Fractales en mi clase de geometra.

Por Nayiv A. J. Assaf Silva.

Ganadores del VIII Concurso Nacional Leamos la Ciencia para

Todos. Ensayos y Manuales Didcticos. FCE- SEP-CONACyT. 2009.

Somos muchos los que nos dedicamos a la enseanza de la

matemtica, que amamos y nos apasiona nuestro trabajo (Assaf 2003,

Medina 1969, Sagan 1997), en el camino nos vamos encontrando una

gran cantidad de obstculos (Medina 1969), pero esa es otra historia

que no nos desalienta; buscamos modos, formas, temas, herramientas,

materiales y un sinnmero de recursos innovadores para aderezar,

complementar y hasta sustituir nuestras clases (Alcal 2002; Artigue,

Douady, Moreno y Gmez 1995; Assaf y Assaf 2002; Assaf 2003;

Bazzini 2001; Chassapis 1998; Fretz, Wu, Zhang, Davis, Krajcik y

Soloway 2002; Hill 1998; Lagrange 2000; Mariotti 2000; Medina

1969; Nemirovsky y Noble 1996; Pozzi, Noss y Hoyles 1998; Ruthven

y Hennessy 2002; Vancleave 2002; Yerushalmy y Gilead 1999); cada

libro, revista, paquete de computadora, prototipo o cualquier cosa

relacionada con la matemtica y su enseanza la pretendemos adquirir

o por lo menos conocer para poder transmitirla a nuestros discpulos

(Assaf y Assaf 2002; Assaf 2003; Medina 1969; Vancleave 2002).

En lo referente a la geometra fractal, cada vez son ms los

catedrticos que consideramos no slo didctica y oportuna su

introduccin en la enseanza de la matemtica (Braun 1999; De la

Pea 1999; Gmez 1996; Lpez 1972; Mandelbrot 2000; Monroy

2002; Ongay 2000; Ruiz y de Rgules 2001; Sametband 1999; Schifter

1996; Talanquer, 1996; Universum 2003) en los primeros grados

bachillerato y hasta de los ltimos de secundaria, por los conceptos

informticos, matemticos y visuales que involucra, sino hasta

necesaria; ya que el modelado fractal y sus aplicaciones, cada vez son

ms en los mbitos cientficos y tcnicos (Braun 1999; Gmez 1996;

Holton, 1993; Mandelbrot 2000; Monroy 2002; Sametband 1999;

Schifter 1996; Talanquer, 1996; Universum 2003).

La geometra fractal ofrece una nueva concepcin de la matemtica, de

la forma de ver el mundo y de entenderlo (Braun 1999; Briggs y Peat

1994; De la Pea 1999; Gmez 1996; Mandelbrot 2000; Monroy 2002;

Ongay 2000; Ruiz y de Rgules 2001; Sametband 1999; Schifter 1996;

Talanquer, 1996; Universum 2003), por medios ldicos y divertidos,

pero tambin por los rigurosos y formales; la geometra fractal ha

permitido reformular viejos problemas en trminos novedosos y tratar

problemas complejos de forma muy simplificada (Talanquer, 1996).

Dando a conocer as, a los estudiantes de matemticas, una de las

revoluciones modernas ms importantes en lo que a la materia se

refiere (Braun 1999; Mandelbrot 2000; Talanquer, 1996); esa

revolucin sobre las figuras de la geometra euclidea o clsica, que nos

ensean en la escuela desde los tiempos de Pitgoras, que no son las

ms adecuadas para generar formas complejas como las de la

naturaleza (Braun 1999; Briggs y Peat 1994; Mandelbrot 2000;

Monroy 2002; Talanquer, 1996). Pero que nadie pudo realizar sino

hasta finales del siglo pasado, hace apenas unos 25 o 30 aos, cuando

un hombre llamado Benoit Mandelbrot (Braun 1999; Monroy 2002;

Talanquer, 1996), consigui esa revolucin que por muchos siglos se

buscaba, modelar matemticamente las formas naturales; modelos

geomtricos que denomin fractales (Braun 1999; Monroy 2002;

Talanquer, 1996; Mandelbrot 2000)

Aunque no es obvio para todos los involucrados, los programas

educativos de geometra deben ser reformados (Assaf 2003) o por lo

menos extendidos hasta la geometra fractal. As que mientras algunos

directivos y administradores se ponen de acuerdo, los maestros que

estamos comprometidos con nuestra ctedra llevamos a cabo las

acciones. Por esta razn decid introducir los fractales en la prctica

matemtica diaria de mi clase de geometra.

