FORMULE - MATEMATIKAmatka.splet.arnes.si/files/2015/12/TelesaResitve.pdf · FORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija ... Piramida: P

© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.

FORMULE

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y

● Linearna funkcija: ( )f x kx n ● Smerni koeficient: 2 1

2 1

y yk

x x

● Naklonski kot premice: tank ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1

k kk k

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)

● Trikotnik: 1 sin2 2

cc vS ab

( )( )( )s s a s b s c ,

2a b cs

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abcR

S , Sr

s , 2

a b cs

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R

● Deltoid, romb: 2

e fS

● Romb: 2 sinS a

● Paralelogram: sinS ab ● Trapez: 2

a cS v

● Dolžina krožnega loka: 180

rl

● Ploščina krožnega izseka: 2

360rS

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b c R

● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc

3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S , V S v

● Piramida: plP S S , 13

V S v

● Krogla: 24P r , 34

3rV

● Valj: 22 2P r rv , 2V r v

● Stožec: 2P r rs , 21

3V r v

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1

● sintancos

● cos( ) cos cos sin sin

● sin( ) sin cos cos sin

● 22

11 tancos

● sin2 2sin cos

● 2 2cos2 cos sin

5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba

● 2( )f x ax bx c Teme: ( , )T p q ,

2bpa ,

4Dqa

● 2 0ax bx c Ničli: 1,2 2

b Dxa

, 2 4D b ac



6. Logaritmi

● log xa y x a y ● log logn

a ax n x

● log ( ) log loga a ax y x y ● log

loglog

ab

a

xx

b

● log log loga a ax x yy

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d , 1(2 ( 1) )2nns a n d

● Geometrijsko zaporedje: 11

nna a q , 1

11

n

nq

s aq

● Navadno obrestovanje: 0nG G o , 0

100G n p

o

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r , 1100

pr

8. Obdelava podatkov (statistika)

● Srednja vrednost (aritmetična sredina): 1 2 ... nx x xx

n

1 1 2 2

1 2

......

k k

k

f x f x f xx

f f f

9. Odvod

● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij: 1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

● Pravila za odvajanje:

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

k f x k f x

f x f x g x f x g xg x g x

f g x f g x g x

10. Kombinatorika in verjetnostni račun

● Permutacije brez ponavljanja: !nP n

● Variacije brez ponavljanja: !( )!

rn

nVn r

● Variacije s ponavljanjem: ( )p r rnV n

● Kombinacije brez ponavljanja: !! !( )!

rr nn

V n nC rr r n r

● Verjetnost slučajnega dogodka A : število ugodnih izidovštevilo vseh izidov

mP An


1. Lonec valjaste oblike je do 89

višine napolnjen z vodo. Koliko litrov vode je v loncu, če je visok 32

cm, njegov premer pa je 30 cm?

(5 točk)

Rešitev 1. Skupaj 5 točk

Pot reševanja, npr.: uporaba obrazca ........................................................................ 1 točka

Upoštevani podatki, npr.: 28 1,5 3,29

V ................................................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina: 320,106 dmV ( 320106 cm ) ............................................. 1 točka

Rešitev oz. odgovor: (Približno) 20 20,1 litrov ........................................................ 1 točka

2. Pravilna 4-strana piramida ima prostornino 3400 cm in višino 12 cm.

2.1. Narišite skico in izračunajte osnovni rob piramide.

(5 točk) 2.2. Izračunajte površino piramide.

(5 točk) 2.3. Na skici označite naklonski kot stranske ploskve piramide proti osnovni ploskvi

in ga izračunajte na minuto natančno.

(5 točk) Rešitev

2. Skupaj 15 točk

2.1. (5 točk) Skica (le da je 4-strana piramida) ................................................................................ 1 točka

Uporabljena ustrezna pot, npr.: 2 2

, 4003 3

a v a vV ................................... (1* + 1) 2 točki

Osnovni rob piramide: 10 cma .................................................................. (1* + 1) 2 točki

2.2. (5 točk)


Stranska višina piramide: 13 cmsv ........................................................... (1* + 2) 3 točke

Površina: 2360 cmP .................................................................................. (1* + 1) 2 točki

2.3. (5 točk) Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka

Postopek, npr.: 12sin 0,923113s

vv

....................................................... (1* + 1) 2 točki

Velikost kota o67,38 ............................................................................................ 1 točka

Rešitev: o67 23´ .................................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot (ali so napačne), v celoti izgubi 1 točko.

3. Določite število robov in število mejnih ploskev kocke in pravilne 4-strane piramide.

Rešitve vpišite v preglednico:

kocka pravilna 4-strana piramida

število robov

število mejnih ploskev

(4 točke) Rešitev

3. Skupaj 4 točke

kocka: 12,6 ..................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

piramida: 8,5 ................................................................................................... (1 + 1) 2 točki Če je kandidat le pravilno skiciral obe telesi, dobi skupaj 1 točko.

4. Pravilna šeststrana prizma ima dolžino osnovnega roba 6 cm, visoka pa je 8 cm. Prizmo so prevrtali skozi središči osnovnih ploskev. Premer valjaste odprtine je 2 cm.

4.1. Narišite skico prvotne prizme in izračunajte površino te prizme.

(5 točk) 4.2. Izračunajte prostornino prvotne prizme.

(5 točk) 4.3. Za koliko odstotkov je prostornina prevrtanega telesa manjša od prostornine

prvotnega telesa?

(5 točk) Rešitev

4. Skupaj 15 točk

4.1. (5 točk) Skica ........................................................................................................................... 1 točka


Postopek, npr.: 26 32 64

aP av ........................................................................... 2* točki

Vstavljeni podatki in izračun:

2 2 2475,061 cm 475,06 cm (ali 475 cm )P ................................................ (1 + 1) 2 točki

4.2. (4 točke)

Postopek, npr.: 23 32prizme

a vV in vstavljeni podatki ...................................... (1 + 1)2 točki

Izračunana prostornina 3 3432 3 cm ( 748,246 cm )prizmeV ...................... (1* + 1) 2 točki

4.3. (6 točk)

Prostornina valja: 2 325,13 cmvV r v ....................................................... (1* + 1) 2 točki

Razmerje: 25,13 0,03358748,25

p ................................................................. (2* + 1) 3 točke

Odgovor: Za 3,36% . ................................................................................................... 1 točka

5. Izračunajte dolžino žice, ki jo potrebujemo za izdelavo žičnega modela kocke z eno telesno diagonalo, če meri rob kocke 10 cm. Narišite skico kocke.

