Click here to load reader
Upload
ir-zakaria-mm
View
369
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Teori Distribusi Sampling
Dari suatu populasi X, dapat dilakukan sejumlah sampling yangmenghasilkan himpunan sampel dengan ukuran yang berbeda. Setiaphimpunan sampel tersebut akan menghasilkan estimasi nilai menengahsampel x dan variansi sampel S2 yang berbeda.
Estimator adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk menghitung nilaiestimasi-estimasi tersebut. Contohnya:
x =Pn
i=1 xin (= nilai menengah sampel) adalah estimator untuk
mengestimasi nilai menengah populasi, dan
S2 =Pn
i=1(x−xi)2
n−1 (= variansi sampel) adalah estimator untukmengestimasi nilai variansi populasi.
– Typeset by FoilTEX – 1
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Keandalan (reliability) estimasi nilai menengah dan variansi diuji denganmemanfaatkan tiga macam distribusi untuk menyatakan seberapa baik hasilestimasi tersebut yang dinyatakan dalam tingkat kepercayaan (level ofconfidence). Selang/interval/range yang dikenal sebagai selang kepercayaandapat ditentukan untuk “menduga” kemungkinan lokasi nilai menengah danvariansi akan muncul untuk tingkat probabilitas tertentu.
– Typeset by FoilTEX – 2
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Distribusi yang Digunakan dalam Teori Sampling
1. Distribusi χ2, membandingkan hubungan antara variansi populasi (σ2)dengan variansi sampel (S2), berdasar pada banyaknya ukuran lebih (u).
χ2 = u S2
σ2
Contoh mencari nilai χ2 pada tabel, misalnya untuk nilai χ2 yangberhubungan dengan 1% (α = 0.010) dari area di bawah kurva yangmemiliki derajat kebebasan (u) 10 maka potongkanlah baris u = 10dengan kolom α = 0.010 dan diperoleh nilai chi2 = 23.21
Distribusi χ2 ini digunakan untuk menentukan selang/range dimanavariansi populasi diharapkan (expected) muncul berdasar pada
(a) probabilitas prosentase tertentu,
– Typeset by FoilTEX – 3
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
(b) variansi sampel, dan(c) derajat kebebasan sampel.
Aplikasi: Selang kepercayaan dan uji hipotesa untuk variansi populasi
2. Distribusi t (student).
Distribusi ini digunakan untuk membandingkan nilai menengah populasi(µ) dengan nilai menengah sampel (x) berdasarkan ukuran lebih sampel(u). Terutama digunakan untuk ukuran sampel yang < 30 buah.
Estimator:
t =z√χ2/u
Aplikasi: Selang kepercayaan untuk nilai menengah dan uji hipotesamengenai nilai menengah populasi.
– Typeset by FoilTEX – 4
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
3. Distribusi F .
Digunakan untuk membandingkan dan menghitung variansi dari duahimpunan sampel.
Estimator:
F =χ2
1/u1
χ22/u2
Aplikasi: Menghitung interval dan uji hipotesa untuk rasio dua variansipopulasi.
– Typeset by FoilTEX – 5
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Selang Kepercayaan untuk Nilai Menengah (Mean):Statistik t
Estimator:
t =z√χ2/u
=x− µ
S/√
n
Pernyataan probabilitas:
P (|z| < t) = 1− α
P
(∣∣∣∣ y − µ
S/√
n
∣∣∣∣ < t
)= 1− α
– Typeset by FoilTEX – 6
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
P
(y − tα/2 ·
S√n
< µ < y + tα/2 ·S√n
)= 1− α
Sehingga selang/interval kemungkinan kesalahan (probable error)sebesar (1− α) untuk nilai menengah dihitung dengan
y − tα/2 ·S√n
< µ < y + tα/2 ·S√n
Contoh: Diukur ke satu jurusan tertentu sebanyak 16 kali yangmenghasilkan nilai menengah sampel x = 25.4′′ dengan simpangan bakuS = ±1.3′′. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk nilai menengahpopulasi (µ).
Penyelesaian:
– Typeset by FoilTEX – 7
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Tingkat kepercayaan (1− α) = .95 maka α = 0.05.
