(u1) = S(u2) ≡ 0, por (ii) da Proposicao 3.2.2. Com isso, precisamos avaliar o
100
operador ~S apenas em H0j = S(u0)Hj = Hj, para j = 0, · · · , 3. Observe que
H0(δ(x1, x2, y1, y2)) =H0(−x1, x2,−y1, y2) = (−x1, x2, 0, 0) = δH0(x1, x2, y1, y2),
H1(δ(x1, x2, y1, y2)) =H1(−x1, x2,−y1, y2) = (−x2,−x1, 0, 0) = −δH1(x1, x2, y1, y2),
H2(δ(x1, x2, y1, y2)) =H2(−x1, x2,−y1, y2) = (0, 0,−y1, y2) = δH2(x1, x2, y1, y2),
H3(δ(x1, x2, y1, y2)) =H3(−x1, x2,−y1, y2) = (0, 0,−y2,−y1) = −δH3(x1, x2, y1, y2),
implicando que ~S(H0) = ~S(H2) ≡ 0, ~S(H1) = H1 e ~S(H3) = H3, diretamente pela
definicao de ~S dada em (3.5). Pelo Algoritmo 3.2.8,
~QR4(T 2 oG1) = PR4(T 2 oG1)H1, H3.
Como u1 e u2 em (4.10) sao invariantes por T 2 o Γ+ e por δ, temos que R(u1) = u1 e
R(u2) = u2, diretamente pela definicao de R em (3.4). Logo, S(u1) = S(u2) ≡ 0, de
onde segue que u1, u2 e uma base de Hilbert para PR4(T 2 o G1), pelo Teorema 3.2.9.
Portanto, a forma normal D4-reversıvel equivariante de (4.1) para o presente caso e dada
por
x = L(x) + f0(x)H1(x) + f1(x)H3(x),
com x = (x1, x2, y1, y2) ∈ R4 e fj ∈ PR4(T 2 o G1), o que resulta na forma normal Z2-
reversıvel-equivariante (4.7) obtida na Subsecao 4.1.1.
Observacao 4.2.1. De modo analogo, e possıvel mostrar que a forma normal nao se altera
se considerarmos que o campo XH em (4.1) e Gj-reversıvel-equivariante para j = 2, · · · , 8.
Isto porque os aneis PR4(T 2 oΓ+) e os modulos ~PR4(T 2 oΓ+) sao identicos para qualquer
Γ = Gj, com j = 1, · · · , 8, bem como a antissimetria δ fixada pode sempre ser escolhida
como δ = (s, A), com s o elemento neutro de T 2.
4.3 Forma normal Zφ2 × Zψ2−reversıvel-equivariante
Nosso objetivo nesta secao e obter uma forma normal Zφ2 ×Zψ2 -reversıvel-equivariante
para o sistema Hamiltoniano (4.1), com XH : R2n+2 → R2n+2 um campo de vetores de
classe C∞ tal que XH(0) = 0 e cuja linearizacao M = dXH(0) tem a forma matricial
101
(4.3). Lembramos que M e nao ressonante e φ e ψ sao involucoes que comutam entre si
agindo como antissimetrias em R2n+2.
Antes de prosseguirmos com o nosso objetivo, apresentamos alguns resultados que nos
ajudarao com os calculos. Sejam Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espaco
vetorial real de dimensao finita V e σ : Γ → Z2 um epimorfismo. Se Γ+ = kerσ admite
um subrupo normal de ındice 2, digamos Γ∗, entao podemos definir um novo epimorfismo
de grupos por
σ : Γ → Z2
γ 7−→
1, se γ ∈ Γ∗
−1, se γ ∈ Γ\Γ∗,
(4.11)
onde Γ = Γ+, de modo que Γ+ = ker σ = Γ∗.
