A História da soma dos A História da soma dos termos de uma P.A. Como termos de uma P.A. Como

tudo começou...tudo começou...

Em 30 de abril de 1777, nasce Em 30 de abril de 1777, nasce na cidade de Brunswick, hoje na cidade de Brunswick, hoje

Alemanha, um menino de Alemanha, um menino de nome Carl Friedrich Gaussnome Carl Friedrich Gauss.

Quando criança frequentou Quando criança frequentou uma escola em que o uma escola em que o

professor era tido como professor era tido como muito bravo e exigente.muito bravo e exigente.

Para manter a classe Para manter a classe ocupada e em silêncio, ele ocupada e em silêncio, ele

mandou que os alunos mandou que os alunos somassem todos os somassem todos os números de 1 a 100.números de 1 a 100.

Gauss, que tinha Gauss, que tinha aproximadamente 10 anos, aproximadamente 10 anos,

terminou quase que terminou quase que imediatamente o exercício, e imediatamente o exercício, e

foi o único a acertar o foi o único a acertar o resultado(5050) sem resultado(5050) sem

apresentar nenhum cálculo apresentar nenhum cálculo por escrito.por escrito.

Vista a sua rapidez, o Vista a sua rapidez, o professor quis saber como professor quis saber como

havia calculado. O pequeno havia calculado. O pequeno Gauss, ainda sem saber o Gauss, ainda sem saber o

que é P.A., percebeu que os que é P.A., percebeu que os números de 1 a 100 números de 1 a 100

formavam uma P.A. com o 1º formavam uma P.A. com o 1º termo igual a 1 e razão igual termo igual a 1 e razão igual

a 1.a 1.

Como vocês fariam essa soma?Como vocês fariam essa soma?

Conseguem fazer de forma rápida?Conseguem fazer de forma rápida?

Como será que Gauss pensou?Como será que Gauss pensou?

Observem o que ele fez e vejam Observem o que ele fez e vejam

como é simples realizar a soma dos como é simples realizar a soma dos

termos de uma P.A. finita:termos de uma P.A. finita:

O que se desejava era a soma O que se desejava era a soma dos termos dessa progressão. dos termos dessa progressão. Ele observou que a soma de Ele observou que a soma de dois termos equidistantes dos dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos é igual à soma dos extremos.extremos.Observem :Observem :

Agrupando os números de dois Agrupando os números de dois a dois Gauss observou que havia a dois Gauss observou que havia 50 parcelas iguais a 101. Assim, a 50 parcelas iguais a 101. Assim, a soma seria igual a (50 x101), ou soma seria igual a (50 x101), ou seja, 5050.seja, 5050.

Essa ideia equivale a escrever a Essa ideia equivale a escrever a sequência dada, depois copiá-la de sequência dada, depois copiá-la de “de trás para a frente” e em “de trás para a frente” e em seguida efetuar as adições seguida efetuar as adições indicadas.indicadas.

Notaram?Notaram?Os elementos são somados Os elementos são somados duas vezes, portanto ao se duas vezes, portanto ao se efetuar o produto ( 100 x efetuar o produto ( 100 x 101) deve-se dividir o 101) deve-se dividir o resultado por 2, o que resultado por 2, o que resulta em 5050.resulta em 5050.

Agora me respondam, o que Agora me respondam, o que representa este 100 e o 101 representa este 100 e o 101 na P.A.?na P.A.?

Quem lembrou que 100 é o Quem lembrou que 100 é o

número de termos da sequência número de termos da sequência

e 101 é a soma do primeiro e 101 é a soma do primeiro

termo com o último, acertou.termo com o último, acertou.

Parabéns!Parabéns!

Posteriormente Posteriormente devido aos seus devido aos seus trabalhos, Gauss foi trabalhos, Gauss foi considerado o maior considerado o maior matemático de sua matemático de sua época e talvez de época e talvez de todos os tempos e todos os tempos e essa forma de essa forma de calcular a soma dos calcular a soma dos termos de uma P.A. termos de uma P.A. acabou sendo acabou sendo desenvolvida e desenvolvida e generalizada para generalizada para qualquer P.A.qualquer P.A.

Então, agora é a vez de Então, agora é a vez de vocês comprovarem o que vocês comprovarem o que aconteceu. Montem um P.A. aconteceu. Montem um P.A. qualquer e a seguir façam a qualquer e a seguir façam a mesma coisa que Gauss e mesma coisa que Gauss e comprovem vocês mesmos que comprovem vocês mesmos que isso é possível para qualquer isso é possível para qualquer soma de P.A. finita.soma de P.A. finita.

Cada um faz a sua e deixa Cada um faz a sua e deixa registrado no google docs, não registrado no google docs, não copiem do seu colega e não copiem do seu colega e não repitam a cor do colega acima.repitam a cor do colega acima.

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Ozana AzevedoOzana Azevedo

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20102010