Funcion Logaritmica y Exponencial

ING. FLAVIO PARRA T.

1. FUNCIN EXPONENCIAL

Suponga que un pas la poblacin actual Po crece a una tasa de crecimiento = % , entonces la poblacin futura est dada por:

Primer ao: + = (1 + ) Segundo ao: (1 + ) + (1 + ) = (1 + )(1 + ) = (1 + )2 Tercer ao: (1 + )2 + (1 + )2 = (1 + )3 Cuarto ao: (1 + )4

En general la poblacin futura con una tasa de crecimiento est dada por:

= (1 + ); donde: = = =

= (1 + 0.02) = (. )

El resultado obtenido es un ejemplo de una funcin exponencial, donde una

constante esta elevada a una variable (t), este tipo de funciones son muy

utilizadas en la Administracin, Economa, Ciencias Sociales y otras

ciencias y son utilizadas para estudiar el crecimiento del dinero y

organizaciones; crecimiento de poblaciones humanas y de animales;

difusin de enfermedades, decaimiento radiactivo, etc.

1.1 DEFINICIN Y PROPIEDADES

La funcin f definida por = () = ; donde > ; , y el exponente x es cualquier nmero real, se llama funcin exponencial de base

b. Ejemplos:

= () = () = ( + )

En muchas ocasiones para la solucin de ecuaciones exponenciales necesitar recordar las reglas de los exponentes que se resumen:

1. = + 2.

=


3. () = 4. () =

5. (

)

=

6. 1 =

7. 0 = 1 8. =1

Estas reglas tendrn que utilizar por ejemplo para resolver la ecuacin:

5+5

253= 3

1.2 GRAFICAS DE FUNCIN EXPONENCIAL

Para graficar la funcin exponencial tenga en cuenta sus conocimientos de

grficas en coordenadas rectangulares en lo referente a dominio, rango, etc.

Estudiemos la grfica de la funcin exponencial de base > < < , para lo cual analicemos simultneamente las grficas de cada caso.

Graficar(1): = () = = (

)

a) Elabore tabla de valores.

= () =

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 0,063 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16

= () = (

)

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,063

b) Grafico


x

y

x2y x)2/1(y

De acuerdo a las grficas podemos generalizar y definir las propiedades

de la funcin exponencial: = () =

1. El dominio de la funcin son todos los nmeros reales. El rango son todos los nmeros reales positivos ( > 0) .

2. Interseccin con eje y: (0,1). No tiene interseccin con eje x. 3. Si b>1, la curva asciende de izquierda a derecha. Si 0


x

y

23 xy

Graficar: = () = 224

Tabla de valores:

x

y422 xy

Graficar: = () =1

224

Tabla de valores:

x 0 -1 -2 -3 1 2 3

y 16 8 1 0,031 8 1 0,031

x 0 -1 -2 -3 1 2 3

y 0,063 0,125 1 32 0,125 1 32


y

x

422

1

xy

1.3 APLICACIONES DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

Una de las aplicaciones de las funciones exponenciales se refiere; a la inversin de un capital P a una tasa de inters r y por un tiempo

determinado. El dinero resultante de la inversin incluido el capital y el

inters se le denomina como monto (S), que responde a la frmula:

= (1 + )

Ejemplo1: Suponga que un capital de $150000 se invierte por un tiempo de

3 aos. Determine el monto de la inversin de acuerdo a las siguientes

alternativas de tasa de inters:

a) = 10%

= 150000(1 + 0.10)3 = 199650

b) = 10%

= 150000 (1 +0.10

2)

23

= 201014,35

c) = 10%


= 150000 (1 +0.10

4)

43

= 201733,32

d) r = 10% anual capitalizable diariamente

= 150000 (1 +0.10

360)

4360

= 223761.28

CONCLUSIN: Mientras los periodos de capitalizacin en un ao son ms

altos, el valor del monto es mayor.

Ejemplo 2: Encontrar la tasa de inters capitalizable mensualmente para

que un capital de $18000 se convierta en $23400 en un tiempo de 3 aos.

= (1 + ) 23400 = 18000 (1 +

12)

123

(1 +

12)

36

= 1.30 (1 +

12)

3636

= 1.3036

= ( 1.3036

1)12 = 8.78% . .

Ejemplo 3: Crecimiento de bacterias. En cierto cultivo crecen bacterias, y

su nmero se incrementa a razn de 5% cada hora. Al inicio existan 400

bacterias (a) Determine una ecuacin que proporcione el nmero, N, de

bacterias despus de t horas. (b) Cuntas habr al cabo de 1 hora? (c) Y

despus de 4 horas? D sus respuestas al entero ms cercano.

a) Podemos asimilar este crecimiento a los descritos anteriormente.

