FÍSICA I 2019 Curso: Dra. González INTEGRALES DE MOVIMIENTO

FÍSICA I 2019 Curso: Dra. González

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INTEGRALES DE MOVIMIENTO

REPASANDO CONCEPTOS Nota: trata de discutir y/o revisar tus respuestas a estas actividades con compañeros y docentes. 1.- ¿A qué magnitudes se les llama “integrales de movimiento” y por qué? ¿Son escalares o vectoriales? 2.- Enuncie el teorema del Impulso y la cantidad de movimiento. Explique que son los vectores Impulso y cantidad de movimiento lineal de un cuerpo puntual. 3.- Defina Trabajo Mecánico. ¿Es una magnitud escalar o vectorial? 4.- Escriba un breve párrafo en el que hagas referencia a ideas con relación al término "energía". 5.- Escriba un párrafo en el que exprese diferencias entre las ideas de energía cinética y cantidad de movimiento lineal. 6.- Un hombre tiene la mitad de la energía cinética que un niño que tiene la mitad de su masa. El hombre aumenta su velocidad inicial en 1 m/s y entonces su energía cinética es igual a la del niño. ¿Cuáles eran las velocidades iniciales de ambos? 7.- El Teorema de las Fuerzas Vivas dice que WTOTAL = ∆T. Traduzca en sus propias palabras dicho teorema. Señale los límites de validez del mismo. 8.- Usted está ayudando en una biblioteca colocando los libros en las estanterías. Levanta los libros desde el piso hasta el estante. La energía cinética del libro en el piso es cero, la energía cinética del libro en el estante es cero, entonces, no hay cambio en la energía cinética del libro. Aún así realiza trabajo al levantar el libro. ¿Se está violando el teorema de las fuerzas vivas en este caso? Explique su respuesta. 9.- Una esfera de masa m cae desde una altura h como se muestra en los diferentes gráficos. Despreciando las fuerzas debidas al rozamiento, describa el movimiento de la esfera para las diferentes situaciones y formule una hipótesis respecto de que factor(es) determina(n) la velocidad de la esfera cuando llega al piso. Justifique las respuestas. 10.- Explique por qué la energía mecánica total puede ser positiva o negativa, mientras la energía cinética es siempre positiva. 11.- Explique que es la energía potencial y cuál es su relación con un campo de fuerzas. ¿Cómo debe ser dicho campo? ¿Cualquier fuerza puede tener asociada una energía potencial? Explique y justifique las respuestas. Ilustre con ejemplos. Indique todas las relaciones matemáticas que existen entre fuerzas conservativas y energía potencial. 12.- ¿Cuándo una fuerza es no conservativa? Ilustre con ejemplos. 13.- Enuncie el teorema del trabajo y la energía. ¿Cuándo se dice que un sistema es conservativo? Explique las condiciones para que eso ocurra. 14.- Enuncie todos teoremas de conservación para las integrales de movimiento. ¿Qué significa que esa magnitud se “conserva”? ¿Cuál es la “ventaja” de usarlos?


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15.- Defina qué características tienen las fuerzas centrales y qué consecuencias provocan en los cuerpos que se mueven bajo su efecto exclusivo. 16.- Teniendo en cuenta los puntos indicados en la curva de energía potencial del gráfico anexo: a) Determine dónde la fuerza Fx es positiva, negativa, o nula. b) Indique los puntos de equilibrio estable e inestable. c) Grafique cualitativamente Fx vs x entre x = 0 cm y x = 9,5 cm.

PROBLEMAS DE APLICACION Problema 1 Se lanza hacia el bateador una bola de béisbol de 120 g, con una velocidad de 12 m/s en dirección horizontal. Después que el bate golpea la pelota, ésta tiene una velocidad de módulo 36 m/s, formando un ángulo de 40° con la horizontal. Si el contacto dura 0,025 s: a) Calcular el impulso ejercido por el bate sobre la bola. b) Calcular la fuerza impulsiva promedio ejercida por el bate durante el

impacto. Problema 2 Un cuerpo de 7 kg se mueve sobre un plano horizontal liso con una velocidad de 2,5 m/s cuando se aplica una única fuerza horizontal F, perpendicular a la dirección inicial del movimiento. Si F varía según se muestra en el gráfico, permaneciendo constante en dirección: a) Calcular el impulso de la fuerza F entre los tiempos t = 0 y t = 1 s. b) Calcular el impulso de la fuerza F entre los tiempos t = 0 y t = 3 s. c) Hallar el vector velocidad del cuerpo en los instantes t = 1 s y en t =

