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FRACTALES
Taller de dibujo II
Proy 1.3
Gregorio Arias Castillo
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Índice
-Introducción
-Los fractales y la Arquitectura
-De la arquitectura al fractal
Castillo del monte
Basilica de San Pedro
Sant' Ivo alla Sapienza
-Los fractales y las matemáticas
El conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Julia
-Bibliografía
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Introducción
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La
expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro
de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York,
y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta
(Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque como veremos Kocht y Cantor entre otros, definen objetos
catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales.
El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, como después veremos, sin
embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos
también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la
particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven
a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando
parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una
estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con
escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de
referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones
es mayor o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté compuesto, a su vez,
por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol es lo que da estructura
recursiva a los fractales.
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Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar la relación o la ley de
recursividad entre las formas que se repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la
ley de formación y establecer el algoritmo gráfico.
En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que Mandelbrot formuló la definición
de fractal, es asombrosa la cantidad y la rapidez con que científicos han elaborado modelos
para describir y para comprender como la naturaleza crea sus formas, y como el crecimiento
en la naturaleza está vinculado a modelos fractales. Tal parece que la naturaleza sintiera
predilección por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede encontrar
formas fractales en múltiples estructuras vegetales: hojas, troncos, ramas, raíces. en el
perfil de montañas, rocas y piedras, ...
Por su parte los científicos han identificado fractales en la forma de las galaxias, las
costas marítima, las montañas y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques, las
fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización, las fracturas de
materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctricas, la electrólisis. En
nuestro organismo: El sistema circulatorio, la ramificación de venas, arterias, nervios, la
estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito se pueden considerar formas fractales las
nubes, los relámpagos, los árboles....
Es importante señalar que aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos para
describir todas las formas naturales, por primera vez nos encontramos frente a un
planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas como
las que tienen los objetos descritos.
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De esta forma podemos definir un fractal de tres formas posibles:
1. Un fractal es el producto final que se origina a través de la repetición infinita de un
proceso geométrico bien especificado.
2. Es una forma en perpetuo crecimiento; cuando observamos una ilustración o fotografía de
un fractal, lo estamos haciendo en un momento del tiempo, es decir, se encuentra
“congelado” en una etapa de su crecimiento.
3. Son Formas irregulares , interrumpidas o fragmentadas que tienen autosemejanza en un
amplio rango de escalas de observación
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Los fractales y la Arquitectura
Como hemos dicho anteriormente, quizá el desarrollo de los fractales
en la arquitectura no se haya efectuado conscientemente, sin embargo,
el hecho es que hay edificios en los que podemos hallar lo que serían
influencias de este campo. Pasemos a analizar algunos de ellas:
Le Corbusier manifestaba en 1943 en su famosa “Carta de Atenas”:
“Introducir el sol, es una de las nuevas tareas de los arquitectos”.
Por supuesto, se entendió al medio ambiente natural como factor
positivo que debía ser utilizado en lo posible por el edificio ya
que “el aislamiento del medio ambiente natural mata a cada organismo vivo”. Por lo tanto,
Le Corbusier desarrollo la interesante y amplia idea de una interrelación optima entre el
volumen construido y su medio ambiente, para esto, diseño nuevas formas geométricas de
organización espacial, las cuales por medio de una maximización de la superficie perimetral
podían acoplar y engarzar íntimamente el espacio interior con el
exterior.
Aunque de momento esto no nos diga nada, la verdad es que la idea
puede tener una componente totalmente fractal. En 1922 Le Corbusier
presentó su concepto de “villa”. Una de sus ideas era el desarrollo
de una tipología habitacional para la construcción en altura en los
centros urbanos, que debía tener el mismo confort que una villa aislada. Debía ofrecer un
máximo de luz y aire aunque sea una construcción densa, por esto, incorporó jardines
colgantes en cada vivienda sin importar los niveles. “Cada vivienda es en realidad una
villa de dos niveles, con jardines, sin importar en que altura y posición se encuentren
estas. Este es un volumen horadado, como un panel de 6 metros de altura, 9 de ancho y 7 de
profundidad. Todo ventilado por medio de un pozo de 15 m. de diámetro. Este panal es un
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pulmón, la vivienda es igual a una esponja gigante, que aspira aire: la casa respira”.
Bien, si pensásemos en un objeto así, podríamos llegar fácilmente a la
esponja de Menger, un objeto puramente fractal. Por otro lado, es una forma
que se adaptaría plenamente a su función: por medio de las muchas aperturas
en el volumen construido se aumenta de mil maneras su superficie externa,
por lo que se optimiza la ventilación y la iluminación.
