2. fejezetSzf�erikus sillag�aszat2.1. Az �egitestek l�atsz�olagos helyzeteHa egy felh}otlen �ejszak�an a v�arosok �es falvak f�enyeit}ol t�avol feltekint�unk az�egboltra, apr�o f�enypontok sokas�aga t}unik a szem�unkbe. A s�ot�et h�att�er el}ottt�und�okl}o milli�onyi �egitest t�obbs�ege egym�ashoz viszony��tva nem v�altoztatjahelyzet�et, ezek az �un. �all�o sillagok, m��g n�eh�any f�enyesebb �egitest bolyongaz �all�o sillagok k�oz�ott, ezek a bolyg�ok �es a Hold. Nappal a l�egk�orbensz�or�odott napf�eny miatt sak a legf�enyesebb �egitestek l�athat�ok, mint a Nap�es a Hold, vagy olykor a n�epiesen Esthajnal sillag n�even ismert V�enusz.Hab�ar l�atsz�olag a sillagok sz�ama megsz�aml�alhatatlan, egy adott helyr}olegyszerre, nagyon j�o l�at�asi viszonyok mellett sem l�athat�o szabad szemmelt�obb mint 2 500{3 000 sillag. Ez azt is jelenti, hogy a teljes �egbolton szabadszemmel l�athat�o sillagok sz�ama mintegy 5{6 000.A sillagok nem egyenletesen bor��tj�ak be az eget, hanem l�atsz�olag k�u-l�onf�ele alakzatokba rendez}odnek. M�ar az �okori Mezopot�amia n�epei is azegyes alakzatokat k�epzeletbeli vonalakkal k�ot�ott�ek �ossze. Ezeket a v�azakata fant�azia �es esetleges hasonl�os�ag alapj�an kieg�esz��tve, a sillag soportokatlegend�aik alakjair�ol nevezt�ek el. �Igy alakultak ki az els}o sillagk�epek. A sil-lagk�epek meghat�aroz�asa �es elnevez�ese k�ul�onb�oz}o n�epekn�el nem volt azonos.A bizonytalans�agnak a Nemzetk�ozi Csillag�aszati Uni�o 1925-ben vetett v�eget,amikor az �egboltot k�or��vekkel 88 tartom�anyra osztotta, �es ezek mindegyikea benne l�ev}o sillagk�ep nev�et viseli. A sillagk�epek nevei k�oz�ott tal�alunk:{ �allatneveket (Nagy Medve, Nagy Kutya, Hatty�u stb.);{ g�or�og mitol�ogiai neveket (Herkules, Andromeda, Perzeusz stb.);{ haszn�alati t�argyak vagy geometriai alakzatok nev�et (M�erleg, Lant,Ny��l, Pajzs, Kemen e, V�es}o, H�aromsz�og stb.).17

18 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATAz �altal�anosan elfogadott sillagk�epek latin �es magyar neve az 2.1. t�ab-l�azatban tal�alhat�o. A t�abl�azatban *-gal jelzett sillagk�epek azok, amelyekn�alunk is l�athat�ok valamikor egy �ev folyam�an.2.1. t�abl�azat: A sillagk�epek latin �es magyar neve, genitivusa�es r�ovid��t�eseSor- Latin n�ev R�ovid��t�es Magyar n�evsz�am nominativus (genitivus)1. Andromeda (-ae) And* Andromeda2. Antlia (-ae) Ant L�egszivatty�u3. Apus (-odis) Aps Paradi sommad�ar4. Aquarius (-i) Aqr* V��z�ont}o5. Aquila (-ae) Aql* Sas6. Ara (-ae) Ara Olt�ar7. Aries (-tis) Ari* Kos8. Auriga (-ae) Aur* Szekeres9. Bootes (-is) Boo* �Ok�orhaj s�ar10. Caelum (-i) Cae V�es}o11. Camelopardalis ({) Cam* Zsir�af12. Can er (-ri) Cn * R�ak13. Canes (-um) CVn* Vad�aszebekVenati i (- orum)14. Canis ({) Major (-is) CMa* Nagy Kutya15. Canis ({) Minor (-is) CMi* Kis Kutya16. Capri ornus (-i) Cap* Bak17. Carina (-ae) Car Haj�ogerin 18. Cassiopeia (-ae) Cas Kassziopeia19. Centaurus (-i) Cen* Kentaur20. Cepheus (-i) Cep* Cefeusz21. Cetus (-i) Cet* Cet (Cethal)22. Chamaeleon (-tis) Cha Kam�eleon23. Cir inus (-i) Cir K�orz}o24. Columba (-ae) Col Galamb25. Coma (-ae) Bereni es Com* Berenik�e Haja26. Corona (-ae) Australis CrA D�eli Korona27. Corona (-ae) Borealis CrB* �Eszaki Korona28. Corvus (-i) Crv* Holl�o29. Crater (-is) Crt* Serleg30. Crux (- is) Cru Kereszt (D�el Keresztje)

2.1. AZ �EGITESTEK L�ATSZ�OLAGOS HELYZETE 192.1. t�abl�azat (folytat�as)Sor- Latin n�ev R�ovid��t�es Magyar n�evsz�am nominativus (genitivus)31. Cygnus (-i) Cyg* Hatty�u32. Delphinus (-i) Del* Del�n33. Dorado (-us) Dor Aranyhal34. Dra o (-nis) Dra* S�ark�any35. Equuleus (-i) Equ* Csik�o36. Eridanus (-i) Eri* Erid�anusz37. Fornax (- is) For Kemen e38. Gemini (-orum) Gem* Ikrek39. Grus (-is) Gru Daru40. Her ules (-is) Her* Herkules41. Horologium (-i) Hor Inga�ora42. Hydra (-ae) Hya* �Eszki Vizik��gy�o43. Hydrus (-i) Hyi D�eli Vizik��gy�o44. Indus (-i) Ind Hindu45. La erta (-ae) La * Gy��k46. Leo (-nis) Leo* Oroszl�an47. Leo (-nis) Minor (-is) LMi* Kis Oroszl�an48. Lepus (-oris) Lep* Ny�ul49. Libra (-ae) Lib* M�erleg50. Lupus (-i) Lup* Farkas51. Lynx (- is) Lyn* Hi�uz52. Lyra (-ae) Lyr* Lant53. Mensa (-ae) Men T�ablahegy54. Mi ros opium (-i) Mi Mikroszk�op55. Mono eros (-tis) Mon* Egyszarv�u56. Mus a (-ae) Mus L�egy57. Norma (-ae) Nor Sz�ogm�er}o58. O tans (-tis) O t Okt�ans (Nyol adk�or)59. Ophiu hus (-i) Oph* K��gy�otart�o60. Orion (-is) Ori* Orion61. Pavo (-nis) Pav P�ava62. Pegasus (-i) Peg* Pegazus63. Perseus (-i) Per* Perzeusz64. Phoenix (- is) Phe F}onix65. Pi tor (-is) Pi Fest}o66. Pis es (-ium) Ps * Halak

20 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.1. t�abl�azat (folytat�as)Sor- Latin n�ev R�ovid��t�es Magyar n�evsz�am nominativus (genitivus)67. Pis is Austrinus (-i) PsA* D�eli Halak68. Puppis ({) Pup Haj�ofar69. Pyxis (-idis) Pyx T�ajol�o70. Reti ulum (-i) Ret H�al�o71. Sagitta (-ae) Sge* Ny��l72. Sagittarius (-i) Sgr* Nyilas73. S orpius (-i) S o* Skorpi�o74. S ulptor (-is) S l Szobr�asz75. S utum (-i) S t* Pajzs76. Serpens (-tis) Ser* K��gy�o77. Sextans (-tis) Sex Szekszt�ans78. Taurus (-i) Tau* Bika79. Teles opium (-i) Tel T�av s}o80. Triangulum (-i) Tri* H�aromsz�og81. Triangulum (-i) TrA D�eli H�aromsz�ogAustrale (-is)82. Tu ana (-ae) Tu Tuk�an (mad�ar)83. Ursa (-ae) Major (-is) UMa* Nagy Medve84. Ursa (-ae) Minor (-is) UMi* Kis Medve85. Vela (-orum) Vel Haj�ovitorla (Vitorla)86. Virgo (-inis) Vir* Sz}uz87. Volans (-tis) Vol Rep�ul}ohal88. Vulpe ula (-ae) Vul* (Kis) R�okaAz egyes sillagk�epeken bel�ul a sillagokat m�eg k�ul�on bet}ujelz�essel isell�atjuk. A sillagk�ep legf�enyesebb sillag�at �-val, a k�ovetkez}ot �-val stb.jel�olj�uk, ami ut�an a sillagk�ep nev�enek r�ovid��t�es�et tessz�uk. P�eld�aul az egyiklegismertebb sillagk�ep, a Kis G�on �ol (Kis Medve, Ursa Minor) legf�enyesebb sillaga a Sark sillag (Polaris), amelynek bet}ujele �UMi (� Ursae Mino-ris, azaz a Kis Medve �-ja). Mivel a sillagk�epekben t�obb sillag van,mint amennyi bet}u a g�or�og �ab�e �eben, az egyes sillagokat a latin �ab�e �ebet}uivel is szoktuk jel�olni, s}ot kett}os bet}ukombin�a i�okat is haszn�alunk (pl.AC Andromedae). A v�altoz�o sillagokat �altal�aban az �ab�e �e utols�o bet}uivelszoktuk jel�olni (pl. RR Lyrae). A sillagokat sz�amokkal is szokt�ak jel�olni(pl. 61 Cygni). Ez a jel�ol�esrendszer | b�ar ma is haszn�alatos | el�egbonyolult, ez�ert tudom�anyos munk�akban �altal�aban nem ezt haszn�aljuk. A