Definido σ, fixe δ ∈ Γ\Γ+ e considere os operadores e σ-operadores de Reynolds
R, S : PV (Γ+) → PV (Γ+), ~R, ~S : ~PV (Γ+) → ~PV (Γ+) como definidos em (3.4) e (3.5)
trocando δ por δ nas respectivas definicoes. Assim sendo, todos os resultados da Secao
3.2 valem trocando Γ por Γ, R por R, S por S, ~R por ~R, ~S por ~S e δ por δ. Em especial,
relembramos aqui dois resultados ja demonstrados na Subsecao 3.2.2 (Teoremas 3.2.9 e
3.2.10, respectivamente), os quais serao facilitadores na aplicacao do Algoritmo 3.2.8 logo
a seguir.
Teorema 4.3.1. Se v1, · · · , vs e uma base de Hilbert para PV (Γ+), entao o conjunto
R(vi), S(vi)S(vj); 1 ≤ i, j ≤ s e uma base de Hilbert para o anel PV (Γ).
Teorema 4.3.2. Sejam v1, · · · , vs um base de Hilbert para PV (Γ+) e K0, · · · , Kr um
conjunto de geradores para ~PV (Γ+) sobre PV (Γ+). Defina S(v0) ≡ 1 e construa o conjunto
Kij = S(vi)Kj; 0 ≤ i ≤ s e 0 ≤ j ≤ r. Entao, ~R(Kij); 0 ≤ i ≤ s e 0 ≤ j ≤ r e um
conjunto gerador para o modulo ~PV (Γ) sobre PV (Γ).
Portanto, se Γ = Γ+ admite um subgrupo normal de ındice 2, podemos encontrar
uma base de Hilbert para PV (Γ+) e geradores do modulo ~PV (Γ+) sobre PV (Γ+) por meio
dos Teoremas 4.3.1 e 4.3.2, respectivamente. Tais elementos podem nao ser tao faceis de
encontrar, no entanto sao elementos de entrada do Algoritmo 3.2.8 e, assim, necessarios
para a determinacao da forma normal nesta secao.
102
Considere as involucoes
φ =
1
−1 0. . .
0 1
−1
e ψ =
a0
−a0 0. . .
0 an
−an
(4.12)
com ak = ±1, para todo 0 ≤ k ≤ n. Como ambas sao involucoes, cada uma gera um
grupo de ordem 2 isomorfo a Z2, denotados aqui por Zφ2 e Zψ2 , respectivamente. Por meio
de calculos simples e possıvel verificar que φ e ψ anticomutam com a matriz M dada em
(4.3) e comutam entre si. Logo, φ e ψ geram o produto direto
Zφ2 × Zψ2 = (id, id), (id, ψ), (φ, id), (φ, ψ),
onde id e o elemento identidade dos grupos. Note que quando ai = 1 para todo i =
0, · · · , n temos φ = ψ e, neste caso, o grupo Zφ2 × Zψ2 e isomorfo a Zφ2 . Alem disso, como
Zφ2 e Zψ2 agem em R2n+2 pelo produto de matriz por vetor, definimos a acao de Zφ2 × Zψ2em R2n+2 por (3.11), onde γ1x e a acao de Zφ2 em R2n+2 e γ2x e a acao de Zψ2 em R2n+2.
Garantimos que essa operacao e uma acao de Zφ2 × Zψ2 em R2n+2 pela Proposicao 3.3.2,
uma vez que as acoes de Zφ2 e Zψ2 comutam.
Suponhamos que φ e ψ agem como antissimetrias em R2n+2. Entao podemos fixar o
epimorfismo
σ : Γ → Z2
(id, ψ) 7−→ −1
(φ, id) 7−→ −1,
(4.13)
de modo que (id, ψ) e (φ, id) sao antissimetrias de Zφ2 × Zψ2 .
Por conveniencia vamos usar coordenadas complexas (x, z) = (x1, x2, z1, · · · , zn) ∈
R2 × Cn. Entao as acoes de φ e ψ em R2 × Cn se tornam, naturalmente,
φ(x1, x2, z1, · · · , zn) = (x1,−x2, z1, · · · , zn) e
ψ(x1, x2, z1, · · · , zn) = (a0x1,−a0x2, a1z1, · · · , anzn),
103
onde ak = ±1, 0 ≤ k ≤ n.