(5 točk) Rešitev

5. Skupaj 5 točk

Skica ........................................................................................................................... 1 točka


Upoštevani robovi, npr.: 12l a .............................................................................. 1 točka

Diagonala: 3 17,3 cmD a ...................................................................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 137,3 cm ...................................................................................................... 1 točka

6. Dan je enakokraki trapez ABCD z osnovnicama 10 cm, = = 6 cmAB a CD c in kotom o 60DAB .

6.1. Narišite skico trapeza in izračunajte njegovo ploščino.

(5 točk) 6.2. Izračunajte dolžino diagonale .BD

(3 točke) 6.3. Izračunajte površino in prostornino pokončne 5 cm visoke prizme, ki ima

za osnovno ploskev dani trapez.

(7 točk) Rešitev

6. Skupaj 15 točk

6.1. (5 točk)

vb

a

a

c

b

A BE

D C

Skica trapeza .............................................................................................................. 1 točka

Določena višina trapeza, npr.: tan 2 3 3,46 cm2Tr

a cv ............... (1* + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 216 3 27,71 cm2 Tr

a cS v ............................... (1* + 1) 2 točki

6.2. (3 točke)

Izračunana diagonala, npr.: 2 2 2| | | | | | 76

| | 8,72 cm

BD ED EB

BD

......................................................................... (1* + 2) 3 točke

6.3. (7 točk)

Izračunan krak, npr.: | | | | 4 cm2cos

a cAD BC b

............................... (1* + 1) 2 točki

Prostornina prizme: 380 3 138,56 cmV O v ...................................... (1* + 1) 2 točki

Površina prizme: 22 2 2 16 3 24 5 175,43 cmPP O pl O o v ....................... (2* + 1) 3 točke

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše ustreznih enot, izgubi v celoti 1 točko.


7. Steber je vpet v strop in v tla sobe. Obložili ga bomo z lesenim opažem. Po podatkih na skici izračunajte, koliko kvadratnih metrov opaža potrebujemo.

(4 točke)

Rešitev

7. Skupaj 4 točke

Uskladitev enot .......................................................................................................... 1 točka Postopek reševanja ................................................................................................... 1* točka

Rezultat: 210,92 mplS (približno 211 m ) .................................................... (1* + 1) 2 točki

(pojasnilo: 1 točka za rezultat, 1* točka za zahtevano enoto)

8. Dan je trikotnik ABC s stranicami: 9 cm, 12 cm, 15 cm.a b c

8.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika.

(4 točke) 8.2. Izračunajte največji notranji kot trikotnika.

(4 točke) 8.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, ki ima za osnovno ploskev dani trikotnik,

višina pa je enaka polmeru trikotniku očrtanega kroga.

(7 točk) Rešitev

8. Skupaj 15 točk


8.1. (4 točke)

Obseg trikotnika: 36 cmo ........................................................................................ 1 točka

Ploščina trikotnika,

npr.: uporaba Heronove formule: 254 cmS ................................................ (2* + 1) 3 točke

8.2. (4 točke)

Izračunan kot o90 .................................................................................... (3* + 1) 4 točke

8.3. (7 točk)

Izračunan polmer: 7,5 cmR ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina: 3405 cmV ............................................................ (1* + 1) 2 točki

Površina prizme: 2378 cmP ...................................................................... (1* + 2) 3 točke

Opomba: Če v končnih rešitvah ni enot ali so napačne, kandidat (v celoti) zgubi največ 2 točki.

9. V trikotniku ABC s stranico 6 cmc je razmerje kotov : : 2 : 3 : 4 .

9.1. Izračunajte velikosti notranjih kotov trikotnika.

(5 točk) 9.2. Izračunajte dolžini stranic a in b ter ploščino trikotnika.

(7 točk) 9.3. Izračunajte prostornino prizme, če je njena osnovna ploskev trikotnik ABC ,

višina pa meri 6 cm .

(3 točke) Rešitev

9. Skupaj 15 točk

9.1. (5 točk)

Zapis razmerja, npr.: 2 , 3 , 4t t t ............................................................. 1 točka

Nastavitev enačbe, npr.: 2 3 4 180t t t ......................................................... 1* točka

Rešitev enačbe, npr.: o20t .. ............................................................................... 1 točka

Koti: o o o40 , 60 , 80 ..................................................................... (1*+1) 2 točki

9.2. (7 točk)

Uporaba sinusnega izreka, npr.: sin sina c ................................................. 1 točka

Izračunana dolžina stranice, npr.: 3,9 cma .............................................. (1*+1) 2 točki

Izračunana dolžina stranice, npr.: 5,3 cmb .............................................. (1*+1) 2 točki

Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 210,2 cmS ....................................... (1*+1) 2 točki

9.3. (3 točke)

Izračunana prostornina prizme, 361 cmV S v ......................................................................................... (1*+2) 3 točke

Opomba: Če je prostornina brez enot ali z napačno enoto, kandidat izgubi 1 točko.


10. Osnovna ploskev pokončne piramide ABCDV je pravokotnik s stranicama 60 cmAB a in

80 cm.BC b Stranski rob piramide meri 1,3 m.

10.1. Narišite skico piramide in skicirajte njeno mrežo.

(4 točke) 10.2. Izračunajte prostornino piramide.

(6 točk) 10.3. Izračunajte ploščino stranske ploskve .BCV

(5 točk) Rešitev

10. Skupaj 15 točk

10.1. (4 točke) Skica piramide, npr.: ..................................................................................................... 2 točki

A

V

D

C

B

vs

Skicirana mreža, npr.: ...................................................................................... (1* + 1) 2 točki


10.2. (6 točk)

Postopek, npr.: napisan obrazec 3

abvV (tudi 3SvV ) ............................................ 1 točka

Izračunana diagonala pravokotnika, npr.: 2 2 1,0 (m)d a b ............................. 1 točka

Izračunana višina piramide, npr.: 22 1,2 (m)2dv s ............................ (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina: 3 30,192 m (192 dm )V .......................................... (1* + 1) 2 točki

10.3. (5 točk) 1. način:

Npr. izračunana stranska višina: 22 1,24 (m)2bbv s ......................... (1* + 1) 2 točki

Npr. izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )2

bb vS

.............................. (1* + 2) 3 točke

2. način:

Zapis ali uporaba Heronovega obrazca ...................................................................... 1 točka Izračun polovičnega obsega trikotnika 1,7 m ............................................... (1* + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )S ................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

11. Na skici je osni presek pokončnega valja. Natančno izračunajte površino tega valja.


(4 točke)

Rešitev

11. Skupaj 4 točke

1. možnost: Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 2 cm, 10 cm r v ............................................ 1 točka

Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 2 2 10P .................. (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 248 cmP ................................................................................................ 1 točka

2. možnost: Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 5 cm, v 4 cm r .............................................. 1 točka

Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 5 5 4P .................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 290 cmP ................................................................................................ 1 točka

Opomba: Če je rezultat le približen ali brez oziroma z napačno enoto, kandidat ne dobi zadnje točke.

12. Rob kocke meri 80 cm . Ostružimo jo v največji možni valj.

12.1. Izračunajte razliko med površino kocke in površino valja.

(7 točk)

12.2. Izračunajte prostornino dobljenega valja. Rezultat zaokrožite na celo število 3dm .

(3 točke) 12.3. Koliko odstotkov prostornine kocke znašajo ostružki?

