Embed Size (px)
DESCRIPTION
euler
Citation preview
Fórmula de EulerDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas.
Ó bien:
siendo Z la variable compleja formada por : Z=a+ix.
Contenido
[ocultar]
1 Demostración o 1.1 Demostración usando las Series de Taylor
2 Relevancia matemática 3 Véase también
[editar] Demostración
Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar la fórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).
[editar] Demostración usando las Series de Taylor
La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Sabiendo que:
y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.
Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:
El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.
[editar] Relevancia matemática
La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.
para el logaritmo de un número negativo:
basta con evaluar la fórmula de euler en x = π , obteniendo:
Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1:
.
Para un número negativo cualquiera:
. (Con a > 0).
Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.
Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma -excepto por la unidad imaginaria- con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.
De las reglas de la exponenciación
y
(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:
Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas
para el seno y el coseno.
En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.
Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler. .
[editar] Véase también
Número complejo Plano complejo Análisis de Fourier
Identidad de EulerDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:
donde:
π (pi) es el número más importante de la geometría e (número de Euler o constante de Napier) es el número más importante del
análisis matemático i (imaginario) es el número más importante del álgebra 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:
Contenido
[ocultar]
1 Derivación 2 Logaritmos de números negativos 3 Referencias 4 Véase también 5 Enlaces externos
[editar] Derivación
Fórmula de Euler para un ángulo general.
La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que
para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si
entonces
y ya que
y que
se sigue que
Lo cual implica la identidad
Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:
en la expansión polinomial de e a la potencia x:
para obtener:
simplificando (usando i2 = -1):
Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:
Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica
[editar] Logaritmos de números negativos
Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, log( − 4) podemos proceder de la siguiente manera:
Sabiendo que ln( − 1) = πi:
[editar] Referencias
3. Forma exponencial
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con
exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la
forma .
RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado
, sea , para un número natural p.
Si , puesto que , es decir, .
Por tanto, , y además, , o sea,
, para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus
argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia
de centro 0 y radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de
Puede verse lo mismo en la siguiente animación:
Volver a página principal
Números Complejos: Ecuación de Euler y Teorema Fundamental del álgebra.
Posted by Adrián on octubre 21, 2008 · 4 comentarios
3 Votes
Los números complejos se caracterizan por tener una parte real “a” y otra imaginaria “b”. La parte imaginaria indica el número de veces que aparece el número imaginaio “i”:
El conjunto de los números complejos s denomina “C”.
“C” cumple los axiomas de cuerpo.
En “C” no se cumple la relación de orden definida para los números reales.
Dado un número complejo:
el número complejo conjugado de “z” es:
, y se cumple que:
Módulo o valor absoluto de un número compejo:
Podemos representar números complejos en una gráfica si ubicamos la parte real en el eje “x” y la parte imaginaria en el eje “y”, obteniéndose varias relaciones elementales:
La ecuación de Euler, además, implica que:
Esta ecuación es muy especial para los matemáticos más emotivos, ya que para un ángulo de π radianes implica que:
, y en resumen:
Esta ecuación es considerada una de las más bellas de la matemática, ya que implica a los dos números más basicos, que son el 1 y el 0, a los tres números especiales “π”, “e” e “i”, una operación tan elemental como es la suma y la igualdad.
Visto esto, un número complejo se puede expresar de varias formas:
El argumento de un número complejo es el valor de su ángulo α.
Teorema Fundamental del Álgebra:
Un polinomio de grado “n” con coeficientes reales tendrá “n” raíces que pueden ser reales y/o complejas, y las complejas aparecen siempre como pares conjugados. Todo polinomio tiene solución.
Share this:
Like this:
LikeBe the first to like this post.
Archivado en Clase: Métodos Matemáticos I, Física, Plano complejo
Fórmula de Euler en Análisis complejoArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
Saltar a navegación, buscar
La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que
eix = cos x + i·sin x.
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo neperiano, i (también denotada j) es la unidad imaginaria, y sin y cos son el seno y el coseno, las funciones trigonométricas.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula solo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La demostración está basada en la desarollo en serie de Taylor de la exponencial ez (donde z es un número complejo), y el desarrollo de sin x y cos x.
La fórmula de Euler fué demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vió la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años mas tarde (ver Caspar Wessel, y d'Argaud).
La formula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonómetría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos.
De las reglas de la exponenciación
ea + b = ea eb
y
(ea)b = eab
(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función exponencial:
Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas
eix = cosx + isinx e − ix = cosx − isinx
para el seno y el coseno.
En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler
En ingeniería electrica y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (vease análisis de Fourier), y estas son expresadas mas convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.
Demostración de la fórmula de Euler utilizando el desarrollo en serie de Taylor:
La función ex (con x real) puede escribirse como:
y para x complejo se define mediante dicha serie. Si multiplicamos por i al exponente:
Reagrupando:
Para simplificar tendremos en cuenta que:
y generalizando para todo n:
Así,
reordenando términos y separando la suma en dos partes (lo que es posible por ser absolutamente convergente):
Si tomamos el desarrollo en serie de Taylor de cos(x) y sin(x):
Por lo tanto:
¿No es increíble la fórmula de Euler? No es de extrañar que en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce les dijese a sus alumnos: "Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad".
En realidad, Euler dijo mucho más con sus famosas identidades, siendo la fórmula de la izquierda el caso particular x = π:
Fórmulas: i elevado a i. Fragmentos: Logaritmo de un número complejo. Bestiario: número e Bestiario: número i