Le Corbusier, quizá no llegó a plasmar del
todo esa idea en ninguno de sus edificios, o
al menos no tanto como para que pueda ser interpretada de una
forma puramente fractal. No obstante, la idea guarda relación
con los fractales y por otro lado sí que se aplicó en algunas
de sus obras. Relaciones formales que nos induzcan hacia los
fractales se pueden encontrar incluso en la que para muchos es su obra maestra: RONCHAMP.
Sin embargo, aventurarnos a llamar a esto arquitectura fractal quizá sea demasiado.
Otro de sus grandes proyectos, en este caso como urbanista, es su diseño conceptual de una
ciudad de tres millones de habitantes, la VILLE CONTEMPORAINE (Ciudad Contemporánea). En
ella se observan los postulados de la Carta de Atenas en cuanto a apertura de huecos, que
también empleará en su Inmueble Villa.
(VILLAS LA ROCHE Y JEANNERET, VIVIENDA HABITACIONAL DE
BERLÍN, Y PABELLÓN ESPRIT-NOUVEAU)
Otro arquitecto a destacar es Frank Lloyd Wright, precedente de la arquitectura denominada
orgánica y autor de algunas de las obras que han conseguido ser hasta la fecha algunos de
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sus principales hitos. Según palabras de algunos es: “El mayor maestro que la arquitectura
americana ha tenido en su historia. Innovador, ingenioso y transformador. Supo crear el
espacio fluido, la espacialidad de lo estático, la integración de lo humano con la
naturaleza y la utilización de la luz como un elemento natural y arquitectónico a la vez.”
Su concepto de lo orgánico iba más allá de la forma, anclaba la función
a ésta de manera excepcional y la hacía inseparable. Es uno de los
arquitectos que ha conseguido copiar algo más que la simple forma
natural, ha obtenido como resultado la elaboración de tipos completos.
Su gran logro fue la casa FALLINGWATER construida en 1936 para la
familia Kaufmann. En ella se entiende a la perfección cómo la
arquitectura se separa de sus contemporáneos. Mientras que las
tendencias del momento tendían hacia los gustos victorianos y las
viviendas europeas, Wright se arriesga con un nuevo modelo de vivienda.
La Casa de la Cascada se podría englobar dentro de la corriente del
Expresionismo. Observamos un continuo uso del vidrio como elemento que permite trasparencias
y comunicación de espacios, así como el gusto por lo geométrico. Sin embargo sería más
correcto enmarcarla en la etapa usoniana (época posterior a la de las Casas de la Pradera)
del autor, debido a que este arquitecto tuvo una vida bastante larga, lo cual hace que su
arquitectura varíe mucho con el paso de los años.
En otro sentido podemos decir que la estructura presente en la casa de la cascada es una
arquitectura orgánica basada en los preceptos del mismo Wright quien promueve la armonía
entre el hábitat humano y el mundo natural. Mediante el diseño busca comprender e integrarse
con el sitio, los edificios, los mobiliarios, y los alrededores para que se conviertan en
parte de una composición unificada, correlacionada.
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En sus edificios burocráticos para Johnson la
composición es claramente curva. En su
composición sobresale la torre, cuya fachada
es similar a un muro cortina. La zona de
laboratorios está cerrada con tubos de vidrio
pírex y llaman especialmente la atención los
pilares que sostienen el módulo principal, pues son extremadamente esbeltos, pero al estar
unidos entre ellos dan una gran estabilidad al edificio, con una forma claramente natural.
En cuanto a la composición formal se observan alusiones a lo fractal, o al menos a la
estructura natural en otras obras como la casa para Philip Johnson, el museo Guggenheim de
Nueva York o el proyecto de la torre de San Marcos.
De otro modo también es obligatoria la mención a Gehry. Este arquitecto canadiense, ha hecho
de la irregularidad propia de la naturaleza una nueva arquitectura no por todos querida pero
muy bien aceptada por el usuario. Con la inauguración del nuevo Guggenheim de Bilbao en
1997, éste se convirtió en el centro de atención de todos los medios de comunicación. Al
unir la tecnología de otras industrias con la de la construcción, mostrando de nuevo el
potencial de una arquitectura fractal informática centrada en su aspecto artesano en el
mundo postindustrial.
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Frank Gehry recibió el pedido de este museo poco después de
que su proyecto del Auditorio Walt Disney fuera cancelado
cuando aun solo era una idea. Este hecho hizo que inspirase
el Museo Guggenheim en su auditorio ideado, compartiendo
ambos proyectos un planteamiento muy similar.
