13.09.2018

1

Füüsika

Mehaanika alused

Ringliikumine

Nurkkiirus ja -kiirendus

Lihtsamaks kõverjooneliseks liikumiseks on

ringliikumine, ehk liikumine, mille trajektooriks on

ringjoon. Sel juhtumil trajektoori kõverusraadius ei

muutu ajas.

Tähistades konstantse kõverusraadiuse tähega R

saame normaalkiirenduse avaldada

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅.

Ringliikumisel nimetatakse seda tavaliselt

kesktõmbekiirenduseks, sest ta on suunatud ringi

keskpunkti.

Ringjoonelistest on kõige lihtsam ühtlane ringliikumine.

Selle puhul 𝑎𝜏 = 0 . Kiirus ei muutu suuruse poolest, suund aga muutub. Seetõttu 𝑎𝑛 ≠ 0 .

13.09.2018

2

Punkti asukohta ringjoonel võib määrata ka nurgaga 𝜑 .

Kui koordinaatide alguspunkt O on ringi tsentris, siis

kohavektor muutub ainult suuna poolest. Olgu see aja ∆𝑡jooksul pöördunud nurga ∆𝜑 võrra. Ajaühikus sooritatud pöördenurk on siis Τ∆𝜑 ∆𝑡 . Seda nimetatakse keskmiseks nurkkiiruseks ajavahemikul ∆𝑡 või kaarel A1A2.

Vähendame ajavahemikku piiramatult

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜑

∆𝑡=

𝑑𝜑

𝑑𝑡= ሶ𝜑 = 𝜑′ .

See on nurkkiirus punktis A1 või ajahetkel t1, ehk hetknurkkiirus.

Leiame seose kiirusega 𝑣 , mida nurkkiiruse kasutamisel nimetatakse lineaar- ehk joonkiiruseks. Selleks avaldame

kesknurga ∆𝜑 kaarepikkuse ∆𝑠 = A1A2 kaudu

∆𝜑 =∆𝑠

𝑅

Siis

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

𝑅∙∆𝑡=

1

𝑅lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡=

𝑣

𝑅.

Seega

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 .

13.09.2018

3

Joonkiirus näitab ajaühikus läbitavat kaarepikkust,

nurkkiirus aga ajaühikus raadiuse poolt moodustatud

pöördenurka. Seetõttu ongi nendevaheline seos täpselt

samasugune nagu kaarepikkuse ja sellele vastava

kesknurga vahel: ∆𝑠 = ∆𝜑𝑅.

Seda võrdust ajaga jagades saamegi ühel pool

võrdusmärki joonkiiruse ja teisel pool R kordajana

nurkkiiruse 𝜔 .

Valem 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 kehtib ka meelevaldsel kõverjoonelisel liikumisel, siis tuleb R asendada muutuva

kõverusraadiusega r.

Valemi 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 abil võib normaalkiirenduse avaldada nurkkiiruse kaudu

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅= 𝜔2 ∙ 𝑅

Tangentsiaalse kiirenduse jaoks leiame

𝑎𝜏 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑 𝜔 ∙ 𝑅

𝑑𝑡= 𝑅 ∙

𝑑𝜔

𝑑𝑡

Saadud nurkkiiruse tuletist aja järgi nimetatakse

nurkkiirenduseks 𝜀. Siis

𝑎𝜏 = 𝜀 ∙ 𝑅

Sarnasuse tõttu seosega 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 nimetatakse 𝑎𝜏 tihti

joonkiirenduseks. Ühtlase ringliikumise puhul kui 𝑎𝜏 = 0, on ka 𝜀 = 0 .

13.09.2018

4

Pöörlemist kirjeldavate suuruste vektoriseloom

Kiiruse Ԧ𝑣 , kiirenduse Ԧ𝑎 , tangentsiaal- Ԧ𝑎𝜏 ja normaalkiirenduse Ԧ𝑎𝑛 vektoriaalsus selgus juba eelnevalt. Osutub, et ka nurk 𝜑 , nurkkiirus 𝜔 ja nurkkiirendus 𝜀 on vektorid. See tuleneb asjaolust, et pöördenurga arvväärtus üksinda ei anna meile täit

ettekujutust pöördest. Keha võib pöörduda ümber

mitmesuguse telje. Seepärast on vaja näidata ka telje

asendit ruumis, mille ümber toimub pöörlemine. Telje üks

suundadest omistataksegi nurgavektorile 𝜑 . Suund valitakse kruvireegli järgi.