2.2. AZ �EGG �OMB �ES L �ATSZ �OLAGOS NAPI MOZG�ASA 21 sillagok egy r�esz�et pontos hely�uk �es f�enyess�eg�uk (n�eha m�as jellemz}oj�uk)felt�untet�es�evel katal�ogusokban sorolj�ak fel. A Henry Draper (r�oviden HD)katal�ogus p�eld�aul 255 ezer sillag adatait tartalmazza.Term�eszetesen (�altal�aban t�av s}ovel) nem sak sillagok, hanem k�odfoltok�es sillagrendszerek is meg�gyelhet}ok az �egbolton. Ezek katal�ogus�at el}osz�orMessier fran ia sillag�asz �all��totta �ossze. Ez a Messier, r�oviden M-katal�ogus.Az M31 p�eld�aul a Messier-katal�ogus 31-ik objektuma, vagy k�ozismert nev�enaz Androm�eda-k�od. �Ujabb kelet}u a New General Catalogue (�Uj �Altal�anosKatal�ogus), melynek r�ovid��t�ese NGC. Az M31 jel}u Androm�eda-k�od p�eld�aulebben a katal�ogusban a 224-es sorsz�amot viseli, teh�at jele: NGC 224.2.2. Az �egg�omb �es l�atsz�olagos napi mozg�asaAz �egitestek t�avols�aga szabad szemmel nem hat�arozhat�o meg. Ennek k�ovet-kezt�eben az �egitestek t�avols�aga azonosnak t}unik, mintha l�atsz�olag az �osszes�egitest egy hatalmas g�omb�on foglalna helyet, amelynek a k�oz�eppontj�aban ameg�gyel}o tal�alhat�o. Ez a l�atszat vezette el m�ar az �okori g�or�og�oket is az"�egi szf�er�ak" gondolat�ahoz.qO

qCqC 0���2.1. �abra. Az �egg�omb�es az �egitestek szf�erikushelye

Az �egitestek l�atsz�olagos helyzet�enek, vala-mint l�atsz�olagos mozg�as�anak meghat�aroz�as�ahoznem sz�uks�eges ismern�unk azok F�oldt}ol m�ertt�avols�ag�at, hanem elegend}o megadnunk azokir�any�at.Ilyen m�er�esek eset�eben �elszer}u a t�er pontjaitegy g�omb pontjaira lek�epezni. Erre a �elra szolg�alaz �egg�omb, amely a g�omb alak�unak l�atsz�o �egboltmatematikai absztrak i�oja (2.1. �abra). Ennek su-gara tetsz}oleges (�altal�aban egys�egnyi), k�oz�eppont-ja ugyan sak tetsz�es szerint v�alaszthat�o (meg-�gyel}o, F�old k�oz�eppontja stb.). Az O k�oz�eppontotvalamely C �egitesttel �osszek�ot}o f�elegyenesnek az�egg�ombbel val�o C 0 metsz�espontj�at a C pontszf�erikus hely�enek (megfelel}oj�enek) nevezz�uk.Mivel az �egg�omb sugara tetsz}olegesen nagy-nak tekinthet}o, sz�amos alkalmaz�as eset�en a F�old m�eretei elhanyagolhat�okaz �egg�omb sugar�ahoz k�epest, azaz a meg�gyel}o �es a F�old k�oz�eppontja egy-beesnek az �egg�omb k�oz�eppontj�aval. Ez a megk�ozel��t�es nem helyt�all�o, haa Naprendszer �egitesteit �gyelj�uk meg �es k�ul�on�osen a F�old�unk mesters�egesholdjai eset�en.

22 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATT�obb �or�an �at folyamatosan �gyelve az eget, az a benyom�asunk t�amad,hogy az eg�esz �egg�omb (merev testk�ent) k�orbefordul egy r�ogz��tett tengelyk�or�ul. Ez a mozg�as az �egg�omb napi l�atsz�olagos forg�asa (vagy egyszer}uen napil�atsz�olagos mozg�as), ami r�ogz��tett tengely k�or�ul 24 �or�as peri�odussal keletfel}ol nyugat fel�e (retrogr�ad) ir�anyban megy v�egbe. Ez a mozg�as �erz�ekelhet}oszabad szemmel, de j�ol r�ogz��thet}o f�enyk�epez�essel, ha a Sark sillagra (Po-laris, �UMi) ir�any��tott r�ogz��tett f�enyk�epez}og�eppel hossz�u expoz�� i�os id}ovelk�esz��t�unk felv�etelt. Ma m�ar k�ozismert, hogy ez a mozg�as egy l�atsz�olagosmozg�as, ami a F�old direkt ir�any�u tengelyforg�as�anak k�ovetkezm�enye.

?rOrZ

rNrDhr�Eh

a f�ugg}o�on ir�anya

rPrP 0

rDer�Ee

���� �egi egyenl��t}oHHHHY horizontHHY�egi meridi�an2.2. �abra. Az �egg�omb nevezetes pontjai �es vonalaiAz �egg�omb n�eh�any pontj�anak �es f}ok�or�enek k�ul�onleges jelent}os�ege van at�aj�ekoz�od�as szempontj�ab�ol (2.2. �abra). Az �egg�omb k�epzeletbeli r�ogz��tettforg�astengelye a P �es P 0 �eszaki- illetve d�eli p�oluspontokban metszi az �eg-g�omb�ot. Az �egg�omb PP 0 �atm�er}oj�enek neve vil�agtengely, amelyre az �egg�ombk�oz�eppontj�aban emelt mer}oleges s��k az �egi egyenl��t}o s��kja. Az �egi egyenl��t}os��kja az �egg�omb�ot az �egi egyenl��t}oben metszi, ami az �egg�omb egyik f}ok�ore.Ha az �egg�omb k�oz�eppontj�an kereszt�ul a f�ugg}o�on ir�any�aval p�arhuzamos egye-nest h�uzunk, ez az egyenes a zenit- (Z) �es nad��rpontban (N) d�o� �at az�egg�omb�ot. A k�et pont k�oz�ul az a zenit, amely a meg�gyel}o f�ol�ott helyezke-dik el. A ZN egyenest az adott hely vertik�alis�anak nevezz�uk. �All��tsunk az

2.3. F �OLDRAJZI KOORDIN�AT�AK 23�egg�omb k�oz�eppontj�an kereszt�ul a ZN egyenesre mer}oleges s��kot: ez a hori-zont s��kja. A horizont s��kja az �egg�omb�ot szint�en egy f}ok�orben metszi, amely-nek neve: horizont. A P; Z; P 0; N pontokon �athalad�o f}ok�or neve: �egi me-ridi�an, ennek a f}ok�ornek a s��kja pedig az �egi meridi�an s��kja. (Az egyszer}us�egkedv�e�ert az "�egi" jelz}ot gyakran elhagyjuk.) Tart�ozkodj�ek a meg�gyel}o (azazaz �egg�omb k�oz�eppontja) a F�old �eszaki f�eltek�ej�en. Ha a meridi�anon a Ppontb�ol a Z pont ir�any�aban indulunk el, akkor a meridi�an rendre a horizontd�elpontj�aban (Dh) �es a horizont �eszakpontj�aban ( �Eh) metszi a horizontot,illetve az �egi egyenl��t}o fels}o (d�eli, De) �es als�o (�eszaki, �Ee) pontj�aban metsziaz �egi egyenl��t}ot.R�ogz��tett helyzet}u meg�gyel}oh�oz viszony��tva az �egitestek r�eszt vesznekaz �egg�omb napi forg�as�aban, p�arhuzamos k�or�oket ��rva le az �egi egyenl��t}ovel.A F�old �Eszaki- �es D�eli-sarkain ezek a k�or�ok p�arhuzamosak a helyi horizonttalis, ��gy az egyes �egitestek (a Nap, a Hold �es a bolyg�ok kiv�etel�evel, amelyekv�altoztatj�ak �egg�ombi helyzet�uket) mindig a horizont f�ol�ott tal�alhat�ok. Asarkokt�ol elt�er}o f�oldrajzi helyen l�ev}o meg�gyel}o sz�am�ara az �egitestek �utj�anakh�arom t��pusa lehets�eges: irkumpol�aris sillagok | az �altaluk le��rt k�or tel-jesen a horizont f�ol�ott van, ezek soha sem nyugszanak le; naponta felkel}o �eslenyugv�o sillagok | ezek �altal le��rt k�or k�et pontban a felkel�esi �es lenyugv�asipontban metszi a horizontot, amely pontok r�ogz��tettek; illetve olyan silla-gok, amelyek soha sem kelnek fel | ezek �utja mindv�egig a horizont alatttal�alhat�o.A f�oldi egyenl��t}on elhelyezked}o meg�gyel}o sz�am�ara minden �egitest na-ponta felkel �es lenyugszik, a horizont s��kj�ara mer}oleges k�or�oket ��rva le.2.3. F�oldrajzi koordin�at�akAz �egitestek helyzet�enek meghat�aroz�asa | kev�es kiv�etelt}ol eltekintve | aF�old felsz��n�er}ol t�ort�enik. Ez�ert fontos pontosan ismerni a meg�gyel}ohely ko-ordin�at�ait, azaz a f�oldrajzi koordin�at�akat. A sillag�aszati m�er�esek t�ulnyom�ot�obbs�eg�en�el a F�old m�eretei ki sik a m�ert objektum t�avols�ag�ahoz k�epest,ez�ert a F�oldet g�omb alak�unak tekinthetj�uk. N�eh�any esetben azonban nemtekinthet�unk el a F�old alakj�anak a g�ombt}ol val�o elt�er�es�et}ol. Ilyenkor aF�oldet vagy forg�asi ellipszoiddal, vagy pedig a geoiddal k�ozel��tj�uk (l�asd aF�old mint �egitest . fejezetben).A tov�abbiakban a F�oldet �altal�aban g�ombnek vagy forg�asi ellipszoidnakfogjuk tekinteni, mert a legt�obb sillag�aszati meg�gyel�es eset�eben ez a k�o-zel��t�es elegend}o. A g�omb alak�u F�old felsz��n�en, ak�ar sak tetsz}oleges g�ombfelsz��n�en, egy pont helyzete k�et sz�og seg��ts�eg�evel adhat�o meg. A sz�ogek �ertel-

24 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATmez�es�ehez sz�uks�eges egy alaps��kot �es egy alapir�anyt de�ni�alni. A f�oldrajzikoordin�at�ak �ertelmez�es�ehez haszn�alt alaps��k a P �E ; PD �eszaki �es d�eli sarko-kon �athalad�o forg�astengelyre mer}oleges f�oldi egyenl��t}o s��kja, amelyben azalapir�anyt a kezdeti (a greenwi hi sillagvizsg�al�o meghat�arozott G pontj�an�athalad�o) meridi�an jel�oli ki. Az egyenl��t}o s��kja a F�old felsz��n�et �eszaki �es d�elif�eltek�ere osztja. 6rOrP�E

rPD

forg�astengelyr rrM(�; ')rG

� ' HHHYegyenl��t}oHHHHY d�elk�or����*kezd}o d�elk�or(� = 0)2.3. �abra. F�oldrajzi koordin�at�ak

Tetsz}oleges M meg�gyel�esihely f�oldrajzi koordin�at�ai (2.3.�abra):| a f�oldrajzi hossz�us�ag (�),�ertelmez�es szerint a meg�gyel�esihelyhez tartoz�o f�oldi meridi�an�es a greenwi hi kezd}o meridi�ans��kj�anak hajl�assz�oge, amit ke-leti illetve nyugati ir�anybanm�er�unk, 0Æ-t�ol 180Æ-ig, �es ke-leti illetve nyugati hossz�us�agr�olbesz�el�unk;| �es a f�oldrajzi sz�eless�eg('), ami nem m�as mint a meg-�gyel�esi helyhez tartoz�o f�old-sug�arnak (OM) a f�oldi egyenl��t}o(e) s��kj�aval bez�art sz�oge. �Alta-l�aban �eszaki �es d�eli sz�eless�egr}olbesz�el�unk, �es ezeket 0Æ-t�ol 90Æ-ig m�erj�uk.Az egyenl��t}ovel p�arhuzamoss��koknak a F�old felsz��n�evel val�o metsz�esvonalait sz�eless�egi k�or�oknek ne-vezz�uk, a forg�estengelyen �athalad�o s��kok pedig a hossz�us�agi k�or�oket(d�elk�or�oket, f�oldi meridi�anokat) hat�arozz�ak meg.P�eld�aul a Kolozsv�ari Egyetemi Csillagvizsg�al�o f�oldrajzi koordin�at�ai:� = 23Æ350700;5 = 23Æ;5854; ' = 46Æ4504700 = 46Æ;763:2.4. �Egi koordin�at�akA szf�erikus sillag�aszat az �egitestek szf�erikus helyeivel, illetve azok meg-hat�aroz�asaival foglalkozik. Egy (pontszer}unek tekintett) �egitest szf�erikushely�enek megad�as�ahoz meg kell adjunk az �egg�ombh�oz egy a k�oz�eppontj�an�atmen}o alaps��kot, azon egy kiindul�asi ir�anyt, tov�abb�a egy k�or�ulj�ar�asi ir�anyt.

