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Física 3 (EMB5043): Campo magnéticoMATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL
Prof. Diego Alexandre DuarteUniversidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville
Sumário• Campo magnético
• Produzido por corrente• Lei de Biot-Savart
• Lei de Biot-Savart• Campo magnético produzido por fio infinito• Campo magnético produzido por fio curvilíneo• Campo magnético de uma bobina
• Força entre fios com correntes• Canhão eletromagnético
• Lei de Ampère• Fio longo percorrido por corrente• Solenóide• Toróide
• Resolução de problemas da Lista 9
Material para estudos
• Capítulo 29 do Halliday volume 3 e capítulo 8 do Moysés volume 3.
• Estudar os problemas da Lista 9 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.
Campo magnéticoPRODUZIDO POR CORRENTE
Oersted descobre que fios com corrente
produzem campo magnético, em 1819.
Apresenta o resultado em 1820 numa reunião
da Academia de Ciências da França.
Hans Christian Oersted André-Marie Ampère
Ampère assiste a apresentação e inicia uma
série de experimentos sobre o tema. Uma
semana depois, descobre a atração magnética
entre fios com correntes no mesmo sentido.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Han
s_Christian_%C3%98rsted
https://pt.wikipedia.org/wiki/And
r%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re
Campo magnéticoLEI DE BIOT-SAVART
Para calcular o campo magnético produzido por fio com corrente, usa-se a lei de Biot-Savart:
0
2
ˆ
4
ids rdB
r
µ
π
×=
��
em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao
Jean-Baptiste
BiotFélix Savart
https://brasilescola.uol.com.br
/fisica/a-lei-biotsavart.htm
em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao
elemento ds e com o mesmo sentido da corrente i. O vetor r é
definido do elemento ds até o ponto onde deseja-se calcular o
campo magnético. O vetor ids e o vetor r formam um ângulo
θ entre si. Note que estes vetores são coplanares; logo, o
campo magnético é perpendicular ao plano.
A constante μ0 é chamada de permeabilidade magnética e indica o quão magnetizável é um dado
meio:7 1
0 4 10 T m Aµ π − −= × ⋅ ⋅
Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO
0
2
ˆ
4
ids rdB
r
µ
π
×=
��
Para calcular o campo em P, usamos a lei de Biot-Savart:
em que e :2 2
r s R= +
( ) ( )0 0
2 2 2 2
ˆ sin sin
4 4
ids r idsdB
s R s R
θµ µ θ
π π= =
+ +
ˆ 1r =
O termo sin θ é dado pela relação de arco duplo:
( ) ( )4 4s R s Rπ π+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o osin 180 sin 180 cos sin cos 180 sinθ θ θ θ− = − =
2 2sin
R R
r s Rθ= =
+( )
0
32 2 24
iRdsdB
s R
µ
π=
+(1)Logo:
que pode ser, então, representado por:
Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO
O campo magnético total em P é obtido a partir da integração da equação (1):
A integração desta equação é similar aos procedimentos estudados em aulas anteriores:
( )0
32 2 24
iR dsB
s R
µ
π
+∞
−∞
=+
∫
+∞
Os limites caracterizam um fio infinito
( )( )0 0 0
12 2 2
0
1 02 2 2
i i isB
R R Rs R
µ µ µ
π π π
+∞
= = − =+
0
2
iB
R
µ
π=
Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO CURVILÍNEO
O campo magnético em C é dado por:
em que e r = R:
0
2
ˆ
4
ids rdB
r
µ
π
×=
��
ˆds r⊥�
idsµ0
24
idsdB
R
µ
π=
O elemento ds representa o comprimento do arco de circunferência e, desta forma, podemos
escrever0 0 0
2 24 4 4
i i idB ds Rd d
R R R
µ µ µφ φ
π π π= = =
0
4
iB
R
µφ
π=