(5 točk) Rešitev

12. Skupaj 15 točk

12.1. (7 točk)


Izračunana površina kocke, npr.: 2 26 38400cmkP a ............................. (1*+1) 2 točki

Določena polmer in višina valja (lahko tudi le uporabljeno pri izračunu): 40 cm, 80 cmr v ..................................................... 2 točki

Izračunana površina valja,

npr.: 22 30159 cmvP r r v (lahko tudi 230144 cm ) .......................... (1*+1) 2 točki

Izračunana razlika 28241 cmk vP P (lahko tudi 28256 cm ) ............................... 1 točka

12.2. (3 točke)

Izračunana prostornina valja,

npr.: 2 3402 dmvV r v ........................................................................... (1*+2) 3 točke

12.3. (5 točk)

Izračunana prostornina kocke,

npr.: 3 3512000 cmkV a ......................................................................... (1*+1) 2 točki

Izračunana prostornina ostružkov

npr.: 3110 dmostV ............................................................................................... 1 točka

Izračunan delež ostružkov,

npr.: 21,5 %ost

k

Vp

V ................................................................................. (1*+1) 2 točki

Opozorilo: Tudi napačno računanje deleža med površinama (namesto med prostorninama) da rezultat 21,5 %.

13. Septembra 2000 smo dali za liter kurilnega olja 113,90 tolarja, maja 2004 pa 98,40 tolarja.

a) Za koliko odstotkov je bila cena kurilnega olja maja 2004 nižja od cene septembra 2000?

(5 točk) b) Koliko tolarjev je dala družina septembra 2000 za poln rezervoar kurilnega olja v obliki

kvadra dimenzij in ?2,5 m, 1,2 m 1,5 m Narišite skico rezervoarja.

(5 točk) c) Ali zadošča 2310 litrov kurilnega olja za ogrevanje od 1. oktobra do 15. marca

naslednjega leta, če je dnevna poraba 15 litrov?

(5 točk) Rešitev

13. Skupaj 15 točk

13.1. (5 točke)

Računanje razlike ....................................................................................................... 1 točka

Nastavitev, npr.: 15,5113,9

p (števec, imenovalec) ........................................... (1 + 1) 2 točki

Rešitev: 0,136p ..................................................................................................... 1 točka

Odgovor: 13,6 %p (14 % ) .................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat npr. izračuna, da je nova cena 86,4 % stare, dobi 2 točki.

13.2. (5 točk)


Skica rezervoarja ........................................................................................................ 1 točka Prostornina rezervoarja: obrazec in vstavljeni podatki, npr.:

3 32,5 1,2 1,5 m 4,5 mV a b c ........................................................................ 1 točka

4500 lV ................................................................................................................... 1 točka Izračunana vrednost goriva: 512550 tolarjev .......................................................... 1* točka Odgovor .................................................................................................................... 1* točka

13.3. (5 točk)

Npr.:izračunano število dni (154 ) ................................................................... (1* + 1) 2 točki Določeno število dni po koledarju: 165 ali 166 ali 167 ................................ (1* + 1) 2 točki Odgovor: Ta količina kurilnega olja ne zadošča. ........................................................ 1 točka

14. Na skici je trikotnik .ABC

A

C

B

105°

12 cm

16 cm

14.1. Izračunajte dolžino stranice b AC in kot a . Velikost kota zapišite v

stopinjah in minutah.

(6 točk)

14.2. Izračunajte ploščino trikotnika. Rezultat zaokrožite na 2cm natančno.

(4 točke) 14.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, katere osnovna ploskev je dani trikotnik,

njena višina pa 1 m.

(5 točk) Rešitev

14. Skupaj 15 točk

14.1. (6 točk)

Izračunana stranica, npr. z uporabo kosinusovega izreka: 2 2 2 2 499,3865b c a a c cos , 22,35 cm b ( 22 cm ) ...................... (1 + 1) 2 točki

Računan kot, npr.: 2 2 2 499,3865 256 144cos 0,85496

2 2 22,35 16b c a

b c

............................... (2* + 1) 3 točke


Na minuto zaokrožena velikost kota: o31 15´ ( o31 14´ ) ....................................... 1* točka 14.2. (4 točke)

Katerakoli pravilna formula za ploščino trikotnika ...................................................... 1 točka Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

Ploščina trikotnika, npr.: 292,728 cmS .................................................................. 1 točka

Zaokrožena vrednost: 293 cmS ........................................................................... 1* točka 14.3. (5 točk)

Upoštevanje: 1 m 100 cmv ................................................................................. 1 točka

Izračunana prostornina prizme: 39300 9273 cmV .................................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana površina prizme: ali 25219 (5220 5221) cmP .......................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

15. Dolžina osnovnega roba pravilne 4-strane piramide je 4,2 m. Stranska ploskev piramide je proti

osnovni ploskvi nagnjena za kot 85 . Narišite skico piramide, označite naklonski kot j in

izračunajte prostornino piramide.

(5 točk) Rešitev

15. Skupaj 5 točk

Skica piramide z označenim kotom ............................................................................ 1 točka

j

A

D

a

C

a

V ˘

V

v

B

Uporaba kotne funkcije, npr.: 2

tan av ..................................................................... 1 točka

Izračunana višina piramide, npr.: 24 m v ............................................................... 1 točka

Zapisana formula 2

3a vV ali izračunana ploščina 2 217,64 mS a ...................... 1 točka


Izračunana prostornina, npr.: 3141,12 mV ............................................................. 1 točka

16. Iz zlate palice v obliki kvadra z robovi 10 cm , 5 cm in 4 cm izdelujejo obeske v obliki krogle s premerom 0,4 cm (krogle so polne). Največ koliko obeskov lahko naredijo iz ene takšne palice?

(5 točk) Rešitev

16. Skupaj 5 točk

Izračunana prostornina krogle: 3

34 0,0335 cm3krV .............................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina palice: 3200 cmpV abc .................................................. 1 točka

Izračunano število: : 5970p kn V V ..................................................................... 1* točka

Odgovor: Naredijo lahko največ 5970 obeskov. ....................................................... 1 točka

Opomba: Upoštevajte vse rezultate, ki nastanejo s pravilnimi zaokroževanji.

17. Polmer pokončnega stožca meri ,3 cm stranica stožca pa .5 cm Skicirajte stožec in označite osni presek. Izračunajte ploščino osnega preseka.