2.4. �EGI KOORDIN�AT�AK 25Ezek seg��ts�eg�evel egy �egitest szf�erikus hely�et k�et sz�oggel adhatjuk meg,amelyek a megfelel}o g�ombi, vagy szf�erikus koordin�at�ak. Att�ol f�ugg}oen, hogyaz �egg�omb�on az alaps��kot �es azon az alapir�anyt hogyan adjuk meg, k�ul�onb�oz}o sillag�aszati koordin�ata-rendszerekr}ol besz�elhet�unk.Az �egg�omb k�oz�eppontj�anak �es egyben a koordin�ata-rendszer kezd}opont-j�anak a megv�alaszt�asa szerint egy koordin�ata-rendszer lehet: topo entrikus,azaz meg�gyel}ohely k�oz�eppont�u; geo entrikus, ha a kezd}opont a F�old k�o-z�eppontj�aban van; helio entrikus, ha a kezd}opont a Nap k�oz�eppontj�abantal�alhat�o; bari entrikus, ha a kezd}opont valamely rendszer t�omegk�oz�eppont-j�aval esik egybe; galakto entrikus, ha a kezd}opont galaxisunk, a Tej�utrend-szer k�oz�eppontj�aban van.Az alaps��k megv�alaszt�asa szerint l�eteznek: horizont�alis, egyenl��t}oi, eklip-tikai �es galaktikai koordin�ata-rendszerek.2.4.1. A horizont�alis koordin�ata-rendszerA horizont�alis koordin�ata-rendszer fontosabb jellemz}oi (2.4. �abra):{ kezd}opontja a F�old k�oz�eppontja, amit egybees}onek tekint�unk a meg�gyel�esiponttal;{ alaps��kja a horizont s��kja;{ alapir�anya az O kezd}opontt�ol a horizont d�elponja fel�e mutat�o (ODh f�el-egyenes ir�anya;{ k�or�ulj�ar�asi ir�anya retrogr�ad (d�elt}ol nyugat fel�e).Ha C egy �egitest szf�erikus helye, akkor a ZN �atm�er}ore szerkesztett, C-n�athalad�o f�elk�or a horizont k�or�et a Th horizont�alis talppontban metszi.A horizont�alis koordin�at�ak: (A; h) vagy (A; z), ahol* A = m�\DhOTh� az azimut, amit a d�eli ir�anyt�ol nyugat fel�e, retrogr�adir�anyba m�er�unk, 0Æ � A < 360Æ;* h = m�\ThOC� a horizont f�ol�otti magass�ag, amelyre �90Æ � h � 90Æ. Amagass�ag helyett gyakran annak p�otsz�og�et, a z = m�[ZOC� = 90Æ�hzenitt�avols�agot haszn�alj�ak.

26 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT

?a f�ugg}o�on ir�anyarOrZ

rNrDhr�Eh rCrTh

rPHHHHHY vertik�alis k�orAhz

2.4. �abra. Horizont�alis koordin�at�ak

A kezd}opont megv�alaszt�asaszerint haszn�alnak topo entri-kus �es geo entrikus horizon-t�alis koordin�at�akat. Nagyt�avols�agra lev}o �egitestek eset�enaz elt�er�es nem nagyobb 100-n�el. K�enyelmesebb geo entri-kus rendszerben dolgozni.A horizont�alis koordin�at�akhaszn�alata k�ezenfekv}o egy adottmeg�gyel�esi helyen, mert seg��t-s�eg�ukkel k�enyelmes az �egt�ajakszerinti t�aj�ekoz�od�as, viszontkev�esb�e alkalmas az �eszlel�esiadatok k�ozz�et�etel�ere, katal�ogu-sok �ossze�all��t�as�ara, mert f�ugge-nek a meg�gyel�es hely�et}ol �esidej�et}ol (helyi koordin�at�ak).A horizonttal p�arhuzamosk�or�oket (arab sz�oval) almukantar�atoknak nevezz�uk. Az amerikaihaszn�alatban az azimut m�er�es�enek kiindul�asi ir�anya a d�eli ir�any helyett az�eszaki ir�any.2.4.2. Az els}o egyenl��t}oi koordin�ata-rendszer (�orakoordin�at�ak)A k�oz�eppont megv�alaszt�asa szerint az els}o egyenl��t}oi koordin�ata-rendszerlehet topo entrikus vagy geo entrikus. Vizsg�aljuk itt is a geo entrikus ese-tet, amikor a kezd}opont a F�old k�oz�eppontj�aban van, amit a meg�gyel�esiponttal egybees}onek tekint�unk.Ezen koordin�ata-rendszer jellegzetes elemei a k�ovetkez}ok (2.5. �abra):{ alaps��kja az �egi egyenl��t}o s��kja, az O kezd}opontban a vil�agtengelyre, vagya F�old forg�astengely�ere mer}olegesen �all��tott s��k;{ alapir�anya a kezd}opontt�ol az egyenl��t}oi d�elpont ir�any�aba mutat�o(ODe f�elegyenes ir�anya;{ C a vizsg�alt �egitest szf�erikus helye;{ a PP 0 vil�agtengelyen, valamint a C �egitesten �athalad�o s��k az �egitest �ora-s��k ja, amely az �egg�omb�ot a C �egitest �orak�or�eben metszi.{ az �orak�or az �egi egyenl��t}ot a Te egyenl��t}oi talppontban metszi.Az els}o egyenl��t}oi koordin�at�ak, vagy �orakoordin�at�ak jel�ol�ese (t; Æ), ahol:

2.4. �EGI KOORDIN�AT�AK 27rOrP

rP 0rDer�Ee rZrCrTe HHHHHY �orak�ortÆ

2.5. �abra. Az els}o egyenl��t}oi koordin�ata-rendszer

* A t = m�\DeOTe� �ora-sz�oget a d�eli kiindul�asiir�anyt�ol retrogr�ad ir�any-ban m�erj�uk az egyenl��t}oment�en az egyenl��t}oi talp-pontig. Az �orasz�oget, mi-vel az id}ovel ar�anyosanv�altozik, hagyom�anyosan�ora { per { m�asodper -ben m�erj�uk (h, m, s),�es a 0h � t < 24hhat�arok k�oz�ott v�altozik.Mivel az �egg�omb 24 �oraalatt tesz meg egy tel-jes l�atsz�olagos fordulatot,��gy a 360Æ-nak megfelel24h �ora alap�osszef�ugg�esalapj�an az �or�akban, il-letve fokokban m�ert sz�ogek k�oz�ott az al�abbi �atalak��t�asi �osszef�ugg�esek�erv�enyesek:(Æ, ', ") 360Æ 180Æ 90Æ 15Æ 1Æ 150 10 1500 100(h, m, s) 24h 12h 6h 1h 4m 1m 4s 1s 0;7s* A Æ = m�\TeOC� deklin�a i�o az egyenl��t}o s��kj�at�ol m�ert sz�ogt�avols�agotfejezi ki. �Ert�eke a �90Æ � Æ � 90Æ hat�arok k�oz�ott v�altozik. A dekli-n�a i�o helyettes��thet}o annak p�otsz�og�evel, a p p�olust�avols�aggal, amelyrep = m�\POC� = 90Æ � Æ.Az egyenl��t}ovel p�arhuzamos �egi k�or�oket deklin�a i�os k�or�oknek nevezz�uk.A Æ deklin�a i�o t�avoli �egitestek eset�en | eltekintve a f�oldi egyenl��t}o s��kj�anaklass�u v�altoz�as�at�ol | �alland�o, nem f�ugg a meg�gyel�es hely�et}ol �es idej�et}ol,m��g a t �orasz�og az id}o m�ul�as�aval ar�anyosan v�altozik. Minden sillag 24 �oraalatt k�orbej�arja a deklin�a i�os k�or�et. Ezen koordin�at�ak, az �orasz�og r�ev�en,r�eszben m�eg mindig f�uggnek a meg�gyel}o hely�et}ol �es idej�et}ol.

28 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.4.3. A m�asodik egyenl��t}oi koordin�ata-rendszer(ekvatori�alis koordin�at�ak)rOrP

rP 0rDer�Ee rZrCrTe tÆr

�

ra

�2.6. �abra. A m�asodik egyenl��t}oi koor-din�ata-rendszer

Meg�gyel�esi helyt}ol f�uggetlen ko-ordin�at�ak �ugy nyerhet}ok, ha az �egiegyenl��t}o ment�en m�ert �orasz�ogetegy olyan sz�ogre ser�elj�uk, amelyeset�en a kiindul�asi ir�any nem kap- sol�odik a meg�gyel}oh�oz. Errea �elra v�alaszthat�o p�eld�aul az�egg�ombh�oz kap solt, azzal egy�uttmozg�o � tavaszpont, amely azonpont ahol a Nap �athalad az �egiegyenl��t}on a tavaszi nap�ejegyenl}o-s�eg idej�en (l�asd a 2.6. r�eszben).A megfelel}o koordin�at�ak p�eld�aula topo entrikus vagy geo entrikusegyenl��t}oi vagy ekvatori�alis koor-din�at�ak (2.6. �abra).{ Geo entrikus esetben a kezd}o-pont a F�old k�oz�eppontj�aban helyezkedik el, amit egybees}onek te-kint�unk a meg�gyel�esi ponttal.{ Alaps��k az �egi egyenl��t}o s��kja.{ Alapir�any a tavaszpont (�) fel�e mutat�o (O� f�elegyenes ir�anya.{ C a vizsg�alt �egitest szf�erikus helye.A m�asodik egyenl��t}oi koordin�ata-rendszer koordin�at�ai (�; Æ), ahol:� � = m�\�OTe� a tavaszpontt�ol direkt ir�anyba m�ert egyenes emel-ked�es, vagy rektasz enzi�o, amelynek �ert�eke 0h � � < 24h hat�arokk�oz�ott lehet.� A Æ = m�\TeOC� deklin�a i�o az els}o egyenl��t}oi koordin�ata-rendszern�elbevezetett sz�og.Ezen rendszer koordin�at�ai f�uggetlenek a meg�gyel�es hely�et}ol �es idej�et}ol,��gy alkalmasak sillagkatal�ogusok �ossze�all��t�as�ara, t�erk�epk�esz��t�esre.

