GIMNAZIJA LUCIJANA VRANJANINA

Fraktali i kaos

Ivana Zlatar

Zagreb, veljača, 2018.

Fraktali i kaos

Autor

Sadržaj

Uvod ........................................................................................................................................... 3

Kaos ............................................................................................................................................ 4

Definicija i obilježja kaosa ..................................................................................................... 4

Edward Lorenz ....................................................................................................................... 5

Leptirov učinak .................................................................................................................. 6

Vrijeme i kaos .................................................................................................................... 7

Poincaréovo otkriće ................................................................................................................ 7

Fraktali ....................................................................................................................................... 8

Malo povijesti ......................................................................................................................... 8

Definicija i svojstva ................................................................................................................ 8

Vrste fraktala .......................................................................................................................... 9

1.Egzaktno samoslični fraktali (iterativni) ......................................................................... 9

2.Kvazisamoslični fraktali (rekurzivni) .............................................................................. 9

3. Brownova samosličnost-statistička samosličnost (slučajni) .......................................... 9

Primjena fraktala .................................................................................................................. 10

Ljudsko tijelo .................................................................................................................... 10

Biljke ................................................................................................................................ 11

Svemir .............................................................................................................................. 11

Umjetnost ......................................................................................................................... 11

Zaključak .................................................................................................................................. 12

Literatura .................................................................................................................................. 13

Fraktali i kaos

Autor

Uvod

Povijest čovječanstva bazira se na tome da ljudi pokušavaju svoju prirodnu okolinu

prilagoditi sebi i kontrolirati ju. Znanstvenici su pokušavali stoljećima pojednostavniti

prirodu, otkriti njezine temelje i zatim to svoje znanje iskoristiti u korist ljudima. Unatoč

golemim naporima čak i kod najjednostavnijih problema dolazili su do zida kojeg nisu mogli

prijeći. To se odnosilo na neke aspekte nepravilnog gibanja (klimatske promjene, varijacije

brojnosti pojedinih biljnih i životinjskih vrsta i slično), red koji se pojavljuje u prirodnim

oblicima i slični problemi koji su stoljećima zbunjivali znanstvenike.

Krajem 20. stoljeća na scenu stupa nova znanstvena revolucija tzv. teorija

determinističkog kaosa. Znanstvenici su konačno svoju pozornost počeli posvećivati na

zakonitosti nepravilnih pojava. Te zakonitosti počeli su primjenjivati na svakodnevne različite

probleme, kao npr. klimatske pojave, gomilanje zvijezda u svemiru, skokovi i padovi dionica

na burzi, srčane aritmije, mikroskopske veze krvnih kapilara, itd.

U ovom seminaru osvrnuti ćemo se na povezanost „kaosa“ i fraktalne geometrije sa

svijetom prirode koji nas okružuje, te ćemo navesti nekoliko primjera na koji nam otkrivaju

njihovu korisnost i primjenu.

Fraktali i kaos

Autor

Kaos

Rad ćemo započeti pričom koju je ispričao matematičar i fizičar David Ruelle. Priča

ide ovako: „Mali vražićak, vjerojatno iz dosade, odluči jednoga dana poremetiti vam život.

Vražićak to učini tako da promijeni gibanje samo jednog elektrona u atmosferi. Ali vi to ne

primjećujete. Ne odmah. Nakon jedne minute, struktura zračnih vrtloga se promijenila. Vi još

uvijek ništa ne primjećujete da nešto nije u redu. Nakon nekoliko tjedana, promjena je

poprimila mnogo veće razmjere, i kad ste na izletu u prirodi i upravo doručkujete na travi s

nekim tko vam posebno važan, nebo se otvori i počne padati tuča. E sad već primjećujete što

je postigao vražićak. Zapravo, htio vas je ubiti u avionskoj nesreći, ali ja sam ga odvratio.“

Ovom pričom je David Ruella objasnio ovisnost o početnim uvjetima. Ako

promijenimo neki uvjet, pa makar u tome trenu neznačajan nama, nakon nekog vremena

dogodit će se nepredviđeni događaji, pojave. Nastat će nered i kaos.