2,5 s. Problema 3 Se aplica una fuerza F que dura 20 s a un cuerpo de 500 kg de masa. El cuerpo está inicialmente en reposo y adquiere una velocidad de 0,5 m/s como resultado de la aplicación de esa fuerza. Si esta aumenta durante 15 s linealmente con el tiempo a partir de cero y luego disminuye a cero en los cinco segundos restantes y suponiendo que la fuerza F es la única que actúa sobre el cuerpo: a) Hallar el impulso en el cuerpo causado por la fuerza. b) Hallar la máxima fuerza ejercida por el cuerpo. c) Encontrar el área bajo la curva F(t). ¿Coincide este valor con el

resultado de (a)? Problema 4 Una masa de 2 kg se mueve de derecha a izquierda a lo largo de la recta y = 0,5 m, con un vector velocidad V1 = - 10 m/s i. a) Determinar el vector momento angular respecto de Q. ¿Permanece constante? Justificar brevemente. b) Si en el instante que pasa por la posición x = 1 m recibe un impulso de

manera que cambia su velocidad al vector V2 = 6 m/s j, determinar: 1) El cambio en el vector cantidad de movimiento. 2) El cambio en el vector momento angular respecto de Q.


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Problema 5 Una pelota de m = 1 kg es lanzada con una velocidad horizontal de módulo 10 m/s desde una terraza de 50 m de altura. a) Determinar el vector momento angular L, respecto de O(xyz), fijo en la base de la

torre, para: 1) el instante del lanzamiento; 2) cuando está a 25 de altura.

b) ¿Permanece el vector momento angular L constante? Justificar. Problema 6 La figura muestra la órbita elíptica que sigue un satélite sometido a la interacción con el campo gravitatorio terrestre. Su velocidad en el perigeo, situado a 385 km de altura, es vp = 33870 km/h. Determinar: a) La velocidad del satélite en su apogeo (punto A). b) La componente transversal de la velocidad del satélite en el punto B

de la orbita. c) La componente radial y el vector velocidad del satélite en el punto

B de la orbita. NOTA: Radio de la Tierra = 6380 km; Constante de Gravitación Universal G = 6,67x10-11 Nm2 kg-2; MTierra = 5,98x1024 kg.

Problema 7 Un cuerpo de 1 kg se mueve sobre una mesa horizontal libre de rozamiento, describiendo una trayectoria circular de 50 cm de radio con una velocidad de 2 m/s, sometida a la acción de una fuerza F mediante una cuerda. a) ¿Cuál es el valor de F que mantiene el movimiento? b) Si se aplica una fuerza k-veces mayor que la obtenida en a), ¿cuál

será el mínimo valor de k que permita al cuerpo alcanzar una distancia radial r = 25 cm ?

c) Demostrar que en el caso del inciso anterior, el cuerpo realiza un movimiento oscilatorio en la dirección radial.

d) Determinar el valor de k que mantiene al cuerpo en la trayectoria circular de 25 cm de radio. Problema 8 Un cuerpo de masa m = 400 kg desliza a lo largo del eje x; parte del reposo y es impulsado por dos fuerzas, F1 y F2 , como muestra la Figura 1. El módulo de la fuerza F1 varía con la posición x, como se indica en la Figura 2, mientras que F2

permanece constante, siendo su módulo de 1000 N. a) Determinar el trabajo mecánico realizado por F1 cuando el cuerpo se

desplaza desde la posición x = 0 hasta x = 9 m. b) Determinar el trabajo realizado por F2 en el mismo intervalo. c) Calcular el trabajo total realizado por ambas fuerzas en ese intervalo. d) Calcular la velocidad del cuerpo al llegar a la posición x = 9 m. Problema 9 Los cuerpos m1 y m2 están unidos mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable; la polea es ideal. El sistema parte del reposo cuando el cuerpo m1 está a una altura H del piso. a) Calcular el trabajo del campo gravitatorio sobre cada cuerpo desde el instante

inicial hasta que el cuerpo m1 ha recorrido una distancia h = H/2. b) Calcular el trabajo realizado por la cuerda sobre cada cuerpo para el mismo

desplazamiento. c) Calcular el trabajo total sobre el sistema.


