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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Formulas da Soma e da Diferenca
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2016.2
25 de abril de 2017
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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca
8 Exercıcios
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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Sejam α, β ∈ R. Entao
cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ
cos(α− β) = cosα. cosβ + senα.senβ
sen(α + β) = senα. cosβ + senβ. cosα
sen(α− β) = senα. cosβ − senβ. cosα
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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca
8 Exercıcios
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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Considere o Ciclo Trigonometrico.
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Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
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Semelhanca de triangulos:
AOC = DOB
AO = BO = CO = DO
∴ ∆AOC ≡ ∆DOB ed(A,C ) = d(B,D)
Coordenadas:
A = (1, 0)
B = (cosα, senα)
C = (cos(α + β), sen(α + β))
D = (cos(−β), sen(−β))
d(A,C ) =√
(xA − xC )2 + (yA − yC )2
d(B,D) =√
(xB − xD)2 + (yB − yD)29 / 29
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Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
d(A,C ) = d(B,D)
⇔√
(xA − xC )2 + (yA − yC )2 =√
(xB − xD)2 + (yB − yD)2
⇔ (xA − xC )2 + (yA − yC )2 = (xB − xD)2 + (yB − yD)2
⇔ (1− cos(α + β))2 + (0− sen(α + β))2 =(cosα− cos(−β))2 + (senα− sen(−β))2
⇔ (1− cos(α + β))2 + sen2(α + β) =(cosα− cosβ)2 + (senα + senβ)2
⇔ 1− 2 cos(α + β) + cos2(α + β) + sen2(α + β) =cos2 α− 2 cosα. cosβ + cos2 β + sen2α+ 2senα.senβ + sen2β
⇔ 2− 2 cos(α + β) = 2− 2 cosα. cosβ + 2senα.senβ
⇔ cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ
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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca
Seno da SomaSeno da Diferenca
Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca
8 Exercıcios
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Vimos que
cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ
Lembremos que a funcao seno e ımpar (sen(−x) = −senx) eque a funcao cosseno e par (cos(−x) = cos x). Daı
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cosα cos(−β)− senα.sen(−β)
= cosα cosβ + senα.senβ
Ou seja,
cos(α− β) = cosα. cosβ + senα.senβ
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Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca
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Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca
8 Exercıcios
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Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios
Sejam α e β dois angulos quaisquer. Considere x =(π
2− α
)e
apliquemos o cosseno da diferenca para os angulos x e β
cos(x − β) = cos(π
2− α− β
)= cos
(π2− (α + β)
)= cos
π
2. cos(α + β) + sen
π
2.sen(α + β)
= sen(α + β)
Portanto, cos(x − β) = sen(α + β) (I)
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Por outro lado
cos(x − β) = cos((π
2− α
)− β
)= cos
(π2− α
)cosβ + sen
(π2− α
)senβ
=[cos
π
2. cosα + sen
π
2.senα
]cosβ + sen
(π2− α
)senβ
= senα. cosβ + sen(π
2− α
)senβ
= senα. cosβ + senx .senβ
E assim, cos(x − β) = senα. cosβ + senx .senβ (II)
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Mais ainda, pela Relacao Fundamental para o angulo x , temos:
senx = ±√
1− cos2 x
= ±√
1−[cos(π
2− α
)]2
= ±√
1−[cos
π
2cosα + sen
π
2.senα
]2
= ±√
1− [senα]2
= cosα
Ou seja, senx = cosα (III)
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De
cos(x − β) = sen(α + β) (I )
cos(x − β) = senα. cosβ + senx .senβ (II )
senx = cosα (III )
Temos
sen(α+β) = senα. cosβ+senx .senβ [igualando (I) e (II)]
sen(α+β) = senα. cosβ+ cosα.senβ [substituindo (III)]
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Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca
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Como ja sabemos,
sen(α + β) = senα. cosβ + cosα.senβ
Portanto
sen(α + (−β)) = senα. cos(−β) + cosα.sen(−β)
Sendo o cosseno par e o seno ımpar, temos:
sen(α− β) = senα. cosβ − cosα.senβ
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Sumario
1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
5 Tangente da Soma e da Diferenca
6 Cotangente da Soma e da Diferenca
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Usando o fato de que
tgx =senx
cos xEntao, onde for possıvel,
tg(α− β) =sen(α− β)
cos(α− β)E podemos chegar em
tg(α− β) =tgα− tgβ
1 + tgα.tgβ
Usando que tg(α + β) = tg(α− (−β)), mostramos que
tg(α + β) =tgα + tgβ
1− tgα.tgβ
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1 Cosseno da Soma
2 Cosseno da Diferenca
3 Seno da Soma
4 Seno da Diferenca
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Usando o fato de que
cotgx =cos x
senx
Deduza expressoes para
cotg(α + β)
cotg(α− β)
Em funcao, apenas, de cotgα e cotgβ.
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3 Seno da Soma
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Tente produzir formulas para
sec(α + β)
sec(α− β)
cossec(α + β)
cossec(α− β)
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Exercıcios
Mostrar que
sen2x = 2senx . cos x
cos 2x = cos2 x − sen2x
tg2x =2tgx
1− tg2x
senx =2.tg
x
2
1 + tg2 x
2
cos x =1− tg2 x
2
1 + tg2 x
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Exercıcios - Solucao
Mostrar que
senx =2.tg
x
2
1 + tg2 x
2
senx =sen(
2.x
2
)1
=sen(
2.x
2
)cos2
x
2+ sen2
x
2
=2sen
x
2. cos
x
2
cos2x
2+ sen2
x
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Exercıcios - Solucao
senx =2sen
x
2. cos
x
2
cos2x
2+ sen2
x
2
=
2senx
2. cos
x
2
cos2x
2
cos2 x
2+ sen2 x
2
cos2x
2
=2.tg
x
2
1 + tg2 x
2
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