= 400 = (1 + ) = 5% = 400(1 + 0.05) = = 400(1.05) b) = 400(1.05)1 = 420 c) = 400(1.05)4 = 486

Ejemplo 4: Planificacin de servicio de agua potable. En la actualidad la

ciudad de Quito (2015) tiene una poblacin de 2350.000 habitantes, se ha

determinado estadsticamente que la poblacin crecer a razn del 1.7%

anual. De los estudios actuales se desprende que el consumo de agua


potable es de 150 litros/habitante por da. Determine la cantidad de metros

cbicos de agua por cada da necesarios para el ao 2025.

Poblacin futura: = (1 + )

= 2350.000(1 + 0.017)10 = 2781.489 . 2025. = 2781.4890.15 = 417.223,35 3/

FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e (2, 71828)

Una funcin muy utilizada es la funcin exponencial = () = de base e, llamada base natural o de Euler, que corresponde a un nmero irracional

cuyo valor aproximado a 5 decimales es de 2,71828. Funcin muy utilizada

en anlisis econmicos y en problemas que implican crecimiento o

declinacin de estudios poblacionales, inters compuesto y decaimiento

radiactivo.

Para aclarar el valor de la base natural e, y su aplicacin; supongamos que

un capital de $1se invierte con una tasa de inters del 100% anual y con

diferentes periodos de capitalizacin.

n S

1 2,00000

2 2,25000

5 2,48832

20 2,65330

50 2,69159

100 2,70481

1000 2,71692

2000 2,71760

5000 2,71801

100000 2,71827

200000 2,71828

500000 2,71828

1000000 2,71828

2000000 2,71828

De los resultados, se puede concluir que cuando se tiene periodos grandes

en un cierto lapso de tiempo, las modelaciones exponenciales con base e son


aplicables. Para el anlisis continuemos con el ejemplo 1 y supongamos que

existe una capitalizacin continua.

Para el caso la frmula utilizada anteriormente se asemeja a: =

= 150000 (0.104) = 223773,70

Los resultados obtenidos con capitalizacin diaria y continua son similares.

APLICACIONES: DECAIMIENTO RADIOACTIVO

Los elementos radiactivos tienen la caracterstica que decaen o disminuyen

con el tiempo, donde la cantidad presente de radiactividad est

representada por:

= Donde:

= = 0 =

Como N disminuye con el tiempo, supongamos que T es el tiempo que tarda

el elemento en disminuir a la mitad de su cantidad inicial, entonces:

= /2.

/2 =

Consideremos este hecho para demostrar que en cualquier intervalo T, la

cantidad del elemento radiactivo decaer a la mitad, si tenemos el intervalo

de tiempo t hasta t+T que tiene longitud T:

(+) =

= ()

=2

=1

2(

)

Que corresponde a la mitad de la cantidad en el tiempo t; se desprende que

si la cantidad inicial fuera de un gramo, en el tiempo T seria de gramo y en el tiempo 2T de , y as sucesivamente.


Tomado de Ernest Haeusler 12 edicin

Ejemplo 6: Decaimiento radioactivo. A un cierto hay 75 miligramos de una

sustancia radioactiva, la cual decae de modo que despus de t aos el

nmero de miligramos presentes, N, est dado por: = 0.045. Cuntos miligramos estn presentes despus de 10 aos? D su respuesta

al miligramo ms cercano?

= 750.04510 = 47.82 = 48

Ejemplo 7: Las ventas de un producto crecen a menudo muy rpidamente

al principio y luego se nivelan con el tiempo. Por ejemplo, suponga que las

ventas S(x), en alguna unidad apropiada, de un modelo de calculadora estn

aproximadamente por:() = ; donde x representa el nmero de aos que la calculadora ha estado en el mercado. Calcule

(0), (1), (2), (3) (4). Dibuje la grfica.

x S(x)

0 200,00

1 705,70

2 891,73

3 960,17


4 985,35

2. FUNCIN LOGARTMICA

2.1 DEFINICIN Y PROPIEDADES

La funcin logartmica de base b, donde > 1 1. Se define como:

= () = =

La primera inquietud que tendr ser encontrar el logaritmo de un nmero, en las calculadoras tiene el logaritmo (log) de base 10 y el logaritmo natural

(ln) de base e (2.718281); para el caso de otras bases se puede utilizar la definicin de ser posible y en el caso de no ser posible utilice la propiedad

del cambio de base y poder utilizar la calculadora.

Ejemplos:

1. log 5 = 0.698970 2. ln 5 = 1.6094379

3. log3 27 = .Utilice la definicin de logaritmo

3 = 27 33 = 27 = 3.


log3 27 = 3. Se deduce que el logaritmo de un nmero es un exponente.

4. log4 1024 =?

45 = 1024 log4 24 = 5

5. log 0.0001 =?

104 = 0.0001 log 0.0001 = 4

6. log7 50 =?