(5 točk) Rešitev

17. Skupaj 5 točk

Skica stožca (tudi brez označenega osnega preseka) ............................................... 1 točka

1. način:

Izračunana višina: 2 2 ,v s r 4 cmv ...................................................... (1 + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 212 cmS (formula + izračun) ...................................... (1 + 1) 2 točki

2. način: Uporaba oziroma zapis Heronovega obrazca ............................................................ 1 točka Izračun oziroma upoštevanje 8s (polovica obsega) ............................................... 1 točka Upoštevani podatki ..................................................................................................... 1 točka

Rešitev: 212 cmS ................................................................................................... 1 točka


18. Pravilna 4-strana piramida je visoka 8 cm , dolžina stranskega roba je 15 cm . Narišite skico piramide in označite kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom. Nato izračunajte velikost

kota .

(5 točk) Rešitev

18. Skupaj 5 točk

Skica piramide z označenim kotom ............................................................................. 2 točki (Brez kota le 1 točka.)

Postopek računanja kota, npr.: 8sin 0,5333...15

vs

.......................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev, npr.: o32,23 (ali o32 14 ) ........................................................................ 1 točka

19. List papirja ima obliko pravokotnika z dolžino 30 cm in širino 20 cm.

19.1. List zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica višina valja. Izračunajte površino tako nastalega valja.

(6 točk) 19.2. List naj bo plašč pravilne 4-strane prizme z višino, ki je enaka dolžini krajše stranice.

Izračunajte površino tako nastale prizme.

(6 točk) 19.3. Za koliko odstotkov je površina valja večja od površine prizme?

(3 točke) Rešitev

19. Skupaj 15 točk

19.1. (6 točk)

Izračun polmera, npr.: 302 , 4,775 cm2 2ar a r

(postopek, vstavljeni podatki, izračun) ..................................................... (1 + 1 + 1) 3 točke Zapis ali upoštevanje: 20 cmv ............................................................................... 1 točka


Izračunana površina valja, npr.: 22 ( ) 2 4,775(4,775 20) 743,24 cmP r r v

(vstavljeni podatki, izračun) ............................................................................ (1* + 1) 2 točki

19.2. (6 točk)

Izračun osnovnega roba prizme, npr.: 1 1304 , 7,5 cm4

o a a

(postopek, vstavljeni podatki, izračun) ..................................................... (1 + 1 + 1) 3 točke Izračunana površina prizme, npr.:

2 2 21 12 4 2 7,5 4 7,5 20 712,5 cmP a a v

(postopek, vstavljeni podatki, izračun) .................................................... (1* + 1 + 1) 3 točke

19.3. (3 točke)

Izračun odstotka, npr.: 743,24 712,5 0,043 712,5

p .............................. (1* + 1*) 2* točki

Odgovor, npr.: Za 4,3 % . ........................................................................................... 1 točka

Opomba: Pri točkovanju moramo biti pazljivi, da je v imenovalcu površina prizme.

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, v celoti izgubi 1 točko.

20. Pravokotnik s stranicama 10 cm in 4 cm zavrtimo okrog daljše stranice za o360 .

20.1. Narišite skico in izračunajte površino nastalega valja na 2mm natančno.

(6 točk) 20.2. Izračunajte dolžino najdaljše toge palice, ki bi jo še skrili v ta valj.

(4 točke) 20.3. Kolikšen kot oklepa ta palica z osnovno ploskvijo valja? Kot označite na skici.

(5 točk) Rešitev

20. Skupaj 15 točk

20.1. (6 točk)

Skica valja ................................................................................................................... 1 točka

b r�

a v�

Ugotovitev: 4 cm, 10 cmr v ..................................................................... (1 + 1) 2 točki


Postopek, npr.: 2P r r v ................................................................................. 1* točka

Izračun: 22 4 4 10 351,86 cmP ( 235186 mm ) ............................. (1* + 1) 2 točki

20.2. (4 točke)

Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1* točki Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

Računanje z rešitvijo: 164 12,8 cmd ................................................... (1* + 1) 2 točki 20.3. (5 točk)

Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka Opomba: Zadošča ena skica z narisanimi podatki.

r

v

d

�

Uporaba kotne funkcije, npr.: tan2vr

.................................................................... 1 točka

Izračun, npr.: 10tan = 1,258

........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Rešitev: o51,34 .................................................................................................... 1 točka

21. Iz valja in stožca sestavimo telo na sliki. Kot pri vrhu osnega preseka stožca meri o44 .

44

11 cm

9 cm

21.1. Izračunajte višino telesa.


(5 točk) 21.2. Izračunajte polmer osnovne ploskve valja.

(3 točke) 21.3. Izračunajte površino in prostornino telesa.

(7 točk) Rešitev

21. Skupaj 15 točk

21.1. (5 točk)

Zapis enačbe: ocos2211

sv ............................................................................ (1 + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi prvo točko, če uporabi lastnosti pravokotnega trikotnika

s kotom o22 .

Izražena višina stožca, npr.: o11 cos22sv ............................................................. 1 točka

Izračun višine stožca, npr.: 10,20 cmsv ................................................................. 1 točka

Izračun višine telesa, npr.: 19,20 cmv ................................................................. 1* točka

21.2. (3 točke)

Zapis enačbe: osin2211r ........................................................................................ 1 točka

Izražen polmer, npr.: o11 sin22r ........................................................................... 1 točka Izračun polmera osnovne ploskve, npr.: 4,12 cmr ................................................ 1 točka

21.3. (7 točk)

Izračun prostornine valja, npr.: 3479,94 cmvV ..................................................... 1* točka

Izračun prostornine stožca, npr.: 3181,31 cmsV ................................................... 1* točka

Izračun prostornine telesa, npr.: 3661,25 cmV .................................................... 1* točka

Izračun površine valja, npr.: 22 339,63 cmvP r r v ...................................... 1* točka

Izračun površine stožca, npr.: 2195,70 cmsP r r s ..................................... 1* točka

Ugotovitev, da je treba odšteti dvakratnik ploščine osnovne ploskve ........................ 1 točka

Izračun površine telesa, npr.: 2428,68 cmP ........................................................ 1* točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, v celoti izgubi 1 točko.

22. Osnovna ploskev pokončne štiristrane piramide je kvadrat z dolžino stranice 2 dm. Višina piramide je 6 dm.

22.1. Narišite skico in izračunajte prostornino piramide.

(5 točk) 22.2. Izračunajte površino piramide.

(7 točk) 22.3. Izračunajte dolžino stranskega roba piramide.

(3 točke)



22.1. (5 točk) V

s

C

BA

D

v

Narisana in označena skica ............................................................................. (1 + 1) 2 točki

Zapis ali uporaba formule: 2

3a vV ......................................................................... 1 točka

Rezultat: 38 dmV ....................................................................................... (1* + 1) 2 točki

22.2. (7 točk)

Zapis ali uporaba formule za višino stranske ploskve: 2 2

2aav v ...................... 2 točki

Izračun višine, npr.: 37 6,08 dmav ................................................................... 1 točka

Zapis ali uporaba formule: 2 42

aa vP a

........................................... (1* + 1 + 1) 3 točke

Rezultat, npr.: 228,33 dmP .................................................................................... 1 točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.