Las formas blandas presentes en el museo comienzan con el
Museo de Vitra y evolucionaron en otras obras. Gehry realizó
docenas de maquetas donde fue aprobando las posibles formas
del edificio. Todas ellas están hechas a mano, y desde julio
de 1995 se exponen en la exposición “Peggy Guggenheim”,
situada en un palacete de Venecia.
Gehry no trabajó con ordenador, pero sí su equipo, cuyos miembros digitalizaron las maquetas
de su jefe mediante un programa informático de la Agencia Espacial Europea. La adaptación a
la arquitectura de este programa conllevó enormes gastos, los cuales fueron afrontados por
la Fundación Guggenheim.
Dentro del aparente desorden de la envolvente, existe un patrón que rige la volumetría.
Este es el empleo en todos sus elementos de la máxima curvatura que soporta el titanio. La
Gran Sala, también llamada la del Pez, se extiende hacia el este hasta acercarse con un
puente que atraviesa la ría de Bilbao, estructura que ya atravesaba el solar antes de la
construcción del museo y a la que éste hubo que adaptarse.
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Por último, introduciéndonos en la obra nacional destacaremos al arquitecto Fernando
Higueras. Este ha conseguido aunar, como casi todos los grandes, la forma y la estructura.
Con un sentido portentoso de lo estructural consiguió la ejecución de edificios que en la
actualidad han llamado la atención. Como en la naturaleza la forma siempre es
complementación de la función, así las formas presentes en la geometría fractal suelen tener
un porqué. Dejo aquí algunas de sus obras, juzgad por vosotros mismos su relación con la
geometría de lo fractal:
CENTRO DE RESTAURACIONES (CIUDAD UNIVERSITARIA)
IGLESIA DE SANTA MARÍA DE CANÁ (POZUELO DE ALARCÓN)
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De la arquitectura al fractal
Una vez que sabemos en que consisten los fractales y como estos están representados en la
arquitectura, vamos a analizar el concepto de fractal en la arquitectura a lo largo de la
historia, de como observando las plantas de estas construcciones podemos extraer un
patrón común y explotarlo hasta crear magníficos fractales, y si insistimos, planimetría
completamente exagerada.
EL CASTILLO DEL MONTE
Para empezar, he escogido el Catillo del monte, ya que posee una planta no muy complicada
que, sin embargo, explica muy bien el concepto de fractal y del ejercicio que quiero
realizar.
El castillo del monte Se encuentra en Apulia, al sur-este de Italia. El castillo fue
levantado entre 1240 y 1250, aunque el edificio da la impresión, sobre todo en su nivel
interior, de no haber sido nunca completado. Su fama se debe principalmente a su planta
de peculiar forma octogonal. En cada esquina se levanta una torre de la misma geometría.
El octógono principal cuenta con una altura de 16,10 m, las torres miden 26 m cada una.
La longitud de cada lado del octógono principal es de 16,50 m, y los de las torres de
3,10 m. La entrada principal se orienta hacia el oeste. Este castillo fue diseñado como
fortaleza he intentando buscar la privacidad en la habitaciones. De esta forma llegaron a
desarrollar una especie de arquitectura fractal.
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LA BASILICA DE SAN PEDRO
Es un templo católico situado en la Ciudad del Vaticano. Como obra arquitectónica, es
considerada como el mayor edificio de su época. Pero, desde el punto de vista artístico,
el templo es el resultado de los proyectos entrecruzados de distintos autores, quienes
trataron de poner en práctica en esta obra sus propias concepciones estéticas,
combinándolas con las de los papas que, en definitiva, financiaban los trabajos.
De la planta de la basílica podemos sacar un patrón común que se repite en la estructura
formada por un cuadrado principal. A los lados del cuadro se desarrolla una
semicircunferencia. Este patrón se lleva a cabo en toda la planta:
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SANT' IVO ALLA SAPIENZA
Entre 1640 y 1650 Borromini trabajó en el diseño de la iglesia de Sant'Ivo alla Sapienza. La
estructura muestra un esquema de estrella de seis puntas. Si observamos la planta vemos que
las cornisas se asemejan dos triángulos equiláteros que forman un hexágono, aunque tres de
las puntas tienen forma de trébol, mientras que las restantes terminan en concavidades.
Fijándonos con detenimiento en la planta comprendemos que se ha partido de dos triángulos
superpuestos entre si para luego mas tarde utilizar circunferencias consiguiendo la planta
final. Si continuamos con este patrón de triángulos y circunferencias conseguiremos crear un
fractal.
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Los fractales y las matemáticas
Cuando hablamos de matemáticas y fractales cabe destacar el conjunto de Mandelbrot y el
conjunto de Julia. Ambos están estrechamente relacionados ya que una propiedad del conjunto
de Mandelbrot es que los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes
regiones del conjunto. Por esta razón hay que entender antes el conjunto de Mandelbrot.
