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TEMA: FUERZAS - ESTATICA
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I. FUERZA En fsica, la fuerza es todo agente capaz de modificar
la
cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir,
la fuerza expresa la accin mecnica de un cuerpo sobre
otro.
Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificacin
completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una direccin y
sentido, y (c) un punto de aplicacin.
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ELEMENTOS DE LA FUERZA
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I. FUERZA_1 La fuerza produce dos efectos:
A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza
F =
500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y
sobre el perno.
B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las
deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el
seno
del material
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I. FUERZA_2 Al estudiar la mecnica de los cuerpos rgidos donde
se tiene
en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza
como un vector deslizante es decir, goza del principio de
transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse
aplicada en cualquier punto de su lnea de accin sin que
altere su efecto exterior sobre el cuerpo
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II. CLASES DE FUERZAS 1. FUERZAS DE CONTACTO.
Se generan mediante el
contacto fsico directo entre
dos cuerpos
2. FUERZAS MASICAS
se crean por accin a
distancia. Ejm. la fuerza
gravitacional, elctrica y
magntica.
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II. CLASES DE FUERZAS_2 1. FUERZAS CONCENTRADAS .
Aquellas que se consideran aplicada en un punto
2. FUERZAS DISTRIBUIDAS
Aquellas que se consideran aplicadas en una lnea, un rea o
un volumen
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III. UNIDADES DE FUERZA Una fuerza puede medirse comparndola con
otras fuerzas
conocidas, recurriendo al equilibrio mecnico, o por
deformacin calibrada de un resorte.
La unidad patrn de la fuerza en el SI de unidades es el Newton
(1 N)
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III. FUERZA RESULTANTE Consideremos dos fuerzas actuando sobre
un cuerpo como
se ve en la figura .
Geomtricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o
tringulo. Su modulo y direccin son
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 cos
( )
R
R
F F F F F
F F F
sen sen sen
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EJEMPLO O1
Determine el ngulo para conectar el elemento a la placa tal que
la resultante de las fuerzas FA
y FB est dirigida horizontalmente a la derecha.
Determine adems la magnitud de la fuerza
resultante
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EJEMPLO O2
La resultante FR de las dos fuerzas que actan sobre el
tronco de madera est dirigido a lo largo del eje x positivo
y
tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ngulo que forma el
cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB
en este cable sea un mnimo. Cul sera la magnitud de la
fuerza en cada cable para esta situacin?
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IV. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA
1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
2 2
1 2
cos
(cos )
(cos )
R x y
R x y
R
R
R
y
x
F F F
F F i F j
F F i Fsen j
F F i sen j
i sen j
F F F
Ftg
F
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Ejemplo
Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas
mostradas en la figura
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IV. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA
2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO
R A A B BF F F
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Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada
en la figura, una de ellas acta en la direccin de AB
mientras
que la lnea de accin de la otra componente pasa por C
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Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 100 N representada
en la figura , una de ellas acta en la direccin de AB y la
otra
paralela a BC.
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EJEMPLO O2
La fuerza de 500 N que acta sobre la armadura ha de ser
resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los
ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la
fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C,
determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB
y el ngulo de la fuerza de 500 N
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EJEMPLO O2
La fuerza F de 500 N est aplicada al poste vertical tal
como se indica . (a) Escribir F en funcin de los vectores
unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y
escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los
ejes x e y; hallar las componentes escalares de F en los ejes x
e y.
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IV. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA
3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO
2 2 2
( )
cos cos cos
(cos cos cos )
(cos cos cos )
R H z
R x y z
R
R
R x y z
F F F
F F i F j F k
F F i F j F k
F F i j k
i j k
Modulo
F F F F
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IV. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA
3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO
cos xF
F
cosyF
F
cos zF
F
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V. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS
PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIN
En algunos caso la fuerza est definida por su modulo y dos
puntos de su lnea de accin. En este caso
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2
x y z x y z
x y z
MNF F F
MN
x x i y y j z z kF F
x x y y z z
d i d j d k d i d j d kF F F
dd d d
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EJEMPLO O2
Combinar las dos fuerza P y T, que actan sobre el punto
B de la estructura fija, para obtener una nica fuerza R.
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EJEMPLO O2
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la
magnitud y la direccin de la fuerza resultante.
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EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 36 kN en funcin de los vectores
unitarios i, j y k. Hallar la proyeccin sobre el eje x
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EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 400 N en funcin de los vectores
unitarios i, j y k. Hallar la proyeccin sobre la recta OA.
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EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de
110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la
otra es perpendicular a esta lnea.
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MOMENTO DE UNA FUERZA En mecnica newtoniana, se denomina momento
de una
fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial,
obtenida como producto vectorial del vector de posicin del
punto de aplicacin de la fuerza con respecto al punto al
cual
se toma el momento por la fuerza, en ese orden. Tambin se
le denomina momento dinmico o sencillamente momento.