22.3. (3 točke)

Zapis ali uporaba formule: 2 2

2 aas v ali

222

2as v

................. (1* + 1) 2 točki

Izračun stranskega roba, npr.: 38 dm 6,16 dms .............................................. 1 točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.

23. Na skici je pokončna tristrana prizma ABCDEF . Kot ABC meri 150 , 33 cmAB in

40 cm.BC Višina prizme je 56 cm.


A

B

C

D

E

F

23.1. Izračunajte dolžino daljice .BD

(3 točke)

23.2. Izračunajte prostornino prizme. Rezultat zapišite v 3dm .

(6 točk)

23.3. Izračunajte ploščino plašča prizme. Rezultat zapišite v 2dm .

(6 točk) Rešitev

23. Skupaj 15 točk

23.1. (3 točke)

Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1 točka Uporabljeni podatki ..................................................................................................... 1 točka Rezultat: 65 cmBD ............................................................................................... 1 točka

23.2. (6 točk)

Uporaba formule za ploščino osnovne ploskve. ......................................................... 1 točka

Izračun: 2330 cmOS ................................................................................... (1* + 1) 2 točki

Rezultat: 3 318480 cm 18,480 dmV .................................................. (1* + 1 + 1) 3 točke

Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.

23.3. (6 točk)

Zapis in uporaba kosinusnega izreka .............................................................. (1*+ 1) 2 točki Izračun: 70,54 cmAC ........................................................................................... 1 točka

Uporaba formule za ploščino plašča .......................................................................... 1 točka

Rezultat: 2 28038,24 cm 80,38 dmplS ..................................................... (1 + 1) 2 točki


24. Na sliki je pravilna šeststrana prizma. Obseg osnovne ploskve meri 18 cm , višina prizme pa 8 cm .


D�E �

C �F �

B�A�

A

F

E D

C

Ba a

aa

a

a

v

24.1. Narišite skico osnovne ploskve in izračunajte dolžino osnovnega roba.

(3 točke) 24.2. Izračunajte ploščino plašča in jo izrazite v kvadratnih metrih.

(4 točke) 24.3. Natančno izračunajte prostornino prizme in dolžino telesne diagonale .AD

(8 točk) Rešitev

24. Skupaj 15 točk

24.1. (3 točke)

Narisana skica ............................................................................................................ 1 točka

A

C

B

F

E D

a

a

a a

a

a

Upoštevanje enačbe: 6o a .................................................................................... 1 točka Izračun osnovnega roba: 3 cma ............................................................................ 1 točka

24.2. (4 točke)

Upoštevanje enačbe: 6plS a v .................................................................. (1 + 1) 2 točki

Rezultat: 2144 cmplS ........................................................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko le, če je pravilno upošteval vrednost višine.

Pretvorba: 20,0144 mplS ..................................................................................... 1* točka

24.3. (8 točk)


Upoštevanje enačbe: 2 36

4oaS ......................................................................... 1 točka

Izračun ploščine osnovne ploskve, npr.: 227 3 cm2oS ....................................... 1* točki

Upoštevanje enačbe: oV S v .................................................................................. 1 točka

Rezultat: 3108 3 cmV ....................................................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat ne dobi zadnje točke, če rezultat ni natančno izračunan.

Upoštevanje dolžine: 6 cmAD ............................................................................. 1 točka

Upoštevanje Pitagorovega izreka: 2 2 2AD AD v ............................................... 1 točka

Rezultat: 10 cmAD .................................................................................. (1* + 1) 2 točki

25. Jaka ima 5 hrastovih hlodov v obliki valja. Dolžina posameznega hloda je 3,5 m, polmer pa 0,25 m. Koliko evrov je dobil za les, če je cena hrastovega lesa 86 evrov za kubični meter?

(5 točk) Rešitev

25. Skupaj (5 točk)

Upoštevanje formule za izračun prostornine valja: 2V r v ..................................... 1 točka

Izračun prostornine posameznega hloda, npr.: 30,687 mV ................................... 1 točka

Izračun prostornine vseh hlodov, npr.: 35 3,435 mV .......................................... 1* točka

Izračun cene, npr.: 3,435 86 295,41 evra ............................................................ 1* točka

Odgovor, npr.: Jaka je dobil za les 295,41 evra ........................................................ 1 točka


26. Vsota dolžin vseh robov lesene kocke meri 96 cm.

26.1. Narišite skico in izračunajte dolžino roba kocke.

(4 točke) 26.2. Izračunajte površino kocke v kvadratnih milimetrih in prostornino kocke v litrih.

(6 točk) 26.3. Izračunajte prostornino največje krogle, ki jo lahko s struženjem naredimo iz dane kocke.

(5 točk) Rešitev

26. Skupaj (15 točk)

26.1. (4 točke)

Narisana skica kocke .................................................................................................. 1 točka


B �

D � C �

A �

A B

CD

a

a

a

Ugotovitev, da ima kocka 12 robov. ........................................................................... 1 točka Uporaba formule za izračun roba kocke: 12 96a ................................................. 1* točka Izračun osnovnega roba: 8 cma ............................................................................ 1 točka

26.2. (6 točk)

Izračun površine kocke, npr.: 2 2 26 8 384 cm 38400 mmP ....................................................... (1* + 1 + 1*) 3 točke

Izračun prostornine kocke, npr.: 3 38 512 cm 0,512 lV ............... (1* + 1 + 1*) 3 točke

26.3. (5 točk)

Ugotovitev, da je premer krogle: 2 8r ...................................................................... 2 točki Izračun polmera krogle: 4 cmr .............................................................................. 1 točka Uporaba formule in izračun prostornine krogle, npr.:

33 34 4 cm 267,95 cm

3V ..................................................................... (1* + 1) 2 točki


27. Pravokotni trikotnik s katetama 24 cm in 18 cma b zavrtimo okrog katete a za o360 .

a

b

27.1. Izračunajte kot ob vrhu osnega preseka nastalega stožca.

(5 točk) 27.2. Izračunajte ploščino plašča stožca.

(5 točk) 27.3. Izračunajte prostornino stožca in jo izrazite v kubičnih decimetrih.