EL CONJUNTO DE MANDELBROT
El fractal de Mandelbrot es una de esas curvas que desafía nuestra capacidad de
entendimiento "geométrico", muy habituada a las estructuras euclídeas, simples y prácticas.
Una de las características más espectaculares de estos fractales, es que son no
derivables en todos sus puntos. En lenguaje menos matemático: una curva cualquiera es no
derivable en un punto cuando, aun existiendo ese punto, forma un pico o esquina.
Esa es la fórmula: z es la variable y c el valor de las coordenadas del punto analizado. Con
cada punto, z comienza siendo (0,0), y se va aplicando reiteradamente esa fórmula. Si el
módulo de z se hace en algún momento mayor que 2, significará que el punto no pertenece al
conjunto de Mandelbrot.
Dicho de otra forma, el conjunto de Mandelbrot M se define como el conjunto de parámetros
cÎC para los que el conjunto de Julia asociado a fc=z2+c es conexo.Esta definición no es
adecuada para computar imágenes del conjunto de Mandelbrot. Para este fin es mucho más útil
la caracterización dada por el siguiente teorema:
Teorema: M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita
(fck(0)) está acotada. Esto equivale a que fc
k(0) no tiende a infinito.
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Como consecuencia del Teorema anterior se obtiene que M se encuentre acotado de la siguiente
manera:
1. M está contenido en la bola de radio 2 (puesto que c=-2 está en M, esta acotación es óptima),
2. M intersección con R es el intervalo [-2,1/4].
De esta forma, con ayuda de un tutorial y entendiendo el conjunto podemos definirlo en
Maple:
> restart: with(plots):
> mandelbrot := proc(x, y)
> local c, z, m;
> c := evalf(x+y*I);
> z := c;
> for m from 0 to 30 while abs(z) < 2 do
> z := z^2+c
> od;
> m
> end:
> plot3d(0, -2 .. 0.7, -1.2 .. 1.2, orientation=[-90,0], grid=[250, 250],
> style=patchnogrid, scaling=constrained, color=mandelbrot);
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EL CONJUNTO DE JULIA
Estos conjuntos son la fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de la
actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia, matemático francés, publicó su trabajos
acerca de estos conjuntos que llevan su nombre. Además de él otros matemáticos como Pierre
Fatuo impulsaron el avance de esta investigación.
Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano
complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son
polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el
conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al
aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un
determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por
un cierto valor). Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
Una propiedad del conjunto de Mandelbrot es que los diferentes tipos de conjuntos de Julia
se reparten en diferentes regiones del conjunto M.
1. fc tiene un punto fijo atractivo si y solo si c pertenece al interior de la cardioide de ecuación z=1/2e
iq (1-1/2e
iq, 0<q£2p. Además, los conjuntos de Julia asociados a estos
parámetros son curvas cerradas simples.
2. fc tiene un dos-ciclo atractivo si y solo si |c+1|<1/4, esto es, si c está en el mayor disco adosado a la cardioide principal. Además, los conjuntos de Julia asociados a
estos parámetros son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas simples
disjuntas 3 a 3. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen
a los dos puntos del 2-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes.
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3. En los dos círculos siguientes en tamaño se encuentran los parámetros asociados a conjuntos de Julia para los que la dinámica presenta un ciclo de orden 3 atractivo y
cuyos conjuntos de Julia son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas
simples disjuntas 4 a 4 y con la propiedad de que donde se tocan 2 se toca también una
tercera. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen a los
tres puntos del 3-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes. Los puntos de contacto
son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de fc.
4. Y así sucesivamente...
El periodo de los conjuntos de Julia de cada uno de los círculos adosados a la cardioide
principal coincide con el número de ramificaciones (contando el pie) de la antena principal
adosada a él.
> restart; with(plots):
> julia := proc(c,x, y)
> local z, m;
> z := evalf(x+y*I);
> for m from 0 to 30 while abs(z) < 3 do
> z := z^2 + c
> od;
> m
> end:
> J := proc(d)
> global phonyvar;
> phonyvar := d;
> (x, y) -> julia(phonyvar, x, y)
> end:
22
> plot3d(0, -2 .. 2, -1.3 ..1.3, style=patchnogrid,
> orientation=[-90,0], grid=[250, 250],
> scaling=constrained, color=J(-1.25));
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Bibliografía
La geometría fractal de la naturaleza (Mandelbrot, Benoît B.)
Estructuras fractales y sus aplicaciones (Guzmán, Miguel de)
Entender la arquitectura (Roth, Leland M.)
Las demostraciones matemáticas y las imágenes han sido obtenidas de internet de páginas
especializadas en el tema de Fractales.
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