1

KRUŽNICA I KRUG (m©h)

kružnica

kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne čvrste točke

te iste ravnine

središte S nije točka kružnice

r – polumjer (radijus)

krug

krug je nutrina kružnice skupa s kružnicom

krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od središta S jednaka ili

manja od polumjera r

tetiva i promjer

tetiva je spojnica dviju točaka kružnice

promjer (dijametar) je tetiva koja prolazi središtem kružnice

22

dd r r= ⋅ ⇒ =

opseg i površina 2

22 , , , , 3.144

dO r O d P r P

ππ π π π

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈

sekanta i tangenta

s

r

t

SD

S

sekanta i kružnica imaju

dvije zajedničke točke

tangenta i kružnica imaju jednu

zajedničku točku, D je diralište

duljina kružnog luka i kružni isječak (sektor)

kružni luk je dio kružnice između dviju točaka kružnice

0 0

0

180 180, , , 2

180

r l ll r O l r

r

π αα

π α π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = + ⋅

⋅ ⋅

2

0

2

,360 2

, α u radijanima2

r r lP P

rP

π α

α

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅=

r

S

r

AS

t

d

r rS

l

r

αααα

rS

2

kružni odsječak (segment)

kružni odsječak je dio kruga što ga odsijeca tetiva

2 2

0

2

sin, 2 sin

360 2 2

sin

2 2

r rP O l r

r l rP

π α α α

α

⋅ ⋅ ⋅= − = + ⋅ ⋅

⋅ ⋅= −

obodni kut

obodni kutovi nad istim kružnim lukom međusobno su jednaki

α β γ= =

poučak o obodnom i središnjem kutu

t

αααα

ββββ

ββββ

αααα

središnji kut nad kružnim lukom dva puta

je veći od obodnog kuta nad istim lukom

1= 2

2α β β α⋅ ⇒ = ⋅

1

= 22

α β β α⋅ ⇒ = ⋅

Talesov poučak

90°°°°

90°°°°

90°°°°

180°°°°

90°°°°

180°°°°

0obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut 90 ili radijana

2

π

r

αααα

r

l

AS

γγγγ

ββββ

l

αααα

S

3

potencije točke s obzirom na kružnicu

D

C

B

A

B

A

O

O O A

B

C

D

C

2OA OB OC OA OB OC OD OA OB OC OD⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

kružni vijenac i isječak kružnog vijenca

l1

l

αααα

R

r

r

R

( )( ) ( )

2 2

2 2

P R r

P R r

P R r R r

π π

π

π

= ⋅ − ⋅

= − ⋅

= + ⋅ − ⋅

( )

( )

2 2

0

1

360

2

P R r

l lP R r

π α⋅= ⋅ −

+= ⋅ −

odsječak (segment) i isječak (sektor) kruga

l duljina luka

t duljina tetive

α središnji kut (u stupnjevima)

h visina segmenta

r polumjer kružnice

−

−

−

−

−

22 2

2 sin2

t h r h

t rα

= ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅

22 21 cos 2 sin

4 2 2 4 4

t th r r r tg r

α α α = − − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ ⋅

h

t

rr

l

αααα