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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
4.1
Capítulo
4 Função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15
Função quadrática
Os números reais a, b e c são os coeficientes da função quadrática.
g(x) = , em que a = – , b = 0 e c = 5
h(x) = –x + , em que a = , b = –1 e c = 0
4.1
Uma função f: ℝ ℝ é função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x real.
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Valor de uma função quadrática
Nesse caso, temos ; então:
Logo:
4.2
Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular .
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c ℝ e a ≠ 0
Temos:
Se f(0) = 2, para x = 0, temos f(x) = 2.Portanto: 2 = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c c = 2 (I)
Se f(2) = 12, para x = 2, temos f(x) = 12.Portanto: 12 = a ∙ 22 + b ∙ 2 + c 4a + 2b + c = 12 (II)
Se f(–1) = 6, para x = –1, temos f(x) = 6.Portanto: 6 = a ∙ (–1)2 + b ∙ (–1) + c a – b + c = 6 (III)
4.3
Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f.
Lei de formação de uma função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
De (I), (II) e (III), obtemos o sistema:
Pela equação (I), temos c = 2.
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações (II) e (III), substituindo c por 2:
4.3
Lei de formação de uma função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Substituindo a por 3 em a – b = 4, temos:Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = 3x2 – x + 2
a = 3b = –1
4.3
Lei de formação de uma função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Resolução
R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:
a) g( ) b) x tal que g(x) =
a) g( )
4.4
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b)
x = 0 ou x =
Exercício resolvido
4.4
R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:
a) g( ) b) x tal que g(x) =
Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Escrever a lei que relaciona o raio desse setor e a área da figura.
b) Considerando = 3,14, determinar o raio para que a área da peça seja igual a 25 cm2.
4.5
Exercício resolvido
R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o molde de um setor circular.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Resolução
a) O molde da peça metálica, ou seja, o setor circular, corresponde a do círculo.
b) a Sabendo que a área do círculo é r2, sendo r seu raio, então a área do setor circular é:
4.5
Exercício resolvido
R2.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) Para que a área da peça seja igual a 25 cm2, fazemos A = 25; então:
A = 25 r2 =
Logo, o raio do setor circular é aproximadamente 5,64 cm.
Exercício resolvido
4.5
r2 31,85 r 5,64
Resolução R2.
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
ExemploGráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3
4.6
x h(x)
–1 8
0 3
1 0
2 –1
3 0
4 3
5 8
Gráfico da função quadrática – Parábola
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
4.6
ExemploGráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3
x h(x)
–1 8
0 3
1 0
2 –1
3 0
4 3
5 8
Gráfico da função quadrática – Parábola
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
f(x) = x2 – 9
4.7
x f(x)
0 –9
1 –8
3 0
–1 –8
–3 0
Exemplo
Gráfico da função quadrática – Parábola
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
g(x) = –x2 + 8x – 12
4.7
x g(x)
1 –5
2 0
4 4
6 0
7 –5
Exemplo
Gráfico da função quadrática – Parábola
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Como a = 2 > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima.
j(x) = 2x2 + 4
4.8
Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Como , então a concavidade da parábola é voltada para baixo.
4.8
Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Analisar a concavidade da parábola em função de m.
b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função passe pelo ponto (0, –3)?
R3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m.
Resolução
a) A concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a da função.
Para o gráfico ter a concavidade voltada para cima, o coeficiente de x2 deve ser positivo: m – 3 > 0 m > 3
Exercício resolvido
4.9
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Para o gráfico ter a concavidade voltada para baixo, o coeficiente de x2 deve ser negativo: m – 3 < 0 m < 3
b) Substituindo as coordenadas do ponto (0, –3) na lei da função, temos: –3 = (m – 3) ∙ 0 + 2 ∙ 0 – m m = 3
Mas, se m = 3, a função f não é quadrática, pois: a = 3 – 3 = 0
Portanto, não existe m ℝ tal que a parábola passe pelo ponto (0, –3).
Exercício resolvido
4.9
ResoluçãoR3.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola que representa a função f intercepta o eixo y no ponto (0, –1). A ordenada –1 desse ponto é o coeficiente c da função f.
4.10
O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola que representa a função g intercepta o eixo y no ponto (0, 3). A ordenada 3 desse ponto é o coeficiente c da função g.