Pelo Teorema 3.5.8, para calcular a forma normal Zφ2 ×Zψ2−reversıvel-equivariante de
(4.1), precisamos encontrar geradores para o modulo ~QR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) sobre o anel
PR2×Cn(SoZφ2×Zψ2 ), onde S e como em (3.29) tomando L = M em (4.3). Como ω1, · · · , ωn
sao algebricamente independentes, temos pela Proposicao 3.4.12 que S = R × T n, onde
R ∼=
1 0
r 1
; r ∈ R
5 e T n e o n-toro.
A acao considerada de R×T n em R2×Cn e a acao diagonal dada a partir das seguintes
acoes de R em R2 e T n em Cn :
r(x1, x2) = (x1, rx1 + x2) e (θ1, · · · , θn)(z1, · · · , zn) = (eiθ1z1, · · · , eiθnzn), (4.14)
para todo r ∈ R e (θ1, · · · , θn) ∈ T n.
Agora, para encontrar os geradores de ~QR2×Cn(SoZφ2×Zψ2 ) sobre PR2×Cn(SoZφ2×Zψ2 )
vamos utilizar o Algoritmo 3.2.8. O primeiro passo e encontrar uma base de Hilbert
para PR2×Cn((S o Zφ2 × Zψ2 )+) = PR2×Cn(S o (Zφ2 × Zψ2 )+), onde a igualdade vale pois
estamos assumindo que S possui somente simetrias. Para isso, denote Γ = (Zφ2 × Zψ2 )+ =
(id, id), (φ, ψ) e Λ = S o Γ. Para encontrar uma base de Hilbert para PR2×Cn(Λ),
comecamos determinando uma base de Hilbert para PR2×Cn(Λ+) = PR2×Cn((S o Γ)+) =
PR2×Cn(S o Γ+). Note que Γ admite um subgrupo normal de ındice 2, a saber (id, id).
Definindo σ como em (4.11) com Γ∗ = (id, id), obtemos Γ+ = (id, id). Logo,
PR2×Cn(Λ+) = PR2×Cn(S o (id, id)) = PR2×Cn(S) ∩ PR2×Cn((id, id))
= PR2×Cn(S), (4.15)
onde a segunda igualdade segue da Proposicao 3.3.3.
Agora, lembrando que S = R × T n age diagonalmente em R2 × Cn, nos aplicamos
o Lema 3.3.5 nos Exemplos 3.3.6 e 3.4.15 a fim de obter uma base de Hilbert para
5Para determinar R nos usamos o Exemplo 3.4.11, uma vez que a parte nilpotente de M e dada por
N =
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.
104
PR2×Cn(S). Mais especificamente, pelo Exemplo 3.4.15, uma base de Hilbert para PR2(R)
e dada por u(x1, x2) = x1. Pelo Exemplo 3.3.6, uma base de Hilbert para PCn(T n) e
|z1|2, · · · , |zn|2. Entao, pelo Lema 3.3.5
v1(x, z) = x1, v2(x, z) = |z1|2, · · · , vn+1(x, z) = |zn|2
formam uma base de Hilbert para PR2×Cn(S) = PR2×Cn(Λ+). Defina R, S : PR2×Cn(Λ+)→
PR2×Cn(Λ+) como em (3.4) e (3.5), trocando Γ+ por Λ+ e δ por δ, onde δ ∈ Λ− = Λ\Λ+
e uma antissimetria fixada de Λ. Como Λ+ = (S o Γ)+ = S o Γ+ = S × (id, id),
entao podemos tomar δ = (s, (φ, ψ)), com s o elemento neutro do grupo S, ou seja,
s = (I2, 0, · · · , 0), onde I2 e a matriz identidade. Veja que
(φ, ψ)(x, z) = φ(ψ(x, z)) = (a0x1, a0x2, a1z1, · · · , anzn) (4.16)
para todo (x, z) ∈ R2 × Cn, e uma vez que ak = ±1 para todo k = 0, · · · , n, temos
vi(δ(x, z)) = vi(s(φ(ψ(x, z)))) = vi(φ(ψ(x, z))) = |ai−1zi−1|2 = |zi−1|2 = vi(x, z),
para todo i = 2, · · · , n+ 1 e (x, z) ∈ R2 × Cn, onde a segunda igualdade segue pois cada
vi e invariante por S. Portanto, da definicao de R e S temos
R(vi) = vi e S(vi) ≡ 0, (4.17)
para todo i = 2, · · · , n+ 1. Ainda,
v1(δ(x, y)) = v1(s(φ(ψ(x, z)))) = v1(φ(ψ(x, z))) = a0x1
de onde
R(v1)(x, z) =1
2(x1 + a0x1) e S(v1)(x, z) =
1
2(x1 − a0x1). (4.18)
Pelo Teorema 4.3.1, uma base de Hilbert para PR2×Cn(Λ) = PR2×Cn(S o Γ) e dada pelo
conjunto dos elementosu1(x, z) = x1, u2 = v2, · · · , un+1 = vn+1, se a0 = 1
u1(x, z)2 = x21, u2 = v2, · · · , un+1 = vn+1, se a0 = −1.