• u = 15, cari nilai tα/2 pada tabel distribusi t.
• Hitung selang kepercayaan 95%
y − t0.025 ·S√n
< µ < y + t0.025 ·S√n
25.4− 2.131 · 1.3√16
< µ < 25.4 + 2.131 · 1.3√16
24.7 < µ < 26.1
– Typeset by FoilTEX – 8
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Jadi probabilitas 95% untuk nilai µ ada dalam selang/range
x± t0.025S√natau25.4± 2.131
1.3√16
= 25.4± 0.7
– Typeset by FoilTEX – 9
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Selang Kepercayaan untuk Variansi Populasi, σ2
Distribusi yang digunakan adalah distribusi χ2.
Tabel untuk ekor bagian atas (upper tail) menggambarkan kondisi
P(χ2 > χ2α) = α
untuk ukuran lebih u.
Karena distribusi tidak simetris, untuk mendapatkan nilai ekor bagianbawah (lower tail) digunakan
P(χ2 > χ21−α) = 1− α
– Typeset by FoilTEX – 10
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
yang selanjutnya akan dipakai untuk membentuk pernyataan/statement
P(χ21−α/2 < χ2 < χ2
α/2) = 1− α
Substitusi estimator χ2 ke persamaan tersebut menghasilkan
P
(χ2
1−α/2 <uS2
σ2< χ2
α/2
)= P
(χ2
1−α/2
uS2<
1σ2
<χ2
α/2
uS2
)
P
(uS2
χ21−α/2
< σ2 <uS2
χ2α/2
)= 1− α
– Typeset by FoilTEX – 11
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Jadi, selang kepercayaan (1− α)100% untuk variansi populasi adalah
uS2
χ21−α/2
< σ2 <uS2
χ2α/2
Contoh: Suatu hasil pengamatan sudut dengan theodolite 1” di-estimasidengan 20 buah pengamatan. Diperoleh standar deviasi sampel S2 = ±1.8′′.Berapakah selang kepercayaan 95% untuk σ2.
Penyelesaian:
• 1− α = 0.95 → α = 0.05 → α/2 = 0.025
• Cari nilai χ20.025 dan χ2
0.975 dengan u = 20− 1 = 19.
• Diperoleh nilai 8.91 dan 32.85.
– Typeset by FoilTEX – 12
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Selang kepercayaan
(20− 1)1.82
32.85< σ2 <
(20− 1)1.82
8.91
1.87 < σ2 < 6.91
• Jadi, 95% variansi populasi akan terletak antara 1.87 dan 6.91, makadalam contoh ini variansi sampel (S2 = 1.8) sebenarnya lebih baikdaripada variansi populasi yang diharapkan pada selang kepercayaan95% tersebut.
– Typeset by FoilTEX – 13
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Selang Kepercayaan untuk Perbandingan Dua VariansiPopulasi
Estimator:
F =χ2
1/u1
χ22/u2
Substitusikan estimator χ2 menghasilkan
F =S2
1
S22
× σ22
σ21
Pernyataan probabilitas:
– Typeset by FoilTEX – 14
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
P(F1−α/2,u1,u2< F < Fα/2,u1,u2
) = 1− α
P(Fl < F < Fu) = P
(Fl <
S21
S22
× σ22
σ21
< Fu
)
= P
(1Fl× S2
1
S22
<σ2
1
σ22
<S2
1
S22
× 1Fu
)= 1− α
Selang kepercayaan:
S21
S22
× 1Fα/2,u1,u2
<σ2
1
σ22
<S2
1
S22
× Fα/2,u2,u1
dengan Fl = F1−α/2,u1,u2= 1
Fα,u2,u1
– Typeset by FoilTEX – 15
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Uji Hipotesa untuk Nilai Menengah Populasi, µ
Bisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)
one-tailed test two-tailed test
Hipotesa nol H0 : µ = x H0 : µ = x
H alternatif Ha : µ > x(µ < x) Ha : µ 6= x
Uji statistik t = x−µS/√
n
Daerah penolakan t > tα (atau t < tα) |t| > tα/2
Contoh: Suatu garis basis (baseline) yang dikalibrasi berjarak 400.008 m(= µ) diukur berulang dengan EDM. Dari 20 kali pengukuran diperoleh nilai
– Typeset by FoilTEX – 16
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
rata-rata 400.012 m (= x) dengan standar deviasi S = ±0.002. Apakahjarak hasil ukuran berbeda secara signifikan dari “jarak yang benar” padatingkat kepercayaan 0.05?