4.10
O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Considerando uma função quadrática cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, as coordenadas do ponto onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c).
4.10
O ponto em que a parábola intercepta o eixo y
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
em que = b2 – 4ac
4.11
f(x) = ax2 + bx + c(a, b e c ℝ e a 0)f(x) = 0ax2 + bx + c = 0
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:
4.11
Quando > 0, a função tem dois zeros reais distintos.
e
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:
Quando = 0, a função tem um zero real duplo.
4.11
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola não intercepta o eixo x:
Quando < 0, a função não tem zeros reais.
4.11
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os pontos em que a parábola intercepta o eixo x
Para isso, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau:x2 – 4x + 3 = 0
4.12
= (–4)2 – 4 1 3 = 16 – 12 = 14
x = 3 ou x = 1
Exemplos
Assim, os zeros da função são: x1 = 1 e x2 = 3
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em dois pontos: (1, 0) e (3, 0)
4.12
Exemplos
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e ospontos onde a parábola intercepta o eixo x. Para isso, vamos encontrar as raízes reais da equação:
x2 – 4x + 4 = 0
4.13
= (–4)2 – 4 1 1 = 0
Assim, x1 = x2 = 2 (f(x) possui um zero real duplo)
Exemplos
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em um único ponto: (2, 0)
4.13
Exemplos
Zeros da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e se a parábola correspondente intercepta o eixo x.
Para isso, vamos resolver a equação do 2o grau: x2 – 4x – 5 = 0
Como < 0, a equação –x2 – 4x – 5 não tem raízes reais e, portanto, a função f(x) = –x2 – 4x – 5 não tem zeros reais.
= (–4)2 – 4 (–1) (–5) = 16 – 20 = –4
4.14
Exemplos
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
c) Logo, o gráfico da função não intercepta o eixo x:
4.14
Exemplos
Zeros da função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R4. Considerando a função quadrática determinada por f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a função admite dois zeros reais distintos?
Resolução
Vamos calcular o discriminante da equação –2x2 – 6x – k = 0.
Para a função ter dois zeros, o discriminante deve ser positivo( > 0).
Logo: 36 + 8k > 0 k >
4.15
= (–6)2 – 4 2 (–k) = 36 + 8k
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x) = kx2 + 2 passe pelo ponto A(1, 5).
Resolução
Substituindo as coordenadas do ponto A na lei da função f, obtemos a equação:
Portanto, a função quadrática que passa pelo ponto A(1, 5) é:
4.16
f(1)= 5 k ∙ 12 + 2 = 5 k = 3
Exercício resolvido
f(x) = 3x2 + 2
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola intercepta o eixo y no ponto (0, –6).
Logo, f(0) = –6; assim, c = –6.Então, temos: f(x) = ax2 + bx – 6
Resolução
4.17
Exercício resolvido
R6. Determinar a lei da função quadrática com base no gráfico.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A parábola intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Isso significa que 3 é zero da função f. Logo: f(3) = 0
Assim: a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0 9a – 3b = 6 (I)
Logo: f(3) = 6A parábola passa pelo ponto (3, 6).
Portanto: a(3)2 + b(3) – 6 = 6 9a + 3b = 12 (II)
4.17
Exercício resolvido
ResoluçãoR6.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
Somando, membro a membro, a equação (I) com a equação (II), obtemos:
Substituindo a = 1 na equação (I) ou (II), obtemos: b = 1Portanto, a lei da função quadrática representada pelo gráficoé: f(x) = x2 + x – 6
4.17
R6. Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vértice do gráfico da função quadrática
x f(x)
–1 8
0 3
1 0
2 –1
3 0
4 3
5 8
4.18
f(x) = x2 – 4x + 3
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Quaisquer dois valores de x equidistantes de xV têm a mesma imagem.f(a) = f(b) = c
4.19
Eixo de simetria
Vértice do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A equação do eixo de simetria é x = 3.
4.20
Exemplos f(x) = –x2 – 6x – 5
Vértice do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A equação do eixo de simetria é x = –2.
4.20
f(x) = x2 + 4x + 10
Vértice do gráfico da função quadráticaExemplos
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A equação do eixo de simetria é x = –1.
4.20
f(x) = 3x2 + 6x + 3
Vértice do gráfico da função quadráticaExemplos
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico da função cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, são dadas por:
xv = e yv =
4.21
Vértice do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = –x2 – 5x – 7.