Definicija i obilježja kaosa

Riječ kaos grčkog je podrijetla i označava nered, metež i nepredvidljivost. Kaosu

pripada smisao pratvari, onoga što je postojalo prije nego što je svijet u kojem živimo unesen

red. Također riječ kaos nam da naslutiti da će red jednom nestati i da će zavladati opći nered i

nepredvidljivost. U 8.stoljeću prije Krista , Grk Hesiod je napisao kozmološku poemu

Teogonij u kojoj je tvrdio da prije svega bijaše kaos, a tek kasnije je postala Zemlja i sve

ostalo.

Kaos ima mnogo definicija, od kojih su neke stručne i teško shvatljive, ali mi ćemo

navesti nekoliko jednostavnijih.

Kaos je:

vrsta reda bez periodičnosti

naizgled slučajno ponavljano ponašanje u jednostavnim determinističkim

sustavima(tj. sustavima sličnim satnom mehanizmu)

kvalitativno izučavanje nestabilnog neperiodičnog ponašanja u

determinističkim nelinearnim sustavima

sposobnost jednostavnih modela, bez ugrađenih slučajnih svojstava, da

iznjedre ponašanje visokog stupnja neregularnosti.

Sad ćemo se upoznati sa terminologijom kaosa. Kaos je dinamički fenomen koji se

javlja kad se u danoj situaciji mijenja neka varijabla. Varijable imaju sustavi, a to su bilo koje

Fraktali i kaos

Autor

cjeline koje se mijenjaju s vremenom. Primjeri sustava su ljudsko tijelo, molekule u kutiji,

gripa koja se širi nekom zemljom, škola itd. Deterministički sustav je onaj koji je predvidljiv,

stabilan i potpuno razumljiv, a primjer takvog sustava je starinski djedov sat. Nestabilno

aperiodično gibanje je složeno gibanje koje se nikad ne ponavlja, a vidljivi su i najmanji

efekti poremećaja koji djeluju na sustav. Zbog toga su nemoguća točna predviđanja i radi toga

meteorolozi ne mogu predvidjeti točnu prognozu. Iz te terminologije dolazimo do još jedne

definicije kaosa. Kaos je pojava aperiodičnih, naizgled slučajnih događaja u determinističkom

sustavu. Dolazimo do spoznaje da u kaosu ima reda, a da u redu leži kaos.

Teorija kaosa proučava nestabilno aperiodično gibanje kakvo se može naći u

matematički jednostavnim sustavima koji mogu prikazivati složeno ponašanje.

Karakteristična značajka kaotičnih sustava je njihova ovisnost o početnim uvjetima. To znači

da jako male, neznatne promjene na početku mogu dovesti do velikih promjena na kraju. Neki

znanstvenici to smatraju važnim izvorom neobičnosti i raznolikosti u našem prirodnom

svijetu,a neki znanstvenici smatraju granicom koju priroda postavlja ograničenom ljudskom

znanju. Priroda poručuje: „dalje ne možeš ići.“

Edward Lorenz

Edward Lorenz je meteorolog koji je prvi zabilježio primjer kaotičnog ponašanja. On

je najprije ručno izračunao ono što mu je trebalo da procijeni moguća rješenja, a kasnije je

služeći se kompjuterskim modelom Zemljine atmosfere i oceana proučavao međuodnose triju

nelinearnih meteoroloških faktora: temperature, tlaka i brzine vjetra. Otkrio je da vrlo male

promjene u početnim uvjetima proizvode veoma raznolike i nepredvidljive odgovore. Svoje

rezultate je objavio 1963. godine u časopisu Journal of the Atmospheric Sciences pod

naslovom Deterministički neperiodični tok.