Kruvireegel

Kui pöördenurk on vektor, siis sellest võetud tuletis aja

järgi st nurkkiirus 𝜔 on samuti vektor.

Analoogiliselt leiame, et ka nurkkiirendus Ԧ𝜀 on vektor.

𝜔 on alati nurgavektoriga samasihiline, kuid Ԧ𝜀 ei lange üldiselt kokku pöörlemisteljega.

Teljesihiline on see ainult fikseeritud telje puhul. Sel juhul

on Ԧ𝜀 nurkkiirusvektori 𝜔 suunaline kiireneva ja vastassuunaline aeglustuva pöörlemise korral.

13.09.2018

5

Joonisel kujutatakse

kiirenevat pöörlemist. Ԧ𝑎𝜏 on kiiruse Ԧ𝑣 suunaline ja Ԧ𝜀 -nurkkiiruse 𝜔 suunaline.

Pöörlemistelje asendi

muutumisel võib Ԧ𝜀 omada kõikvõimalikke teisi

asendeid 𝜔 suhtes. Sel juhul nurkkiirendus näitab

nii 𝜔 suuruse kui ka suuna muutumise kiirust.

Vektorite Ԧ𝑎 ja 𝑏 vektorkorrutist tähistatakse Ԧ𝑎 × 𝑏. Kahe vektori

Ԧ𝑎 ja 𝑏 vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏,

mille mooduliks ehk pikkuseks on vektori Ԧ𝑎 ja 𝑏 servadele ehitatud rööpküliku pindala: c=ab∙sinα, kus α on vektorite Ԧ𝑎 ja

𝑏 vaheline nurk.

Vektor Ԧ𝑐 on risti nii vektori Ԧ𝑎 kui ka vektoriga 𝑏.Vektori Ԧ𝑐 suund on määratud parema käe kruvireegliga: vektori Ԧ𝑐 suund ühtib kruvi edasinihkumise suunaga, kui

esimene vektor Ԧ𝑎 keerata lühimat teed pidi vektori 𝑏 peale.

Matemaatikast

13.09.2018

6

Valime koordinaattelgede alguspunkti O

pöörlemisteljel. Pöörleva punkti

asukohta näitab kohavektor Ԧ𝑟. Võime valemi 𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 üles kirjutada vektorkujul

Ԧ𝑣 = 𝜔 × Ԧ𝑟, sest Ԧ𝑣 on tõepoolest risti nii 𝜔 kui ka Ԧ𝑟 -ga ja selle suuruse saab vektorkorrutise

reeglite järgi leida valemist

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝜔 ∙ 𝑅.

Analoogiliselt võib üles kirjutada ka valemid

𝑎𝑛 =𝑣2

𝑅= 𝜔2 ∙ 𝑅 kujul Ԧ𝑎𝑛 = 𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟

𝑎𝜏 = 𝜀 ∙ 𝑅 kujul Ԧ𝑎𝜏 = Ԧ𝜀 × Ԧ𝑟.Oluline on siin see, et tegurite järjekord on tähtis.

Tahke keha kulgev ja pöörlev liikumine

Liikumisülesannetes käsitletakse tahket keha tavaliselt

ainepunktidest koosnevana, kusjuures nende

vahekaugused on muutumatud. Sel juhul võib keha

meelevaldse liikumise lahutada kaheks lihtsamaks

liikumiseks (kulg- ja pöördliikumiseks), mis toimuvad

teineteisest sõltumatult.

Kulgliikumisel jäävad kõik ainepunkte ühendavad

mõttelised sirged kogu liikumise kestel iseenesega

paralleelseks.

Pöördliikumisel moodustavad kõik ainepunktid ringjooni

ümber ühise telje, mida nimetatakse pöörlemisteljeks.

13.09.2018

7

Kulgliikumisel on keha kõigi punktide trajektoorid

ühesugused. Seetõttu on ühesugused nii kiirused kui ka

kiirendused. Kogu keha liikumist võib kirjeldada ainult ühe

punkti liikumisega. Tavaliselt võetakse selleks punktiks

keha massikese.

Pöördliikumisel ei ole kõigi punktide trajektoorid

ühesugused. Need on ringjooned, kuid raadiused on

ringjoontel erinevad. Sellest tulenevalt on erinevad ka

joonkiirused ja –kiirendused. Ühesugune on nii

pöördenurk, nurkkiirus kui ka nurkkiirendus. Sellepärast

eelistatakse kehade pöörlemise kirjeldamisel nurksuurusi.