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d) Calcular la variación de la energía cinética de cada cuerpo. e) Determinar la velocidad de cada cuerpo en el instante solicitado en (a). f) Calcular lo solicitado anteriormente sabiendo que m1 = 200 g, m2 = 100 g y H = 125 cm. Problema 10 La figura muestra un cuerpo de masa m que se deja caer a lo largo de una superficie curva libre de rozamiento para interactuar con un resorte de constante elástica k, fijo a la pared y apoyado sobre una superficie horizontal rugosa con coeficiente de rozamiento dinámico µd. a) Obtener una expresión para la mínima altura H desde donde deberíamos dejar caer el cuerpo de

masa m, si se desea producir una deformación x0 en el resorte. b) En ese caso, ¿cuál será la velocidad del cuerpo al comenzar la

interacción con el resorte? c) Calcular el trabajo mecánico que la fuerza de rozamiento, la fuerza

gravitatoria y la fuerza elástica realizan sobre el cuerpo desde el instante inicial hasta que el cuerpo se detiene momentáneamente al comprimir el resorte.

Problema 11 Un péndulo, de masa m = 1 kg y longitud L, se deja en libertad desde la posición horizontal. Cuando llega a la posición vertical encuentra un clavo Q, ubicado debajo del punto de suspensión O, a una distancia d = 2/3 L, que lo obliga a cambiar la trayectoria. a) Determinar si el cuerpo m puede realizar una vuelta completa

alrededor de Q. b) Si puede hacerlo, determinar con que velocidad pasa por los

puntos A, B y C. c) En este caso, ¿cuál es la tensión en la cuerda al pasar por cada

punto? Problema 12 La figura muestra una pista, libre de rozamiento, contenida en un plano vertical, formada por un tramo parabólico seguido de una pista circular de radio R. Desde cierta altura H, se dejan caer cuerpos de masa m, de manera que podrán recorrer la pista curvada y entrar a la pista circular. a) Obtener una expresión para la mínima altura H desde donde deben caerlos cuerpos para que

completen el tramo circular sin despegarse del mismo. b) Si el cuerpo se despega cuando pasa por una posición angular β,

¿desde que altura inició su movimiento? c) Si se deja en libertad desde una altura igual al doble de la

determinada en el inciso (a), determinar la velocidad con que pasa por el punto más alto de la pista circular y cual es la fuerza contra la pista.

d) En este último caso, ¿con qué velocidad llega a la base de la pista curva?

Problema 13 El cuerpo de masa m está unido a una cuerda elástica de constante k cuyo extremo está sujeto al punto O; dicho punto pertenece a la prolongación imaginaria de un círculo de radio R, similar a la parte real del casquete esférico de igual radio R y de masa M, dentro del cual puede moverse el cuerpo m. El bloque M está apoyado en el plato de una balanza y la superficie es lisa. Suponiendo que el cuerpo m, se deja en libertad en el punto A y que en ese instante la cuerda esta sin deformar: a) Obtener el valor mínimo de la masa m, para que se mantenga en contacto

con el casquete.