(5 točk) Rešitev

27. Skupaj 15 točk

27.1. (5 točk)

Uporaba obrazca za izračun kota nasproti katete ,b npr.: 18tan24

ba

...... (1 + 1) 2 točki

Izračun kota , npr.: o36,87 ............................................................................. 1* točka

Ugotovitev, da je kot ob vrhu osnega preseka enak 2 ............................................ 1 točka

Izračun kota ob vrhu osnega preseka, npr: o2 73,74 ......................................... 1* točka

27.2. (5 točk)

Uporaba obrazca za izračun ploščine plašča stožca: plS rs ................................ 1 točka

Ugotovitev, da je polmer r enak kateti b in stranica s enaka hipotenuzi c ... (1 + 1) 2 točki

Izračun stranice: 2 2 30 cmc a b ..................................................................... 1 točka

Izračun ploščine plašča stožca, npr.: 2540 1696,46 cmplS ............................ 1* točka

27.3. (5 točk)

Uporaba obrazca za izračun prostornine stožca: 2

3r vV ....................................... 1 točka

Ugotovitev, da je višina v enaka kateti a .................................................................. 1 točka

Izračun prostornine stožca, npr.: 32592 8143,01 cmV ......................... (1 + 1*) 2 točki

Pretvorba v kubične decimetre, npr.: 38,14 dmV ................................................. 1* točka

28. Ploščina osnovne ploskve pokončnega stožca meri 264 cm , stranica pa je dolga 10 cm .

28.1. Narišite skico stožca ter izračunajte kot med stranico stožca in osnovno ploskvijo na minuto natančno.

(5 točk) 28.2. Izračunajte prostornino stožca na dve decimalni mesti natančno.

(5 točk) 28.3. Natančno izračunajte ploščino osnega preseka in plašč stožca.

(5 točk) Rešitev

28. Skupaj 15 točk

28.1. (5 točk)

Skica ................................................................................................................................ 1 točka


Polmer osnovne ploskve: 8 cmr ................................................................................. 1 točka

Izračunana velikost kota, npr.: cos 0,8rs

, o36,86 ............................... (1* + 1) 2 točki

Zaokrožitev na minuto natančno: o36 52́ ................................................................. 1 točka

28.2. (5 točk)

Višina stožca: 6 (cm)v .................................................................................... (1* + 1) 2 točki

Prostornina: 3402,1238... cmV ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Zaokrožitev: 3402,12 cmV .......................................................................................... 1 točka 28.3. (5 točk)

Ploščina preseka, npr.: pS r v ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 248 cmpS ...................................................................................................... 1 točka

Plašč: 280 cmplS ........................................................................................... (1* + 1) 2 točki

29. Na sliki je valjasto telo s kvadratno odprtino v sredini in njegova osnovna ploskev. Višina telesa meri 9,1 cm, stranica kvadrata 8,4 cmAB in polmer kroga 7,4 cm.SC

S

C

A B


29.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve telesa.

(3 točke) 29.2. Izračunajte površino telesa.

(6 točk) 29.3. Izračunajte prostornino telesa.

(6 točk) Rešitev

29. Skupaj 15 točk

29.1. (3 točke)

Izračun ploščine kroga, npr.: 2 27,4 172,03 cmKrS ......................................... 1 točka

Izračun ploščine kvadrata, npr.: 2 28,4 70,56 cmKvS .......................................... 1 točka

2 2101,47 cm 101,5 cmo Kr KvS S S ................................................................. 1* točka

29.2. (6 točk)

Zapis ali uporaba formule: 0 , ,2 pl V pl PP S S S ..................................................... 1 točka

Izračun ploščine plašča valja: 2, 2 7,4 9,1 423,1 cmpl VS ..................... (1 + 1) 2 točki

Izračun ploščine plašča prizme: 2, 4 8,4 9,1 305,8 cmpl PS ..................... (1 + 1) 2 točki

Rezultat: 2931,9 cmP ........................................................................................... 1* točka Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če pravilno upošteva napačno izračunano

ploščino osnovne ploskve.

29.3. (6 točk)

1. način: Zapis ali uporaba formule, npr.: V PV V V .............................................................. 1 točka

Izračun prostornine valja, npr.: 2 37,4 9,1 1565,5 cmVV ...................... (1 + 1) 2 točki

Izračun prostornine prizme, npr.: 2 38,4 9,1 642,1 cmPV .......................... (1 + 1) 2 točki

Rezultat, npr.: 3923,4 cmV .................................................................................... 1 točka 2. način:

Ugotovitev, da je osnovna ploskev telesa 0S ............................................................. 2 točki

Zapis ali uporaba formule 0V S v ............................................................................ 2 točki

Rezultat, npr.: 3923,4 cmV ..................................................................................... 2 točki

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.

30. Telo sestavljata dve enaki kocki z robom 15 cm, kakor kaže slika. Razdalja med točkama 2A in

1F je 14 cm.


1A

1F2A

2F

30.1. Izračunajte prostornino telesa. Zapišite jo v 3dm .

(4 točke) 30.2. Izračunajte površino telesa.

(6 točk) 30.3. Izračunajte razdaljo med točkama 1A in 2.F

(5 točk) Rešitev

30. Skupaj 15 točk

30.1. (4 točke):

Izračun prostornine ene kocke: 3 31 3375 cmV a ...................................... (1* + 1) 2 točki

Izračun prostornine telesa: 312 6750 cmV V ...................................................... 1 točka

Zapis v 3dm , npr.: 36,75 dm ................................................................................... 1* točka

30.2. (6 točk):

1. način:

Izračun površine ene kocke: 2 21 6 1350 cmP a ...................................... (1* + 1) 2 točki

Ugotovitev, da je območje, kjer se kocki stikata, pravokotnik s stranicama dolžine 14 cm in 15 cm ............................................................................................... 1 točka

Izračun ploščine pravokotnika: 214 15 210 cmS ............................................... 1 točka Ugotovitev, da je površina telesa: 12 2P P S ..................................................... 1 točka

Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka

2. način: Ugotovitev, da je površina telesa sestavljena iz kvadratov s stranico dolžine 15 cm in pravokotnikov s stranicama dolžin 1 cm in 15 cm .......................... (1* + 1) 2 točki

Izračun ploščine kvadrata: 2 215 225 cmKS ........................................................ 1 točka

Izračun ploščine pravokotnika: 21 15 15 cmPS ................................................... 1 točka


Ugotovitev, da je površina telesa: 10 2K PP S S ................................................ 1 točka

Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka

30.3. (5 točk)

Ugotovitev, da je razdalja med točkama 1A in 2F enaka dolžini hipotenuze

v pravokotnem trikotniku .............................................................................................. 2 točki Ugotovitev, da sta dolžini katet v pravokotnem trikotniku 16 cm in 30 cm ................. 1 točka Izračun 1 2A F , npr. uporaba Pitagorovega izreka:

2 2 21 2 16 30A F .................................................................................................... 1* točka

Rezultat, npr.: 1 2 34 cmA F ..................................................................................... 1 točka

31. Oglišča pravokotnika v pravokotnem koordinatnem sistemu so podana s točkami (1,1), (7,1), (7,3)A B C in (1,3)D .

31.1. Narišite sliko v dani koordinatni sistem in izračunajte obseg pravokotnika ABCD .

(5 točk)

31.2. Točka T leži na stranici AB , tako da je razmerje : 1 2AT TB : , točka S pa

razpolavlja stranico BC . V dani koordinatni sistem narišite točki T in S ter izračunajte dolžino daljiceTS .