Joonsuurused on neist kergesti leitavad, need on

võrdelised pöörlemisraadiusega.

Ainepunkti ja tahke keha kulgliikumise dünaamika

Inertsiseadus ja inertsiaalsed taustsüsteemid

Füüsika seadused sõnastatakse tavaliselt ideaalsete

objektide või ideaalsete protsesside kohta.

Newtoni I ehk inertsiseaduses vaadeldakse ideaalset

liikumist, mis on vaba igasugustest takistustest ja

mõjutustest.

Iga keha püsib paigal või liigub ühtlaselt

sirgjooneliselt seni, kuni teiste kehade mõju ei muuda

sellist liikumisolekut.

Kui teised kehad püüavad sellist olekut muuta, siis

avaldab ta vastupanu – püüab takistada teisi kehi oma

liikumisolekut muutmast.

Kõigi kehade visa püüdu säilitada paigalseisu või

ühtlase sirgjoonelise liikumise olekut nimetatakse

inertsiks.

13.09.2018

8

Füüsikalist suurust, millega mõõdetakse kehade

inertsust, nimetatakse massiks. Tavaliselt tähistatakse

massi tähega m.

Inertsiseaduses räägitakse paigalseisust ja liikumisest.

Need mõisted ei ole aga absoluutsed. Keha on paigal

või liigub mingi taustsüsteemi suhtes. Kas näiteks

kiirendusega liikuvas taustsüsteemis kehtib

inertsiseadus. Ilmselt ei.

Kui aga taustsüsteem ise liigub ühtlaselt ja

sirgjooneliselt, st on välismõjudest vaba, siis on olukord

teine.

Materiaalset taustsüsteemi, milles inertsiseadus

kehtib täiesti täpselt, nimetatakse inertsiaalseks

taustsüsteemiks.

Inertsiseaduse kontroll võimaldabki kindlaks teha, kas

taustsüsteem liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või mitte. Kui

see liigub kiirendusega, siis ka kõik vabad kehad liiguvad

selles kiirendusega, ainult süsteemi kiirendusele

vastupidisega. Need säilitavad ühtlast sirgjoonelist

liikumist, mistõttu taustsüsteemi suhtes näivad liikuvat

kiirendusega. Meile tundub, et kehale mõjub jõud, sest

ainult jõu mõjul toimub kiirendusega liikumine. Sellist jõudu

nimetatakse inertsijõuks.

Vabale kehale mõjuv inertsijõud ei ole siiski reaalne jõud,

näiteks inertsijõud ei põhjusta vaba keha deformeerumist.

Alles põrkumisel mingi kehaga hakkab mõjuma reaalne

jõud, mis sunnib muutma ühtlast sirgjoonelist liikumist

inertsiaalse taustsüsteemi suhtes. Kuid see jõud ei ole

inertsijõud. Inertsijõud mõjutab teisi kehi, mis ei võimalda

kehal jätkata endist liikumist. Nüüd pole keha enam vaba.

13.09.2018

9

Absoluutselt inertsiaalseid looduslikke taustsüsteeme ei ole

olemas. Tavaliselt loetakse inertsiaalseks Maaga seotud

süsteemi. Maa pöörlemise kiirendus – kesktõmbekiirendus

on Maa suure raadiuse tõttu väike, mistõttu ei avaldu

praktilistel juhtudel, täppismõõtmistel aga küll.

Kui üks vajaliku täpsusega inertsiaalne taustsüsteem on

leitud, siis on inertsiaalne ka iga teine süsteem, mis liigub

esimese suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

St inertsiaalseid taustsüsteeme saab põhimõtteliselt olla

kuitahes palju. Näiteks praktiliselt inertsiaalsed on Maaga ja

selle pinnal ühtlaselt liikuva kehaga seotud taustsüsteemid.

Liikumishulk, jõud ja impulss. Newtoni II seadus

Inertsiseaduse puhul rääkisime keha liikumisolekust ja

selle muutumisest.

Katsed ja muu praktika näitab, et keha liikumist on raske

muuta, kui keha mass on suur ja see liigub suure

kiirusega. Seetõttu on füüsikas kasutusele võetud

liikumisolekut iseloomustav suurus, mis võrdub massi ja

kiiruse korrutisega

𝐿 = 𝑚 ∙ Ԧ𝑣

Seda suurust nimetatakse liikumishulgaks. 𝐿 on kiiruse suunaline vektor, sest kiirus on korrutatud skalaarse

suurusega – massiga.