Lorenzovo otkriće pojave kaosa često se prepričava kao anegdota. On je radio na

modelu za predviđanje vremena s tri varijable i njegovo je računalo ubacilo brojeve u

nelinearne jednadžbe da bi izračunalo prognozu. Pošto je odlučio proširiti prognozu na još

nekoliko dana morao je još jednom pokrenuti računalo, a pošto su računala tada bila spora on

je zaokružio neke brojeve koje je ubacio u jednadžbe. Mislio je da male razlike neće bitno

utjecati na konačan rezultat. Tako je ostavio računalo da radi, a on je otišao na kavu. Kad se

vratio otkrio je kaos. Shvatio je da sićušne razlike u početnim uvjetima mogu dovesti do

katastrofe. Posljedice ovog otkrića Edward Lorenz prokomentirao je ovim riječima: „To znači

da se dva stanja, koja se početno razlikuju za neprimjetan iznos, mogu na kraju razviti u dva

znatno različita stanja. I onda, ako postoji ikakva pogreška u opažanju sadašnjeg stanja – a u

Fraktali i kaos

Autor

svakom realnom sustavu takve se pogreške čine neizbježnima – prihvatljivo predviđanje

stanja nekog trenutka u dalekoj budućnosti zapravo je nemoguće.“

Teorija kaosa se počela razvijati posljednjih dva desetljeća 20. stoljeća razvojem

računala koja su omogućavala rješavanja složenijih jednadžbi koje ljudi nisu bili u stanju

rješavati. Sedamdesetih godina prošlog stoljeća, znanstvenici počinju pronalaziti put kroz

nered, traže veze između različitih vrsta nepravilnosti. Dolazi do različitih istraživanja na

područjima fizike, matematike, ekonomije, biologije, fiziologije… Teorija kaosa se počinje

naglo razvijati upotrebom posebne tehnike korištenja računala i posebne vrste grafova i slika.

Dolazi se do spoznaje da je kaos svud oko nas.

Leptirov učinak

Edward Lorenz je rješavao jednadžbe numerički

jer je znao da se sustav triju nelinearnih jednadžbi ne

može riješiti analitički. Očekivao je da će, polazeći od

nekih početnih uvjeta , moći predvidjeti ponašanje

fluida za svaki trenutak u budućnosti. Smatrao je da ako

su početni uvjeti jednaki, tada će i rezultati za

budućnost biti identični, pa će se moći predviđati

mjesece i godine unaprijed.

Njegov kompjutor davao je rezultate u obliku

dugačkog niza brojeva, po jedan za svaki od određenih trenutaka u budućnosti. Do tog otkrića

je došlo zbog nesporazuma između čovjeka i računala. Lorenz je za jedan mogući izbor

početnih vrijednosti parametara odabrao neke od brojeva koje mu je kompjutor ispisao

tijekom strpljivog posla. Očekivao je da će se sljedeći nizovi brojeva u potpunosti poklapati.

No, rezultat je bio iznenađujući. Podudaralo se prvih nekoliko brojeva, a zatim su se

pojavljivale sve veće i veće razlike, da bi došlo do takvih razlika da se više nije moglo

govoriti o istim rezultatima.

Otkrio je izvor razlike, a to je bilo to da je kompjutor računao s točnošću od šest

decimalnih mjesta, a ispisivao je samo do trećeg decimalnog mjesta. Učinio je jako malo

pogrešku, ali je rezultat bio toliko različit da više nije moglo biti riječi o nekom točnom

predviđanju budućnosti.

Lorenz je otkrio osnovnu istinu o ponašanju mehaničkih sustava. A ta istina je da su

oni osjetljivi na početne uvjete. Dolazimo do spoznaje da za neke odabire početnih uvjeta

Fraktali i kaos

Autor

mala promjena neće bitno utjecati na rezultate predviđenog, te će ponašanje fizikalnog sustava

biti stabilna, dok će za neki drugi izbor parametara neznatna razlika u početnim uvjetima

dovesti do goleme razlike u konačnom rezultatu računa. Ta važna zakonitost nazvana je

učinkom leptira, ponekad i leptirov let.

Kako je početni skup vrijednosti određen kao rezultat mjerenja, ili kao zadani broj koji

obuhvaća ograničen broj znamenaka, u konačnom rezultatu moramo se pomiriti s

nepopravljivim odstupanjima i s potpunom nepredvidljivošću. Glavna poteškoća predviđanja

dugoročnih budućih ponašanja kaotičnih sustava jest u velikoj osjetljivosti o početnim

uvjetima. To je zapravo bit teorije kaosa, a znači da i najmanja razlika u početnim uvjetima

dovodi do različitih konačnih rezultata.

