CUADRANTE

SECTOR CIRCULAR

SEGMENTO CIRCULAR

EMBECADURA

Permetro del trianguloTringulo EquilteroTringulo IsscelesTringulo Escaleno

rea del tringulo: Conociendo la base y la altura Conociendo dos lados y el ngulo que forman. Circunferencia circunscrita a un tringulo R = radio de la circunferencia circunscrita

Circunferencia inscrita en un tringulo r = radio de la circunferencia inscritap = semipermetro

Frmula de Hern. p = semipermetro

ngulos de un tringuloLa suma de los ngulos de un tringulo es igual a 180.TeoremasDel cateto

De la altura

De Pitgoras

Semejanza de tringulos

Criterios de semejanza de tringulos1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.

2Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de semejanza de tringulos rectngulos1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.

2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

Permetro del trianguloTringulo EquilteroTringulo IsscelesTringulo Escaleno

rea del tringuloConociendo la base y la altura Conociendo dos lados y el ngulo que forman. Circunferencia circunscrita a un tringulo R = radio de la circunferencia circunscritaCircunferencia inscrita en un tringulo r = radio de la circunferencia inscritap = semipermetro

Frmula de Hern. p = semipermetro

ngulos de un tringuloLa suma de los ngulos de un tringulo es igual a 180.Teoremas Del cateto

De la altura De Pitgoras

Semejanza de tringulos

Criterios de semejanza de tringulos1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.

2Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de semejanza de tringulos rectngulos1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.

2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

1. LongitudesLongitud de una circunferencia Longitud de un arco de circunferencia 2. reasrea del crculo rea del sector circular rea de la corona circular rea del trapecio circular rea del segmento circular

rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOBrea de la lnula

3. ngulos en la circunferenciaCentral Inscrito Semiinscrito Interior Exterior

Tringulo Cuadrado Rectngulo Rombo Romboide P = 2 (a + b) A = b hTrapecio Polgono A = T1+ T2+ T3+ T4Polgono regular

Longitud de unacircunferencia Longitud de unarco de circunferencia Crculo Sector circular Corona circular Trapecio circular Segmento circular rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOBLnula de Hipcrates

Tabla de reas y volmenesTetraedro Octaedro Icosaedro Dodecaedro Cubo

Ortoedro Prisma

Pirmide

Tronco de pirmide

Cilindro

Cono

Tronco de cono

Esfera

rea delhuso esfricoy volumen de lacua esfrica

rea y volumen delcasquete esfrico

rea y volumen de lazona esfrica

Frmulas de traslaciones, giros y simetrasTraslacin de un punto

Composicin de traslaciones

Giro de centro O(0,0)

Giro de centro O'(a,b)

Simetra central de centro O(0,0)

P' = (-x, -y)x' = -x y' = -ySimetra central de centro O'(a, b)

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial respecto al eje de ordenadas

P(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'Simetra axial respecto al eje de abscisas

P(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'DIAGONALESDiagonales de un polgonoLas diagonales son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivosNmero de diagonales de un polgonoSi n es el nmero de lados de un polgono:Nmero de diagonales = n (n 3) : 24 (4 3) : 2 = 2

5 (5 3) : 2 = 56 (6 3) : 2 = 9

Diagonal del cuadrado

Calcularladiagonalde uncuadradode 5 cm de lado.

Diagonal del rectngulo

Calcularladiagonalde unrectngulode 10 cm de base y 6 cm de altura.

Diagonales de un poliedroLasdiagonalesde unpoliedrosonsegmentosque unendos vrticesnopertenecientes a la mismacara.Diagonal del cubo

Diagonal del ortoedro

EjerciciosCalcularladiagonalde uncubode 5 cm dearista.

Calcularladiagonalde unortoedrode 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

Teoremas de los tringulos rectngulos1.Del cateto

2.De la altura

3.De Pitgoras

Aplicaciones del teorema de Pitagoras

Altura del tringulo equiltero

Lado de un tringulo equiltero inscrito

Diagonal del cuadrado

Lado de un cuadrado inscrito

Diagonal del rectngulo

Lado oblicuo del trapecio rectngulo

Altura del trapecio issceles

Apotema de un polgono regular

Apotema del hexgono inscrito

Geometra analtica planaCoordenadas de un vector

Mdulo

Vector unitario

Suma

Resta

Producto de un vector por un escalar

Producto escalar de vectores

Expresin analtica del producto escalar

Expresin analtica del mdulo de un vector

Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Expresin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