2.5. A F �OLDRAJZI �ES �EGI KOORDIN�AT�AK KAPCSOLATA 29A � tavaszpont �orasz�og�et sillagid}onek nevezz�uk �es s-sel jel�olj�uk. A sillagid}o kisz�am��that�o tetsz}oleges �egitest � egyenes emelked�es�enek �es t �ora-sz�og�enek �osszegek�ent: s = �+ t: (2.1)2.5. A f�oldrajzi �es �egi koordin�at�ak kap solataEbben a r�eszben ismertetj�uk a meg�gyel}o f�oldrajzi koordin�at�ai, az �egg�ombnevezetes pontjainak koordin�at�ai �es egy meg�gyelt �egitest �egi koordin�at�aik�ozti �osszf�ugg�eseket.2.5.1. T�etel. Egy meg�gyel}o f�oldrajzi sz�eless�ege megegyezik a p�olus hori-zont feletti magass�ag�aval �es a zenitpont deklin�a i�oj�aval:' = h (P ) = Æ (Z) : (2.2)qMqZ

qDhq�Eh qP qDeP�E PDO'h(P ) Æ(Z) qO

qZqN

qDhq�Eh qPqP 0

qDeq�Ee'Æ = 90Æ � ' Æ = '� 90Æ

HHY�egi meridi�an2.7. �abra. A f�oldrajzi sz�eless�eg �es p�olusmagass�ag kap solata (balr�ol);A irkumpolarit�as felt�etele (jobbr�ol)Bizony��t�as. Topo entrikus koordin�at�akban vizsg�aljuk azM meg�gyel�esihely meridi�an-metszet�et (2.7. els}o �abra). Az �egitesteknek a F�old sugar�ahozviszony��tott nagy t�avols�aga miatt az MP p�olusir�any p�arhuzamosnak vehet}oa F�old P�EPD forg�astengely�enek ir�any�aval. A mer}oleges, illetve p�arhuzamossz�ar�u sz�ogek tulajdons�agai alapj�an azonnal k�ovetkeznek a kijelent�esben sze-repl}o egyenl}os�egek. �Megjegyezz�uk, hogy az �egg�omb hatalmas sugara miatt a legt�obb alkal-maz�as eset�en az M �es O pontok egybees}onek tekinthet}ok.

30 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATAz �egitesteknek a meridi�anon val�o �athalad�as�at kulmin�a i�onak nevezz�uk.A k�et kulmin�a i�o k�oz�ul azt, amelyik k�ozelebb van a zenithez fels}o kulmi-n�a i�onak vagy delel�esnek; a zenitt}ol t�avolabbit pedig als�o kulmin�a i�onaknevezz�uk. K�onnyen bel�athat�o, hogy a irkumpol�aris sillagok azok, amely-eknek als�o kulmin�a i�oja is a horizont f�ol�ott van (2.7. m�asodik �abra). Ezen�eszrev�etel alapj�an azonnal levezethet}o, hogy egy Æ deklin�a i�oj�u sillag vala-mely ' f�oldrajzi sz�eless�eg}u helyen:{ irkumpol�aris, ha Æ � 90Æ � ';{ naponta felkel �es lenyugszik, ha '� 90Æ < Æ < 90Æ � ';{ soha nem l�athat�o, ha Æ � '� 90Æ.������SSSSSS rOrZ

rDhr�EhrP rDerCrC 0' ' ÆzmÆ0z0m qOqTC qG qA qB�A�BtAtB

2.8. �abra. �Osszef�ugg�esek egy sillag delel�esekor (balr�ol);�Orakoordin�at�ak �es f�oldrajzi hossz�us�agok kap solata (jobbr�ol)2.5.2. T�etel. Egy sillag delel�esekor �erv�enyes a k�ovetkez}o �osszef�ugg�es:' = Æ � zm, (2.3)ahol ' a meg�gyel}o f�oldrajzi sz�eless�ege, Æ a meg�gyelt sillag deklin�a i�oja,zm a sillag zenitt�avols�aga a meridi�anon; a "+" el}ojel akkor haszn�alatos, haa sillag a zenitt}ol d�elre delel, a "�" el}ojel pedig akkor, ha a zenitt}ol �eszakra.Bizony��t�as. Vizsg�aljuk az �ertelmez�es szerint a szerepl}o sz�ogeket a me-ridi�an (d�elk�or) s��kj�aban (2.8. els}o �abra). A fel��rt �osszef�ugg�esek azonnalk�ovetkeznek. �2.5.3. T�etel. Tetsz}oleges C �egitest k�et (A �es B) meg�gyel}o �altal egy id}obenm�ert tA; tB �orasz�ogeinek fokokban kifejezett k�ul�onbs�ege valamint a meg�gyel}ok�A; �B f�oldrajzi hossz�us�ag�anak k�ul�onbs�ege k�ozti elt�er�es a 360Æ t�obbsz�or�ose (Anyugati f�oldrajzi hossz�us�agokat negat��v el}ojellel kell venni.):tA � tB � �A � �B (mod 360Æ) : (2.4)

2.6. A NAP �EVI L �ATSZ�OLAGOS MOZG�ASA 31Bizony��t�as. Vizsg�aljuk az �ertelmez�es szerint a szerepl}o sz�ogeket azegyenl��t}o s��kj�aban (2.8. m�osodik �abra). Az �ertelmez�esek alapj�an azonnalk�ovetkezik a meg�allap��tott �osszef�ugg�es. �2.6. A Nap �evi l�atsz�olagos mozg�asa �es k�ovetkez-m�enyei2.6.1. A Nap �evi l�atsz�olagos mozg�asaHuzamosabb ideig v�egzett meg�gyel�esek azt mutatj�ak, hogy a Nap felkel�esi�es lenyugv�asi helye folyamatosan v�andorol a horizonton, a Nap delel�esi ma-gass�aga a meridi�anon napr�ol-napra v�altozik, az �ejszakai �egbolt k�epe h�onapr�ol-h�onapra m�odosul | minden h�onapban m�as-m�as sillagk�ep delel �ejf�elkor.qOqPqP 0q

�

qa

q�0q�q�

q�02.9. �abra. Az ekliptika | a Nap�evi l�atsz�olagos �utja az �egg�omb�on

Ha a Nap egyenl��t}oi koordin�at�ait na-ponta meghat�arozzuk, s a Nap hely�etberajzoljuk egy t�erk�epre, azt tapasztal-juk, hogy a Nap egy �ev alatt az �eg-g�omb�on le��r egy f}ok�ort, amelyet eklip-tik�anak nevez�unk (2.9. �abra). Azekliptika s��kja az �egi egyenl��t}o s��kj�avalmintegy � = 23Æ270-es sz�oget hat�arozmeg. Az ekliptika 12 sillagk�epenhalad �at, a Nap megk�ozel��t}oleg egy-egy h�onapot tart�ozkodva az egyes sil-lagk�epekben. Ezen sillagk�epek a k�ovet-kez}ok: Kos, Bika, Ikrek, R�ak, Oroszl�an,Sz}uz, M�erleg, Skorpi�o, Nyilas, Bak,V��z�ont}o �es Halak. Mivel jelent}os r�esz�uk�allatokr�ol kapta a nev�et, ez�ert ezeket�allat�ovi sillagk�epeknek is nevezz�uk. Az�allat�ov az ekliptika ment�en a � 9Æ eklip-tikai sz�eless�egek k�oz�ott h�uz�od�oik. Az ek-liptika s��kj�ara mer}oleges tengely az �egg�omb�ot az ekliptikai p�olusban (�),illetve antip�olusban (�0) metszi. A p�olusb�ol n�ezve, a Nap �evi �utj�at azekliptika ment�en direkt ir�anyban j�arja be. Az ekliptika az �egi egyenl��t}otk�et pontban, a tavaszpontban (�) �es }oszpontban (a) metszi, amelyeketekvinok ium-pontoknak (nap�ejegyenl}os�eg-pontok) nevez�unk. A tavaszpontazon metsz�espont, amelyen �at a Nap az �egi egyenl��t}o "al�ol" az �egi egyenl��t}o"f�ol�e", azaz a P p�olust tartalmaz�o f�elt�erbe ker�ul. Ezen a ponton minden

32 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT�evben m�ar ius 21-e k�or�ul halad �at sillagunk. Jelenleg a tavaszpont a Ha-lak sillagk�epben tal�alhat�o, de igen lassan v�andorol az egyenl��t}on. Mintegy4�6 ezer �evvel ezel}ott a Kos sillagk�epben volt. Mai napig is ennek eml�ek�et}orzi az, hogy jel�ol�es�ere a Kos jel�et (�) haszn�aljuk. Az ekliptik�anak az �egiegyenl��t}ot}ol legt�avolabb fekv}o k�et pontj�at szolszt�� ium-pontoknak vagy nap-fordul�o-pontoknak nevezz�uk �es "-nal, illetve "0-vel jel�olj�uk.2.6.2. A Nap �evi l�atsz�olagos mozg�as�anak k�ovetkezm�enyeiAz �eghajlati �ovezetek kialakul�asaA F�old felsz��n�en a Nap maxim�alis delel�esi magass�aga szerint k�ul�onb�oz}o�ovezetek k�ul�on��thet}ok el. Mivel ezekben az �ovezetekben a Napt�ol kapottenergiamennyis�eg is k�ul�onb�oz}o, ��gy ezen �ovezetek belsej�eben az �eghajlativiszonyok is k�ul�onb�oznek. Az ��gy kialakult �eghajlati �ovezetek (�eg�ovek) ak�ovetkez}ok:� Forr�o �eg�ov | az egyenl��t}o ment�en kialakult �ovezet. Hat�arai a d�eli�es �eszaki f�eltek�ek 23Æ270-es f�oldrajzi sz�eless�eg�en h�uz�od�o R�ak-, illetveBakt�er��t}o. Ezen �ovezetben l�ev}o f�oldi pontokban a Nap �evente ker�ula zenitre is, delelve a zenitt}ol �eszakra is. A magasan �all�o Napb�ol ittjut az egys�egnyi fel�uletre a legt�obb h}oenergia, ez�ert alakul ki itt alegmelegebb �eg�ov. Itt k�et �evszak k�ul�onb�oztethet}o meg, egy sz�arazabb�es egy sapad�ekosabb. A h}oingadoz�as ezek k�oz�ott nem jelent}os.� M�ers�ekelt �eg�ovek | az �eszaki �es d�eli f�eltek�eken a t�er��t}ok �es a ' =66Æ330 (= 90Æ � 33Æ270) sz�eless�egeken elhelyezked}o sarkk�or�ok k�oz�otti�ovezetek. Ezek �atmenetet k�epeznek az egyenl��t}o menti forr�o �ove-zet, illetve a sarkok k�or�uli hideg �ovezetek k�oz�ott. Itt n�egy �evszakv�altja egym�ast. Ezen �ovezetekben a Nap horizont f�ol�otti maxim�alismagass�aga fokozatosan s�okken a f�oldrajzi sz�eless�eggel, a k�ovetkez}o�osszef�ugg�es szerint: (Æ�)max = 90Æ + 23Æ270 � ':� Sarki �eg�ovek | az �eszaki �es d�eli f�eltek�eken a sarkk�or�okt}ol a sarkokigh�uz�od�o �ovezetek. A Nap ala sony �all�asa miatt ide jut a legkevesebbmeleg sillagunkt�ol, ez�ert itt j�oval hidegebb van mint a forr�o �eg�ovben.