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA 2
O campo magnético é dado por:
em que e ds = dx; logo:
0
2
ˆ
4
ids rdB
r
µ
π
×=
��
ids
r
θ
• B
2 2r R x= +
sinidxµ θids
x ( )0
2 2
sin
4
idxdB
R x
µ θ
π=
+
O termo sin θ é dado por :
O campo magnético no ponto P2 será:
2 2sin
R
R xθ=
+ ( ) ( )0 0
3/2 3/22 2 2 24 4
iRiRdx dxdB
R x R x
µ µ
π π= =
+ +
( ) ( )0 0
3/2 1/22 2 2 2
04 4
LiR idx L
BRR x R L
µ µ
π π= =
+ +∫
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA 2
Substituindo os valores, obtemos:
Podemos fazer o cálculo similar para determinar o campo magnético no ponto P1:
( )( )( )
( )( )
( ) ( )
7
0
1/2 1/22 2 2 2
4 10 0,693 0,136132 nT
4 4 0, 251 0,251 0,136
i LB
R R L
πµ
π π
−×= = =
+ +
( ) ( )
2 2
0 0
3/2 3/22 2 2 2
02
4 2
L L
L
iR iRdx dxB
R x R x
µ µ
π π
+ +
−
= =+ +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2
0 0 0
1/2 1/2 1/22 2 2 2 22
0
2 144 nT2 2 2 4
4
L
Li i ix L
BR R RR x L R LR
µ µ µ
π π π
+
= = = =+ ++
Função par
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10
O campo magnético é dado por:
e o módulo do campo magnético total
produzido por uma bobina é:rr
ו
ו
r
dB dB
dBT
r
Vista frontal
0
2
ˆ
4
N ids rdB
r
µ
π
×=
��
θ
θa/2
idsids
ו
ids ids 2 cosTdB dB θ=
O campo magnético produzido pelas duas bobinas é o dobro do
campo produzido por uma. Assim:
o
0 0
2 3
ˆ sin 90cos
2 2T
ids rN N iadsdB
r r
µ µθ
π π
= =
a
em que cos θ = a/r e ( ) ( )1
22 22 2 5
2 2 4a ar a a a
= + = + =
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10
O elemento ds é integrado ao longo do perímetro da bobina:
3
32
0 0 0
3 232
3
4
2 2 5 25
4
T
r
N N Niads iads idsdB
r aa
µ µ µ
π π π
= = = ���������3r
3 32 2
0 0
2
0
4 4
5 2 5 2
a
T
Ni NiB ds
a a
πµ µ
π
= = ∫
3 32 2
0 04 4ˆ ˆ2 2
5 2 5O T
Ni NiB B z z
a a
µ µ = = =
� �
Considerando as duas bobinas, obtemos o campo magnético produzido no ponto O:
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE
ו
r
dB dB
dBT
r
Vista frontal
Considerando que o ponto está numa posição y qualquer ao longo
do eixo y temos:
o
0 0
2 3
ˆ sin 90cos
2 2T
ids rN NiadsdB
r r
µ µθ
π π
= = θ
θz
em que cos θ = a/r e . Logo:2 2r a z= +
ו
iL iL
θz
a
( )0 0
332 2 22 2
T
Niads NiadsdB
r a z
µ µ
π π= =
+Similarmente ao caso anterior, obtemos (para uma bobina):
( )( )
2
0
32 2 22
z
NiaB z
a z
µ=
+
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE
Para simular as figuras ao lado, foram
consideradas as seguintes condições:
μ0Ni/2 = 1 T·m
a = 1,0 m
(T)
( )( )
2
0
32 2 22
z
NiaB z
a z
µ=
+
a = 1,0 m
Região de análise: −4,0 m ≤ z ≤ 4,0 m
Distâncias de separação: 1,0 e 1,5 m
Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO DE UMA BOBINA ˆdB ids r∝ ×
� �
×r
ids
dB
×
r
ids
π/2
dB
×r
idsdB
π
×
r
ids3π/2
dB
dB
dB
dB
dB
ids
Força entre fios paralelosConsiderando que a distância de separação é muito
menor que o comprimento dos fios, podemos
assumir que o campo magnético que o fio a produz
sobre o fio b é dado por:
0
2
aa
iB
d
µ
π=
Pela regra da mão direita, podemos concluir que B está para baixo na região onde encontra-se
z
xy
Pela regra da mão direita, podemos concluir que Ba está para baixo na região onde encontra-se
o fio b. Como o fio b possui corrente ib e está numa região com campo magnético Ba, sofrerá a
atuação de uma força magnética Fba:
Similarmente, o fio a sofre a atuação da mesma força:
0 0
2 2
a a bba b a b
i i i LF i LB i L
d d
µ µ
π π= = =
0 0
2 2
b a bab a b a
i i i LF i LB i L
d d
µ µ
π π= = =