Proyeccin

Combinacin lineal de vectores

Sistema de referencia

Distancia entre dos puntos

Coordenadas del punto medio

Simtrico de un punto

Divisin de un segmento

Puntos alineados

Coordenadas del baricentro

Ecuaciones de la rectaVectorial

Paramtricas

Continua

Pendiente

Punto-pendiente

General

Explcita

Cannica o segmentaria

Que pasa por dos puntos

Paralelas al eje OX

Paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Posiciones relativasSecantes

Paralelas

Coincidentes

ngulo que forman dos rectas

Distancia de un punto a una recta

Ecuaciones de las bisectrices

Ecuacin de la mediatriz

CnicasEcuacin de la circunferencia

Ecuacin reducida

Ecuacin de la elipse

Excentricidad

Ecuacin reducida

De eje vertical

De eje horizontal y centro distinto al origen

De eje vertical y centro distinto al origen

Ecuacin de la hiprbola

Excentricidad

Asntotas

Ecuacin reducidaF'(-c,0) y F(c,0)

De eje verticalF'(0, -c) y F(0, c)

De eje horizontal y centro distinto al origen

DondeA y B tienen signos opuestos.De eje vertical y centro distinto al origen

Hiprbola equiltera

Asntotas,Excentricidad

Referida a sus asntotas

Ecuacin de la parbola Ecuacin reducida de la parbolaDe ejes el de abscisas y de vrtice (0, 0)

De ejes el de ordenadas y de vrtice (0, 0)

Paralela a OX y vrtice distinto al origen

Paralela a OY, y vrtice distinto al origen

Frmulas de vectoresCoordenadas de un vector en el plano

Mdulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Suma de vectores

Resta de vectores

Producto de un nmero por un vector

Coordenadas del punto medio de un segmento

Condicin para que tres puntos estn alineados Simtrico de un punto respecto de otro Coordenadas del baricentro Divisin de un segmento en una relacin dada Combinacin lineal de vectores

Sistema de referencia

Producto escalar de vectores

Expresin analtica del producto escalar

Expresin analtica del mdulo de un vector

Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Expresin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

Proyeccin

Aplicaciones de vectoresDistancia entre dos puntos

Coordenadas del punto medio Tres puntos alineados Simtrico de un punto Coordenadas del baricentro Divisin de un segmento Producto escalar de vectoresProducto escalar

Mdulo de un vector

ngulo de dos vectores

Vectoresortogonales

Proyeccin

Frmulas de traslaciones, giros y simetrasTraslacin de un punto

Composicin de traslaciones Giro de centro O(0,0)

Giro de centro O'(a,b)

Simetra central de centro O(0,0)

P' = (-x, -y)x' = -x y' = -ySimetra central de centro O'(a, b)

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial respecto al eje de ordenadas

P(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'Simetra axial respecto al eje de abscisas

P(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'COORDENADAS POLARES:Cuando se conoce el mdulo del vector=y el nguloque forma con el eje OX, lascoordenadasde P son:x = || cos y = || sen

Coordenada xx = || cos Coordenada yy = || sen EjemplosPasar a coordenadas cartesianas:2120

10=(1, 0)1180=(1, 0)190=(0, 1)1270= (0, 1)Paso de coordenadas cartesianas a polaresMdulo

Argumento o ngulo

Ejemplos: Pasar a coordenadas polares:

260

2120

2240

2300

(2, 0)

20

(2, 0)

2180

(0, 2)

290

(0, 2)

2270Ecuaciones de la rectaEcuacin vectorial de la recta

Ecuaciones paramtricas de la recta

Ecuacin continua de la recta

Pendiente

Ecuacin punto-pendiente de la recta

Ecuacin general de la recta

Ecuacin explcita de la recta

Ecuacin cannica o segmentaria

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Posiciones relativas de dos rectasSecantes

Paralelas

Coincidentes

ngulo que forman dos rectas

Distancia de un punto a una recta

Ecuacin de la mediatriz

Ecuaciones de las bisectrices

Ejercicios: Escribir la ecuacin punto pendiente de:1Una recta pasa por el puntoA(-1, 3) y tiene un vector director= (2,5).

2Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

3Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinacin de 45.

Escribir la ecuacin general de la recta que:1Pasa por A (1,5) y tiene como vector directorigual (-2, 1).

2Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:12x + 3y - 4 =02x - 2y + 1= 033x - 2y -9 = 044x + 6 y - 8 = 052x - 4y - 6 = 062x + 3y + 9 = 0Las rectas 1 y 4 son coincidentes, porque todos sus coeficientes son proporcionales:

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el trmino independiente.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.

Halla el punto simtrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r 2 x + y - 12 = 0.

Una recta es paralela a la que tiene por ecuacin r 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. Cul es su ecuacin?