105
Para os geradores do modulo ~PR2×Cn(Λ+) da aplicacoes Λ+-equivariantes, note que,
assim como fizemos em (4.15),
~PR2×Cn(Λ+) = ~PR2×Cn(S o (id, id)) = ~PR2×Cn(S).
Pelo Exemplo 3.4.15,
L0(x1, x2) = (x1, x2) e L1(x1, x2) = (0, 1)
geram ~PR2(R) sobre PR2(R) e, pelo Exemplo 3.3.6,
~PCn(T n) = PCn(T n)(z1, 0 · · · , 0), (iz1, 0 · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, zn), (0, · · · , 0, izn).
Assim, lembrando que S = R× T n e aplicando novamente o Lema 3.3.5 vemos que
K0(x, z) = (x1, x2, 0, · · · , 0), K1(x, z) = (0, 1, 0, · · · , 0), K2(x, z) = (0, 0, z1, 0, · · · , 0),
K3(x, z) = (0, 0, iz1, 0, · · · , 0), · · · , K2n(x, z) = (0, · · · , 0, zn) e
K2n+1(x, z) = (0, · · · , 0, izn)
sao os geradores de ~PR2×Cn(Λ+) = ~PR2×Cn(S) sobre PR2×Cn(S). O proximo passo agora
e utilizar o Teorema 4.3.2, substituindo Γ+ por Λ+ la, a fim de obter os geradores de
~PR2×Cn(Λ) = ~PR2×Cn(S o Γ). Defina S(v0) ≡ 1 e considere os casos: a0 = 1 e a0 = −1.
(i) Se a0 = 1, S(vi) ≡ 0 para todo i = 1, · · · , n + 1, por (4.17) e (4.18). Logo,
Kij = S(vi)Kj = Kj para todo j = 0, 1, · · · , 2n + 1. Lembrando que δ = (s, (φ, ψ)) para
s = (I2, 0, · · · , 0), entao δ−1 = δ e, de (4.14) e (4.16), temos
δ−1K0(δ(x, z)) = δK0(a0x1, a0x2, a1z1, · · · , anzn) = δ(a0x1, a0x2, 0, · · · , 0)
= (a20x1, a
20x2, 0, · · · , 0), (4.19)
δ−1K1(δ(x, z)) = δK1(a0x1, a0x2, a1z1, · · · , anzn) = δ(0, 1, 0, · · · , 0)
= (0, a0, 0, · · · , 0). (4.20)
Como a0 = 1 temos δ−1K0(δ(x, z)) = K0(x, z) e δ−1K1(x, z). Para os demais j =
106
2, · · · , 2n+ 1,
δ−1Kj(δ(x, z)) = δKj(a0x1, a0x2, a1z1, · · · , anzn)
=
δ(0, · · · , 0, a j2z j
2, 0, · · · , 0), se j e par
δ(0, · · · , 0, ia j−12z j−1
2, 0, · · · , 0), se j e ımpar
=
(0, · · · , 0, a2j2
z j2, 0, · · · , 0), se j e par
(0, · · · , 0, ia2j−12
z j−12, 0, · · · , 0), se j e ımpar
= Kj(x, z), (4.21)
pois ak = ±1 para todo k ≥ 1. Ou seja, Kj e equivariante por δ para todo j = 0, · · · , 2n+1
e, entao, ~R(Kij) = ~R(Kj) = Kj. Portanto, pelo Teorema 4.3.2, Kj, j = 0, · · · , 2n + 1
e um conjunto de geradores para ~PR2×Cn(S o Γ) sobre PR2×Cn(S o Γ).