(6 točk) 31.3. Pravokotnik ABCD predstavlja plašč 3-strane prizme. Osnovna ploskev prizme je

enakostranični trikotnik. Višina prizme je 2v . Izračunajte prostornino te prizme.

(4 točke)


y

Rešitev Naloga

Točke Rešitev Dodatna navodila

31.1 2 pravilno narisan pravokotnik, npr.:


y

(1,1)A (7,1)B

(7,3)C(1,3)D

(3,1)T

(7,2)S

2 ugotovitev, da stranici pravokotnika merita 2 in 6

1 + 1

1* izračunan obseg pravokotnika: 16

Skupaj 5 Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila

31.2 2 pravilno narisani točki T in S 1 + 1

1. način

2 ugotovitev, da je 4TB in 1BS 1 + 1

1 uporaba Pitagorovega izreka

1 rezultat, npr.: 17 4,1TS

2. način

2 ugotovitev, da so koordinate točk 3,1T in

7,2S

1 + 1

1 uporaba formule za razdaljo med dvema točkama

1 rezultat, npr.: 17 4,1TS


31.3 1 ugotovitev, da je osnovna ploskev enakostranični trikotnik s stranico 2

2 zapis in uporaba formule za prostornino

prizme, npr.: 2 34

aV v

1 + 1

1 rezultat, npr.: 2 3 3,5V

Skupaj 4


32. List papirja ima obliko pravokotnika s stranicama 15 cm in 10 cm.

32.1. Ta list papirja zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica pravokotnika višina valja.

Izračunajte prostornino valja na 3cm natančno.

(5 točk) 32.2. Na vogalih pravokotnika smo izrezali kvadrate s stranico 3 cm, kot kaže skica.

Dobili smo mrežo škatle brez pokrova. Določite robove škatle in izračunajte njeno prostornino.

(5 točk) 32.3. Izračunajte, koliko odstotkov površine škatle predstavlja ploščina dna škatle.

(5 točk) Rešitev

32. Skupaj 15 točk

32.1. (5 točk)

..................................................................................................................................................... Izračunan polmer osnovne ploskve valja: 2,387... cmr ............................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Izračunana prostornina valja: npr. 3179,047... cmV ..................................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Zaokrožen rezultat: 3179 cmV ................................................................................... 1 točka

32.2. (5 točk)

..................................................................................................................................................... Določeni robovi škatle: 9 cm, 4 cm in 3 cm, vsak 1 točka, skupaj ............................... 3 točke

..................................................................................................................................................... Izračunana prostornina: 3108 cmV ............................................................... (1* + 1) 2 točki

32.3. (5 točk)

..................................................................................................................................................... Površina škatle: 2114 cmP ............................................................................. (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Dno škatle: 236 cmS .................................................................................................. 1 točka

..................................................................................................................................................... Odstotek: 32 %p (31,6 % ali 31,58 ... %) .................................................... (1* + 1) 2 točki


33. Pokončni valj in 4-strana prizma imata enaka plašča. Pri obeh je plašč kvadrat s ploščino 236 cm .

33.1. Narišite skico valja, izračunajte polmer osnovne ploskve, višino in prostornino valja. Polmer zaokrožite na 2 decimalni mesti (v cm), prostornino pa na celo število kubičnih centimetrov.

(6 točk) 33.2. Narišite skico prizme in izračunajte njeno prostornino.

(6 točk) 33.3. Izračunajte, za koliko odstotkov je prostornina prizme manjša od prostornine valja.

(3 točke)


33.1. (6 točk)

..................................................................................................................................................... S

kica valja ....................................................................................................................... 1 točka ..................................................................................................................................................... P

olmer osnovne ploskve valja: 0,95 cmr ...................................................... (1* + 1) 2 točki ..................................................................................................................................................... V

išina valja: 6 cmv ..................................................................................................... 1 točka ..................................................................................................................................................... P

rostornina valja: 317 cmvV ........................................................................... (1* + 1) 2 točki

33.2. (6 točk)

..................................................................................................................................................... Skica prizme .................................................................................................................... 1 točka


..................................................................................................................................................... Rob osnovne ploskve prizme: 1,5 cma .......................................................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Višina prizme: 6 cmv .................................................................................................. 1 točka

..................................................................................................................................................... Prostornina prizme: 313,5 cmpV ..................................................................... (1* + 1) 2 točki

33.3. (3 točke)

..................................................................................................................................................... Razlika prostornin: 33,5 cmv pV V ............................................................................ 1 točka

..................................................................................................................................................... Odstotek: 21 % (20,6 ali 20,59) .......................................................................... (1* + 1) 2 točki

34. Dan je trikotnik ABC s podatki: o7 cm, 5 cm, 60 .a b

34.1. Narišite skico trikotnika ABC in ga načrtajte.

(4 točke) 34.2. Izračunajte kota in , dolžino stranice c ter ploščino trikotnika ABC na

dve decimalni mesti natančno.

(8 točk) 34.3. Trikotnik ABC naj bo osnovna ploskev 10 cm visoke pokončne prizme.

Izračunajte površino te prizme.

(3 točke) Rešitev

34. Skupaj 15 točk

34.1. (4 točke)

b a

C

BA

..................................................................................................................................................... Skica .............................................................................................................................. 1 točka


..................................................................................................................................................... Načrtan in označen trikotnik .......................................................................................... 3 točke

Opomba: Če je pri katerikoli dolžini stranice odstopanje večje kot 2 mm ali pri velikosti kota

večje kot o2 , dobi reševalec 2 točki od treh točk.

34.2. (8 točk)

..................................................................................................................................................... Izračunan kot o38,21 ................................................................................. (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Izračunan kot o81,79 ............................................................................................. 1* točka

..................................................................................................................................................... Izračunana stranica: 8 cmc ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Izračunana ploščina 217,32 cmS ................................................................ (1* + 2) 3 točke (Od tega 1 točka za zaokroževanje.)

34.3. (3 točke)

..................................................................................................................................................... Površina prizme: 22 234,64 cmP O o v ................................................. (1* + 2) 3 točke

35. Polmer nogometne žoge je meril 12 cm . Ponoči se je na mrazu prostornina žoge zmanjšala za 6 % . Izračunajte novo prostornino in polmer žoge.

(5 točk) Rešitev

Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila

35 1 začetna prostornina žoge, npr.: 32304 7238,23 cmZV

1* upoštevanje deleža zmanjševanja

1 nova prostornina žoge, npr.: 32165,76 6803,94 cmNV

2 novi polmer žoge, npr.: 11,75 cmNr 1* + 1

Skupaj 5

36. Mama je Juretu v krožnik nalila 3 zajemalke juhe. Zajemalka ima obliko polkrogle s polmerom 3,5 cm . Izračunajte, koliko decilitrov juhe je mama nalila Juretu v krožnik.