O

A

balanza

L O

Q C A

B

HA β

A

B

C

D


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b) Si se da la condición de masa mínima, determinar las componentes normal y tangencial del vector aceleración del cuerpo cuando pasa por la parte inferior del casquete.

c) Determinar la lectura en la balanza. d) Si la masa suspendida fuera el doble de la masa mínima, ¿cual sería entonces la lectura en la balanza

al pasar el cuerpo por la parte inferior del casquete? Problema 14 Un cuerpo de masa m se desplaza con velocidad vo sobre una superficie horizontal libre de rozamiento cuando choca contra un resorte de constante elástica k. a) Obtener expresiones para la energía cinética y potencial del sistema en función de la posición del

cuerpo. Considerar x = 0 cuando se inicia la interacción con el resorte. b) Determinar la posición del cuerpo cuando inicia el retroceso. c) Realizar gráficas cualitativas para las funciones obtenidas en (a). d) Suponiendo que existiese rozamiento entre el cuerpo y la superficie,

repetir los incisos (a), (b) y (c) para un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,20. Problema 15 Una esfera de 2,5 N de peso se ata a un punto fijo “O” por medio de una cuerda elástica de constante 15 N/m y de 0,5 m de longitud original (ver figura). La esfera puede deslizarse sobre una superficie lisa. Si se coloca en un punto A, a 1 metro de O, y se le imprime una rapidez de 2 m/s en dirección perpendicular a OA, determinar: a) La magnitud de su velocidad después de que la cuerda se encoge. b) La distancia “d” más pequeña con relación a O, a la cual llega la esfera. Problema 16 Un cuerpo de masa m se mueve con velocidad vo, cuando se encuentra a una distancia D de un resorte de constante elástica k. La pista horizontal tiene un rozamiento de coeficientes estático y dinámico no nulos, y a determinar. a) Al llegar al resorte, el cuerpo ha perdido por rozamiento el 30% de la energía cinética inicial. ¿cuál

es la velocidad con que choca contra el resorte? b) ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento dinámico entre cuerpo y pista? c) ¿Cuál es la máxima deformación que se produce en el resorte, si el

coeficiente de rozamiento sigue siendo el mismo? d) Si inicia el retroceso, ¿con que velocidad abandona al resorte? e) ¿Qué distancia recorre hasta detenerse? f) Calcular el trabajo mecánico que cada una de las fuerzas presentes realiza sobre el cuerpo a lo largo

desde antes de comprimir el resorte hasta que finalmente se detiene. g) Realizar gráficas cualitativas que muestren la variación de las distintas formas de energía

involucradas, en función de la distancia x. Problema 17 Un cuerpo de masa m = 10 kg tiene una velocidad v = 15 m/s cuando comienza a subir por una rampa inclinada a 30°. Sabiendo que la rampa tiene coeficientes de rozamiento estático y dinámico de 0,35 y 0,25, respectivamente, a) Determinar la distancia recorrida sobre la rampa antes de

detenerse. b) ¿Bajo que condiciones el cuerpo puede iniciar el descenso? Justificar la respuesta. c) Si el cuerpo inicia el descenso, calcular su velocidad al regresar al punto de partida. d) Calcular el trabajo mecánico que cada una de las fuerzas presentes realiza sobre el cuerpo a lo largo

de todo su movimiento (desde antes de subir la rampa hasta que desciende de la misma).


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Problema 18 Una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza atractiva que varía con el inverso del cuadrado: F = -k/r2. La trayectoria es una circunferencia de radio r. Demostrar que: a) La energía total es E = -k/2r, b) El módulo de la velocidad es v = (k/mr)½, c) El módulo del vector momento angular es L = (mkr) ½. Problema 19 Un cohete lanza una cápsula espacial de m = 220 kg, en un punto A con una velocidad VA = 13000 km/h a una altura de 40 km. Cuando la cápsula ha recorrido una distancia de 320 km a lo largo de su trayectoria espacial, su velocidad es VB = 12200 km /h a una altura de 64 km. Considerando el centro de la Tierra como fijo en el espacio y un radio terrestre de 6370 km: a) Hallar el módulo de la fuerza resistente promedio que la atmósfera

enrarecida ejerce sobre la cápsula. b) Calcular el trabajo mecánico que la fuerza gravitatoria realiza cobre

la cápsula al ir del punto A al punto B. Problema 20 Mediante el lanzamiento desde un casquete polar, un cohete impulsa una sonda espacial, verticalmente hacia arriba, de manera que al finalizar la combustión el sistema se encuentra a H = 250 km de la superficie terrestre, desplazándose con un vector velocidad V = 25000 km/h, instante a partir del cual queda sometido únicamente a la interacción con el campo gravitatorio terrestre. Mediante criterios de energía. a) Obtener una expresión para la velocidad de la sonda en función de su distancia al