Keha liikumishulk muutub ainult teiste kehade mõjul. Mõju

iseloomustamiseks võetakse kasutusele suurus, mida

nimetatakse jõuks.

13.09.2018

10

Jõud on füüsikaline suurus, millega mõõdetakse ühe

keha mõju teisele, mille tulemusena muutub nende

liikumishulk.

Jõud on seda suurem, mida kiiremini see liikumishulka

muudab. Seepärast võibki jõu avaldada liikumishulga

tuletisena

Ԧ𝐹 =𝑑𝐿

𝑑𝑡Jõud on võrdeline ajaühikus toimuva liikumishulga

muutusega.

Sisuliselt on see Newtoni II seadus, sest võime kirjutada

(juhul kui mass on konstantne)

Ԧ𝐹 =𝑑 𝑚 ∙ Ԧ𝑣

𝑑𝑡= 𝑚 ∙

𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡= 𝑚 ∙ Ԧ𝑎

Tihti kirjutataksegi Newtoni II seadus kujul

𝑑 𝑚 ∙ Ԧ𝑣 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑𝑡Vasakpoolne avaldis on liikumishulga muutus,

parempoolset – jõu ja selle mõjumisaja korrutist –

nimetatakse jõuimpulsiks. Seetõttu sõnastatakse

Newtoni II seadus järgmiselt

Liikumishulga muutus on võrdeline jõuimpulsiga ja

toimub jõu mõjumise suunas.

Kehale hakkab mõjuma jõud Ԧ𝐹. Aja dt möödudes on keha

liikumishulk muutunud

jõuimpulsi Ԧ𝐹𝑑𝑡 võrra, mille suund langeb kokku jõu

suunaga.

13.09.2018

11

Seost 𝑑 𝑚 ∙ Ԧ𝑣 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑𝑡 nimetatakse ka liikumishulga muutumise seaduseks.

See on üldisem kui Ԧ𝐹 = 𝑚 ∙ Ԧ𝑎 , sest kehtib ka muutuva massiga kehade liikumisel.

Sellisel juhul

𝑑 𝑚 Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣𝑑𝑚 +𝑚𝑑 Ԧ𝑣

Kuna liikumishulk 𝑚 Ԧ𝑣 otseselt seotud jõuimpulsiga ehk lihtsalt impulsiga (ühe muutus on võrdne teisega), siis

nimetatakse ka 𝑚 Ԧ𝑣 impulsiks.

Ainepunktide süsteemi dünaamika. Newtoni III seadus

Reaalse keha või kehade süsteemi liikumise kirjeldamisel

on mõnikord kasulik vaadelda seda ainepunktidest

koosnevana. Ainepunktide vahel mõjuvad jõud. Süsteemi

võidakse mõjutada ka väljastpoolt (näiteks

gravitatsioonijõuga).

Seepärast jaotatakse ainepunktile mõjuvad jõud kaheks –

sise- ja välisjõududeks.

Sisejõud mõjuvad süsteemi või keha osade vahel, välisjõud

– antud süsteemi osade ja sellest väljaspool asuvate

kehade vahel. Kehade mõju on alati vastastikune. Seda

väljendab Newtoni III seadus.

Mõjuga kaasneb alati võrdne ja vastassuunaline

vastumõju.

13.09.2018

12

Kui üks keha (või ainepunkt) mõjutab teist jõuga Ԧ𝐹21 ja

teine esimest jõuga Ԧ𝐹12, siisԦ𝐹12 = − Ԧ𝐹21

Kumba neist nimetada mõjuks, kumba vastumõjuks, ei ole

mitte millegagi määratud. Vaatleja seisukohalt on see vahel

võimalik.

Üheks mõju ja vastumõju paari näiteks on kesktõmbe- ja

kesktõukejõud.

Kesktõmbejõud (varras)

annab kerale kesktõmbe-

ehk normaalkiirenduse.

Kesktõukejõud on kera

vastumõju vardale.

Kui summeerida kõik süsteemi osadele mõjuvad

sisejõud, saame tulemuseks nulli. See on järeldus

Newtoni III seadusest – jõud koonduvad summas

paarikaupa välja.