2.6. A NAP �EVI L �ATSZ�OLAGOS MOZG�ASA 33Az �evszakok v�altakoz�asaA Nap deklin�a i�oj�anak v�altoz�as�aval egy adott f�oldrajzi sz�eless�egen az �evfolyam�an a v�altoz�o napmagass�ag k�ovetkezt�eben v�altozik az egys�egnyi fe-l�uletre jut�o napenergia mennyis�eg. �Igy, f�el �evig, m��g a Nap az egyenl��t}of�ol�ott tart�ozkodik, az �eszaki f�elteke melegszik jobban, majd a k�ovetkez}of�el�ev folyam�an a d�eli f�elteke kap t�obb meleget a Napt�ol. Ezen v�altoz�asokk�ovetkezt�eben alakulnak ki az �evszakok, amelyeknek sillag�aszati hat�arai az�eszaki f�eltek�en a k�ovetkez}ok:{ tavasz, m�ar ius 21. { j�unius 22., mintegy 93 nap, a Nap a �" k�or��ven;{ ny�ar, j�unius 22. { szeptember 23., k�ozel��t}oleg 93 nap, a Nap az "ak�or��ven;{ }osz, szeptember 23. { de ember 22., kb. 90 nap, a Nap az a"0 k�or��ven;{ t�el, de ember 22. { m�ar ius 21., mintegy 89 nap, a Nap az "0� k�or��ven.A d�eli f�eltek�en akkor van ny�ar, amikor az �eszakin t�el, az }osz pedig az�eszaki f�elteke tavasz�aval esik egybe.A nappalok �es �ejszak�ak hossz�anak egyenl}otlens�egeCsillag�aszati szempontb�ol a F�old valamely pontj�an addig besz�el�unk nap-palr�ol, m��g a Nap a horizont f�ol�ott van. Mivel a Nap nem tart�ozkodik azegyenl��t}on sup�an az �ev k�et napj�an, ��gy sak ezekben az esetekben a ta-vaszi (m�ar ius 21.) �es }oszi (szept. 23) nap�ejegyenl}os�egek idej�en egyenl}o anappalok hossza az �ejszaka hossz�aval. Tavasszal �es ny�aron, m��g a nap azegyenl��t}o f�ol�ott tart�ozkodik, napi mozg�asa sor�an hosszabb ��vet ��r le a hori-zont f�ol�ott, mint az alatt, ��gy a nappalok hosszabbak, mint az �ejszak�ak. Asarkk�or�ok�on t�ul az is megesik, hogy a nap le sem megy egy�altal�an napokiga horizont al�a, s ��gy t�obb napig nappal van. Ugyan��gy lesz egy f�el�ev m�ulvat�obb napig �ejszaka is. F�old�unk �eszaki �es d�eli sarkain f�el �evig nappal, �es f�el�evig �ejszaka van, azaz a Nap f�el �evig a horizont felett tart�ozkodik, majdf�el �evre elt}unik alatta. Az egyenl��t}o ment�en a nappalok �es �ejszak�ak hosszaeg�esz �evben egyenl}o, ugyanis itt a Nap a horizontra mer}oleges k�or�oket ��r le,�es ��gy napi �utj�anak horizont f�ol�otti �es horizont alatti ��ve azonos hossz�us�ag�u.

34 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.6.3. Az ekliptikai koordin�ata-rendszerrOr�

r�0q CqT��q

�

qa

�2.10. �abra. Ekliptikai koordin�ata-rendszer

Sz�amos sillag�aszati probl�ema vizsg�a-lat�an�al, mint p�eld�aul a bolyg�ok, kis-bolyg�ok, vagy �ust�ok�os�ok mozg�as�anaktanulm�anyoz�asa, �elszer}u olyan ko-ordin�ata-rendszert haszn�alni, amely-nek alaps��kja az ekliptika s��kja, vagyazzal p�arhuzamos s��k. Az ilyenrendszerek eset�eben ekliptikai koor-din�at�akr�ol besz�el�unk. Az eklipti-kai rendszerek kezd}opontja lehet aNap k�oz�eppontj�aban (helio entrikus),a F�old k�oz�eppontj�aban (geo entri-kus), illetve a meg�gyel�esi pontban(topo entrikus). Az alaps��kban azekliptikai hossz�us�agnak nevezett (�)hossz�us�agi sz�og m�er�ese a tavaszpontir�any�at�ol t�ort�enik direkt sillag�aszatiir�anyban. Az ekliptik�at�ol �eszakra �esd�elre m�ert sz�ogt�avols�ag az ekliptikai sz�eless�eg (�) (2.10. �abra). Ha T" a C�egitest ekliptikai vet�ulete, akkor:� = m�\�OT"� 2 [0Æ; 360Æ℄ ;� = m�\COT"� 2 [�90Æ; 90Æ℄ :Naprendszer�unk bolyg�oi �es m�as, az ekliptika s��kja k�ozel�eben kering}o �egi-testek eset�en a � ekliptikai sz�eless�eg sok esetben annyira ki si, hogy elha-nyagolhat�o (� = 0).Az ekliptikai koordin�at�akat nem tudjuk k�ozvetlen�ul megm�erni, de k�onnyenkisz�am��thatjuk az egyenl��t}oi koordin�at�ak ismeret�eben.2.7. Koordin�ata-transzform�a i�ok2.7.1. G�ombh�aromsz�ogtani alapismeretekA g�ombh�aromsz�ogtani vizsg�al�od�asokat egy g�omb fel�ulet�en v�egezz�uk. Ag�omb sugar�anak hossza nem j�atszik szerepet, ��gy az egyszer}us�eg kedv�e�ertazt egys�egnyi hossz�us�ag�unak v�alasztjuk. Teh�at a tov�abbiakban | ha sakazt k�ul�on nem jelezz�uk |, akkor egys�eg sugar�u g�omb�ot haszn�alunk.

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 35Ismeretes, hogy egy s��knak �es egy g�ombnek ha van k�oz�os pontja, akkora metszet egy pont (�erint}o s��k eset�en), vagy egy k�or.2.7.1. De�n�� i�o. A g�omb k�oz�eppontj�an �atmen}o s��kok �altal meghat�arozottmetszetk�or�oket g�ombi f}ok�or�oknek nevezz�uk.rO

rArB rCa

b ��

2.11. �abra. A g�ombh�aromsz�og elemei

A f}ok�or�ok egyben a g�ombfel�ulet�en h�uz�od�o legnagyobb su-gar�u k�or�ok is, ez�ert szok�as ezeketlegnagyobb g�ombi k�or�oknek is ne-vezni.Egy g�omb k�et nem �atm�er}osenellentett pontj�an pontosan egyf}ok�or halad kereszt�ul, mivel h�aromnem egy egyenesen fekv}o pontonkereszt�ul pontosan egy s��k fektet-het}o.A g�omb fel�ulet�enek k�et pontjak�ozti legkisebb t�avols�agot a k�etponton �atmen}o f}ok�or (geodeti-kus vonal) megfelel}o ��v�enek hosszaadja.2.7.2. De�n�� i�o. Az O k�oz�eppon-t�u, egys�eg sugar�u g�omb�on vegy�uk fel a p�aronk�ent nem �atm�er}osen ellentettA, B �es C pontokat. K�oss�uk �ossze A-t B-vel, B-t C-vel �es C-t A-val, amegfelel}o f}ok�or�okh�oz tartoz�o k�or��vek seg��ts�eg�evel. Az ��gy keletkezett ABCidomot g�ombh�aromsz�ognek nevezz�uk.Jel�ol�esek: A g�ombh�aromsz�og A, B, illetve C s�u s�aval szemk�ozti BC,CA �es AB oldal�anak hossz�at a, b, illetve -vel jel�olj�uk. A g�omb A pontj�abanaz AB �es AC k�or��vekhez h�uzott �erint}ok sz�og�et a g�ombh�aromsz�og sz�og�enektekintj�uk, m�ert�ek�et �-val jel�olj�uk. Hasonl�oan �ertelmezz�uk a B �es C sz�ogek� �es m�ert�ek�et (2.11. �abra).2.7.3. Megjegyz�es. Egy ABC g�ombh�aromsz�og A sz�og�enek � m�ert�eke egyen-l}o az (AOB) �es (AOC) s��kok �altal meghat�arozott lapsz�og m�ert�ek�evel.A k�ovetkez}okben olyan g�ombh�aromsz�ogekkel foglalkozunk, amelyek mind-h�arom oldal�anak m�ert�eke kisebb mint � radi�an (vagy 180Æ).

36 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.7.4. T�etel. Egy g�ombh�aromsz�og oldalaira �erv�enyesek a k�ovetkez}o egyen-l}otlens�egek: a < b+ ; a� b < ; 0 < a+ b+ < 2�: (2.5)Bizony��t�as. Az egyenl}otlens�egek azonnal k�ovetkeznek a tri�eder sz�ogeire�erv�enyes hasonl�o tulajdons�agok alapj�an, ha �gyelembe vessz�uk, hogy a g�omb-h�aromsz�og oldalainak m�ert�ekei megegyeznek a k�oz�eppontban felvett meg-felel}o tri�eder sz�ogeinek m�ert�ek�evel. �2.7.5. De�n�� i�ok. Egy g�ombi f}ok�or s��kj�ara mer}oleges �atm�er}o v�egpontjait af}ok�or p�olusainak nevezz�uk.Egy ABC g�ombh�aromsz�og pol�aris h�aromsz�oge azon A0B0C 0 h�aromsz�og,amely eset�en az A, B, C pontok a B0C 0, A0C 0, illetve A0B0 f}ok�or�ok p�olusai(2.12. �abra).2.7.6. T�etel. Az ABC g�ombh�aromsz�og A0B0C 0 pol�aris h�aromsz�og�enek pol�arish�aromsz�oge az ABC h�aromsz�og. qA0qB0 q C 0a0

b0 0 qAqB qCa b qD qE2.12. �abra. F}ok�or�ok p�olusai

Bizony��t�as. P�eld�aul a B0 pont A-t�ol�es C-t}ol is �=2 t�avols�agra van, teh�at az ACk�or��v p�olusa. A m�asik k�et s�u sra hasonl�otulajdons�ag �erv�enyes. �2.7.7. T�etel. Egy h�aromsz�og pol�aris h�a-romsz�og�enek oldalai �es az adott h�arom-sz�og megfelel}o sz�ogei kieg�esz��tik egym�ast �esford��tva, azaz:a0 = � � �; b0 = � � �; 0 = � � ;(2.6)a = � � �0; b = � � �0; = � � 0.(2.7)Bizony��t�as. A 2.7.6. t�etel felhaszn�al�as�aval, a 2.12. �abra jel�ol�eseithaszn�alva ��rhatjuk, hogy:a0 = B0E +DC 0 �DE = �2 + �2 � � = � � �:A m�asik k�et oldalra az ellen}orz�es ugyan��gy t�ort�enik. Fel ser�elve az adotth�aromsz�og �es pol�aris h�aromsz�og�enek szerep�et, megkapjuk a m�asodik sorbanszerepl}o �osszef�ugg�eseket. Itt felhaszn�altuk m�eg azt a tulajdons�agot, hogy haegy g�ombh�aromsz�ogben k�et sz�og der�eksz�og, akkor a harmadik sz�og m�ert�ekeegyenl}o a vele szemben fekv}o oldal m�ert�ek�evel (DE = �). �

