Analiza signala i sistema u frekventnom domenu Fourierova transformacija

Teorija signala i sistema I

doc.dr. Nermin Suljanović

Uvod

Fourierov red – predstavljanje periodičnih signala kao beskonačne sume harmonijskih funkcija.

x(t) – neki aperiodičan signal koji se može posmatrati kao periodičan signal sa peridom T.

U slučaju aperiodičnih signala, amplitudni i fazni spektar su diskretni jer harmonijske komponente poprimaju samo učestanosti koje su cjelobrojni multipl osnovne učestanosti 0=2/T. T 00

Fourierova transformacija – proširenje koncepta na aperiodične signale.

Predstavljanje aperiodičnih signala

Posmatraćemo povorku pravougaonih impulsa.

2/,0

,1)(

1

1

TtT

Tttx

povećavamo T

držimo fiksno

Tk

Tkak

0

10 )sin(2

0

)sin(2 1

kk

TkTa

Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu, funkcija (2sinT1)/ predstavlja anvelopu Tak dok su koeficijenti ak uzorci ove anvelope u jednakim intervalima.

•Sa povećanjem perioda T, anvelopa se uzorkuje sa kraćim intervalima između uzoraka.

•Istovremeno, koeficijenti Fourierovog reda pomnoženi sa T postaju sve bliži i bliži.

•Aperiodični signal možemo posmatrati kao limes periodičnog signala kada T.

Posmatramo signal x(t) konačnog trajanja (interval od –T1 do T1).

Iz aperiodičnog signala konačnog trajanja formiramo periodični signal .)(~ tx

tjk

kkeatx 0)(~

dtetxT

dtetxT

a tjkT

T

tjkk

00 )(1

)(~1 2/

2/

Na intervalu od –T/2 do T/2 je )()(~ txtx

Definirajmo anvelopu X(j) od Tak:

dtetxjX tj )()( )(1 jXT

ak

Zamijenimo ak u Fourierov red:

k

tjkejkXT

tx 0)(1

)(~0

0

2

T

000)(

2

1)(~

k

tjkejkXtx

0 ),(~0 txxT

Par Fourierove transformacije

dejXtx tj

)(2

1)(

dtetxjX tj

)()(

Prikaz aperiodičnog signala kao linearnu kombinaciju kompl. eksp. signala kojima odgovara kontinum frekvencija i amplituda X(j)/(d/)

Spektar aperiodičnog signala x(t)

Konvergencija Fourierovog integrala

1. Kada x(t) ima konačnu energiju, tada se može garantirati da je X(j) konačno (energija greške jednaka je nuli).

2. Dirichletovi uslovi

dttx2

)(

Dirichletovi uslovi

1. x(t) je apsolutno integrabilna funkcija.

2. x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar konačnog intervala.

3. x(t) ima konačan broj prekida unutar bilo kojeg konačnog intervala. Osim toga, svaki od ovih prekida mora biti konačan.

dttx )(

Primjer

Pravougaoni impuls

1sin2

)(1

1

TdtejX

T

T

tj

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

1/T1/T12T

12)()0( TdttxX

djX )(

trouglapovršina2

1)(

2

1)0(

djXx

Delta impuls

)()( ttx

det tj

2

1)(

)()( ttx

1)()( dtetjX tj

)()( 0tttx

0)()( 0tjtj edtettjX

Primjer

W

WjX

,0

,1)(

)( jX

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

/W

W/ W/

t

Wtdetx

W

W

tj

sin

2

1)(

Svojstvo dualnostiSvojstvo dualnosti

Primjer. Guasov proces (vjerovatnoća)2

)( atetx

a

aa

jta

a

ja

a

jt

ajta

tjat

ea

ee

dte

dteejX

4

42

22

2

22

222

2

)(

11

~

aa

t

Princip neodređenosti!Princip neodređenosti!

Ne možemo istovremeno osigurati da i Ne možemo istovremeno osigurati da i t i t i budu budu proizvoljno mali!proizvoljno mali!

Fourierova transformacija periodičnih signala Da bi razmatrali periodične i aperiodične signale u istom

kontekstu. FT izvodimo direktno iz predstave periodičnog signala

pomoću FR. Transformaciju čini povorka impulsa u frekventnom

domenu, sa površinom impulsa proporcionalnom koeficijentima reda.

Posmatrajmo signal čija je Fourierova transformacija oblika X(j)=2(-0)...

Fourierova transformacija periodičnih signala Signal x(t) odredićemo pomoću inverzne Fourierove transformacije:

Generalizirajmo prethodni izraz tako što će X(j) biti linearna kombinacija ekvidistantnih impulsa

kome odgovara signal oblika:

tjtj edetx 002)(

02)( kajXk

k

tjk

kkeatx 0)(

Predstava periodičnog signala pomoću

Fourierovog reda!

Fourierova transformacija periodičnih signala FT periodičnog signala koji ima koeficijente

Fourierovog reda {ak} se interpretira kao povorka impulsa u tačkama =k0.