Vaatleme N ainepunktist koosnevat süsteemi. Olgu

𝑚𝑖 - i-nda ainepunkti mass (i=1,2,3,…N)

𝑣𝑖 - i-nda ainepunkti kiirus,

𝑓𝑖 - i-ndale ainepunktile mõjuv jõud (üldjuhul sise- ja välisjõudude summa).

Siis võime iga ainepunkti kohta kirjutada Newtoni II

seaduse

𝑑 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 = Ԧ𝑓𝑖𝑑𝑡

13.09.2018

13

Summeerime need N võrdust

𝑖=1

𝑁

𝑑 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 =

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝑓𝑖𝑑𝑡

ja teisendame

𝑑

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 = 𝑑𝑡

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝑓𝑖

Saime kaks summat

𝐿 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖

- süsteemi liikumishulga ja

Ԧ𝐹 =

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝑓𝑖

Kuna sisejõudude summa on null, siis

Ԧ𝐹 =

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝑓𝑖

on süsteemile mõjuv välisjõudude resultant.

Süsteemi liikumishulga 𝐿 võime omistada ühele punktile süsteemis, kui samasse punkti koondada kogu süsteemi mass

M, mis on ainepunktide masside summa

𝑀 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖

𝐿 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖𝑑Ԧ𝑟𝑖𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 = 𝑀𝑑

𝑑𝑡

σ𝑖=1𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖𝑀

13.09.2018

14

Tähistame sulgudes oleva avaldise Ԧ𝑟𝑀 -ga

Ԧ𝑟𝑀 =1

𝑀

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖

Seega saame, et

𝐿 = 𝑀𝑑 Ԧ𝑟𝑀𝑑𝑡

= 𝑀 ∙ Ԧ𝑣𝑀

Nii ongi süsteemi liikumishulk omistatud punktile

massiga M, mille asukohta näitab kohavektor Ԧ𝑟𝑀ja liikumiskiiruseks on Ԧ𝑣𝑀 , kohavektori tuletis aja järgi. Seda punkti nimetatakse süsteemi

massikeskmeks või inertsikeskmeks.

Arvestades kasutusele võetud tähistusi võtab algselt

kirjutatud summade võrdsus kuju

𝑑 𝑀 ∙ Ԧ𝑣𝑀 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑𝑡

- süsteemi massikeskme jaoks kehtib täpselt sama Newtoni

II seadus, mis ühe ainepunkti puhul. Eelpool esitatud seost

tuntakse ka massikeskme liikumise seadusena. Sellest

tuleneb veel, et kogu süsteemile rakendatud jõudude

summa, resultantjõu Ԧ𝐹 võime samuti rakendada massikeskmele.

NB! Käsitletud dünaamika käis kulgliikumise kohta.

Süsteem asus tingimustes, kus ei tekkinud pöörlevat

liikumist.

13.09.2018

15

Liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus

Süsteemi massikeskme liikumise seaduse abil võime

lihtsalt jõuda liikumishulga jäävuse seaduseni.

Vaatleme juhtumit, mille puhul süsteemile välisjõudusid ei

mõju, st Ԧ𝐹 = 0. Sellist süsteemi nimetatakse suletuks või isoleerituks. Valemist

𝑑 𝑀 ∙ Ԧ𝑣𝑀 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑𝑡järeldub, et sellisel juhul

𝑑 𝑀 ∙ Ԧ𝑣𝑀 = 0- süsteemi liikumishulk ei muutu, see on konstantne ajas

𝑀 Ԧ𝑣𝑀 =

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Tavaliselt väljendatakse seda seaduspärasust lausega

- suletud süsteemi liikumishulk on jääv.

Liikumishulk on vektoriaalne suurus. Seepärast on vektor

ka võrduses olev konstant. Vektor on konstantne ainult siis,

kui selle kõik komponendid on eraldi võetuna konstantsed.

Seepärast kehtib seadus ka eraldi mingi ühe liikumissuuna

kohta. Teistes sõltumatutes suundades võivad mõjuda jõud

ja nendes liikumishulk ei ole jääv.

Liikumise sihis (näiteks x-telje sihis) võib kehtida

liikumishulga jäävuse seadus

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖𝑣𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑥

Sama võib kehtida ka teiste koordinaattelgede sihis.

Suletud kehade süsteemi puhul kehtib seadus kõigi kolme

telje sihis eraldi, seega ka vektorkujul.

Esitatud kehadesüsteemi omadus tuleneb ruumi ja aja

homogeensusest, st sellest, et ruumi ja aja omadused ei

olene nihkest ruumis ega nihkest ajas.

13.09.2018

16