Observação:
- Correntes no mesmo sentido: atração
- Correntes no sentido oposto: repulsão
i j
k +−
Força entre fios paralelosCANHÃO ELETROMAGNÉTICO
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA 6
× B
F1
As forças F2 e F4 são iguais; porém F1 é maior que F3:
em que o campo magnético produzido pelo fio superior é
dado por:
( ) ( )1 3 2 2rF F F i LB a i LB a b= − = − +i2
( ) 0 1iB yµ
π=
F2
F3
F4
com y representando a distância a partir do eixo. Logo:
( )2
B yyπ
=
( )0 1 0 1
2 22 2
r
i iF i L i L
a a b
µ µ
π π
= − +
( )( )( )( )( )( )( )
00 1 2 0 1 230 20 0,08 0,31 1
3,2 mN2 2 2 0,01 0,09
r
i i L i i bLF
a a b a a b
µµ µ
π π π
= − = = = + +
Lei de AmpèreJames Clerk Maxwell
Considere uma região com correntes saindo do plano delimitadas por
uma curva fechada:
0 env
C
B ds iµ⋅ =∫� ��
em que ienv é a corrente envolvida https://pt.wikipedia.org/wiki/James_Cler
k_Maxwell
em que ienv é a corrente envolvida
pela amperiana.
A lei de Ampère será utilizada para resolução de problemas simétricos, i.e., onde o campo
magnético B é paralelo ao caminho de integração (1º passo) e não depende do caminho ds
(2º passo). Logo:
em que s é o caminho total de integração.
00
envenv
C
iB ds Bds B ds Bs i B
s
µµ⋅ = = = = ∴ =∫ ∫ ∫
� ��
Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO EXTERNO
Considere um fio infinito com corrente i saindo do plano.
O campo magnético é dado pelo lei de Ampère:
O campo magnético produzido é paralelo e independente
do elemento de integração ds. Logo:
0 env
C
B ds iµ⋅ =∫� ��
do elemento de integração ds. Logo:
0iBs
µ=
em que s representa o caminho total de integração, i.e., o perímetro do caminho:
0
2
iB
r
µ
π=
Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO INTERNO
A curva amperiana delimina parte da corrente que
atravessa o fio. Assumindo que a densidade de corrente é
constante, a corrente envolvida é dada por:
Logo:
2
2 2 2
envenv
ii rJ i i
R r Rπ π= = ∴ =
Logo: 2
0 0 2env
C
rB ds i i
Rµ µ⋅ = =∫
� ��
Assumindo as duas condições de simetria, obtemos:
( )
2 2
0 0 0
2 2 22 2
ir ir irB
sR r R R
µ µ µ
π π= = =
Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – ANÁLISE
( )0
2 para 0
2
irr R
R
µ
π
≤ ≤( )2
0
2
para 2
RB r
ir R
r
π
µ
π
= ≥
Lei de AmpèreSOLENÓIDE
0 0 0
b c d a
C a b c d
B ds B ds B ds B ds B ds
= = =
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � � �� � � � �
������� ������� �������
�
Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):
0
b b h
C a a
B ds B ds Bds B ds Bh⋅ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫� �� ��
Lei de AmpèreSOLENÓIDE
Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):
0
C
B ds Bh Niµ⋅ = =∫� ��
00
NiB i
h
µµ η= =
em que η representa a densidade de espiras do solenóide (espiras/m).
Lei de AmpèreTORÓIDE
O campo magnético dentro do toróide é circular. Logo:
0
C
B ds Bds N iµ⋅ = =∫ ∫� ��
considerando que o dispositivo possui N espiras.
*A corrente envolvida pela amperiana é Ni.
0 0
2
N i N iB
s r
µ µ
π= =
Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA 8
O elétron está em movimento circular devido a força magnética causada pelo campo magnético:
××××××××
B
• vr
( )2
0
vqvB m qv i
Rµ η= =
que fornece:2
mv mv×××××××××××2
0 0
mv mvi
qv R q Rµ η µ η= =
Substituindo os valores do enunciado, obtemos:
( )( )( )( )( )
11 8
7
0,57 10 0,0460 3 100, 272 A
4 10 10000 0,0230i
π
−
−
× × ×= =
×
Dúvidas?
Skype: diego_a_d
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