Para tal efecto, evalu y seleccion, de un conjunto de recursos

educativos, el libro Fractus, Fracta, Fractal de Vicente Talanquer

(1996) complementado con paquetera de computadora; que usados

como material didctico, sirvieron como apoyo en la tarea, por ahora

nueva y poco comprendida, de introducir los fractales en la enseanza

de la matemtica en el nivel medio y superior.

La introduccin del texto en la materia de geometra, estuvo basada en

un proceso de evaluacin (Quezada 1991) en cuanto al nivel de su

sencillez, brevedad, consistencia, exactitud, abstraccin, ilustracin y

didctica en el tratamiento del tema; ya que la novedad de los

conceptos deba ser trabajada con delicadeza y destreza, sutiles ambas,

porque un tema nuevo mal tratado hace ms dao que un tema viejo

aburrido, adems que el estudiante puede concebir la idea errnea de

que los conceptos no concuerdan con la realidad, con lo que dice el

maestro o los libros (Assaf 2003; Medina 1969).

Se deben destacar algunos puntos del contenido del libro seleccionado

que son muy tiles en la prctica diaria del que ensea y/o aprende

matemticas; porque el catedrtico al ensear aprende, y aprende

mucho.

En el primer captulo del libro, que muy adecuadamente se titul Para

empezar (Talanquer, 1996); se da una introduccin muy propia, por

ser una introduccin muy suave y lo suficientemente corta para los

estudiantes en el tema de los fractales, localizndola en un contexto

fsico e histrico del desarrollo del pensamiento matemtico; aunque

dos detalles me parecieron fuera de lugar, que son muy insignificantes

y probablemente pasan inadvertidos a los lectores; primero, los

ejemplos que se dan son, la mitad genricos y buenos para una

introduccin y la otra mitad demasiado especficos y especializados,

una postura extremosa que muestra claramente un perfil qumico; un

libro de divulgacin, debera pretender abarcar el mayor nmero de

lectores con los ms diversos perfiles; y segundo, el autor tiene una

tendencia forzada, inadecuada e incompleta de justificar la definicin

matemtica de los fractales de magnitudes infinitas, cosa que corrige

inmediatamente en el captulo dos. Pero repito que estos puntos

palidecen al lado de lo que describir a continuacin sobre los

captulos siguientes.

En el captulo dos, se da un acercamiento que se est haciendo clsico

en los libros de fractales para principiantes, que se complementa muy

bien con las dos secuencias de fotografas de vegetales, porque dan un

ejemplo real muy de primera mano, cosa que no es comn en un libro.

Otra cosa que es muy clsica, pero de la vieja escuela, es la

explicacin grfica de la no diferenciabilidad de las curvas fractales,

creo que deben y ya existen otras formas de explicar la incapacidad

humana de no poder conocer la derivada de una curva fractal. Pero es

de resaltar, el tratamiento matemtico; el analtico como el grfico; que

aunque tambin se generaliza en los textos de la materia, aqu, su

explicacin es breve, continua y concisa. Adems que los grficos

fractales en este captulo, son una grata introduccin visual.

Pero si de tratamiento matemtico se trata, analtico y grfico, el

captulo tres es magnfico para su introduccin a un estudiante de

bachillerato; cosa que tambin debe reformarse en todos los programas

escolares de matemticas en este nivel, los nmeros imaginarios y su

extensin en los complejos. La explicacin de las iteraciones,

atractores, los conjuntos de Julia y Mandelbrot y sus grficos son

cadenciosos, continuos y rtmicos.

El captulo cuatro, es un captulo de refinamiento matemtico, puesto

que no es totalmente necesario explicar los sistemas de funciones

iteradas en un texto tan bsico, pero que se logra realizar con sencillez,

aunque la parte de lo que se llam Ping-pong fractal (Talanquer,

1996), es el momento que no la entiendo del todo. En lo personal, este

captulo, es uno de los que me resultaron ms educativos y que he

estudiado en repetidas ocasiones.

El captulo cinco, resulta interesante y aunque ilustra la investigacin

de alto nivel que se realiza en este pas, reitero que es un tema por ms

especfico y especializado para un libro de este nivel, sin minimizar la

clara explicacin del mtodo de la caja, que es la segunda vez que lo

veo mencionado en un texto y la primera que est explicado.

En el captulo seis, en la introduccin del caos, me parece que le hace

falta sutileza, porque genera ideas inconclusas y desorientadoras sobre

la relacin entre el caos y los fractales, en general el trmino no es

definido con total precisin para que lo entienda un bachiller. Los

ejemplos del mundo real que muestran el fenmeno de la bifurcacin

son muy clsicos, pero las clulas de Bnard y los autmatas estn

tratados con una sencillez y pulcritud ejemplares.

El captulo siete, es, en mi muy humilde opinin, un captulo que no se

necesitaba en el libro; en primera porque el principio contiene varias

conjeturas que ms parecen extradas de un historieta de superhroes y

ciencia ficcin que de la literatura cientfica formal, y en las que por

supuesto no concuerdo; y en segundo que la explicacin de los

fenmenos que se describen, fcilmente complementaran cualquier

otro captulo.

El captulo ocho es con seguridad, el mayor acierto del texto; un

captulo que bien pudo ser un anexo o un apndice, es exquisitamente

transformado en la parte ms fructfera en lo que a enseanza y

didctica se refiere; para los cientficos de alto nivel o de renombre, la

idea de llevar a cabo la divulgacin de la ciencia es ponerse a dar un

montn de datos, blablabl, una que otra foto y en algunos casos, una

que otra presuncin, pero pocos saben y reconocen el poder de la

ilustracin, enseanza y demostracin de un experimento, de hacer las

cosas; la matemtica es para hacer cosas, no para hablar sobre hacer

cosas (Assaf 2003). El conocimiento y la experiencia didctica que le

deja a un estudiante realizar un experimento cientfico es mayor y muy

diferente de la que obtiene despus de leer cinco textos divulgatorios

(Assaf 2003; Medina 1969). Como dice Talanquer (1996): la manera

ms fcil de entender qu es un fractal y convencerse de su enorme

utilidad, es aceptar el reto de construirlo.

Por otro lado, la experiencia en el aula deba ser lo ms natural posible

del mismo modo como histricamente algunos matemticos y

cientficos interesados en descubrir la geometra inmersa en el mundo

se preguntaban, cmo surgen sus formas y estructuras (Talanquer,

1996); emulando y llevando esta postura cientfica, se pretendera

llevar a cabo el proceso natural del cmo los cientficos aprenden y

descubren, el proceso natural (Assaf 2003) de curiosidad, necesidad,

bsqueda y respuesta.

La implementacin del texto, se realiz en dos etapas, la primera, con

un grupo de la materia de geometra correspondiente al segundo

semestre del bachillerato, y consisti en el diseo y construccin de un

modelo fractal de tipo maqueta; se dividi el grupo en dos secciones

(Quezada 1991), los que implementaran la esponja de Menger a partir

de cubos y dados de papel, madera y/o plstico y los que

implementaran la pirmide de Sierpinski a partir de tringulos de

papel y/o palillos de madera y esferas de unicel.

La segunda etapa, llevada a cabo al siguiente ao escolar, se realiz

igualmente con un grupo de la materia de geometra de segundo

semestre conjuntamente con un grupo de programacin de

probabilidad y estadstica de cuarto; el primer grupo repiti la

implementacin, en este caso, slo el modelo de la pirmide de

Sierpinski y el segundo grupo llev a cabo la correccin, compilacin,

corrida y depuracin de los programas del texto, y una investigacin,

bsqueda, comparacin, publicacin y discusin grupal sobre los

resultados grficos de variar los parmetros de los programas.

En la primera etapa, fue notorio el entusiasmo inicial por parte de los

estudiantes; despus de dos o tres clases sobre la geometra fractal

dentro del contexto de la geometra clsica y tres o cuatro clases sobre

el diseo de la maqueta se inici su construccin individual, pero no

todos concluyeron adecuadamente el proyecto encomendado; ninguna

de las esponjas de Menger vieron la luz del aula, principalmente

porque los creadores nunca obtuvieron el total, de las muchas piezas

que formaban el diseo original del modelo.

En la segunda etapa, se mejor el diseo y los materiales de

construccin al grado que los modelos de la pirmide de Sierpinski

resultantes fueron expuestos en una muestra de arte en la sede estatal

del Instituto Mexicano de la Juventud. La historia con el grupo de

programacin fue un tanto distinta, dos problemas emergieron

inmediatamente; la programacin no es una herramienta popular en un

estudiante de bachillerato y el BASIC es un lenguaje aunque fcil de

manejar, ya no es popular y por lo tanto result difcil de localizar.

La experiencia de implementar un texto de un tema tan novedoso y

poco conocido en la clase de geometra me result grato, y debido a lo

largo del proceso, los detalles fuero cuidados meticulosamente, cosa

que disfrut; las experiencias observadas en los estudiantes fueron en

su gran mayora muy halagadoras y esperanzadoras para un maestro de

matemticas, porque los estudiantes mostraron inquietud y curiosidad

matemtica, actitud holsitca, creatividad y motivacin y pragmatismo;

adems de realizar la construccin de modelos tridimensionales en una

materia de matemticas e incluir la compilacin de programas,

actividades innovadoras que no son comunes en la materia, pero

personalmente creo que diversifican la educacin de la materia desde

varios puntos de vista, y mejoran la actitud, cultura, habilidades y

conocimientos de los estudiantes, cosas que se manifiestan casi de

inmediato en el aula.

La aventura de adentrarse, tanto para los catedrticos como para los

estudiantes, en los territorios de la geometra fractal es colorida, de

mltiples caminos y llena de retos. Y aceptamos gustosos la invitacin

al reto que el texto nos hace.

Referencias.

ALCAL, Manuel (2002). La construccin del lenguaje matemtico. Gra Barcelona.

ARTIGUE, Michle, DOUADY, Rgine; MORENO, Luis; GMEZ, Pedro (1995). Ingeniera didctica en educacin

matemtica. Un esquema para la investigacin y la innovacin en la enseanza y el aprendizaje de las

matemticas. Iberoamrica-U.E.D. Mxico.

ASSAF, Jessus; ASSAF, Nayiv (2002). Modelo AVK-7E. Paradigma emergente para la educacin superior. Ponencia. 1er.

Congreso Internacional y VI Nacional en Investigacin en Ciencias Administrativas: Paradigmas emergentes de la

administracin en las sociedades del conocimiento, 24-26 de abril de 2002 Mxico D.F. ACACIA/ESCA-IPN.

ASSAF, Nayiv (2003). Metodologa por induccin para el diseo tecnolgico de experimentos fsicos para la enseanza de las

herramientas matemticas en el nivel medio y superior. Tesis de Maestra en Ciencias en Telemtica Educativa.

Universidad de Colima, Mxico.

BAZZINI, Luciana (2001). From Grounding Metaphors to Technological Devices: A Call for Legitimacy in School Mathematics.

Educational Studies in Mathematics. 47 (3) 2001.

BRAUN, Eliezer (1999). Caos, fractales y cosas raras. Fondo de Cultura Econmica (coleccin la Ciencia desde Mxico no.

150), Mxico.

BRIGGS, J. y PEAT, F.D. (1994). Espejo y reflejo: del caos al orden, gua ilustrada de la teora del caos y la ciencia de la

totalidad. Gedisa, Barcelona.

CHASSAPIS, Dimitris (1998). The mediation of tools in the development of formal mathematical concepts: The compass and

the circle as an example. Educational Studies in Mathematics. 37 (3) 1998 - 1999.

DE LA PEA, Jos (1999). lgebra en todas partes. Fondo de Cultura Econmica (coleccin la Ciencia desde Mxico no.

166), Mxico.

FRETZ, Eric; WU, Hsin-Kai; ZHANG, BaoHui; DAVIS, Elizabeth; KRAJCIK, Joseph; SOLOWAY, Elliot (2002). An Investigation

of Software Scaffolds Supporting Modeling Practices. Research in Science Education 32 (4) 2002.

GMEZ, Edgar (1996). Esto es el caos. ADN, Mxico.

HILL, Ann (1998). Problem Solving in Real-Life Contexts: An Alternative for Design in Technology Education. International

Journal of Technology and Design Education 8 (3) 1998

HOLTON, Gerald (1993). Introduccin a los conceptos y teoras de las ciencias fsicas. Revert, Barcelona.

LAGRANGE, Jean-baptiste (2000). L'intgration d'instruments informatiques dans l'enseignement: Une approche par les

techniques. Educational Studies in Mathematics. 43 (1) 2000.

LPEZ, Santiago (1972). Modelos matemticos. ANUIES Mxico

MANDELBROT, Benoit (2000). Los objetos fractales. Tusquets, Barcelona.

MARIOTTI, Maria (2000). Introduction to Proof: The Mediation of a Dynamic Software Environment. Educational Studies in

Mathematics. 44 (1-2) 2000.

MEDINA, Mario (1969). Didctica de las ciencias fsico-qumicas. SEP-Oasis Mxico

MONROY, Csar (2002). Curvas fractales. Alfaomega Mxico.

NEMIROVSKY, Ricardo; NOBLE, Tracy (1996). On Mathematical Visualization and the Place Where We Live. Educational

Studies in Mathematics. 33 (2) July 1996.

ONGAY, Fausto (2000). Mthema: el arte del conocimiento. Fondo de Cultura Econmica (coleccin la Ciencia desde Mxico

no. 177). Mxico.

POZZI, Stefano; NOSS, Richard; HOYLES, Celia (1998). Tools in practice, mathematics in use. Educational Studies in

Mathematics 36 (2) July 1998.

QUEZADA, Roco (1991). Gua para evaluar el aprendizaje terico y prctico. Limusa Noriega Mxico.

RUIZ, Concepcin y de Rgules, Sergio (2001). El piropo matemtico. De los nmeros a las estrellas. Lectorum Mxico.

RUTHVEN, Kenneth; HENNESSY, Sara (2002). A practitioner model of the use of computer-based tools and resources to

support mathematics teaching and learning. Educational Studies in Mathematics. 49 (1) January 2002.

SAGAN, Carl (1997). El mundo y sus demonios. La ciencia como una luz en la oscuridad. Planeta Mxico.

SAMETBAND, Moiss (1999). Entre el orden y el caos la complejidad. Fondo de Cultura Econmica (coleccin la Ciencia

desde Mxico no. 167), Mxico.

SCHIFTER, Isaac (1996). La ciencia del caos. Fondo de Cultura Econmica (coleccin la Ciencia desde Mxico no. 142),

Mxico.

TALANQUER, Vicente (1996). Fractus, fracta, fractal. Fractales, de laberintos y espejos. Fondo de Cultura Econmica, 1ed.

(coleccin la Ciencia desde Mxico no. 147), Mxico.

UNIVERSUM (2003). Sala de matemticas. DGDC-UNAM Mxico.

VANCLEAVE, Janice (2002). Matemticas para nios y jvenes. Actividades fciles para aprender matemticas jugando.

Limusa Mxico.

YERUSHALMY, Michal; GILEAD, Shoshana (1999). Structures of Constant Rate Word Problems: A functional approach

analysis. Educational Studies in Mathematics 39 (1-3) 1999.