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 372.7.8. T�etel. Egy g�ombh�aromsz�og sz�ogeire �erv�enyesek a k�ovetkez}o egyen-l}otlens�egek: � + � � < �;� < �+ � + < 3�:Bizony��t�as. Felhaszn�alva a 2.7.7. t�etelben szerepl}o tulajdons�agokat, azoldalakra �erv�enyes (2.5) egyenl}otlens�egeket alkalmazva a pol�aris h�aromsz�ogrea k�ovetkez}o �osszef�ugg�eseket kapjuk:� + � � = �� � b0�+ �� � 0�� �� � a0�= � � �b0 + 0 � a0� < �;illetve �+ � + = �� � a0�+ �� � b0�+ �� � 0�= 3� � �a0 + b0 + 0� 2 (�, 3�) : �2.7.9. De�n�� i�o. Ha �, �, egy g�ombh�aromsz�og sz�ogeinek m�ert�ekei, az" = � + � + � � mennyis�eget a h�aromsz�og g�ombi felesleg�enek ( szf�erikusex esszus) nevezz�uk.2.7.10. T�etel. Az egys�egnyi sugar�u g�omb�on felvett ABC g�ombh�aromsz�ogter�ulete egyenl}o a h�aromsz�og radi�anban kifejezett g�ombi felesleg�evel:TABC = " = � � "Æ180Æ (2.8)("Æ a radi�anban kifejezett " g�ombi felesleg megfelel}oje fokokban kifejezve).Bizony��t�as. Az ABC g�ombh�aromsz�og ter�ulete kisz�am��that�o, ha fel-haszn�aljuk azt a tulajdons�agot, hogy egy g�ombh�aromsz�og �, � illetve m�ert�ek}u sz�ogei �altal alkotott g�ombk�etsz�ogek ter�ulet�enek �osszege egyenl}oegy f�elg�omb ter�ulet�enek �es a h�aromsz�og ter�ulete k�etszeres�enek �osszeg�evel(a g�omb fel�ulet�en b�armely idom ter�ulete megegyezik a k�oz�eppontra vonat-koz�o szimmetrikus�anak ter�ulet�evel), valamint azt a tulajdons�agot, hogy az� m�ert�ek}u k�etsz�og ter�ulete 2�. Ennek alapj�an2�+ 2� + 2 = 2� + 2TABC ;ahonan TABC = �+ � + � � = ": �

38 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.7.11. K�ovetkezm�eny. Az R sugar�u g�omb felsz��n�en felvett g�ombh�aromsz�ogter�ulete: TABC = R2 � " = �R2 "Æ180Æ ;ahol ", illetve "Æ a h�aromsz�og g�ombi feleslege radi�anban, illetve fokban kife-jezve.A g�ombh�aromsz�og elemeire vonatkoz�oan egy sor trigonometriai �osszef�ugg�esvezethet}o le, amelyek a g�ombtrigonometria alapjait k�epezik1.2.7.12. Lemma. Az �!OA, ��!OB �es ��!OC egys�egvektorokat ~x, ~y illetve ~z-veljel�olve (2.13. �abra), �erv�enyesek a k�ovetkez}o �osszef�ugg�esek:i) ~y � ~z = os a; ~z � ~x = os b; ~x � ~y = os ;ii) � \~x� ~z; ~x� ~y� = �; � \~y � ~x; ~y � ~z� = �; � \~z � ~y; ~z � ~x� = : a

brArB

rCrO �������~x~y ~z� �

2.13. �abra. A g�ombh�aromsz�og ele-mei

Bizony��t�as. i) Az itt szerepl}o�osszef�ugg�esek azonnal k�ovetkeznek askal�aris szorzat �ertelmez�es�eb}ol.ii) Az els}o �osszef�ugg�es p�eld�aul aztfejezi ki, hogy a b �es oldalak �altalk�ozrez�art � sz�og m�ert�eke megegyezikaz ezen ��veket tartalmaz�o s��kokra me-r}oleges ~x � ~z illetve ~x � ~y vektorok�altal meghat�arozott \~x� ~z; ~x� ~y sz�ogm�ert�ek�evel. �2.7.13. T�etel. (A g�ombh�aromsz�ogtankoszinuszt�etele2.) Egy g�ombh�aromsz�ogoldalai �es sz�ogei kiel�eg��tik a k�ovetkez}o�osszef�ugg�eseket: os a = os b os + sin b sin os�; (2.9) os b = os os a+ sin sin a os �; (2.10) os = os a os b+ sina sin b os :1Az els}o ��r�asos eml�ek, amelyben trigonometri�at tal�alunk, Ptolemaiosz 150 k�or�ul ��rt,,Almageszt" (Nagy gy}ujtem�eny) ��m}u k�onyve. Ennek �erdekess�ege, hogy f}oleg sillag�aszatimunka. Ebben a k�onyvben Ptolemaiosz v�azolta a g�omb trigonometri�aj�anak alapjait is.T�eteleit term�eszetesen nem a mai jel�ol�esekkel k�oz�olte.2A feljegyz�esek szerint a kiv�al�o arab sillag�asz Al-Battani (858{929) ismerte m�ar ag�ombh�aromsz�ogek koszinuszt�etel�et.

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 39Bizony��t�as. A vektorok vegyes szorzata, valamint a kett}os vektori szor-zatra vonatkoz�o ~a � �~b� ~ � = (~a � ~ )~b � �~a �~b�~ (Gibbs-formula) alapj�anaz al�abbi �osszef�ugg�esek ��rhat�ok:(~x� ~z) � (~x� ~y) = ~x � [~z � (~x� ~y)℄ = ~x � [(~z � ~y) � ~x� (~z � ~x) � ~y℄ : (2.11)A (2.11) �osszef�ugg�es, valamint a 2.7.12. seg�edt�etel i) pontj�anak �gye-lembev�etel�evel (~x� ~z) � (~x� ~y) = ~x � [(~z � ~y) � ~x� (~z � ~x) � ~y℄ == ~x � [ os a � ~x� os b � ~y℄ == os a� os b os :M�asfel}ol viszont a skal�aris szorzat �ertelmez�ese szerint(~x� ~z) � (~x� ~y) = k~x� ~zk � k~x� ~yk os� = sin b sin os�:Az ut�obbi k�et �osszef�ugg�es �osszehasonl��t�as�aval azonnal k�ovetkezik a ki-jelent�esben szerepl}o (2.9) �osszef�ugg�es. A m�asik k�et �osszef�ugg�es bizony��t�asaugyan��gy t�ort�enik, a megfelel}o elemek szerep�enek fel ser�el�es�evel. �2.7.14. T�etel. (A g�ombh�aromsz�ogtani �ot elemre vonatkoz�o �osszef�ugg�es.)Egy g�ombh�aromsz�og oldalai �es sz�ogei kiel�eg��tik a k�ovetkez}o �osszef�ugg�eseket:sina os � = os b sin � sin b os os�;sin b os = os sina� sin os a os �; (2.12)sin os� = os a sin b� sina os b os ;sina os = os sin b� sin os b os�;sin b os� = os a sin � sina os os �;sin os � = os b sina� sin b os a os :Bizony��t�as. A koszinuszt�etel (2.9) �osszef�ugg�es�enek mindk�et oldal�atbeszorozva os -vel, majd az ��gy kapott �osszef�ugg�est oldalank�ent hozz�aadvaa koszinuszt�etel (2.10)-os kifejez�es�ehez, a sz�uks�eges �atalak��t�asok �es sin -velval�o egyszer}us��t�es ut�an a (2.12) �osszef�ugg�es soport els}o k�eplet�et kapjuk. �

40 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.7.15. T�etel. (A g�ombh�aromsz�ogtan szinuszt�etele3.) Egy g�ombh�aromsz�ogsz�ogei �es oldalai kiel�eg��tik a k�ovetkez}o �osszef�ugg�eseket:sinasin� = sin bsin� = sin sin : (2.13)Bizony��t�as. K�et vektor vektori�alis szorzat�anak hossz�ara vonatkoz�o �osz-szef�ugg�es szerint ��rhatjuk, hogyk(~x� ~z)� (~x� ~y)k = k(~x� ~z)k k(~x� ~y)k sin� = sin b sin sin�; (2.14)k(~y � ~x)� (~y � ~z)k = k(~y � ~x)k k(~y � ~z)k sin� = sin sina sin�:Az el}oz}o �osszef�ugg�esek bal oldal�an �all�o kifejez�eseket �atalak��tva a Gibbs-formula seg��ts�eg�evel �es �gyelembe v�eve a vegyes szorzat tulajdons�agait:k(~x� ~z)� (~x� ~y)k = k[(~x� ~z) � ~y℄ ~x� [(~x� ~z) � ~x℄ ~yk= k[(~x� ~z) � ~y℄k k~xk = k(~x; ~y; ~z)k ; (2.15)illetve k(~y � ~x)� (~y � ~z)k = k[(~y � ~x) � ~z℄ ~y � [(~y � ~x) � ~y℄ ~zk= k[(~y � ~x) � ~z℄k k~yk = k(~y; ~x; ~z)k : (2.16)A vegyes szorzat tulajdons�agai szerint mindk�et eredm�eny ugyanaz, ��gy a(2.14{2.16) �osszef�ugg�esek szerintsin b sin sin� = sin sina sin�;ahonnan azonnal k�ovetkezik a szinuszt�etel els}o �osszef�ugg�ese. �A 2.7.13, 2.7.14 �es 2.7.15. t�etelben szerepl}o �osszef�ugg�eseket Gauss-f�ele�osszef�ugg�eseknek is nevezz�uk.2.7.16. K�ovetkezm�eny. Egy g�ombh�aromsz�og elemei kiel�eg��tik a k�ovetkez}o�osszef�ugg�eseket: os� = sin� sin os a� os � os ; (2.17)sin� os b = os � sin + sin� os os a: (2.18)Az elemek ser�ej�evel tov�abbi anal�og �osszef�ugg�esek �all��that�ok el}o.3A g�ombh�aromsz�ogekre vonatkoz�o szinuszt�etel felfedez}oje Abul-l-Wafa (940{997), arabmatematikus �es sillag�asz volt, aki jelent}osen k�ozrem}uk�od�ott a Nap-p�alya adatainak meg-hat�aroz�as�aban.