Površina impulsa koji odgovara k-tom harmoniku frekvencije k0 je jednaka 2 puta k-ti koeficijent Fourierovog reda ak.

Primjer

Analiziramo jediničnu povorku pravougaonih impulsa sa periodom T i trajanjem 2T1. Koeficijenti razvoja ovog signala u Fourierov red su:

pa je i Fourierova transformacija ovog signala:

k

Tkak

10sin

)(sin2

010 k

k

TkjX

k

Primjer. Povorka impulsa

n

nTttx )()(

2/

2/

1)(

1)( 0

T

T

tjkk T

dtetxT

atx

n T

k

TjX

22)(

Isti oblik funkcije i u vremenskom i u frekventnom domenu!

Tperiod u vremenskom domenu

2/Tperiod u vremenskom domenu

Osobine Fourierove transformacije

Linearnost Vremenski pomak Konjugovanje Diferenciranje i integracija Skaliranje vremena i frekvencije

Linearnost)()( jXtx

F

)()()()( jbYjaXtbytaxF

)()( jYtyF

Vremenski pomak)()( jXtx

F

)()( 00 jXettx tj

F

Zaista,

)(

2

1

2

1)(

0

0

00

jXe

dejXe

dejXttx

tj

tjtj

ttj

Samo dodatni fazni pomak za -t0!

Konjugovanje)()( jXtx

F

)()( ** jXtxF

Zaista,

dtetxdtetxjX tjtj

)()()( *

*

*

dtetxjX tj

)()( **

)()(* jXjX Za realan signal!

Diferenciranje i integracija Neka je x(t) signal čija je Fourierova transformacija X(j). Ako difernciramo izraz za x(t) po t:

Očigledno je:

Diferenciranje u vremenskom domenu odgovara množenju sa j u frekventnom domenu.

Integracija je inverzna operacija te integracija po vremenu odgovara množenju sa 1/ j u frekventnom domenu.

Uzimajući u obzir i DC komponentu na izlazu integratora:

dejXjdt

tdx tj

)(2

1)(

)()( jXj

dt

tdx F

)()0()(1

)(

XjXj

dxt

Primjer

Odrediti Fourierovu transformaciju Heavisideove funkcije.

1)()()()(

dtetjGttg tj

dtutxt

)()()( )()0()(

)( G

j

jGjX

1)( jG )(1

)(

j

jX

1)(1)(

)(

jj

dt

tdut

F0)(

U drugom smjeru...

jer je

Skaliranje vremena i frekvencije)()( jXtx

F

a

jX

aatx

F 1)(

Zaista,

dteatxatx tj)()(F

at

0,)(1

0,)(1

)(

adexa

adexa

atxa

j

aj

F

Parsevalov teorem)()( jXtx

F

djXdttx

22)(

2

1)(

Zaista,

dtdejXtx

dttxtxdttx

tj

)(2

1)(

)()()(

*

*2

Promjenom redoslijeda integracije dobivamo:

djX

djXjX

ddtetxjXdttx tj

2

*

*2

)(2

1

)()(2

1

)()(2

1)(

Parsevalov teorem govori da se ukupna energija signala može odrediti ili integriranjem energije po jedinici vremena |x(t)|2 duž cijele vremenske ose ili integriranjem energije po jedinici frekvencije |X(j)|2/2 za sve frekvencije.

Dualnost

dejXtx tj

)(2

1)(

dtetxjX tj

)()(RAZLIKE!RAZLIKE!

Pretpostavićemo da su f(·) i g(·) dvije funkcije povezane relacijom:

Tada je: degrf jr

)()(

Za = t i r = :

Za =- i r = t:

)()()()( 11 fjXtgtx

)(2)()()( 22 gjXtftx

Dualnost

Konvolucija

Odziv LTI sistema na ulaz x(t) je određen konvolucionim integralom:

Fourierova transformacija Y(j) signala y(t):

dthxty )()()(

dtedthxtyjY tj

)()()()( F

Promjenom redoslijeda integracije:

ddtethxtyjY

jHe

tj

j

)(

)()()()( F

)(

)()()()()(

jX

jj dexjHdjHexjY

)()()( jXjHjY

Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.

Množenje

Svojstvo konvolucije govori da konvolucija u vremenskom domenu odgovara množenju u frekventnom domenu.

Usljed dualnosti između vremenskog i frekventnog domena, množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekventnom domenu.

djPjSjRtptstrF

))(()(2

1)()()()(

Primjer

Neka je s(t) signal čiji je spektar S(j). Ako je p(t)=cos0t, odrediti spektar signal r(t)=s(t)p(t).

)()()( 00 jP

)( jS

11

)( jP

11

A

Spektar signala R(j) je:

)(2

1)(

2

1

)()()(2

1

))(()(2

1)(

00

00

jSjS

djS

djPjSjR

)( jR

0

2/A

10 0 10 10 10

Literatura

Oppenheim, Willsky, “Signals and Systems”, Prentice-Hall, Second edition.

MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.