Ecuaciones de cnicasEcuacin de la circunferencia

Ecuacin reducida

Ecuacin de la elipse

Excentricidad

Ecuacin reducida

Elipse de eje vertical

Elipse de eje horizontal y centro distinto al origen

Elipse de eje vertical y centro distinto al origen

Ecuacin de la hiprbola Excentricidad

Asntotas

Ecuacin reducidaF'(-c,0) y F(c,0)

Hiprbola de eje verticalF'(0, -c) y F(0, c)

Hiprbola de eje horizontal y centro distinto al origen DondeA y B tienen signos opuestos.Hiprbola de eje vertical y centro distinto al origen

Hiprbola equiltera

Asntotas,Excentricidad

Hiprbola equiltera referida a sus asntotas

Ecuacin de la parbola Ecuacin reducida de la parbolaDe ejes el de abscisas y de vrtice el origen de coordenadas

De ejes el de ordenadas y de vrtice el origen de coordenadas

Parbola con eje paralelo a OX y vrtice distinto al origen

Parbola con eje paralelo a OY, y vrtice distinto al origen

Ecuacin de la circunferencia

Ecuacin reducida de la circunferencia

Ejercicios: Dada la circunferencia de ecuacin x2+ y2- 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).Si sustituimos x e y en la ecuacinpor las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:Indicar si la ecuacin: 4x2+ 4y2- 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.1.Como los coeficientes de x2e y2son distintos a la unidad, dividimos por 4:

2.No tiene trmino en xy.3.Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de interseccin de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica con la ecuacin , y que pasa por el punto (-3,4).Por ser concntricas tienen el mismo centro.

Los extremos del dimetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). Cul es la ecuacin de esta circunferencia?

Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica a la circunferenciaque sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio esy cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Ecuacin de la elipse

Excentricidad

Ecuacin reducida de la elipse

Elipse con los focos en el eje OY

Elipse con eje paralelos a OX y sin centro en el origen

Elipse con eje paralelo a OY y sin centro en el origen

Ejercicios: Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes elipses.1

2 3

4

Halla la ecuacin de la elipse conociendo:Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuacin reducida de dicha elipse.Determina la ecuacin reducida de un elipse cuya distancia focal esy el rea del rectngulo construidos sobre los ejes 80 u2.Determina la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que uno de los vrtices dista 8 de un foco y 18 del otro.Halla la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.Ecuacin de la hiprbola

Excentricidad

Asntotas

Ecuacin reducida de la hiprbolaF'(-c,0) y F(c,0)

Ecuacin de la hiprbola con los focos en el eje OYF'(0, -c) y F(0, c)

Ecuacin de la hiprbola con eje paralelo a OX, sin centro el origen

DondeA y B tienen signos opuestos.Ecuacin de la hiprbola con eje paralelo a OY, sin centro el origen

Ecuacin de la hiprbola equilteraAsntotas,Excentricidad

Ecuacin de la hiprbola equiltera respecto a sus asntotas

Ejercicios: Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.El eje principal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuacin.Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el puntoy su excentricidad es.Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de los vrtices de la hiprbola 50 y 2.El eje principal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuacin de la hiprbola.Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal es.El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.Ecuacin de la parbolaGeometra en el espacioVectores en el espacioComponentes de un vector en el espacio

Mdulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Suma de vectores

Producto de un nmero real por un vector

Vectores linealmente dependientes

Vectores linealmente independientes

Producto escalar

Expresin analtica del mdulo de un vector

Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Vectores ortogonales

Proyeccin

Cosenos directores

Producto vectorial

rea del paralelogramo

rea de un tringulo

Producto mixto Volumen del paraleleppedo

Volumen de un tetraedro

PuntosCoordenadas del punto medio de un segmento

Coordenadas del baricentro de un tringulo

Puntos alineadosTres o ms puntos esn alineadossi estn en unamisma recta, y por tanto elrango de los vectoresdeterminados por ellos es1.Puntos coplanariosDos o msvectoressoncoplanariossi sonlinealmente dependientes, y por tanto suscomponentessonproporcionalesy surangoes2.Dos o mspuntossoncoplanarios, si losvectoresdeterminados por ellos tambin soncoplanarios.Rectas en el espacioEcuacin vectorial de la recta

Ecuaciones paramtricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Ecuaciones implcitas de la recta

El planoEcuacin vectorial del plano

Ecuaciones paramtricas del plano

Ecuacin general o implcita del plano

Ecuacin cannica o segmentaria del plano

ngulos: ngulo entre dos rectas

Dos rectassonperpendicularessivectores directoressonortogonales.ngulo entre dos planos

Dos planossonperpendicularessivectores directoressonortogonales.

ngulo entre recta y plano

Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma direccin y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Distancias: Distancia entre un punto y una recta

Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre rectas que se cruzanSeanylas determinaciones lineales de las rectas r y s. Distancia de un punto a un plano

Distancia entre planos paralelos

Puntos en el espacioCoordenadas del punto medio de un segmentoSean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, elpunto mediodel segmento viene dado por: Coordenadas del baricentro de un tringuloSean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vrtices de un tringulo, lascoordenadas del baricentroson: Puntos alineadosTres o ms puntos esn alineadossi estn en unamisma recta, y por tanto elrango de los vectoresdeterminados por ellos es1.Puntos coplanariosDos o msvectoressoncoplanariossi sonlinealmente dependientes, y por tanto suscomponentessonproporcionalesy surangoes2.Dos o mspuntossoncoplanarios, si losvectoresdeterminados por ellos tambin soncoplanarios.Ejercicios1.Dados los puntos A(3, 2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

2.Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, 2) los vrtices de un tringulo. Determinar las coordenadas delbaricentro.

3.Comprobar si lospuntosA(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) estnalineados.

Los puntos no estn alineados.4.Comprobar si lospuntosA(1, 2, 3), B(4, 7, 8), C(3, 5, 5), D(1, 2, 3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.LospuntosA, B, C, D y E soncoplanariossi:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.El planoEcuacin vectorial del planoPara determinar unplano del espaciose necesita conocer unpunto Py unpar de vectoresque formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Para que el punto P pertenezca al plano el vectortiene que ser coplanario cony, es decir, que dependa linealmente dey.

Ecuaciones paramtricas del planoSi operamos en la ecuacin vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:

Ecuacin general o implcita del planoUn punto est en el plano si tiene solucin el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incgnitas y Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los trminos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollando el determinante obtenemos:

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos laecuacin general de plano:

Ecuacin cannica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), laecuacin cannicaviene dada por:

Ejercicios1.Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores ay.

2.- Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector.

3. Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(0, 1, 1) y C(4, 3, 2).

4. Sea el plano deecuaciones paramtricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, 1) pertenecen al plano.

5. Hallar laecuacin segmentariadel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por 2 obtenemos laecuacin segmentaria:

6. Hallar laecuacin del planoque pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuacin:

De la ecuacin de la recta obtenemos el punto B y el vector.

7. Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1, 2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:

8. Dadas las rectas

Determinar laecuacin del planoque contiene a r y es paralelo a s.

Posiciones relativasPosiciones relativas de dos rectasRectas definidas por un punto y un vectorSi la recta r viene determinada poryy la recta s pory, laposicin relativa de r y sviene dada por la posicin de.Sihay dos posibilidades:1.Rectas coincidentessi.2.Rectas paralelassi.Sihay otras dos posibilidades:3.Rectas secantessi.

4.Rectas que se cruzansi.

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitasSi:r=rango de la matriz de los coeficientes.r'=rango de la matriz ampliada.Lasposicones relativas de dos rectasvienen dada por la siguiente tabla:DISTANCIAS. Distancia entre un punto y una rectaLadistancia de un punto, P,a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta.Esta distancia corresponde a laperpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Distancia entre rectas paralelasLadistancia de una recta, r, aotra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas que se cruzanLadistancia entre dos sectas que se cruzanse mide sobre laperpendicular comn.Seanylas determinaciones lineales de las rectas r y s. Distancia de un punto a un planoLadistanciade unpunto, P, a unplano, , es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano.Esta distancia corresponde a laperpendicular trazada desde el punto al plano.

Distancia entre planos paralelosPara calcular ladistancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.Tambin se puede calcular de esta otra forma:

Ejercicios1.Hallar ladistanciadesde elpuntoP(1, 3, 2) a larecta.

2.Hallar ladistanciadesde elpuntoP(1, 2, 3) a larecta.

3.Hallar la mnimadistancia entre las rectas:

4.Hallar la distancia del punto P(3, 1, 2) a los planosy.

5.Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano.

6.Calcular la distancia entre los planosy.

Los dos planos son paralelos.Transformamos la ecuacin del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

reas y volmenesrea de un tringulo rea del paralelogramoGeomtricamente, elmdulo del producto vectorialde dos vectores coincide con elrea del paralelogramoque tiene por lados a esos vectores. Volumen de un tetraedroElvolumen de un tetraedroes igual a1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Volumen del paraleleppedoGeomtricamente, el valor absoluto delproducto mixtorepresenta elvolumen del paraleleppedocuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vrtice.Ejercicios1.Determinar elrea del tringulocuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).

2.Dados los vectoresy, hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectoresy

3.Obtener elvolumen del tetraedrocuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

4.Hallar elvolumen del paraleleppedoformado por los vectores: