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FíSICA DE PROCESOS UNIDAD Nº 1

Álgebra Digital y Conceptos Básicos

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SEMANA 1

Desarrollo

Bases Numéricas.

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten

construir números requeridos. Según los historiadores, el primer método de conteo fue realizado con los

dedos. Este sistema se basó en señas, las cuales fueron evolucionando hasta establecer los primeros sistemas de enumeración. Entre estos se puede destacar los sistemas babilónicos, egipcios, griegos y, hasta hoy en día usado, romano.

Si bien, a pesar de que el sistema decimal es el más integrado en nuestra vida diaria, dependiendo de la aplicación puede ser conveniente expresar cantidades en otros sistemas numéricos, ya que las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) son más simples de procesar u programar Base Decimal

El sistema decimal es un sistema de numeración el cual utiliza una base 10 para representar los números. Un sistema numérico con base 10 implica que las representaciones numéricas están basadas en 10 dígitos diferentes para contar. En el caso del sistema decimal, los diez dígitos utilizados son “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “7”, “8” y “9”.

Además, es importante que usted sepa que este sistema es posicional, lo que quiere decir que el orden en el cual se presenten los dígitos infiere en la cantidad que se quiere expresar. Por ejemplo, no es lo mismo la cantidad “19” a la de “91”.

En adición a lo mencionado, un sistema en base 10 nos permite representar cantidades numéricas según su magnitud. La magnitud de un dígito viene dada por el orden en el cual se encuentre. Por ejemplo, para el sistema decimal se habla de unidad, décima, centena, etc.

En términos numéricos, esto se puede enfatizar asociando cada dígito con una base numérica. Para el caso decimal, cada dígito tiene asociada una potencia en base 10. Por ejemplo, el número 19 se puede escribir como:

19 = 1 ∙ 101 + 9 ∙ 100

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Donde 1 ⋅ 101 = 10 es la décima, y 9 ⋅ 100 = 9 es la unidad asociada a esta cantidad. Del mismo modo, se tiene que para la cantidad 91,

91 = 9 ∙ 101 + 1 ∙ 100

Observe que el dígito asociado a la potencia 101, décima, representa una mayor

cantidad que la asociada a la potencia 100. Luego, el dígito asociado a la potencia más alta se denomina el dígito más significativo. De forma general, un número entero en base decimal se puede escribir como:

𝑍 = 𝑑0 ∙ 100 + 𝑑1 ∙ 10

1 + 𝑑2 ∙ 102 +⋯+ 𝑑𝑛 ∙ 10

𝑛 =∑𝑑𝑖 ∙ 10𝑖

𝑛

𝑖=0

Donde 𝑑𝑖 ∈ {0,⋯ ,9}. Por ejemplo, para el número 4578,

4578 = 4 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 7 ∙ 101 + 8 ∙ 100 Donde el dígito más significativo es el 4, ya que está asociada a la potencia más alta

(103).

Si bien, a pesar de que el sistema decimal es el más integrado en nuestra vida diaria, dependiendo de la aplicación puede ser conveniente expresar cantidades en otros sistemas numéricos, ya que las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) son más simples de procesar u programar. Sistema Binario

El sistema de numeración binaria es de base 2, ya que sólo se utilizan 2 dígitos: “0” y “1”.

Este sistema de numeración es altamente utilizado en aplicaciones digitales en donde el símbolo “0” representa un estado lógico denominado “falso”, mientras que el elemento “1” corresponde a uno “verdadero”.

Al igual que el sistema decimal, este sistema también es posicional, donde los dígitos de la izquierda son asociados a cantidades mayores que los de la derecha (al igual que el sistema decimal).

Debido a que el sistema binario es de base 2, requiere mayor cantidad de dígitos que sistemas con base mayor. Por ejemplo, a continuación se muestra una tabla con la representación de los dígitos decimales en cantidades binarias:

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Tabla 1: Representación de dígitos decimales, base 10, en cantidades binarias (base 2).

Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

Luego, note que se necesitan 4 dígitos para expresar la misma cantidad que

el dígito 9 en base decimal.

Una forma sencilla y directa de interpretar números binarios como cantidades decimales es por medio de asociar los dígitos binarios a potencias en base 2. Por ejemplo, para representar el número 6 en base decimal se escribe como:

6 = 6 ∙ 100 Reescribiendo esta cantidad por medio de potencias en base “2”,

6 = 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 Luego, observe que los dígitos asociados a cada potencia tienen valor “1” o “0”.

Si observa la tabla que asocia los dígitos decimales a cantidades binarias, mostrada anteriormente, se puede apreciar que la forma para representar 6 en base binaria es “110”.

Luego, la descomposición de números decimales por medio de potencias en base 2 está fuertemente amarrada a la forma de representar estas cantidades a números binarios. Para el número decimal “6” se tiene que las cantidades asociadas a las potencias de “2” construyen su representación binaria:

6 = 𝟏⏞Dígito 1

∙ 22 + 𝟏⏞Dígito 2

∙ 21 + 𝟎⏞Dígito 3

∙ 20⏟ =Base 10

110⏟Base 2

Note que el dígito más significativo de su representación binaria es el ubicado

más a la izquierda ("Dígito 1") y está asociado a la potencia más alta en su representación decimal con potencias de base “2”.

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Sistema Hexadecimal

El actual sistema fue introducido por IBM en 1963. El sistema hexadecimal es de base 16, por lo que utiliza 16 símbolos para representar cantidades. Los primeros 10 corresponden a los dígitos del sistema decimal y los restantes 6 corresponden a las primeras 6 letras del alfabeto. Por tanto, los símbolos utilizados en la numeración

hexadecimal son 𝑆16 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹}, la Figura muestra la relación entre el sistema decimal y hexadecimal. Note que la los dígitos hexadecimales “A”, “B”, “C”, “D”, “E” y “F” representan, respectivamente, las mismas cantidades numéricas que “10”, “11”, “12”, “13”, “14” y “15”.

Además, al igual que en el sistema binario, una cantidad expresada en sistema hexadecimal se puede interpretar en sistema decimal de una forma directa. Si un número decimal se descompone por medio de potencias en base dieciséis, se puede construir su representación hexadecimal a través de las cantidades asociadas a dichas potencias.

A modo de ejemplo, el valor hexadecimal 1A3F se relaciona con las potencias en base 16 de la siguiente forma:

1A3F = 1 ∙ 163 + A ∙ 162 + 3 ∙ 161 + F ∙ 160 Luego, considerando que los dígitos “A” y “F" representan las cantidades “10”

y “15”, la cantidad en forma decimal está dada por,

1A3F⏟ Base 16

= 1 ∙ 163 + 10 ∙ 162 + 3 ∙ 161 + 15 ∙ 160⏟ Base 10

= 6719 ⏟ Base 10

Decimal Hexadecimal Binario Decimal Hexadecimal Binario

0 0 0 8 8 1000

1 1 1 9 9 1001

2 2 10 10 A 1010

3 3 11 11 B 1011

4 4 100 12 C 1100

5 5 101 13 D 1101

6 6 110 14 E 1110

7 7 111 15 F 1111

Figura 1: Equivalencia entre los sistemas decimal, hexadecimal y binario.

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De forma inversa, para interpretar un número decimal a base hexadecimal, la cantidad se descompone en potencias de base 16. Por ejemplo, para el número decimal “110”,

110⏟Base 10

= 𝟔⏞Dígito 1

⋅ 161 + 𝟏𝟒⏞Dígito 2

⋅ 160⏟ Base 10

= 6E⏟Base16

Luego, su representación en sistema hexadecimal es “6E”. Conversión de números entre distintas bases

A continuación, se detallan algunos métodos eficientes para convertir números de una base numérica a otra. Conversión entre números binarios y decimales.

Para convertir un número entero decimal en binario se puede utilizar el método de la “división sucesiva por 2”. Los pasos de este procedimiento se detallan a continuación:

1. Considere el número decimal 𝑋𝑑𝑒𝑐. Primero, divida este número por 2, donde el resto de esta división puede adquirir valor “0” o “1”, y corresponde al bit menos significativo del número binario (el de posición más a la derecha).

2. Luego, divida el cociente de la división anterior nuevamente por 2. El resto de esta nueva división, que nuevamente puede adquirir valor “0” o “1”, corresponde al siguiente bit ubicado a la izquierda del anterior.

3. Repita el paso anterior, es decir divida el cociente resultante por 2, el resto de esta división se ubica a la izquierda del bit anterior.

4. Repita hasta que tenga un cociente igual a 0.

A modo de ejemplo, se quiere transformar el número 42 de base decimal a base

binaria:

Paso 1: 42 ÷ 2 = 21 con resto igual a 0. Luego, el bit que va ubicado más a la

derecha tiene valor “0”.

Paso 2: 21 ÷ 2 = 10 con resto igual a “1”. El número binario actualizado ahora es

“10”.

Paso 3: 10 ÷ 2 = 5 con resto igual a “0”. El número binario actualizado ahora es

“010”.

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Paso 4: 5 ÷ 2 = 2 con resto igual a “1”. El número binario actualizado ahora es

“1010”.

Paso 5: 2 ÷ 2 = 1 con resto igual a “0”. El número binario actualizado ahora es

“01010”.

Paso 6: 1 ÷ 2 = 0 con resto igual a “1”. El número binario actualizado ahora es

“101010”.

Luego, 42(𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙) = 101010(𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜). La Figura muestra cómo transformar el número 42 en base decimal a la base binaria utilizando el método descrito.

Figura 2: Cambio de base del número 42 decimal a binario.

Para convertir un número binario en decimal basta con sumar el valor de cada

posición binaria 2𝑛 (siendo n el valor de la posición desde derecha hacia izquierda) ponderada por su bit respectivo. Lo anterior se puede representar matemáticamente como:

𝑋𝑑𝑒𝑐 =∑𝑋𝑏𝑖𝑛(𝑖) ∙ 2𝑖

𝑙

𝑖=0

Donde 𝑋𝑏𝑖𝑛 corresponde al número binario que se quiere transformar, 𝑙 es el

número de bits de 𝑋𝑏𝑖𝑛 y 𝑋𝑑𝑒𝑐 corresponde a su representación decimal.

Por ejemplo, para el número binario 101010, de 6 dígitos,

101010⏟ Base 2

= 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 + 1 ⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 20⏟ Base 10

= 42⏟Base 10

Luego, la cantidad binaria “101010” es equivalente a la cantidad decimal “42”.

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Conversión entre números hexadecimales y decimales.

Para transformar un número decimal a hexadecimal el algoritmo es análogo al del caso anterior, sin embargo, hay que tener en cuenta que en este caso se divide por 16 y que el resto de cada división puede tener valores entre 0 -15. Los restos 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se representan por los símbolos A, B, C, D, E y F respectivamente. El algoritmo se describe a continuación:

1. Sea el número decimal 𝑋𝑑𝑒𝑐, divida este número por 16, el resto de esta división corresponde al digito menos significativo del número hexadecimal, es decir la posición de más a la derecha del número.

2. Divida el cociente del paso anterior nuevamente por 16. El resto de esta nueva división corresponde al siguiente digito del número hexadecimal que se ubica a la izquierda del paso anterior.

3. Repita el paso anterior, es decir divida el cociente resultante por 16, el resto de esta división se ubica a la izquierda del digito anterior. El algoritmo finaliza cuando se obtiene un cociente igual a cero. A modo de ejemplo, considere el número decimal 250: Paso 1: 250 ÷ 16 = 15 con resto igual a 10. Luego, el dígito que va ubicado más a la

derecha tiene valor “A”.

Paso 2: 15 ÷ 16 = 0 con resto igual a 15. El número hexadecimal actualizado ahora

es “FA”.

Luego,

250⏟Base 10

= FA⏟Base 16

La Figura3 muestra este proceso descrito de una forma similar al mostrado para

numeración binaria.

Figura 3: Conversión del número 250 decimal a su equivalente hexadecimal.

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Al igual que en conversión binaria-decimal, para convertir un número

hexadecimal en decimal basta con sumar el valor de cada posición por 16𝑛 (siendo n el valor de la posición desde derecha hacia izquierda, partiendo desde cero) ponderada por su dígito respectivo.

Considerando el número hexadecimal "𝐹𝐴”, de dos dígitos,

FA⏟Base 16

= 15 ⋅ 161 + 10 ⋅ 160⏟ Base 10

Luego, FA⏟

Base 16

= 250⏟Base 10

Conversión entre números binarios y hexadecimales

Para expresar un numero binario en hexadecimal basta con agrupar el número binario cada 4 bits y transformar cada agrupación en su equivalente hexadecimal como indica la Figura .

Por ejemplo, para expresar el número binario 101101001010011111 en hexadecimal se deben agrupar los bits en grupos de 4 partiendo desde el bit menos significativo (el que se ubica más a la izquierda) y transformarlos de acuerdo con la tabla de la Figura , si el último grupo no alcanza para formar 4 bits se agregan ceros a la izquierda hasta alcanzar 4 elementos. En este caso el número binario 101101001010011111 se expresa en hexadecimal como:

101101001010011111 = 0010⏟ 2

1101⏟ 𝐷

0010⏟ 2

1001⏟ 9

1111⏟ 𝐹

= 2𝐷29𝐹

Note que para transformar un número hexadecimal a binario se procede de

forma análoga pero cada elemento hexadecimal se reemplaza por su equivalente binario utilizando la Figura . Por ejemplo, el número hexadecimal F4E en binario se representa por:

𝐹4𝐸 = 𝐹⏟1111

4⏟0100

𝐸⏟1110

= 1111 0100 1110

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Binario Hexadecimal Binario Hexadecimal

0000 0 1000 8

0001 1 1001 9

0010 2 1010 A

0011 3 1011 B

0100 4 1100 C

0101 5 1101 D

0110 6 1110 E

0111 7 1111 F

Figura 4: Conversión entre los primeros 16 números binarios a hexadecimal.

Lección 2: Funciones Booleanas Pt.1

Una función booleana es una relación entre múltiples entradas binarias, las cuales tiene como salida una variable binaria. Por ejemplo, el bloque de la Figura 5, tiene entradas binarias: a,b y c; y de salida del sistema la variable binaria z. Esta variable, al ser binaria, tiene valores “0” o “1” según los valores que tengan las entradas.

Figura 5: Representación de función booleana de tres entradas.

En la industria existen múltiples procesos que pueden ser descritos como

funciones booleanas, por lo que estudiar y comprender cómo funcionan, otorga una forma clara y simple de describir procesos.

Función Booleana

a

b

c

z

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Note que una función booleana debe estar definida para todas las combinaciones de las entradas. Por ejemplo, para una función de dos entradas (a y

b) existe un total de 22 = 4 combinaciones:

(𝑎, 𝑏) = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,0)}

Adicionalmente, para una función de 3 entradas (a,b y c) se tienen 23 = 8 combinaciones:

(𝑎, 𝑏, 𝑐) = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)} Por lo tanto, el número de combinaciones que se deben definir en una función

booleana de 𝑛-entradas es 2𝑛. ¿Cuántas combinaciones existen para una función booleana de 5 entradas? Respuesta: Al ser un sistema de 5 entradas, se tiene que𝑛 = 5. Luego, el número

de total de combinaciones es 25 = 32. Tablas de Verdad

Según lo dicho previamente, toda función booleana debe estar definida para todas las posibles combinaciones de sus entradas.

Una forma muy utilizada de representar las salidas de una función booleana es por medio de la tabla de verdad asociada a esta.

Considere la función booleana denominada “Negador”. En particular, esta

función es de una entrada, por lo que debe estar definida para 21 =2 combinaciones; además, esta función toma el valor de la variable de entrada y lo invierte. Lo anterior se refiere a que si la entrada es “1”, la salida de la función “Negador” otorga valor “0”. Luego, si la entrada tiene valor “0”, del mismo modo, la salida de la función es “1”. Considerando lo mencionado, la tabla de verdad asociada a esta función es

Entrada Salida

1 0

0 1

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La cual expresa, y resume, la función booleana.

Si consideramos una función de dos entradas, particularmente “𝑎” y “𝑏”, la salida

debe estar definida para las 22 = 4 posibles combinaciones. Luego, considere una función booleana de dos entradas donde la salida sólo adquiere valor “1” exclusivamente cuando ambas entradas tienen valor “1”. Luego, su tabla de verdad asociada es

𝑎 𝑏 Salida

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Donde expresa lo previamente mencionado.

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