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Função Exponencial 2013
1. (Uerj 2013) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.
t
20tV V 0,64
Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. 2. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu
o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos.
Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo
matemático, atN k 2 , com t em horas e N em milhares de micro-organismos.
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) 80.000. b) 160.000. c) 40.000. d) 120.000.
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3. (Unesp 2013) A revista Pesquisa Fapesp, na edição de novembro de 2012, publicou o artigo
intitulado Conhecimento Livre, que trata dos repositórios de artigos científicos disponibilizados gratuitamente aos interessados, por meio eletrônico. Nesse artigo, há um gráfico que mostra o crescimento do número dos repositórios institucionais no mundo, entre os anos de 1991 e 2011.
Observando o gráfico, pode-se afirmar que, no período analisado, o crescimento do número de repositórios institucionais no mundo foi, aproximadamente, a) exponencial. b) linear. c) logarítmico. d) senoidal. e) nulo. 4. (Pucrs 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico
modelado pela fórmula k tq 10 2 , onde q representa a quantidade de substância radioativa
(em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) 35 5
b) 33 10
c) 5 33
d) 10 33
e) 100 33
5. (Espcex (Aman) 2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura
pode ser descrita pela expressão kt0N t N 2 , sendo 0N a população no início do
tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a
a) 15
b) 15 c) 10
d) 110
e) 110
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6. (Ufjf 2012) Seja f : uma função definida por xf x 2 . Na figura abaixo está
representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f.
A medida da área do trapézio ABCD é igual a: a) 2
b) 8
3
c) 3 d) 4 e) 6 7. (Ufpr 2012) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante
conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de
determinada espécie numa área de proteção ambiental: 2 t
500P(t) ,
1 2
sendo t o tempo em
anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual
valor? Justifique sua resposta.
8. (Uepb 2012) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da função
x2
f(x)3
e uma
sequência infinita de retângulos associados a esse gráfico.
A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência infinita em unidade de área é
a) 3 b) 1
2 c) 1 d) 2 e) 4
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9. (Ufrgs 2012) Considere a função f tal que
2x 15
f(x) k ,4
com k > 0.
Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que pode representar a função f.
a) b) c)
d) e) 10. (Fuvest 2011) Seja bx cf x a 2 , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a
semirreta 1, e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4).
Então, o produto abc vale a) 4 b) 2 c) 0 d) - 2 e) - 4 11. (Unifesp 2011) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas
hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento
do cabo é descrito matematicamente pela função x
x 1f x 2
2
, com domínio [A, B].
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o
comportamento do cabo seguir precisamente a função dada?
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12. (Espm 2011) O valor de y no sistema
5x y
2x y
(0,2) 5
(0,5) 2
é igual a:
a) 5
2
b) 2
7
c) 2
5
d) 3
5
e) 3
7
13. (Epcar (Afa) 2011) Dada a expressão
24x x1
3
, em que x é um número real qualquer,
podemos afirmar que a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3. b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3.
c) o menor valor que a expressão pode assumir é 1
81.
d) o maior valor que a expressão pode assumir é 1
27.
e) o menor valor que a expressão pode assumir é 1
9.
14. (Uepg 2011) Certa população de insetos cresce de acordo com a expressão
t
6N 500.2 ,
sendo t o tempo em meses e N o número de insetos na população após o tempo t. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) O número inicial de insetos é de 500. 02) Após 3 meses o número de insetos será maior que 800. 04) Após um ano o número total de insetos terá quadruplicado. 08) Após seis meses o número de insetos terá dobrado. 15. (Unicamp 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se
café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que
a)
t4
75M(t) 2 .
b)
t4
50M(t) 2 .
c)
t5
50M(t) 2 .
d)
t5
150M(t) 2 .
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16. (Uepg 2010) Em relação a função de R em R definida por f(x) = 3
x + 2, assinale o que for
correto.
01) f(f(0)) = 29 02) Sua imagem é o conjunto ]2, + [ 04) f(a + b) = f(a) + f(b) 08) A função é decrescente. 16) f(x + 1) – f(x) = 2.3
x
17. (Uff 2010) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k a
x, foi construído
utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org),
conforme mostra a figura a seguir:
Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:
a) os valores das constantes a e k;
b) f (0) e f (3).
18. (Pucmg 2010) O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à
metade a cada 15 meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 15
t
2
, onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00 19. (Pucmg 2008) Os pontos ( 1,6) - e (0,3) pertencem ao gráfico da função f (x) b . a
x, em que
a e b são constantes não nulas. Então, o valor de f (- 3) - é igual a:
a) 18 b) 24 c) 30 d) 36
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20. (Ufrrj 2007) O gráfico a seguir descreve a função f(x) = a2x
- 1, em que a é positivo. Nessas
condições qual o valor de a?
a) - 3 b) - 2 c) 2 d) 3 e) 4
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Gabarito: Resposta da questão 1:
Sabendo que 0V 50000, temos que o valor de venda daqui a três anos é igual a
3
2 2512
V(3) 50000 [(0,8) ] 50000 R$ 25.600,00.1000
Resposta da questão 2: [D] Do gráfico, temos
a 0(0,10) 10 k 2 k 10
e
a 2
2a
(2, 20) 20 10 2
2 2
1a .
2
Logo,
t
2N(t) 10 2 e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de
micro-organismos entre t 4 e t 8 horas deve ter sido de
N(8) N(4) 160 40 120.000.