(ii) Se a0 = −1, temos S(v1) = v1. Como S(vi) ≡ 0 para os demais i = 2, · · · , n + 1,
construımos o conjunto
Kij = S(vi)Kj; i = 0, 1, j = 0, · · · , 2n+ 1 = Kj, v1Kj; j = 0, · · · , 2n+ 1.
Pelas equacoes (4.19) e (4.20) vemos que δ−1K0(δ(x, z)) = K0(x, z) e δ−1K1(δ(x, z)) =
−K1(x, z), ou seja, K0 e equivariante por δ, K1 e reversıvel-equivariante por δ e, por (4.21)
Kj e equivariante por δ para todo j = 2, · · · , 2n + 1. Assim, ~R(K1) ≡ 0 e ~R(Kj) = Kj
para todo j = 0, 2, · · · , 2n + 1. Pelo Lema 3.1.7, como v1 e anti-invariante por δ, temos
v1K1 equivariante por δ, logo ~R(K11) = ~R(v1K1) = v1K1. Agora, se j 6= 1, temos que
v1Kj e uma aplicacao reversıvel-equivariante por δ e, por isso, ~R(v1Kj) ≡ 0. Portanto, pelo
Teorema 4.3.2, K0, K2, · · · , K2n+1, v1K1 e um conjunto de geradores para ~PR2×Cn(SoΓ)
sobre PR2×Cn(S o Γ).
Agora que temos os invariantes e equivariantes por (S o (Zφ2 × Zψ2 ))+ = S o Γ po-
demos finalmente aplicar o Algoritmo 3.2.8. Novamente, vamos trabalhar com os casos
separadamente.
(i) Se a0 = 1 temos que
u1(x, z) = x1, u2(x, z) = |z1|2, · · · , un+1(x, z) = |zn|2 (4.22)
formam uma base de Hilbert para PR2×Cn(S o Γ) e
H0(x, z) = (x1, x2, 0, · · · , 0), H1(x, z) = (0, 1, 0, · · · , 0), H2(x, z) = (0, 0, z1, 0, · · · , 0),
107
H3(x, z) = (0, 0, iz1, 0, · · · , 0), · · · , H2n(x, z) = (0, · · · , 0, zn) e
H2n+1(x, z) = (0, · · · , 0, izn)
geram ~PR2×Cn(S o Γ) sobre PR2×Cn(S o Γ). Defina S(u0) ≡ 1 e considere os operadores
de Reynolds R, S definidos em (3.4) e (3.5), respectivamente, trocando Γ+ por (So (Zφ2 ×
Zψ2 ))+ = S o Γ e tomando δ em (S o (Zφ2 × Zψ2 ))− = (S o (Zφ2 × Zψ2 ))\S o Γ. Como
Γ = (id, id), (φ, ψ), podemos fixar δ = (s, (φ, id)), onde s = (I2, 0, · · · , 0) e o elemento
neutro de S = R× T n. Entao, por (4.14) temos que
δ(x, z) = (s(φ(id(x, z)))) = φ(x, z) = (x1,−x2z1, · · · , zn),
para todo (x, z) ∈ R2 × Cn, e por (4.22)
u1(δ(x, z)) = x1 = u1(x, z) e uj(δ(x, z)) = |zj|2 = |zj|2 = uj(x, z),
para todo j = 2, · · · , n + 1. Logo, S(ui) ≡ 0 para todo i = 1, · · · , n + 1. Dessa forma,
Hij = S(ui)Hj ≡ 0 se i 6= 0 e H0j = S(u0)Hj = Hj para todo j = 0, · · · , 2n+ 1. Agora,
δ−1H0(δ(x, z)) = δ(x1,−x2, 0, · · · , 0) = H0(x, z),
δ−1H1(δ(x, z)) = δ(0, 1, 0, · · · , 0) = −H1(x, z),
δ−1Hj(δ(x, z)) =
δ(0, · · · , 0, z j2, 0, · · · , 0), se j e par
δ(0, · · · , 0, iz j−12, 0, · · · , 0), se j e ımpar
=
(0, · · · , 0, z j2, 0, · · · , 0), se j e par