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MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de
un punto O viene dado por el producto vectorial
del vector de posicin OP por el vector fuerza F; esto es
El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.
La magnitud del momento esta dado por
El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano
derecha.
Dado que las fuerzas tienen carcter de vectores deslizantes, el
momento de una fuerza es independiente de su punto de
aplicacin sobre su recta de accin o directriz.
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INTERPRETACIN DEL MOMENTO DE UNA
FUERZA
El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en
qu medida existe capacidad en una fuerza o sistema de
fuerzas para causar la rotacin del cuerpo alrededor de un
eje
que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual
se aplica y es una magnitud caracterstica en elementos
que trabajan sometidos a torsin (como los ejes de
maquinaria) o a flexin (como las vigas
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COMPONENTES RECTANGULARES DEL
MOMENTO
El momento de la fuerza respecto a O es
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COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO
CUALQUIERA
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COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO EN EL PLANO
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Ejemplo
Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con respecto
a los puntos (a) E y (b) S
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Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al
extremo de una palanca que est unida a un
eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100 lb con
respecto al punto O,
(b) el mdulo de la fuerza horizontal que
aplicada en A produce el mismo momento
produce el mismo momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en A
produce el mismo momento respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe aplicarse una
fuerza vertical de 240 lb para que produzca el
mismo momento respecto a O
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Parte (a) La magnitud del momento de
la fuerza de 100 lb se obtiene
multiplicando la fuerza por el brazo de
palanca esto es
La direccin de Mo es perpendicular al
plano que contiene F y d y su sentido se
determina mediante la regla derecha
in. 12lb 100
in. 1260cosin.24
O
O
M
d
FdM
in lb 1200 OM
SOLUCIN
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Parte (b) La fuerza que aplcada
en A produce el mismo momento
se determina en la forma
siguiente
SOLUCIN
in. 8.20
in. lb 1200
in. 8.20in. lb 1200
in. 8.2060sinin. 24
F
F
FdM
d
O
lb 7.57F
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Parte (b) Debido a que M = F d. el
mnimo valor de F corresponde al
mximo valor de d. Eligiendo la fuerza
perpendicular a OA se encuentra que d
= 24 in; entonces
SOLUCIN
in. 42
in. lb 1200
in. 42in. lb 1200
F
F
FdMO
lb 50F
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Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo
SOLUCIN
in. 5cos60
in. 5lb 402
in. lb 1200
lb 240in. lb 1200
OB
d
d
FdMO
in. 10OB
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Ejemplo
La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por
un alambre CD. Conociendo que la tensin e el alambre es
200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la
fuerza ejercida por el alambre en C
El momento MA de la
fuerza F ejercida por el
alambre es obtenido
evaluando el producto
vectorial
SOLUCIN
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SOLUCIN
FrM ACA
jirrr ACAC
m 08.0m 3.0
kji
kji
r
rFF
DC
DC
N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
12896120
08.003.0
kji
M A
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Ejemplo
La tensin en el cable AB es 150 N. Determine la tensin en AC y
CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen
debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es
cero.
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Ejemplos
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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO
A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN Sabemos que el momento de la
fuerza F respecto al punto O.
El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la
proyeccin
ortogonal de Mo sobre el eje OL.
El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de
la
fuerza F a impartir al cuerpo rgido
rotacin alrededor del eje OL
0 . . .OLM M r F
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MOMENTO DE UNA FUERZA CON
RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR
UN PUNTO CUALQUIERA
El momento de una fuerza alrededor de un eje
cualquiera es
El resultado es independiente del punto B
//
. . .OL B A B
A B A B
M M r F
r r r
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Ejemplo Sobre un cubo de arista a
acta una fuerza P, como se
muestra en la figura. Determine
el momento de P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista AB.
(c) Con respecto a la diagonal
AG
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SOLUCIN
kjiaPM A
2
La magnitud del momento respecto a AB es
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SOLUCIN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
1116
23
1
2
3
1
3
aP
kjiaP
kjiM
kjiaP
M
kjia
kajaia
r
r
MM
AG
A
GA
GA
AAG
6
aPM AG
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Ejemplo
Se aplica una tensin T de intensidad 10 kN al cable
amarrado al extremo
superior A del mstil rgido
y se fija en tierra en B.
Hallar e momento Mz de T
respecto del eje Z que
pasa por la base O del
mstil.
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Ejemplo
La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y est
dirigida de A hacia B.
Determine : (a) La
proyeccin FCD de La
fuerza F sobre la recta CD
(b) el ngulo que forma la fuerza F y la recta CD y
(c) si el modulo del
momento F respecto a la
recta CD es de 50 N. m,
halle el mdulo de la
fuerza
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Ejemplo
La tensin el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor
del eje x de esta fuerza de tensin actuando en A.
Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de
la placa uniforme alrededor del eje x. Cul es el momento de
fuerza de tensin actuando en A alrededor de la lnea OB
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Ejemplo Una barra doblada est rgidamente fijada a una pared en
el
punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb acta en su
extremo libre con una lnea de accin que pasa por el origen,
como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la
lnea
l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.