(4 točke)

Rešitev Naloga


36 2 uporaba formule za prostornino krogle in izračun prostornine zajemalke, npr.:

33

14 3,51 89,80 cm

2 3V

1 + 1

1* izračun prostornine treh zajemalk juhe, npr.:


33 89,80 269,40 cmV

1* pravilna pretvorba: 3269,40 cm 2,7 dl

Skupaj 4

37. Klavdija je kupila stekleničko valjaste oblike s polmerom 1,5 cm in višino 15 cm .

37.1. V stekleničko je prelila 30 ml parfuma. Kako visoko nad dnom je gladina parfuma?

(5 točk) 37.2. Steklenička je bila v embalaži v obliki kvadra. Izračunajte površino embalaže, če je ta

najmanjša možna.

(5 točk) 37.3. Po mesecu dni je Klavdija porabila 15 % parfuma. Kako visoko je bila gladina parfuma po

enem mesecu?

(5 točk)

Rešitev Naloga


37.1 1 ugotovitev: 330 ml 30 cm

1 uporaba formule za prostornino valja, npr.:

230 1,5 v

1* preoblikovanje enačbe, npr.:

230

1,5v

1 rezultat, npr.: 4,2 cmv

1* odgovor, npr.: Gladina parfuma je približno

4,2 cm nad dnom.


37.2 2 Ugotovitev, da ima kvader za osnovno ploskev kvadrat s stranico 3 cma , višina kvadra pa meri 15 cmv .

1 + 1

2 uporaba formule za površino kvadra, npr.: 22 3 4 3 15P

1 + 1 Kandidat dobi 1 točko, če zgolj pravilno zapiše formulo

22 4P a av .

1 rezultat: 2198 cmP


37.3 1 Ugotovitev ali uporaba, da je prostornina sorazmerna z višino.

1 Upoštevanje, da je nova višina gladine parfuma enaka 85 % prvotne višine.

1 zapis, npr.: 1 4,2 0,85v

1 rezultat: 1 3,6 cmv


1 odgovor, npr.: Po enem mesecu je bila gladina parfuma približno 3,6 cm nad dnom.

Skupaj 5

38. Škatla za bonbone ima obliko pravilne šeststrane prizme. Osnovni rob prizme je dolg 6 cm, višina pa 5 cm. Na sliki je mreža šeststrane prizme.

38.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve prizme in velikost označenega kota na sliki.

(7 točk) 38.2. Izračunajte površino dane prizme.

(4 točke) 38.3. Skupna prostornina bonbonov v škatli je približno 254,34 cm3. Izračunajte

delež prostornine, ki jo zasedajo bonboni v škatli.

(4 točke)

Rešitev Naloga


38.1 2 uporaba formule za izračun ploščine pravilnega šestkotnika, npr.:

26 36 64

S S

1 + 1

1 rešitev, npr.: 2 254 3 cm 93,53 cmS

1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov pravilnega šestkotnika 120

1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov pravokotnika 90

2 izračun kota , npr.:

360 120 90 90 60

1 + 1



38.2 2 izračun ploščine plašča prizme, npr.: 6 6 5 180plS cm2

1 + 1

2 izračun površine prizme, npr.: 22 54 3 180 108 3 180 cmP

367,06 cm2

1* + 1


38.3 2 uporaba formule za izračun prostornine prizme, npr.:

54 3 5 270 3V cm3 467,65 cm3

1* + 1

2 izračun deleža prostornine, ki jo zasedejo

bonboni, npr.: 254,34 0,5439467,65

1* + 1

Skupaj 4

39. Skrinja ima obliko kvadra širine 50 cm, dolžine 100 cm in višine 50 cm, njen pokrov pa ima obliko polovice valja (glejte sliko). Izračunajte površino skrinje.

25 cm

50 cm

100 cm

50 cm

(5 točk)

Rešitev Naloga


39 2 izračun površine spodnjega dela skrinje, npr.: 2

1 2 100 50 2 50 50 100 50 20000 cmP 1 + 1

2 izračun površine zgornjega dela skrinje, npr.:

2 22

1 2 25 2 25 100 9817,5 cm2

P

1 + 1*

1 izračun površine skrinje, npr.: 2

1 2 29817,5 cmP P P


Skupaj 5

40. Šest 10-litrskih in pet 8-litrskih veder vode prelijemo v sod v obliki pokončnega valja s polmerom 2,5 dm. Izračunajte, kako visoko bo gladina vode v sodu, ki stoji pokonci.

(5 točk)

Rešitev Naloga


8 1 celotna količina vode: 100 l

1 pretvorba, npr.: 3100 l 100 dm

1 uporaba formule za prostornino, npr.: 2100 2,5 v

1 izražena višina, npr.: 2

1002,5

v

1 izračun višine, npr.: 5,1 dmv

Skupaj 5 Upoštevajo se vse rešitve, dobljene s pravilnim zaokroževanjem.

41. V podjetju Les izdelujejo lesene drogove dveh oblik, kakor kaže slika.

Spodnja preglednica prikazuje število izdelanih drogov po posameznih delovnih dnevih v danem tednu:

Dan v tednu Pon Tor Sre Čet Pet

Število okroglih drogov 112 134 108 94 152

Število oglatih drogov 92 88 76 103 144

41.1. Podatke za število izdelanih okroglih drogov v danem tednu prikažite s krožnim diagramom.

(5 točk) 41.2. Koliko odstotkov proizvedenih drogov oglate oblike v danem tednu predstavlja

petkova proizvodnja?

(4 točke)


41.3. Izračunajte površino okroglega in površino oglatega droga.

(6 točk)

Rešitev Naloga


41.1 1

izračun števila izdelanih okroglih drogov v danem tednu, npr.: 112 134 108 94 152 600

2

upoštevanje ali izračun velikosti kotov v krožnem diagramu, npr.: o67,2 , o80,4 , o64,8 , o56,4 ,

o91,2

1 + 1 Kandidat dobi prvo točko, če pravilno izračuna vsaj tri vrednosti.

2

narisan krožni diagram 1* + 1


41.2 1 izračun števila izdelanih oglatih drogov v danem tednu, npr.: 92 88 76 103 144 503

2 izračun deleža petkove proizvodnje glede na

tedensko proizvodnjo, npr.: 144 0,2863503

1* + 1

1 odgovor, npr.: Petkova proizvodnja predstavlja 28,63 % proizvodnje tega tedna.


41.3 1 izračun ploščine plašča okroglega droga, npr.: 2 0,3 12 22,62plvS m2

2 izračun površine okroglega droga, npr.: 22 0,3 22,62 23,18VP m2

1* + 1

1 izračun ploščine plašča oglatega droga, npr.: 4 0,4 12 19,2plpS m2

2 izračun površine oglatega droga, npr.: 2 0,4 0,4 19,2 19,52pP m2

1* + 1

Skupaj 6

Documents

FORMULE - MATEMATIKAmatka.splet.arnes.si/files/2015/12/TelesaResitve.pdf · FORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija ... Piramida: P