FORMULE Matematika 1 & 2 Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova

0 30 45 60 90 180 270

0 6

4

3

2

2

3

sin 0 21

22

23

1 0 -1

cos 1 23

22

21

0 -1 0

tg 0 33

1 3 0

ctg 3 1 33

0 0

Funkcije komplementarnih kutova

xx cos2

sin =

xx sin2

cos =

ctgxxtg =

2

tgxxctg =

2

Parnost funkcija

xx sin)sin( = xx cos)cos( = tgxxtg = )( ctgxxctg = )(

Pretvorbe

I. kvadrant: II. kvadrant: 0 = III. kvadrant: 0 += IV. kvadrant: 02 =

xn

ne

nx

=

+

1lim ( ) ex x

x=+

1

01lim

1sinlim0

= x

xx

1coslim0

=

xx

Adicijske formule yxyxyx sincoscossin)sin( = yxyxyx sinsincoscos)cos( =

tgxtgy

tgytgxyxtg1

)( =

ctgxctgx

ctgxctgyyxctg

=1)(

Relacije meu trigonometrijskim funkcijama

1cossin 22 =+ xx ctgxx

xtgx 1cossin

==

x

xtg 22

cos11 =+

xxctg 2

2

sin11 =+

21

22

sin2 xtg

xtgx

+=

21

21

cos2

2

xtg

xtgx

+

=

21

22

2 xtg

xtgtgx

=

22

21 2

xtg

xtgctgx

=

2

2cos1sin 2 xx = 2

2cos1cos2 xx +=

Funkcije dvostrukog argumenta xxx cossin22sin = xxxx 222 sin21sincos2cos ==

xtg

tgxxtg 2122

= ctgx

xctgxctg2

122

=

Funkcije polovinog argumenta

2cos1

2sin 2 xx =

2cos1

2cos2 xx +=

x

xxtgsin

cos12

=

xxxctg

sincos1

2+

=

2

2cos1sin 2 xx = 2

2cos1cos2 xx +=

Veza realnog broja i kuta

180=

radx

180

=radx

:180: radx=

++=

360060zyxzyx

Logaritam xy alog= xa

y =

axx

b

ba log

loglog =

Tablica derivacija

)(xf )(xf

c 0 nx 1nnx , n xa aa x ln xe xe

xalog ax ln1

xln x1

xsin xcos xcos xsin

tgx x2cos

1

ctgx x2sin

1

xarcsin 211

x

xarccos 21

1x

arctgx 21

1x+

arcctgx 21

1x+

shx chx chx shx

thx xch2

1

cthx xsh 2

1

Parcijalna integracija = Binomni integral ( + ) ; ,, 1) 2) +1

; supst: + = , je nazivnik

razlomka 3) +1

+ ; supst:

+ =

Trigonometrijske supstitucije 2 = = 2 = 21+2 ; = 21+2 ; = 121+2

Tablica integrala

1. = +1

+ 1 + , 1 11. = + 2.

= || + 12. = +

3. =

+ 13. 2 = +

4. = + 14. 2 = +

5. = + 15. 2 + 2 = 1 +

6. = + 16. 2 2 = 12 + + 7.

2 = + 17. 2 2 = 12 + + 8.

2 = + 18. 2 2 = + 9. = || + 19.

2 + 1 = + 10. = || + 20.

2 1 = +

21. 2+ = + 2 + +

Integrali oblika + + svode se na: 1) 2 2 = 2 2 2 + 22 + , > 0 2) 2 + = 2 2 + + 2 + 2 + + Integrali oblika , : 1) , supst: = 2) , supst: =

2) , , supst: 2

2cos1cos2 xx +=

2

2cos1sin 2 xx =

xxx cossin22sin =

Integrali oblika : 1) : = (1 2) = | = | 2) : = 122 = |2 = | Integrali oblika : 1) : = (1 2) = | = |

2) : = 1+22 = |2 = |

Volumen tijela nastalog rotacijom oko: 1) osi x

= [()]2 =

2

= ([()]2 [()]2)

2) osi y

= 2 ()

= 2

Duljina luka krivulje = 1 + 2

Konvergencija redova realnih brojeva: Nuan uvjet: lim = 0 Suma reda: = =1 Geometrijski red: 1=1 = =0 ; = 1 11

|| = < 1 lim = 11 . = lim 1 .

Harmonijski red: 1

divergira!

Red 1

= > 1 .

1 . Kriterij konv./div. redova s pozitivnim lanovima: 1) K. usporeivanja I

. . 2) K. usporeivanja II lim

0 ravnate se po nizu s kojim ste usporeivali! 3) DAlambertov k. lim

+1

= < 1 .> 1 .= 1 4) Cauchyev k. lim

= = < 1 .> 1 .= 1

Kriterij konv./div. redova s lanovima promjenljivog predznaka: Leibnizov k. Alternirani red konv. ako: 1) 0 0 |+1| | | 2) lim = 0 Redovi potencija: ( 0)=0 1) Cauchyev k. lim | | = lim | | || = || || < 1

1

, 1 .

= 1

. 2) DAlambertov k. lim +1+1 = lim +1 || = || || < 1

1

, 1 .

Taylorov red () = (0) + ( )(0) !=1 ( 0) Taylorov razvoj u toki 0 = 0 MacLaurinov red: () = (0) + ( )(0)

!=1 ()

DIFERENCIJALNE JEDNADBE

1) HOMOGENE DJ: =

- supst: =

2) LINEARNE DJ: + () = () - metoda varijacije konstanti:

- rjeava se pripadna homogena dj:

() = 0 + () = 0 - uzimamo konst c kao ()

3) BERNOULLIJEVA DJ: + () = () , \{0,1} - supst: = 1

1 = (1) - svodimo na linearnu:

- rjeava se homogena dj

- () 4) CLAIRAUTOVA DJ: = + ()

- deriviramo: = 0 & + () = 0

= sing. rj. 5) LAGRANGEOVA DJ: = () + ()

- deriviramo po x: = 6) EGZAKTNE DJ: (,) + (,) = 0

=

(,0) + (0,)0 = 0