Função Polinomialgma00116 Aula 16

Pr-Clculo

Humberto Jos Bortolossi

Departamento de Matemtica Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 16

23 de junho de 2011

Aula 16 Pr-Clculo 1

Funo polinomial

Aula 16 Pr-Clculo 2

Funo polinomial

Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se

p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.

Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).

Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).

Definio

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Funo polinomial





Definio

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Funo polinomial





Definio

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Funo polinomial





Definio

Aula 16 Pr-Clculo 6

Funo polinomial





Definio

Aula 16 Pr-Clculo 7

Funo polinomial: exemplos

So exemplos de funes polinomiais:

p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7

2 x 9 (de grau 7),

as funes afins e quadrticas,

p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.

No so funes polinomiais:

f (x) =1x= x1, f (x) =

x = x1/2, f (x) = 2x .

Aula 16 Pr-Clculo 8



p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7

2 x 9 (de grau 7),




f (x) =1x= x1, f (x) =

x = x1/2, f (x) = 2x .

Aula 16 Pr-Clculo 9



p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7

2 x 9 (de grau 7),




f (x) =1x= x1, f (x) =

x = x1/2, f (x) = 2x .

Aula 16 Pr-Clculo 10



p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7

2 x 9 (de grau 7),




f (x) =1x= x1, f (x) =

x = x1/2, f (x) = 2x .


Funo polinomial versus polinmio

Um polinmio uma expresso formal do tipo

p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,

onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:

p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).

Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.




p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,


p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).



O algoritmo da diviso de Euclides



Dadas duas funes polinomiais p e d (com d no identicamentenula), existem nicas funes polinomiais q e r tais que

p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,

onde r identicamente nula ou o grau de r menor do que o graude d . Neste caso, p chamado de dividendo, d de divisor, q dequociente e r de resto da diviso de p por d . Quando o resto r umafuno identicamente nula, dizemos que p divisvel por d .


possvel demonstrar este teorema formalizando o processoque descreveremos a seguir.




p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,





O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo

x4 3x3 + x 1 p(x)

= (x2 + x 3) q(x)

(x2 x + 1) d(x)

+(3x + 2) r(x)



x4 3x3 + x 1 p(x)

= (x2 + x 3) q(x)

(x2 x + 1) d(x)

+(3x + 2) r(x)



x4 3x3 + x 1 p(x)

=(x2 + x 3) q(x)

(x2 x + 1) d(x)

+(3x + 2) r(x)



x4 3x3 + x 1 p(x)

= (x2 + x 3) q(x)

(x2 x + 1) d(x)

+(3x + 2) r(x)



x4 3x3 + 2x2 2 p(x)

= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)

(x + 1) d(x)

+ 4r(x)



x4 3x3 + 2x2 2 p(x)

=(x3 4x2 + 6x 6) q(x)

(x + 1) d(x)

+ 4r(x)



x4 3x3 + 2x2 2 p(x)

= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)

(x + 1) d(x)

+ 4r(x)


O dispositivo de Horner(dispositivo de Briot-Ruffini)


O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)

O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini) umamaneira rpida de efetuarmos a diviso de uma funopolinomial p por uma funo polinomial de grau 1 da formad(x) = x .



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1

1?



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1

1*(1)



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1

1 4?+



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4

1 4*(1)



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4

1 4 6?+



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4 6

1 4 6*(1)



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4 6

1 4 6 6?+



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4 6 6

1 4 6 6*(1)



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4 6 6

1 4 6 6 4?+



p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).

1 3 2 0 2 1 1 4 6 6

1 4 6 6 4


Teorema de DLambert

Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().

Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,

p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().

No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).

Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,

p(x) = q(x)(x ),

para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.


Teorema de DLambert



p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().



p(x) = q(x)(x ),



Teorema de DLambert

Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,

p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()

para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.

Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,

p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),

para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().


Teorema de DLambert


p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()



p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),



Teorema de DLambert

Corolrio. Uma funo polinomial de grau n no pode ter mais do que n razes reaisdistintas.


Exemplo

Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:

1 3 3 3 21 1 2 1 2

1 2 1 2 0

conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:

1 2 1 22 2 0 2

1 0 1 0

conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,

p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).


Exemplo


1 3 3 3 21 1 2 1 2

1 2 1 2 0


1 2 1 22 2 0 2

1 0 1 0


p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).


O teorema fundamental da lgebra



Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.

A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.

Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,

p(x) = q(x)(x )m,

onde q() 6= 0.

Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento

p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.






p(x) = q(x)(x )m,

onde q() 6= 0.




O teorema da decomposio em fatores irredutveis

Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.

Demonstrao. Temos que

p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.

Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).


Como calcular as razes de uma funopolinomial?


Como calcular as razes de uma funo polinomial?

Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.

Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.

Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.

Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.

Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).

Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.


Pesquisa de razes inteiras

Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.

Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento

p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0

= an n1 an1 n2 a1 Z.

Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.



Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polin

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