Vrijeme i kaos

Nikad ne možemo predvidjeti potpuno točno prognozu vremena. Lorenz je shvatio da

problem nije samo to što su modeli prognoze uvijek ograničeno točni, već i to da nijedan

model ne može imati dovoljno točan početni podatak. Zaključio je da je dugoročna i točna

vremenska prognoza praktično i teorijski nemoguća.

Poincaréovo otkriće

Sunčev sustav bio je smatran savršenim primjerom „nebeske mehanike“ tako dugo

dok se nije pojavila teorija kaosa. I to još usprkos činjenici da je matematičar i fizičar Henri

Poincaré početkom 20. stoljeća pokazao kako nastaju ozbiljni problemi ako se istodobno

promatraju staze više od dvaju nebeskih tijela. On je orbite triju planeta kvalitativno prikazao

u dijagramu u faznom prostoru i istraživao je presjek njihovih staza.

Poincaré je otkrio kaos, ali ni on sam to nije znao, kao ni njegovi suvremenici. Otkrio

je da je Sunčev sustav kaotičan i da je samo nekoliko decimalnih mjesta udaljen od uništenja.

To je desetljećima bilo zanemareno.

Fraktali i kaos

Autor

Fraktali

Naš seminar ćemo dalje nastaviti sa jednom malo šaljivom pričom koju smo, ne baš

doslovno preuzeli iz knjige Iana Stewarta „Kocka li se bog?“. Priča ide ovako:

„Jedan seljak zaposlio je grupu znanstvenika, a među njima i matematičare da mu

savjetuju kako će poboljšati proizvodnju u svojoj mljekari. Nakon šest mjeseci rada

matematičari mu pripreme svoj izvještaj. Seljak počne čitati, i naiđe na početnu rečenicu:

'Probajte s kuglastom kravom.' “

Ova kratka priča nam poručuje, ono što smo već u samom uvodu spomenuli, da oblici

koji se javljaju u prirodi nisu baš povezani sa tradicionalnim geometrijskim oblicima iz

matematike. U sljedećih nekoliko odlomaka malo ćemo se pozabaviti geometrijom koja

opisuje naš svemir te pojave u njemu, tj. bavit ćemo se fraktalnom geometrijom.

Malo povijesti

Temelje ne samo fraktalne geometrije već i za teoriju kaosa pa i druge matematičke

grane postavio je francuski matematičar Gaston Maurice Julia. On je svojim dijelom i

radovima na novoj geometriji postao poznat, no njegov rad je zaboravljen. Tek tijekom 60-ih

i 70-ih godina prošlog stoljeća Benoit B. Mandelbrot, istraživač IBM-a je u svojoj ˝Fraktalnoj

geometriji prirode˝, koristeći se radovima G. Julie i drugih matematičara, razvio novo

područje u matematici i nazvao ga fraktalnom geometrijom. On je htio analizirati pravilnosti

nepravilnoga svijeta te je uveo novi pojam ''fraktal'' kako bi opisivao neravne, iskrivljene i

izlomljene oblike koji se tamo pojavljuju.

Definicija i svojstva

Fraktali su neravni ili izlomljeni geometrijski oblici koje je moguće podijeliti na još

sitnije dijelove takve da je svaki umanjeni dio približna smanjena kopija cjeline, tj. to su

geometrijski oblici koji su u različitim mjerilima i dalje slični sami sebi (odnosno ako

povećavamo neki fraktal on će uvijek izgledati isto). Fraktalne slike nastaju iteracijom tj.

uzastopnim ponavljanjem nekog računskog ili geometrijskog postupka.

Svojstva koja opisuju fraktale su fraktalno skaliranje, samosličnost te fraktalna

dimenzija.

Fraktali i kaos

Autor

Fraktalno skaliranje je svojstvo da fraktali pokazuju slične pojedinosti pri različitim

mjerilima. Za primjer ćemo navesti grubu koru drveta kojoj kad je promatramo kroz sve jače

povećalo otkrivamo nove pojedinosti njezine hrapavosti.