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 41Bizony��t�as. A megfelel}o Gauss-f�ele �osszef�ugg�eseket fel��rva az A0B0C 0pol�aris h�aromsz�ogre �es �gyelembe v�eve a k�et h�aromsz�og elemei k�oz�otti (2.6,2.7) �osszef�ugg�eseket, a sin (� � �) = sin� �es os (� � �) = � os� alapj�ana fel��rt (2.17, 2.18) �osszef�ugg�esek azonnal k�ovetkeznek. �2.7.17. K�ovetkezm�eny. AtanM = tan b os�;illetve m = os b osM = sin b os�sinM�osszef�ugg�esekkel �ertelmezett M �esm seg�edelemek seg��ts�eg�evel a koszinuszt�etelben�es k�ovetkezm�enyeiben szerepl}o �osszef�ugg�esek a k�ovetkez}o, egyszer}ubb alakrahozhat�ok: os a = m os ( �M) ;sina os � = m sin ( �M) :2.7.18. K�ovetkezm�eny. Egy der�eksz�og}u h�aromsz�ogben �� = �2 � a Gauss-f�ele �osszef�ugg�esek megfelel}o alakja: os a = os b os = ot � ot ;sin b = sina sin� = tan ot ;sin = sina sin = tan b ot �; os � = os b sin = tan ot a; os = os sin� = tan b ot a:2.7.19. K�ovetkezm�eny. Ha egy g�ombh�aromsz�og egyik oldala der�eksz�og}u�a = �2 �, akkor a Gauss-f�ele �osszef�ugg�esek megfelel}o alakja: os a = � os � os = � ot b ot ;sin� = sin� sin b = tan ot ;sin = sin� sin = tan � ot b; os b = os � sin = � tan ot�; os = os� os = � tan� ot�:

42 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT2.7.20. K�ovetkezm�eny. Bevezetve egy g�ombh�aromsz�og f�elker�ulet�ere a 2p =a+ b+ jel�ol�est, �erv�enyesek az �un. Dalembre-formul�ak: os �2 os �2 = sin psin sin 2 ; sin �2 sin �2 = sin (p� )sin sin 2 ; os �� �2 sin 2 = sin a+ b2 sin 2 ; os �+ �2 os 2 = os a+ b2 sin 2 ;sin �� �2 sin 2 = sin a� b2 os 2 ; sin �+ �2 os 2 = os a� b2 os 2 :2.7.21. K�ovetkezm�eny. Egy g�ombh�aromsz�ogben �erv�enyesek a Neper-f�eleformul�ak: tan �� �2 sin a+ b2 = sin a� b2 ot 2 ;tan �+ �2 os a+ b2 = os a� b2 ot 2 ;tan a� b2 sin �+ �2 = sin �� �2 tan 2 ;tan a+ b2 os �+ �2 = os �� �2 tan 2 :2.7.22. K�ovetkezm�eny. A g�ombi felesleg kifejezhet}o a g�ombh�aromsz�og ele-meivel a L'Huillier-formula seg��ts�eg�evel:tan "2 =rtan p2 tan p� a2 tan p� b2 tan p� 2 :2.7.2. T�avols�agok kisz�am��t�asa a F�old felsz��n�enA F�old felsz��n�en felvettt A �es B pontok f�oldrajzi koordin�at�ai legyenek (�A; 'A),illetve (�B ; 'B). C�elunk meghat�arozni az R� sugar�u, g�omb alak�unak tekin-tett F�old felsz��n�en a k�et pont k�ozti minim�alis lAB t�avols�agot. Ha a k�et pontnem �atm�er}osen ellentett pont, akkor pontosan egy f}ok�or illeszkedik a k�etponthoz. A k�et pont k�oz�otti t�avols�ag (lAB) pedig ezen f}ok�or A �es B pontokk�oz�e es}o r�ovidebb ��v�enek hossza (2.14. �abra).A t�avols�ag a P �EAB g�ombi h�aromsz�ogben hat�arozhat�o meg. A h�arom-sz�ogben | a f�oldrajzi koordin�at�ak �ertelmez�ese szerint | ismertek a k�ovet-kez}o elemek:P �EA = 90Æ � 'A, P �EB = 90Æ � 'B , m�\AP �EB� = �B � �A:

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 43qOqP�EqPD

qGq qBqqAq�A �B'A 'B rP�E

rA rB�A � �A90Æ � 'A 90Æ � 'BdAB

2.14. �abra. K�et pont k�ozti t�avols�ag kisz�am��t�asa a F�old felsz��n�enAlkalmazva a h�aromsz�ogre a koszinuszt�etelt, az egys�egnyi sugar�u g�omb-re, dAB-vel jel�olve a megfelel}o t�avols�agot: os dAB = os (90Æ � 'A) os (90Æ � 'B) ++ sin (90Æ � 'A) sin (90Æ � 'B) os (�B � �A) ;azaz os dAB = sin'A sin'B + os'A os'B os (�B � �A) : (2.19)Az R� sugar�u F�old felsz��n�en a megfelel}o ��v hosszalAB = R� � dAB : (2.20)2.7.3. K�et sillag sz�ogt�avols�agaHat�arozzuk meg k�et ismert egyenl��t}oi koordin�at�aj�u sillag sz�ogt�avols�ag�at,azaz annak a sz�ognek a m�ert�ek�et, amely alatt az O k�oz�eppontb�ol az ismertegyenl��t}oi koordin�at�aj�u A (�A; ÆA), illetve B (�B ; ÆB) sillag l�atszik.Az el}oz}o paragrafusban ismertetett m�odszer alkalmazhat�o az �egi koor-din�at�ak eset�eben is. A megfelel}o sz�ogt�avols�agra �erv�enyes �osszef�ugg�es: os dAB = os\AOB = sin ÆA sin ÆB + os ÆA os ÆB os (�B � �A) : (2.21)

44 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATqOqZqN

qDhq�Eh q�EeqDeqP

qP 0q�

qCqTh qTeAh tÆ' rP rC

rZ At90Æ � '90Æ � Æ 90Æ � h180Æ � A

2.15. �abra. A horizont�alis �es egyenl��t}oi koordin�at�ak kap solata { transz-form�a i�os h�aromsz�og2.7.4. �Atsz�am��t�as a horizont�alis �es az egyenl��t}oi koordin�ata-rendszer k�oz�ottValamely ' f�oldrajzi sz�eless�eg}u meg�gyel�esi helyen s sillagid}okor �eszlelt ho-rizont�alis koordin�at�ak | (A; h) azimut �es magass�ag |, valamint a megfelel}o�orakoordin�at�ak (els}o egyenl��t}oi koordin�at�ak) | (t; Æ) �orasz�og �es deklin�a i�o| k�oz�otti �osszef�ugg�esek meg�allap��t�as�ahoz vizsg�aljuk az �egg�omb�on az egyeskoordin�at�ak �ertelmez�es�et (2.15. �abra).Ha C a meg�gyelt �egitest �egg�ombi helye, a PCZ g�ombh�aromsz�ogben ak�ovetkez}o elemek azonos��that�ok:PZ = 90Æ � '; { a (2.2) �osszef�ugg�es alapj�an,PC = PTe � CTe = 90Æ � Æ;ZC = ZTh � CTh = 90Æ � h = z;valamint m�[ZPC� = DeTe = t;m�[PZC� = 180Æ �A:A PZC h�aromsz�ogre fel��rva az alkalmas Gauss-f�ele �osszef�ugg�eseket, �es �-gyelembe v�eve a fel��rt elemekre vonatkoz�o �osszef�ugg�eseket, az al�abbi �atalak��t�asokv�egezhet}ok:

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 45� A szinuszt�etel �ertelm�eben:sin (90Æ � h)sin t = sin (90Æ � Æ)sin (180Æ �A) ;ahonnan os Æ sin t = os h sinA: (2.22)� A koszinuszt�etelt alkalmazva az ismert k�et sz�ogre: os (90Æ � h) = os (90Æ � ') os (90Æ � Æ) ++ sin (90Æ � ') sin (90Æ � Æ) os t; os (90Æ � Æ) = os (90Æ � ') os (90Æ � h) ++ sin (90Æ � ') sin (90Æ � h) os (180Æ �A) ;ahonnan sinh = sin' sin Æ + os' os Æ os t; (2.23)sin Æ = sin' sinh� os' os h osA: (2.24)� Az �ot elemre vonatkoz�o �osszef�ugg�esek alkalmazhat�o alakjait fel��rva:sin (90Æ � h) os (180Æ �A) = os (90Æ � Æ) sin (90Æ � ')� sin (90Æ � Æ) os (90Æ � ') os t;sin (90Æ � Æ) os t = os (90Æ � h) sin (90Æ � ')� sin (90Æ � h) os (90Æ � ') os (180Æ �A) ;ahonnan � osh osA = sin Æ os'� os Æ sin' os t: (2.25) os Æ os t = sinh os'+ os h sin' osA; (2.26)A v�alasztott �egitest t = s � � �orasz�og�enek | ahol s az �eszlel�es silla-gideje a meg�gyel�esi pontban �es � a rektasz enzi�o | �es Æ deklin�a i�oj�anakismeret�eben a (2.22, 2.23 �es 2.25) �osszef�ugg�esek alapj�an meghat�arozhat�ok a' f�oldrajzi sz�eless�egen az �egitest (A; h) horizont�alis koordin�at�ai: os h sinA = os Æ sin t; os h osA = sin' os Æ os t� os' sin Æ; (2.27)sinh = os' os Æ os t+ sin' sin Æ:

46 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATA harmadik �osszef�ugg�esb}ol meghat�arozhat�o a h 2 [�90Æ; 90Æ℄ horizontf�ol�otti magass�ag, majd az els}o �es m�asodik �osszef�ugg�esekb}ol a sinA, �es osAismeret�eben egy�ertelm}uen meghat�arozhat�o az A 2 [0Æ; 360Æ℄ azimut. A(2:27) transzform�a i�os �osszef�ugg�esek fel��rhat�ok m�atrixok seg��ts�eg�evel is a0� os h sinA osh osAsinh 1A = 0� 1 0 00 sin' � os'0 os' sin' 1A0� os Æ sin t os Æ os tsin Æ 1A (2.28)alakban, ami pontosan azt fejezi ki, hogy a horizont�alis rendszerr}ol az els}oegyenl��t}oi koordin�ata-rendszerre a meridi�an s��kra mer}oleges tengely k�or�uli90Æ � ' m�ert�ek}u sz�oggel val�o forgat�assal t�erhet�unk �at.A (2.22, 2.24 �es 2.26) �osszef�ugg�esek alapj�an fel��rhatjuk az (A; h)! (t; Æ)transzform�a i�o �osszef�ugg�eseit: os Æ sin t = os h sinA; os Æ os t = sin' os h osA+ sinh os'; (2.29)sin Æ = � os' os h osA+ sin' sinh:A (2:29) transzform�a i�o m�atrix alakja:0� os Æ sin t os Æ os tsin Æ 1A = 0� 1 0 00 sin' os'0 � os' sin' 1A0� osh sinA osh osAsinh 1A ; (2.30)ami nem m�as, mint a ' � 90Æ-os sz�oggel val�o forgat�as a meridi�an s��kramer}oleges tengely k�or�ul, azaz pontosan a (2.28) transzform�a i�o inverze.A levezetett �osszef�ugg�esekben a h horizont f�ol�otti magass�ag helyettes��t-het}o a z = 90Æ � h �osszef�ugg�es szerint a z zenitt�avols�aggal, ami azt jelenti,hogy sinh os z-re, os h pedig sin z-re ser�elhet}o.A t �orasz�og a (2.1) �osszef�ugg�es alapj�an helyettes��thet}o az � rektasz- enzi�oval, a t = s� � (2.31)�osszef�ugg�es szerint, ahol s a sillagid}o azaz a tavaszpont �orasz�oge. A (2:28)�osszef�ugg�esekbe elv�egezve a helyettes��t�est (2:31) szerint, a k�ovetkez}o �osz-