centro de la Tierra. b) Determinar la máxima altura alcanzada por la sonda. c) Determinar la velocidad de impacto con la superficie terrestre (en el viaje de retorno). d) Determinar qué velocidad debería haber alcanzado a los 250 km de altura si

deseáramos que la sonda escape del campo gravitatorio terrestre. Problema 21 Un satélite de masa 2000 kg se mueve en una orbita circular alrededor de la Tierra está a una distancia a la superficie de 300 km. Sabiendo que RT = 6380 km, MT = 5,98x1024 kg y G = 6,67x10-11 Nm2/kg2: a) ¿Cuál es la velocidad del satélite en esa orbita? b) ¿Cuál es el momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra? ¿Es constante? Justificar. c) ¿Cuál es la energía total del satélite en dicha orbita? d) Control de tierra quiere que el satélite se mueva a una nueva orbita a 500 km sobre la superficie del

planeta. Ellos proponen que los motores se enciendan por varios segundos en dirección al centro de la Tierra; esto es, la fuerza sobre el satélite esta directamente dirigida alejándose del centro de la tierra. Calcular el momento del satélite respecto del centro de la Tierra.

Problema 22 Una partícula de m = 4 g está sometida a un Campo de Fuerzas de manera que se mueve a lo largo del eje x. La Energía Potencial Φ(x) asociada a dicho campo varía con la posición ocupada por el cuerpo, como lo sugiere la figura. Cuando la partícula pasa por la posición x = 10 cm, moviéndose hacia el origen, lo hace con una energía cinética T = 5 ergios. a) Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por x = 4 cm y x = 8 cm. b) Determinar en que posición se invierte el movimiento c) Si al pasar por x = 4 cm, pierde 3 ergios de su Energía total ¿qué movimiento tendrá posteriormente?

A

B

HA HB

! H

V


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d) Si tiene una Energía mecánica E = 9 ergios. ¿En que zona podría moverse y con qué tipo de movimiento? Justificar adecuadamente.

____________________________________________________________________________________ PROBLEMAS DESAFIO 1.- Consideremos el movimiento del pasador A de masa m, sobre la superficie lisa de la curva expresada como: r = b - c cos(θ) con b y c constantes. Suponiendo que el movimiento tiene lugar en un plano vertical, que el brazo ranurado gira en sentido anti-horario con velocidad angular constante, que el resorte tiene una constante elástica k y que está sin deformar en θ = 0. Determinar para el movimiento del pasador desde θ = 0 hasta θ = 90°: a) La variación de la energía cinética. b) La variación de la energía potencial elástica en el mismo intervalo. c) La variación de la energía potencial gravitatoria. d) El trabajo realizado por el brazo ranurado. 2.- Un satélite artificial de masa m describe una trayectoria circular de radio ro alrededor de la Tierra. a) ¿Se conserva la energía mecánica de la orbita que describe el satélite?

Justifique. b) ¿Se conserva el vector momento angular del satélite respecto del centro

de la Tierra? Justifique. c) Determine el módulo de la velocidad del satélite en la orbita circular. d) ¿Cuál debe ser el cambio en su energía cinética para que pase a describir

una órbita elíptica cuyo apogeo A’ este a 2ro? e) ¿Qué cambio se le debe dar a su velocidad para que pase a describir una

órbita circular de radio 2ro? ADICIONAL Sobre una partícula actúa la fuerza F = ( y2 – x2 )i + (3.x.y)j. Hallar el trabajo efectuado por la fuerza al moverse la partícula del punto (0,0) al punto (2,4) siguiendo las siguientes trayectorias: a) a lo largo del eje X desde (0,0) hasta (2,0) y, paralelamente al eje Y, hasta (2,4); b) a lo largo del eje Y desde (0,0) hasta (0,4) y, paralelamente al eje X hasta (2,4); c) a lo largo de la recta que une ambos puntos; d) a lo largo de la parábola y = x2.

¿Es conservativa esta fuerza? Justifique. -.-

Φ(ergios)

10

3

4

x (cm)

10

6

8

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