Samosličnost fraktala nam kaže da njegov dio sličan cijelom objektu, tj. da oblici koji

se vide pri jednom mjerilu sliče oblicima koji se vide pri većem mjerilu.

Za razliku od topološke dimenzije (najjednostavnije rečeno to je broj linearno

nezavisnih smjerova kojima bismo mogli ići u nekom objektu npr. ravnina ima dimenziju 2,

pravac dimenziju 1 itd. ) koja je intuitivna, fraktalna dimenzija je broj koji nam pokazuje u

kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi. Fraktalna dimenzija je najčešće

racionalan broj za razliku od topološke koja je uvijek prirodan broj. Na primjer Kochova

pahuljica ima fraktalnu dimenziju 1.26.

Vrste fraktala

Fraktale ćemo podijeliti u nekoliko grupa i to ovisno o njihovom ˝stupnju˝ sličnosti

koji je rezultat iterativnog nastajanja fraktala.

1.Egzaktno samoslični fraktali (iterativni)

Egzaktno samoslični fraktali posjeduju najveći stupanj samosličnosti (potpunu

samosličnost). Koji god dio uvećali uvijek ćemo dobiti sliku identičnu početnoj. Primjer

iterativnih fraktala je Kochova krivulja.

2.Kvazisamoslični fraktali (rekurzivni)

Kvazisamoslični fraktali se dobivaju iz

rekurzivnih relacija, tj. funkcija koje pozivaju same

sebe. Ti fraktali imaju samo približno, ali ne

potpuno jednake oblike na različitim razinama.

Primjer tih fraktala je Mandelbrotov skup.

3. Brownova samosličnost-statistička samosličnost (slučajni)

Baš samoslični fraktali se rijetko pojavljuju u prirodi. Fraktali u prirodi imaju najčešće

Brawnovu ili statističku samosličnost.

Robert Brown je proučavao kretanje mikroskopskih čestica i otkrio da se čestice kreću

po isprekidanoj putanji koje slijede nasumce odabrane pravce. Detaljnijim promatranjem

utvrđujemo da se zapravo radi o većem broju, isto tako slučajno odabranih pravaca.

Fraktali i kaos

Autor

Samosličnost ove vrste pronađena je u plazma fraktalima, koji se pojavljuju kod

stvaranja modela obala mora i krajolika.

Primjena fraktala

Ljudsko tijelo

Za početak ćemo vam pokazati da smo i mi samo fraktali. Naša pluća, mozak,

krvožilni sustav i sl. nalikuju na fraktale.

Pluća

Da bi zrak došao do alveola u plućima prvo prolazi kroz traheu (zanemarit ćemo usnu-

nosni prolaz, grkljan itd.). Zatim se trahea dijeli na dvije bronhije, a one se zatim dijele dalje

na bronhiole itd. sve do alveola. Ovime smo opisali tipičan fraktal, veoma sličan baldahinu.

Na sličan način možemo opisati i krvožilni sustav, živčani sustav, a bubrezi, jetra i

gušterača su oblikovani prema fraktalnim pravilima samosličnosti.

Mozak

Mozak je također fraktal. Već samim pogledom vidimo da je pun pregiba, zavijutaka,

utora i pritom se višestruko presavija sam oko sebe. Čovjek ima najviše utora od svih drugih

bića. Povećanje broja utora ukazuje na napredak mišljenja i inteligencije. Znanstvenici

pomoću fraktalne geometrije i kaosa pokušavaju prodrijeti dublje u područje istraživanja

mozga i spoznati kako on funkcionira.

Otkrivanje raka

Površinske strukture raka obiluju pregibima i naborima. Ti pregibi i nabori se

mijenjaju tijekom različitih stadija rasta stanice raka. Kompjutori izračunavaju fraktalnu

strukturu stanice. Ako su stanice jako fraktalne znači da s njima nešto nije uredu.

Otkucaji srca

Otkucaji ljudskog srca nam se čine pravilnima, ali to zapravo nisu. Detaljnijim

proučavanjem njihovog vremenskog redoslijeda uočavamo fraktalnu strukturu. Da bi udarci

srca bili pravilni srce bi u svakom otkucaju doživljavalo jednak napor. Ekstremno i aritmično

fraktalno ponašanje nam ukazuje na srčane bolesti.

Fraktali i kaos

Autor

Biljke

Većina biljki se grana na neki način. Stabljika ili deblo se grana na nekoliko grančica

koje se opet dijele na nove grančice sve do najsitnijih. Sitniji dijelovi biljke su slični cijeloj

cjelini.

Svemir

Jupiterov mjesec Europa

Europa, jedan od Jupiterovih mjeseca ima fraktalni obrazac kaotične mreže crvenih

crta koje su zapravo frakture ispunjene materijalima iz njegove unutrašnjosti u kori leda

debeloj 100 km.

Umjetnost

Likovna umjetnost

Svojom pojavom fraktali su inspirirali mnoge umjetnike koji su izražavali svoje

osjećaje i misli kroz sliku i boje. Apstraktna umjetnost je prihvatila fraktale otvorenih ruku jer

su oni zbog svog zamršenog dizajna dozvoljavali umjetniku da se ne brine o obliku, nego

samo o boji, sjenčanju i 3D efektima.

Filmska umjetnost

Fraktali se u filmskoj umjetnosti koriste za kreiranje krajolika jer daju najrealističnije

slike. Također se neki mogu koristiti u znanstveno fantastičnim filmovima za stvaranje

nerealističnih krajolika. Na takav način se fraktali koriste kao specijalni efekti u filmovima

kao što su Zvjezdane staze.

Fraktalna geometrija je našla svoju primjenu u vojsci za otkrivanje izrađenih objekata

npr. podmornica, brodova usred prirodne okoline, također se koristi i kod izgradnje stadiona

jer se pokazalo da je ponašanje mase fraktalno.

Fraktali i kaos

Autor

Zaključak

Proučavajući ovu temu došli smo do zaključka da su kaos i fraktali međusobno

povezani i da na naš život utječu bezbrojni činitelji koji nam ponekad uljepšavaju, a ponekad

zagorčavaju život. Živimo u svijetu koji je kaotičan i koji se stalno mijenja. Kaos i fraktali su

svud oko nas i u nama, te bez njih mi ne bi postojali. Mi se divimo prirodi koja nas okružuje i

koja nas svakodnevno iznenađuje.

Fraktalna geometrija opisuje tragove i putanje koje ostaju nakon prolaska dinamičke

aktivnosti, a sami fraktali su slike nastajanja i nestajanja pojava i objekata. Fraktale možemo

vidjeti svakodnevno. Oni opisuju grubost svijeta, njegovu energiju, dinamičke promjene i

transformacije, ali i u nama pobuđuju osjećaje sklada, mira i ljepote. Najpoznatiji prirodni

fraktali su drveće, lišće, cvijeće, pahuljice, i mi sami.

Ovaj rad nas je potaknuo da prirodu gledamo drugačijim očima, da vidimo u njoj kaos

i fraktale, te se divimo njihovim ljepotama.

Fraktali i kaos

Autor

Literatura

1. Saardar, Z., Abrams, I.,Kaos za početnike, Naklada Jesenski i Turk, Zagreb, 2001.

2. Lopac, V., Do kaosa i natrag: putovanje u nepredvidljivost, Naklada Jesenski i Turk,

Zagreb, 2003.

3. Briggs, J., Fraktali: kaotični obrasci, Liberata, Zagreb, 2001.

4. Lesmoir-Gordon, N., Rood, W., Edney, R., Fraktalna geometrija za početnike, Naklada

Jesenski i Turk, Zagreb, 2006.

5. Stewart, I., Kocka li se Bog?: nova matematika kaosa, Naklada Jesenski i Turk, Zagreb,

2003.

6. Fraktali-čudesne slike kaosa, http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/fraktali, 23. 04. 2010.

7. Fraktal, http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal, 25.03.2010.