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 47szef�ugg�eseket kapjuk:0� os h sinA os h osAsinh 1A = 0� 1 0 00 sin' � os'0 os' sin' 1A0� os Æ sin (s� �) os Æ os (s� �)sin Æ 1A == 0� 1 0 00 sin' � os'0 os' sin' 1A0� os Æ sin s os�� os Æ os s sin� os Æ os s os�+ os Æ sin s sin�sin Æ 1A == 0� 1 0 00 sin' � os'0 os' sin' 1A0� sin s � os s 0 os s sin s 00 0 1 1A0� os Æ os� os Æ sin�sin Æ 1A =(2.32)0� sin s � os s 0 os s sin' sin s sin' � os' os s os' sin s os' sin' 1A0� os Æ os� os Æ sin�sin Æ 1A :A (2:32) �osszef�ugg�esben megjelen}o0� sin s � os s 0 os s sin s 00 0 1 1A = 0� os (90Æ � s) � sin (90Æ � s) 0sin (90Æ � s) os (90Æ � s) 00 0 1 1Am�atrix azt fejezi ki, hogy az �orakoordin�ata-rendszerr}ol (els}o egyenl��t}oi koor-din�ata-rendszer) az ekvatori�alis (m�asodik egyenl��t}oi) koordin�ata-rendszerreval�o �att�er�es egy (90Æ � s) m�ert�ek}u sz�oggel val�o forgat�assal val�os��that�o meg.Ez k�onnyen bel�athat�o, ha �gyelembe vessz�uk, hogy az x tengely ir�anya azegyik rendszerben a meridi�anra mer}oleges ir�any, a m�asikban pedig a tavasz-pont ir�anya, amely tengelyek hajl�assz�oge �eppen (90Æ � s).Az ekvatori�alis, vagy m�asodik egyenl��t}oi koordin�at�akat a horizont�aliskoordin�at�ak f�uggv�eny�eben megad�o �osszef�ugg�esek azonnal fel��rhat�ok a (2.32)transzform�a i�o inverzek�ent:0� os Æ os� os Æ sin�sin Æ 1A == 0� sin s os s 0� os s sin s 00 0 1 1A0� 1 0 00 sin' os'0 � os' sin' 1A0� osh sinA osh osAsinh 1A == 0� sin s os s sin' os s os'� os s sin s sin' sin s os'0 � os' sin' 1A0� os h sinA osh osAsinh 1A :

48 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATrOrP

rP 0r�

r�0r�r�

r�0rC

rTe rT��Æ� �23Æ270 r�

rCrP�90Æ � �90Æ � � 90Æ � Æ90Æ + � 90Æ � �

2.16. �abra. Az egyenl��t}oi �es ekliptikai koordin�at�ak kap solata2.7.5. �Atsz�am��t�as az egyenl��t}oi �es az ekliptikai koordin�ata-rendszer k�oz�ottAz (�; Æ) egyenl��t}oi �es (�; �) ekliptikai koordin�at�ak k�ozti �osszef�ugg�esek le-vezethet}ok p�eld�aul | az el}oz}o paragrafusban l�atottak szerint | a Gauss-f�ele formul�ak seg��ts�eg�evel, �gyelembe v�eve a k�et rendszer koordin�at�ainak�ertelmez�es�et (2.16. �abra).Itt most egy m�asik elj�ar�ast mutatunk be, amely azon alapul, hogy azegyenl��t}oi koordin�ata-rendszer �atvihet}o az ekliptikai koordin�ata-rendszerbeaz � = 23Æ 270 m�ert�ek}u sz�oggel val�o forgat�assal a tavaszpont fel�e ir�any��totttengely k�or�ul. Ha a k�et jobbsodr�as�u der�eksz�og}u koordin�ata-rendszer x ten-gely�et a tavaszpont fel�e ir�any��tjuk, a z tengelyeket pedig a P �eszaki p�olus,illetve � ekliptikai p�olus fel�e, akkor a C pont koordin�at�ai a k�et rendszer-ben ( os Æ os�; os Æ sin�; sin Æ), illetve ( os � os �; os � sin�; sin�). A for-gat�ast le��r�o m�atrix seg��ts�eg�evel az �osszef�ugg�esek ��gy alakulnak:0� os Æ os� os Æ sin�sin Æ 1A = 0� 1 0 00 os � � sin �0 sin � os � 1A0� os � os � os � sin�sin� 1A ; (2.33)

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 49azaz os Æ os� = os � os �; os Æ sin� = os � os � sin�� sin � sin�; (2.34)sin Æ = sin � os � sin�+ os � sin�:A (2:33) illetve (2:34) �osszef�ugg�esek seg��ts�eg�evel meghat�arozhat�ok azegyenl��t}oi koordin�at�ak az ekliptikai koordin�at�ak ismeret�eben.A megfelel}o inverz transzform�a i�ok, amelyekkel az ekliptikai koordin�at�akhat�arozhat�ok meg az egyenl��t}oi koordin�at�ak alapj�an, el}o�all��that�ok a �" m�er-t�ek}u sz�oggel val�o forgat�assal:0� os � os � os � sin�sin� 1A = 0� 1 0 00 os � sin �0 � sin � os � 1A0� os Æ os� os Æ sin�sin Æ 1A ; (2.35)vagy os � os � = os Æ os�; os � sin� = os � os Æ sin�+ sin � sin Æ; (2.36)sin� = � sin � os Æ sin�+ os � sin Æ:2.7.6. �Egitestek kelt�enek �es nyugt�anak helye �es idejeEgy �egitest felkel�esekor �es lenyugv�asakor els}o k�ozel��t�esben a horizonton ta-l�alhat�o. Ez a k�ozel��t�es akkor �erv�enyes, ha eltekint�unk a sillag�aszati re-frak i�ot�ol, ami m�odos��tja az �egitestek felkelt�enek �es lenyugv�as�anak hely�et.Teh�at felt�etel�unk azzal ekvivalens, hogy az �egitest horizont f�ol�otti magass�aganulla (h = 0).Egy ismert (�; Æ) egyenl��t}oi koordin�at�aj�u �egitestre fel��rva a horizont�alis�es egyenl��t}oi koordin�at�ak k�ozti (2:32) �osszef�ugg�eseket, a os h sinA = sin s os Æ os�� os s os Æ sin�; os h osA = os s sin' os Æ os�+ sin s sin' os Æ sin�� os' sin Æ;sinh = os s os' os Æ os�+ sin s os' os Æ sin�+ sin' sin Æ;egyenleteket kapjuk. A h = 0 felt�etellel, ismert �, Æ �es ' eset�en meg-hat�arozhat�ok az adott �egitest felkel�esi �es lenyugv�asi hely�enek A azimutj�at,valamint a megfelel}o s sillagid}ot ad�osinA = sin s os Æ os�� os s os Æ sin�; osA = os s sin' os Æ os�+ sin s sin' os Æ sin�� os' sin Æ; (2.37)0 = os s os' os Æ os�+ sin s os' os Æ sin�+ sin' sin Æ

50 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZATegyenletek. A harmadik egyenletb}ol meghat�arozhat�o az s sillagid}o, majdazt az els}o k�et egyenletbe helyettes��tve, sinA �es osA ismeret�eben meg-hat�arozhat�o az A azimut.A vizsg�alt �egitest naponta ism�etl}od}o felkelt�enek �es lenyugv�as�anak felt�eteleaz, hogy a harmadik egyenletnek legyen megold�asa. Ha ' �es Æ nem 90o, aharmadik egyenlet a os s os�+ sin s sin�+ tan' tan Æ = 0alakban ��rhat�o, vagy m�eg egyszer}ubben os (s� �) = � tan' tan Æ: (2.38)Ezen ut�obbi egyenletnek akkor �es sak akkor van megold�asa, hajtan' tan Æj � 1,� os' os Æ � sin' sin Æ � os' os Æ , os ('� Æ) � 0 �es os ('+ Æ) � 0,'� Æ � 90Æ �es '+ Æ � 90Æazaz egy Æ deklin�a i�oj�u �egitest a ' f�oldrajzi sz�eless�egen akkor �es sak akkorkel �es nyugszik naponta, ha teljes�ulnek a'� 90Æ � Æ � 90Æ � ' (2.39)felt�etelek. Term�eszetesen, a levezetett felt�etelek megegyeznek a 2.5. meg-jegyz�esben geometriai megfontol�asok alapj�an fel��rt felt�etelekkel.A (2:39) felt�etelek teljes�ul�ese eset�en az adott �egitest kelt�enek �es lenyug-v�as�anak sillagidej�et a (2:38) egyenlets1;2 = �� ar os (� tan' tan Æ) (2.40)megold�asai adj�ak.Az �egitest kelt�enek �es nyugt�anak azimutja meghat�arozhat�o k�ozvetlen�ul,a sillagid}o kisz�am��t�asa n�elk�ul is. A (2:37) egyenletek asinA = os Æ sin (s� �) ; osA = sin' os Æ os (s� �)� os' sin Æ; os (s� �) = � tan' tan Æ:

2.7. KOORDIN �ATA-TRANSZFORM�ACI �OK 51ekvivalens alakra hozhat�ok, ahonnan a m�asodik �es harmadik egyenlet alapj�an osA = � sin Æ os'; (2.41)ahonnan az �egitest kelt�enek �es nyugt�anak azimutjaA1 = ar os�� sin Æ os'� ; A2 = 2� �A1: (2.42)Az �egitest naponta t�ort�en}o kelt�enek �es nyugt�anak felt�etelei innen is fel-��rhat�ok, a �1 � sin Æ os' � 1alakban, ami a � os' � os (90Æ � Æ) � os'alakra hozhat�o, ahonnan a m�ar kor�abban levezetett (2.39) felt�etelek k�ovet-keznek.Ha az �egitestek felkel�es�enek �es lenyugv�as�anak pontos hely�et �es idej�etakarjuk meghat�arozni, akkor �gyelembe kell venn�unk azt is, hogy a sil-lag�aszati refrak i�o m�odos��tja az �egitestek l�atsz�olagos hely�et (megn�ovelveazok horizont f�ol�otti magass�ag�at). A Nap �es Hold eset�eben m�eg arra is�gyelni kell, hogy ezek az �egitestek korong szer}unek l�atszanak �es r�eszbenm�ar akkor megjelennek a horizont f�ol�ott, amikor k�oz�eppontjuk m�eg j�oval ahorizont alatt tart�ozkodik | a koordin�at�ak viszont az �egitestek l�atsz�o ko-rongj�anak k�oz�eppontj�ara vonatkoznak. A Naprendszer�unk �egitestjeire vo-natkoz�o pontos sz�am��t�asok eset�eben m�eg azok parallaxis�at is �gyelembe kellvenni, ami a meg�gyel�esi helynek a F�old k�oz�eppontj�at�ol val�o t�avols�ag�ab�olered. A refrak i�ora �es parallaxisra vonatkoz�o ismereteket egy k�es}obbi feje-zetben t�argyaljuk.

52 2. FEJEZET. SZF�ERIKUS CSILLAG�ASZAT