(0, · · · , 0,−iz j−12, 0, · · · , 0), se j e ımpar
=
Hj, se j e par
−Hj se j e ımpar,
para todo j ≥ 2. Entao ~S(Hj) ≡ 0 se j e par e ~S(Hj) = Hj se j e ımpar, onde ~S e
o σ-operador de Reynolds definido em (3.5) com Γ+ = S o Γ e δ = (s, (φ, id)). Pelo
Algoritmo 3.2.8, o conjunto Hj, j = 1, 3, · · · , 2n + 1 gera ~QR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) sobre
o anel PR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ). Para calcular a forma normal, precisamos ainda de uma
base de Hilbert para PR2×Cn(S oZφ2 × Zψ2 ), que pelo Teorema 3.2.9 e dada pelo conjunto
108
R(ui) = ui, 1 ≤ i ≤ n + 1 uma vez que cada S(ui) ≡ 0 para todo i = 1, · · · , n + 1.
Portanto, se a0 = 1, uma forma normal Zφ2 × Zψ2−reversıvel-equivariante para o sistema
(4.1) e dada por
x =
0 1
0 0
−iω1
. . .
−iωn
x1
x2
z1
...
zn
+ f0(x, z)
0
1
0...
0
+
+f1(x, z)
0
0
iz1
...
0
+ · · ·+ fn(x, z)
0
0
0...
izn
,
onde fi ∈ PR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) e, portanto, dependem de u1, · · · , un+1.
(ii) Se a0 = −1 temos
u1(x, z)2 = x21, u2(x, z) = |z1|2, · · · , un+1(x, z) = |zn|2 (4.23)
formando uma base de Hilbert para PR2×Cn(S o Γ) e
H0(x, z) = (x1, x2, 0, · · · , 0), H1(x, z) = (0, x1, 0, · · · , 0), H2(x, z) = (0, 0, z1, 0, · · · , 0),
H3(x, z) = (0, 0, iz1, 0, · · · , 0), · · · , H2n(x, z) = (0, · · · , 0, zn) e
H2n+1(x, z) = (0, · · · , 0, izn)
formando um conjunto de geradores para ~PR2×Cn(So Γ) sobre PR2×Cn(So Γ). Neste caso,
para δ = (s, (φ, id)) temos
δ−1H1(δ(x, z)) = δ(0, x1, 0, · · · , 0) = −H1(x, z),
de onde ~S(H1) = H1. Ainda, para j 6= 1, ~S(Hj) ≡ 0 se j e par e ~S(Hj) = Hj se j e
ımpar, como ja mostramos anteriormente no caso em que a0 = 1 (os Hj’s sao os mesmos
desde que j 6= 1). Como cada ui em (4.23) e invariante por δ, para todo i = 2, · · · , n+ 1
109
(tambem ja verificado anteriormente no caso a0 = 1), bem como u21, segue que R(ui) = ui
para todo i = 2, · · · , n + 1 e R(u21) = u2
1, fazendo-nos concluir, pelo Teorema 3.2.9, que
uma base de Hilbert para PR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) e dada pelo conjunto
u21, ui; i = 2, · · · , n+ 1.
Alem disso, por este motivo, S(u21) ≡ 0 e S(ui) ≡ 0 para todo i = 2, · · · , n + 1. Logo,
os Hij’s relevantes no Algoritmo 3.2.8 sao apenas H0j = S(u0)Hj = Hj e, entao, um
conjunto de geradores para ~QR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) e dado por Hj; j = 1, 3, · · · , 2n+ 1.