Resposta da questão 3: [A]
O gráfico apresentado é semelhante ao gráfico da função f : , definida por xf(x) a ,
com a 1. Logo, o crescimento do número de repositórios institucionais no mundo foi,
aproximadamente, exponencial. Resposta da questão 4: [D]
Para t 3,3 h sabe-se que q 5 g. Logo,
k 3,3 3,3k 15 10 2 2 2
3,3k 1
10k .
33
Resposta da questão 5: [B]
De acordo com as informações, vem k 10 10k 2 100
NN 2 2 2 k 5 .
4
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Resposta da questão 6:
[C]
A área do trapézio ABCD é dada por:
2 1f(2) f(1) 2 2 6
(2 1) 3 u.a.2 2 2
Resposta da questão 7:
a) Para t ? temos P(t) 400
Portanto:
2 t 2 t 2 t
2 t
500 500 5 1400 1 2 2 1 2 t 4
400 4 4 1 2
b) Para t muito grande, o valor 2 t2 tende a ser 0; logo, P(t) será dado por 500
P(t) 500 1 0
.
Portanto, o número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500. Resposta da questão 8:
[D]
Como a medida da base de cada um dos retângulos é igual a 1, segue-se que a soma pedida é
dada por
2 32 2 2
f(1) f(2) f(3)3 3 3
2
32
13
2.
Resposta da questão 9:
[A]
Sendo k > 0, Suponha k = 2. Então,
2x 15
f(x) 24
.
Logo: 2( 2) 1
2( 1) 1
2(0) 1
2(1) 1
5 7274Para x 2 f( 2) 2 f( 2) 2,32.
4 3125
5 314Para x 1 f( 1) 2 f( 2) 2,51.
4 125
5 14Para x 0 f(0) 2 f(0) 2,8.
4 5
5 13Para x 1 f(1) 2 f(1) 3,25.
4 4
Para x 2 f
2(2) 15 253
(2) 2 f(2) 3,95.4 64
.
Portanto, a função f(x) é crescente e seus valores estão acima de k unidades acima.
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Resposta da questão 10:
[A] Como a imagem inicia-se em -1, concluímos que a = -1; Logo, f(x) = -1 + 2
x+ c
Como f(1) = 0, temos 0 = -1 +2b.1+c
2b+c
= 2o b + c = 0
Como f(0) = 3
4 , temos
3
4 = -1 + 2
c 2
c = ¼ c = -2 e b = 2
Logo, a.b.c = -1.2.(-2) = 4 Resposta da questão 11:
a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio é dada por:
0
0 1f(0) 2 1 1 2 m.
2
b) A distância entre as hastes é 2B, pois O é o ponto médio de AB. Logo,
BB
2B B
B 2
B 2
B
B
B
1f(B) 2,5 2 2,5
2
2 2,5 2 1 0
(2 1,25) 1,5625 1 0
(2 1,25) 0,5625
2 1,25 0,75
2 2 B 1
ou ou .
B 12 0,5
Como B 0, segue que 2B 2 1 2 m.
Resposta da questão 12:
[E] Temos que
5x y 1 5x y 1
2x y 1 2x y 1
(0,2) 5 (5 ) 5
(0,5) 2 (2 ) 2
5x y 1
2x y 1
2x
7.
3y
7
Portanto, o valor de y no sistema é 3
7.
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Resposta da questão 13:
[C]
Como 1
1,3
a expressão
24x x1
3 assume seu menor valor quando 24x x assume seu valor
máximo. Desse modo, segue que para x 2 a expressão
2 24x x 4 (x 2)
assume valor máximo igual a 4 e, portanto,
41 1
3 81 é o valor mínimo procurado.
Resposta da questão 14: 01 + 04 + 08 = 13. Item (01) – Verdadeiro
Para t = 0
0
6N 500.2 500.
Item (02) – Falso
Para t = 3
3
6N 500.2 500. 2 707.
Item (04) – Verdadeiro
Para t = 12
12
6N 500.2 500.4 2000.
Item (08) – Verdadeira
Para t = 6
6
6N 500.2 500.2 1000.
Resposta da questão 15: [A] Dentre as funções apresentadas nas alternativas, a única cujo gráfico passa pelos pontos
(0,16) e (150, 4) é
t4
75M(t) 2 .
Com efeito,
04
75M(0) 2 16
e
1504
75M(150) 2 4.
Resposta da questão 16:
01 + 02 + 16 = 19
(01) verdadeiro, f(0) = 3o + 2 = 3 e f(3) = 3
3 + 2 = 29
(02) verdadeiro, a imagem de 3x é ]0,+ [ logo a imagem de 3
x + 2 é ]2, + [
(04) falso, ex 31+2
+2 31+ 2 + 3
2 + 2
(08) falso, A função é crescente.
(16) verdadeiro, 3x+1
+ 2 -.(3x + 2) = 3.3
x+2-3
x – 2= 2.3
x
2
conjunto imagem
x
y
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Resposta da questão 17:
a)
)(.2
9
)(.3
2
1
IIak
Ika dividindo (II) por (I) temos: a = 3/2 e 3 = k.
2
3 k = 2
b)
x
xf
2
3.2)(
22
3.2)0(
0
f
4
27
2
3.2)3(
3
f
Resposta da questão 18:
[B]
V(45) = 60.000. 15
45
2
V(45) = 60.000.2-3
= 60.000.(1/8) = 7500
Resposta R$ 7.500,00 Resposta da questão 19:
[B] Resposta da questão 20:
[D]