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PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre
un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la
fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado
mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras
individuales respecto al mismo punto. Es decir:
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CUPLA O PAR DE FUERZAS
La cupla o par de fuerzas es un sistema
formado por dos fuerzas F y F que tiene la misma magnitud, lneas
de accin paralelas
pero de sentidos opuestos.
El momento de la cupla es,
El vector momento de la cupla es un vector
independiente del origen o es decir es un
vector libre perpendicular al plano que
contiene la fuerzas
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DIRECCIN Y SENTIDO DEL PAR
La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y
su sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha
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CUPLA O PAR DE FUERZAS
Dos cuplas tendrn igual momento si:
a)
b) Las dos cuplas se encuentran
ubicadas en planos paralelos
c) La dos cuplas tienen el mismo
sentido o la misma tendencia a causar
rotacin y la misma direccin
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Ejemplo de cupla
Determine el momento de la cupla mostrada en la figura y la
distancia perpendicular entre las dos
fuerzas
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Ejemplo de cupla
Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1
= (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y
actan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en
la figura. Determine el momento de la cupla y la
distancia perpendicular entre las dos fuerzas
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EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dos sistemas de fuerzas son
equivalentes (es decir producen el mismo
efecto sobre un slido) si pueden transformarse el uno en el
otro
mediante una o varias de las operaciones siguientes:
a) Sustituyendo dos fuerzas que actan sobre la misma partcula
por su
resultante;
b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y
c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actan sobre la
misma
partcula
d) Aplicando a una partcula dos fuerzas iguales y opuestas
e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte
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Dos fuerzas, A y B, y un par de 200 lb-pie actan sobre la viga.
La
suma de las fuerzas es igual a cero, y los momentos respecto
al
extremo izquierdo de la viga tambin suman cero. Qu valor
tienen
las fuerzas A y B?
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Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares
sobre el tubo
de la figura
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SISTEMAS FUERZA CUPLA Cualquier fuerza F aplicada a un slido
rgido puede ser trasladada
a un punto arbitrario B, sin ms que aadir una cupla cuyo
momento sea igual al momento de F respecto de B
No hay cambio en el
efecto externo
Cupla
Por tanto, cualquier fuerza F que acte
sobre un cuerpo rgi do puede ser trasladada
a un punto arbitrario O siempre y cuando se
agregue un par cuyo momento sea igual al
momento de F con respecto a O.
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SISTEMAS FUERZA CUPLA
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Seleccionar un
punto para
encontrar el
momento
Remplazar las
fuerzas por una
fuerza y un par en
el punto O
Sumar las fuerza y
cuplas
vectorialmente para
encontrar la
resultarte y el
momento resultante
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Ejemplo Reemplace la fuerza de 350 N por una fuerza y una cupla
en
el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
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solucin Se trazan dos fuerzas en B
como se ve en la figura . La
expresin vectorial de F es
El momento C ser
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Reemplace el par y la fuerza mostrados en la figura por una sola
fuerza
equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde
el eje hasta el
punto de aplicacin de esta fuerza equivalente.
SOLUCIN
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Ejemplo Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por
una
fuerza y una par en el punto A. Exprese su respuesta en
coordenadas cartesianas
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Ejemplo La tensin en el cable sujeto al extremo C del botaln
ajustable
ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C
por
un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B
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Ejemplo Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un
miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza par
equivalente en C, (b) un sistema equivalente
compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda
fuerza en D
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Ejemplo La fuerza horizontal P acta como se muestra sobre la
palanca
acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente
en B.
Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al
par
hallado en la parte (a)
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Ejemplo
Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par
actuando en A
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SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos
al
mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.
Dos sistemas de fuerzas F1, F2, F3, , y F1, F2, F3, . . . , que
actan sobre el mismo cuerpo rgido son equivalentes si, y slo si,
respectivamente, las
sumas de las fuerzas y las sumas de los momentos con respecto a
un punto
dado O de las fuerzas de los dos sistemas son iguales
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Cuando dos sistemas de vectores satisfacen las ecuaciones,
esto es, cuando respectivamente sus resultantes y sus momentos
resultantes con
respecto a un punto arbitrario O son iguales, se dice que los
dos sistemas son
equipolentes. Por tanto, el resultado que se acaba de establecer
en la seccin
anterior se puede enunciar como sigue: si dos sistemas de
fuerzas que actan
sobre un cuerpo rgido son equipolentes, entonces ambos tambin
son
equivalentes.
Decimos que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
mdulo,
direccin y sentido.
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OTRAS REDUCCIONES DE UN SISTEMA DE FUERZAS
Sistema de fuerzas concurrentes.
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Sistema de fuerzas coplanares
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Sistema de fuerzas paralelas
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REDUCCIN DE UN SISTEMA DE FUERZAS
A UNA LLAVE DE TORSIN O TORSOR
