Ploče opterećene na savijanje – izrazi za sile

yxw

1kM

xw

yw

kM

yw

xw

kM

2

xy

2

2

2

2

y

2

2

2

2

x

∂⋅∂∂⋅ν−⋅−=

∂∂⋅ν+

∂∂⋅−=

∂∂⋅ν+

∂∂⋅−=

)(

∂⋅∂∂+

∂∂⋅−=

∂⋅∂∂+

∂∂⋅−=

yxw

yw

kT

yxw

xw

kT

2

3

3

3

y

2

3

3

3

x

∂⋅∂∂⋅ν−+

∂∂⋅−=

∂⋅∂∂⋅ν−+

∂∂⋅−=

2

3

3

3

y

2

3

3

3

x

xyw

2yw

kT

yxw

2xw

kT

)(

)(

)( 2

3

112hE

kν−

⋅=

Navier-ovo rešenje

∑∑∞

=

∞

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11 n

mnm b

yna

xmAyxw

ππsinsin),(

∫∫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=

+⋅⋅

=

yxmn

mnmn

dxdyb

yna

xmyxZ

baZ

bn

am

k

ZA

ππ

π

sinsin),(4

2

2

2

2

24

rešenje za jednako podeljeno opterećenje na celoj ploči

∑∑∞

=

∞

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅⋅=

12

2

2

2

21

60 116

nm byn

axm

bn

am

nmk

Zyxw

πππ

sinsin),(

rešenje za jednako podeljeno opterećenje na pravougaoniku 2c×2d

∑∑∞

=

∞

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=1

2

2

2

2

216016

nm byn

axm

bn

am

nm

bdn

bvn

acm

aum

k

Zyxw

ππππππ

πsinsin

sinsinsinsin),(

rešenje za koncentrisanu silu u tački (u, v)

∑∑∞

=

∞

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅=1

2

2

2

2

21

4

4

nm byn

axm

bn

am

bvn

aum

bakP

yxwππ

ππ

πsinsin

sinsin),(

M. Levy – jevo rešenje

∑∞

=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

⋅⋅⋅+=

+=

1nnnnnh

ph

axn

ayn

shDa

ynC

ayn

chBa

ynAw

www

πππππsin

∑∞

=

⋅⋅⋅=1

sinn

np axn

wwπ

4

⋅⋅=

πna

kZ

w nn

∑∞

=

⋅⋅⋅=1

sinn

n axn

ZZπ ∫

⋅⋅⋅⋅=x

n dxa

xnxZ

aZ

πsin)(

2

∑

∑

∞

=

∞

=

⋅π⋅⋅

⋅π⋅⋅+⋅π⋅⋅⋅π⋅⋅=

⋅π⋅⋅

⋅π⋅⋅⋅π⋅⋅+⋅π⋅⋅=

1nnnanth

1nnnsimh

axn

ayn

shCa

ynch

ayn

Bw

axn

ayn

sha

ynD

ayn

chAw

sin

sin

,

,

rešenje za slobodno oslonjenu ploču na konturi y=b/2 usled jednako podeljenog opterećenja

a2bn

k

aZ4S

ch2S

n

1DS

ch22th

n

1A

n5

40

n5n

n

nn5n

⋅π⋅=α⋅π

⋅⋅=

α⋅⋅=⋅

α⋅+α⋅α⋅−=

rešenje za uklještenu ploču na konturi y=b/2 usled jednako podeljenog opterećenja

a2bn

k

aZ4S

Schsh

sh

n

1DS

chshshch

n

1A

n5

40

nnn

n5n

nnn

nnn5n

⋅π⋅=α⋅π

⋅⋅=

⋅α⋅α+α

α⋅=⋅α⋅α+αα+α⋅α⋅−=

Metoda konačnih razlika – diferencna metoda

k

xZww

1wwwwww2

ww1

1ww1481

6w

x

y

42k

hm22k2k2

1l1i1l1i

il21k1k2

22

k

∆α)(

α

)(α)(

)(α

)()α(α

α

∆

∆α

⋅⋅=+⋅++⋅++++⋅+

+

+⋅

+++⋅+⋅−

+

+⋅⋅

=

−+++−−

−+

kxZ

wwww

wwww2wwww8w20

1

42k

hm2k2k

1l1i1l1iil1k1kk

∆⋅α⋅=++++

++++⋅++++⋅−⋅

=α

−+

++−−−+

)(

)()(

( )

( )[ ]

( ) [ ]1i1i1l1l2kxy

1kk1k2

ikl2ky

ikl21kk1k2kx

wwww1x4

kM

ww2www2wy

kM

ww2www2wx

kM

−+−+

−+

−+

−++−⋅ν−⋅α⋅∆⋅

=

−⋅+−⋅α⋅ν+−⋅+−⋅∆

=

−⋅+−⋅αν+−⋅+−⋅

∆=

,

,

,

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]m1l1l1i1i22

ilh3ky

2k1l1i1l1i221k1k2k3kx

m1l1l1i1i2

il2

h3ky

2k1l1i1l1i21k1k22k3kx

wwwww2212wwwy2

kT

wwwww22

12wwwx2

kT

wwwwwww12wy2

kT

wwwww1

ww1

12wx2

kT

−−−+⋅ν−α+ν−⋅α+⋅⋅−+⋅∆⋅

=

−−−+⋅α

ν−

+

αν−+⋅⋅−+⋅

∆⋅=

−−−+⋅α+−⋅α+⋅+⋅∆⋅

=

−−−+⋅

α+−⋅

α+⋅+⋅

∆⋅=

−+−+

+++−−−+−

+−+−

+++−−−+−

)()(

)()(

,

,

,

,

xy ∆∆ ≠

( )2114 α+⋅−

( ) 816 22 ++⋅ αα

( )2114 α+⋅−

21 α

( )214 α+⋅−( )214 α+⋅−

21 α

2α

2α

22

2 2

xy ∆∆ =

Kružne ploče opterećene na savijanje

kZ

drrdw

drwd

drrd

drd

2

2

2

2

=

⋅+

⋅+

ar

CCCCww 42

32

21p =ρρ⋅+ρ⋅ρ⋅+ρ⋅++= lnln

∫ ∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= drrZrdr

drrrdr

k1

wp

−+−=

⋅+⋅−=

⋅ν+

⋅−=

⋅⋅ν+−=

φ

drdw

r1

drwd

r1

drwd

kdrr

dwdr

wddrd

kT

drwd

drrdw

kM

drrdw

drwd

kM

22

2

3

3

2

2

r

2

2

2

2

r