Utilizando as fórmulas do vértice, temos:
Portanto, as coordenadas do vértice são:
4.22
= (5 –)2 – 4 (–1) (–7) = –3
Exemplo
Vértice do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Conhecendo xv, podemos calcular yv sem utilizar a fórmula. Basta substituir o valor de xV na lei da função. Temos:
Então:
=
4.22
Ou:
Vértice do gráfico da função quadráticaExemplo
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R7. Sabendo que uma função quadrática tem como coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5, determinar a lei de formação dessa função.
Para determinar a lei de uma função quadrática, precisamos encontrar os coeficientes a, b e c da função de modo que f(x) = ax2 + bx + c.
Resolução
4.23
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
(I)
(II)
Como 1 é zero da função, f(1) = 0, ou seja:
a 12 + b 1 + c = 0 a + b + c = 0 (III)
4.23
Como o vértice da parábola é (3, 4), temos:
ResoluçãoR7.
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
–(–6a)2 + 4a(5a) = 16a –16a2 – 16a = 0 a (a + 1) = 0 a = –1 ou a = 0
Exercício resolvido
Substituindo (I) em (III), obtemos:a – 6a + c = 0 c = 5a
Substituindo b por –6a e c por 5a em (II):
Como a função é quadrática, a = –1 e, portanto, b = 6 e c = –5.Então, a lei é: f(x) = –x2 + 6x – 5
4.23
O coeficiente a não pode ser zero, pois a função é quadrática.
R7.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma função quadrática:A
ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista; ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da
função), caso exista(m); vértice.
4.24
Construção do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3
coeficiente c: 3 ponto em que a parábola intercepta o eixo y: (0, 3)
zeros da função: 1 e 3 pontos em que a parábola intercepta o eixo x: (1, 0) e (3, 0)
xv = 2 e yv = –1 vértice da parábola: (2, –1)
Exemplos
4.25
Construção do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Gráfico da função h(x) = x2 + 4
coeficiente c: 4 ponto onde a parábola intercepta o eixo y: (0, 4)
zeros da função: não há no conjunto dos reais a parábola não intercepta o eixo x
xv = 0 e yv = 4 vértice da parábola: (0, 4)
(2, 8) e (–2, 8) pontos auxiliares
Exemplos
4.26
Construção do gráfico da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
1o caso ( > 0)
2o caso ( = 0)
3o caso ( < 0)
a > 0
a < 0
Estudo do sinal da função quadrática
4.27
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0 x = –3 ou x = 2
Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função.
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para cima e a função tem dois zeros reais distintos, obtemos o seguinte esboço do gráfico:
4.28
Exemplos
Estudo do sinal da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
a) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.
Concluímos que:
4.28
Exemplos
Estudo do sinal da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.
Zeros da função g: –
Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico:
4.29
Exemplos
Estudo do sinal da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.
Portanto:
4.29
Exemplos
Estudo do sinal da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k seja positiva para todo x real.
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábolaé voltada para cima.Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante de f deve ser negativo.
Resolução
4.30
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Assim, como < 0:(–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k
Como < 0, então: 25 – 4k < 0
Logo:
4.30
Coeficiente de x2 positivo e < 0
Exercício resolvido
R8.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
yv = 0
4.31
yv é o valor mínimo da função.
Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
yv = 0
4.31
yv é o valor máximo da função.
Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função
.
Como a > 0, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima. Portanto, a função tem valor mínimo:
Assim, –19 é o valor mínimo dessa função.
4.32
Exemplo
Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R9. Determinar k para que –1 seja valor mínimo da função quadrática y = (k – 1)x2 + kx +(k – 2).
Para que uma função quadrática admita valor mínimo, o coeficiente do termo em x2 deve ser positivo.
Resolução
Então: k – 1 > 0 k > 1
4.33
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Sabendo que o valor mínimo da função quadrática é dado por , temos:
Como k > 1, temos k = 2.
4.33
Exercício resolvido
R9.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminosodescreve é um arco de parábola.A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por: h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo.
a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal
luminoso atingir a altura máxima?
4.34
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
a) Para determinar a altura máxima que esse sinal pode atingir, precisamos encontrar o valor máximo da função. Analisandoo sinal do coeficiente a, podemos concluir que o sinalluminoso descreve um arco de parábola com concavidade voltada para baixo.