Portanto, se a0 = −1, uma forma normal Zφ2 ×Zψ2−reversıvel-equivariante para o sistema
(4.1) e dada por
x =
0 1
0 0
−iω1
. . .
−iωn
x1
x2
z1
...
zn
+ f0(x, z)
0
x1
0...
0
+
+f1(x, z)
0
0
iz1
...
0
+ · · ·+ fn(x, z)
0
0
0...
izn
,
onde fi ∈ PR2×Cn(S o Zφ2 × Zψ2 ) para todo 0 ≤ i ≤ n e, portanto, dependem de
u21, u2, · · · , un+1.
4.4 Observacoes Finais
Nas Secoes 4.1 e 4.2, vimos que a matriz L dada em (4.2) e Z2-reversıvel-equivariante,
pois anticomuta com a acao de δ definida em (4.4), e e D4-reversıvel-equivariante, pois
anticomuta com as matrizes A e B1. Na Secao 4.3, vimos tambem que a matriz M dada
em (4.3) e Zφ2 × Zψ2 -reversıvel-equivariante. Vamos mostrar aqui que as matrizes L e M
de fato sao linearizacoes de um sistema Hamiltoniano.
110
Note que existe um campo de vetores Hamiltoniano XH que possui L como parte
linear. Por exemplo, considere o campo XH0 = J1∇H0 com H0(x1, x2, y1, y2) =α
2(x2
1 +
x22) +
β
2(y2
1 + y22) +O(|x|3), onde O(|x|3) denota os termos de ordem maior ou igual a 3, e
J1 =
0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
.
Entao nao e absurdo supormos XH em (4.1) um campo Hamiltoniano com linearizacao
L.
Para a matriz M, seja
J0 =
0 1
−1 0
.
Observe que, para qualquer m ∈ N,
J =
J0 0 · · · 0
0 J0 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · J0
2m
(4.24)
e antissimetrica e det J = 1 6= 0.6 Entao J induz uma forma bilinear antissimetrica ω
(pois J e uma matriz antissimetrica) e nao degenerada (pois det J 6= 0) em R2m. Escreva
2m = 2n+ 2 e tome H : R2n+2 → R definido por
H(x1, · · · , x2n+2) = x22 sinx1 − cosx2 +
ω1
2(x2
3 + x24) + · · ·+ ωn
2(x2
2n+1 + x22n+2) +O(|x|3),
onde ω1, · · · , ωn sao os autovalores da matriz M definida em (4.3). Entao, e possıvel
verificar que M e a linearizacao do campo
XH(x) = J∇H(x),
6Uma propriedade dos determinantes e que, escrevendo det[v1, · · · , vn] para indicar o determi-
nante da matriz cujas colunas sao os vetores v1, · · · , vn ∈ Rn entao det[v1, · · · , vi, · · · , vj , · · · , vn] =
−det[v1, · · · , vj , · · · , vi, · · · , vn]. No nosso caso, fazendo as permutacoes das colunas em J teremos
det J = (−1)m detA onde A e uma matriz diagonal cujo determinante e 1 se m e par e −1 se m e
ımpar. Assim, para qualquer m ∈ N, det J = 1.
111
com x = (x1, · · · , x2n+2) ∈ R2n+2 e J como em (4.24).
Ainda com respeito a Secao 4.3, em (4.12) nos consideramos as involucoes φ e ψ agindo
como antissimetrias em R2n+2. Isto e possıvel pois em [22] os autores provam que esses
sao os unicos pares de involucoes que anticomutam com M e comutam entre si.