Penyelesaian:
• Digunakan uji dua-ekor (two-tailed test).
• Hipotesa nol H0 : µ = 400.008
• Hipotesa alternatif Ha : µ 6= 400.008
• Uji statistiknya
t =x− µ
S/√
n=
400.012− 400.0080.002/
√20
= 8.944
– Typeset by FoilTEX – 17
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Hipotesa nol akan ditolak bila t > tα/2,u
• t = 8.994 dan t0.025,19 = 2.093
• karena t > tα/2,u maka H0 memang ditolak.
• artinya, hasil pengukuran berbeda signifikan dengan “jarak sebenarnya”pada tingkat kepercayaan 5%.
Jika disusun selang kepercayaan 95% diperoleh
400.012− 2.093× 0.002√20
≤ µ ≤ 400.012 + 2.093× 0.002√20
400.011 ≤ µ ≤ 400.013
– Typeset by FoilTEX – 18
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
selang ini tidak mencakup nilai “sebenarnya”. Maka perlu diperiksamengenai peralatannya.
– Typeset by FoilTEX – 19
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Uji Hipotesa untuk Variansi Populasi, σ2
Contoh: Diinginkan kemampuan membaca suatu alat ukur dengansimpangan baku (σ = ±1.5′′). Hasil uji coba 30 kali pengamatanmenghasilkan Sr = ±0.9′′. Apakah hasil ujicoba tersebut memenuhi batas5′′ pada tingkat kepercayaan 5%?
Penyelesaian:
• Hipotesa nol H0 : S2 = σ2
• Hipotesa alternatif Ha : S2 > σ2
– Typeset by FoilTEX – 20
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Uji statistiknya:
χ2 =uS2
σ2=
(30− 1)(0.9)2
1.52= 10.44
• Hipotesa nol akan ditolak apabila χ2 > χ2α,u.
• χ2α,u = χ2
0.05,29 = 42.56...
• karena ternyata χ2 < χ20.05,29 maka hipotesa nol tidak dapat ditolak.
• artinya, hasil uji coba dapat diterima...
– Typeset by FoilTEX – 21
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Uji Hipotesa untuk Perbandingan Dua Variansi Populasi
Bisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)
one-tailed test two-tailed test
Hipotesa nol H0 : S1S2
= 1 H0 : S1S2
= 1
H alternatif H0 : S1S2
> 1 H0 : S1S26= 1
H alternatif H0 : S1S2
< 1
Uji statistik F = S1S2
atau F = S2S1 F = variansisampelbesar
variansisampelkecil
Daerah penolakan F > Fα F > Fα/2
– Typeset by FoilTEX – 22
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
Contoh: Asumsikan ada hasil hitung perataan minimal konstrain jaringtrilaterasi dengan derajat kebebasan (u2 = 24) memiliki variansi referensi(S2
2 = 0.49) serta ada hasil hitung perataan full constrained dengan derajatkebebasan (u1 = 30) dan variansi referensi (S2
1 = 2.25). Pada tingkatkepercayaan 0.05 apakah hipotesa nol akan ditolak?
Penyelesaian:
• Hipotesa nol H0 : S21
S22
= 1
• Hipotesa alternatif Ha : S21
S226= 1
• Uji statistiknya:
F =2.250.49
= 4.59
– Typeset by FoilTEX – 23
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007
• Hipotesa nol akan ditolak apabila F > Fα/2, u1, u2
• Fα/2,u1,u2= χ2
0.025,24,30 = 2.21...
• karena ternyata F > F0.025,24,30 maka hipotesa nol dapat ditolak.
• artinya, variansi sampel kedua tidak sama dengan variansi sampel keduapada tingkat signifikan 0.05.
– Typeset by FoilTEX – 24