4.33
É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:Logo, a altura máxima que o sinal luminoso pode atingir é 320 metros.
R10.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
b) O tempo que o sinal luminoso leva para atingir a altura máxima corresponde ao xv da parábola. Utilizando a fórmula da abscissa do vértice, temos:
8
Logo, o sinal luminoso atinge a altura máxima 8 segundos após o disparo.
4.34
Exercício resolvido
R10.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero.a
Inequações do 2o grau
a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0
b) –x² + 0,5x ≤ 0
c) 5x² – 2 < 0
d) –4x² + x + > 0
4.35
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos números reais.
Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:
Primeiro, determinamos os zeros de f:
3x² – 8x – 3 ≥ 0f(x)
4.36
3x2 – 8x – 3 = 0
= 64 + 36 = 100
Inequações do 2o grau
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para os quais a função f é positiva ou nula.
Assim, o conjunto solução da inequação é:
S =
4.36
Inequações do 2o grau
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exemplo
Inequação-quociente
f(x) = x – 5 (zero de f: 5)
g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)
4.37
Sinal de f Sinal de g
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação.Logo, o conjunto solução da inequação é:
S =4.37
Exemplo
Inequação-quociente
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
f(x) = x (zero de f: 0)
g(x) = –x² – 4
(g não tem zeros)
4.38
–x3 – 4x < 0 x(–x2 – 4) < 0
Sinal de f Sinal de g
Exemplo
Inequação-quociente
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S =
4.38
Exemplo
Inequação-quociente
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o segundo membro da inequação-quociente for igual a zero.
Então fazemos:
R11. Resolver a inequação em ℝ.
4.39
Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
f(x) = x² – 9 zeros de f: 3 e –3
g(x) = 2x + 10 zero de g: –5
4.39
Sinal de f Sinal de g
R11.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Logo, o conjunto solução é S =
Observe que –5 não é solução da inequação, pois: 2x + 10 ≠ 0 x ≠ –5
4.39
Exercício resolvido
R11.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
R12. Geometria. Determinar a área da parte azul da figura em função de x e encontrar o maior valor inteiro que x pode assumir.
Resolução
Indicando a área da parte azul por A, temos A(x) = , ou seja: A(x) = 5 – x2, com 0 < x <
Como x > 0 e , o maior valor inteiro que x pode assumir é 2.
4.40
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte sistema de inequações:
Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma mais simples:
4.41
Inequações simultâneas
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Zeros de f: –4 e 2 Zeros de g: 1 e 2
4.41
f(x) g(x)
Assim temos:
Sinal de f Sinal de g
S2=S1 =
Inequações simultâneas
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CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:
Logo, o conjunto solução do sistema é: S =
4.41
Inequações simultâneas
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma mais simples:
Resolução
R13. Resolver, em ℝ, a inequação 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.
(I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 22x2 – 4x ≤ 0
(II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 42x2 – 2 < 0
4.42
f(x)
g(x)
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
4.42
f(x) = 2x2 – 4x zeros de f: 0 e 2
g(x) = 2x2 – 2 zeros de g: –1 e 1
Sinal de f Sinal de g
R13.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Exercício resolvido
Depois fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:
Logo, o conjunto solução da inequação simultânea é: S =
4.42
R13.Resolução
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Vamos determinar o domínio da função dada pela lei
Em , devemos ter:
f(x)
h(x)
4.43
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:
f(x) = x² – 2x + 1 zero real duplo de f: 1
h(x) = 2x – 7 zero de h:
4.43
Sinal de f Sinal de h
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática
O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o denominador da inequação:
Logo, D =
4.43
Exemplo
Determinação do domínio de uma função por meio de inequações
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULACoordenação editorial: Juliane Matsubara BarrosoEdição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael SilvaAssistência editorial: Pedro Almeida do Amaral CortezPreparação de texto: Renato da Rocha CarlosCoordenação de produção: Maria José TanbelliniIconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan ComunicaçãoIlustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia EducacionalEditora executiva: Kelly Mayumi IshidaCoordenadora editorial: Ivonete LucirioEditores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri FernandesAssistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata MichelinEditor de arte: Fabio VenturaEditor assistente de arte: Eduardo BertoliniAssistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí PrazeresRevisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
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