Como mencionamos anteriormente, calcular uma base de Hilbert para o anel de inva-
riantes pode nao ser uma tarefa facil, assim como calcular os geradores do modulo dos
equivariantes. Nossa intencao no inıcio deste projeto era aplicar a teoria estudada nos
Capıtulos 2 e 3 para calcular as formas normais dos sistemas Hamiltonianos apresentados
em [23] e comparar as respectivas formas. Infelizmente, alguns casos se tornaram por
demais complicados justamente por nao conseguirmos calcular uma base de Hilbert para
o grupo PV (Γ+), que e a primeira entrada do Algoritmo 3.2.8, assim como um conjunto
de geradores para o modulo ~PV (Γ+) sobre PV (Γ+). Os exemplos malsucedidos se referem
a sistemas Hamiltonianos D4-reversıveis-equivariantes com parte linear L dada em (4.2)
para o caso p : q e sistemas Hamiltonianos Z2−reversıveis-equivariantes com linearizacao0 −α 1 0
α 0 0 1
0 0 0 −β
0 0 β 0
.
Neste ultimo caso, ate mesmo Martins em [23] se conformou com a forma normal dada
pelos indıcios computacionais, pois os calculos usando o metodo classico de Belitskii sao
um tanto quanto delicados.
112
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115
INDICE DE NOTACOES
Mn(R): Grupo de matrizes quadradas de ordem n;
At: Transposta de uma matriz A;
In: Matriz identidade de ordem n;
GL(n): Subgrupo de Mn(R) formado pelas matrizes inversıveis;
GL(V ): Grupo das transformacoes lineares inversıveis de V em V ;
Γ: Grupo de Lie compacto;
Γ+: Subgrupo de Γ de ındice 2, formado pelas simetrias de Γ;
Γ− = Γ\Γ+: Suconjunto formado pelas antissimetrias de Γ;
(ρ, V ): Espaco vetorial real V sob a representacao ρ de Γ;∫γ∈Γ
: Integral de Haar normalizada em Γ;
PV : Anel das funcoes polinomiais f : V → R;
PV (Γ): Anel das funcoes polinomiais Γ-invariantes f : V → R;
P kV : Espaco vetorial das funcoes polinomiais homogeneas f : V → R de grau k;
P kV (Γ) : Espaco vetorial das funcoes f ∈ P k
V que sao Γ-invariantes;
~PV : Espaco vetorial das aplicacoes polinomiais g : V → V ;
~PV,W (Γ): Modulo sobre PV (Γ) das aplicacoes polinomiais g : V → W que sao
Γ-equivariantes;
~PV (Γ) : Modulo ~PV,W (Γ) quando W = V ;
QV (Γ): Modulo sobre PV (Γ) das funcoes polinomiais Γ-anti-invariantes f : V → R;
116
QkV (Γ): Espaco vetorial das funcoes f ∈ QV (Γ) homogeneas de grau k;
~QV (Γ): Modulo sobre PV (Γ) das aplicacoes polinomiais Γ-reversıveis-equivariantes
g : V → V ;
~QkV (Γ): Espaco vetorial das aplicacoes g ∈ ~QV (Γ) homogeneas de grau k;
AdL : Operador homologico definido em ~PV ;
AdkL: Restricao de AdL a ~P kV .
117
INDICE REMISSIVO
σ−operadores de Reynolds, 41
Acao, 19
diagonal, 52
dual, 39
Antissimetria, 38
Aplicacao
equivariante, 30
puramente equivariante, 39
reversıvel equivariante, 39
Base de Hilbert, 28
Campos
de vetores, 10
Campos conjugados, 56
Equivariancia, 37
Espaco vetorial simpletico, 8
estrutura linear, 8
Formas normais, 60
reversıveis equivariantes, 83
Funcao
anti-invariante, 39
invariante, 24
Grupo
S, 67
de Lie compacto, 18
de Lie linear, 15
Integral de Haar, 21
Modulo livre, 35
Operador
de Reynolds, 41
homologico, 65
Ponto
de singularidade, 10
regular, 10
Produto
semidireto, 49
Representacao, 19
σ-dual, 39
diagonal, 52
118
Reversibilidade, 37
Simetria, 38
Simpletica
base, 8
forma bilinear, 7
Simplectomorfismo, 9
Sistema
dinamico, 10
Hamiltoniano, 11
Teorema
de Fubini para a integral de Haar, 23
de Hilbert-Weyl, 28
Elphick et al., 70
119