7 = 50. No se puede encontrar un exponente entero que nos de cmo resultado 50; es necesario utilizar la propiedad de cambio de base.

=

Lgicamente se utiliza el logaritmo que tiene en su calculadora.

log7 50 =log 50

log 7= 2.01038 log7 50 =

ln 50

ln 7= 2.01038

Es necesario que conozca y domine las propiedades de los logaritmos, que se resumen a continuacin:

y x bb -8.

y xy logxlog -7.

x b -6. x blog -5.

01log -4. x logxlog -3.

y

x logylogxlog -2. (x.y) logylogxlog -1.

yx

bb

xlogx

b

bb

m

b

bbbbbb

b

m

Utilicemos estas reglas con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1: Exprese como un solo logaritmo.

log( + 3) log( + 5) + log( 1)


= log( + 3)

( + 5)+ log( 1) = log

( + 3)( 1)

( + 5)

Ejemplo 2: Exprese como un solo logaritmo.

1

3[log( + 3) + 2 log(2 1) 3 log + 5 log(1 8)]

=1

3[log( + 3) + log(2 1)2 log 3 + log(1 8)5]

=1

3[log

( + 3)(2 1)2(1 8)5

3]

= log [( + 3)(2 1)2(1 8)5

3]

1/3

= log ( + 3)(2 1)2(1 8)5

3

3

2.1 GRAFICAS DE FUNCIN LOGARITMICA

Al igual que con la funcin exponencial, hagamos el mismo anlisis con la

funcin logartmica. Estudiemos la grfica de la funcin logartmica de base

> 1 0 < < 1, para lo cual analicemos simultneamente las graficas de cada caso.

Graficar: = () = log3 = () = log1/3

b) Dominio de la funcin: Df = ( 0 , ) c) Rango de la funcin: De acuerdo a los grficos Rf = d) Elabore tabla de valores.

= () = log3 = 3

Elabore tabla de valores, de valor a y para encontrar x.

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 0,012 0,037 0,111 0,333 1 3 9 27 81


= () = log1/3 = (1

3)

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 81 27 9 3 1 0,333 0,111 0,037 0,012

x

y

xlogy 3

xlogy 3/1

Graficar: = () = log2( 3) + 1

Expresar como una funcin exponencial:

1 = log2( 3) 3 = 21

= 21 + 3

Tabla de valores:

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 3,03 3,06 3,13 3,25 3,50 4,00 5,00 7,00 11,00


1)3(log2 xy

y

x

2.3 ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

1. Resolver: 2)5x(log3

Transforme a forma exponencial: ybx

4x ; 5-9 x; 35x 2

2. Resolver: 6xlog43x2log 33

Utilice propiedades de logaritmos para expresar como un solo logaritmo.

Transforme a forma exponencial y resuelva.

46xlog3x2log 33

811815x2x ; 36x 32x

b x ; 46x 3x2log

24

y3

03-x 212x ; 063x15x2 2

Solucin"" 3 x ; 03-x

221- x ; 0212x

3. Resolver: 23-x log1x3 log


b x ; 23-x

1-3x log y

97

299x ; 3-x 1001-3x ; 10

3-x

1-3x 2

4. Resolver: 124 3x

log12log4 3x ; 12 log4 log 3x Aplique regla 3

-1.2075 x ; 3-log4

log12x

5. Resolver: 7log1xlog5logxlog

7log5log1xlogxlog

7

5log

1x

xlog

Regla 7

2

5 x 52x 1x57x

7

5

1x

x

6. Resolver: 106-3 5 x

83 ; 65

103 xx

1.89283 log

8 log x ; 8 log 3 log x; 8 log3 log x

7. Resolver: 1255 3x

33x 55 Regla 8

6x 33x


8. Resolver: 5+5

253= 3

5+5

52(3)= 3 5(+5)2(3) = 3

5+52+6 = 3 5+11 = 3

log 5+11 = log 3 ( + 11) log 5 = log 3

+ 11 =log 3

log 5 = 11

log 3

log 5 = 10.3174

Ejemplo 9: Encuentre el tiempo para que un capital de $25.000 se

transforme en $30.000 con una tasa de inters del 5% capitalizable

semestralmente.

= (1 + )

30.000 = 25.000 (1 +0.05

2)

2

1.2 = 1.0252

log 1.2 = 1 1.0252 2 log 1.025 = 1.2

=(

1.21.025

)

2= 3.69

Ejemplo 10: Bebidas y conduccin de automviles: Poco despus de

consumir una dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de

una persona sube a un nivel de 0.3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ah

en adelante, este nivel decrece de acuerdo con la formula (0.3)(0.5), en donde t es el tiempo medido en horas a partir del instante en que se alcanza

el nivel ms alto. Cunto tendr que esperar esa persona para que pueda

conducir legalmente su automvil?(En su localidad, el lmite legal es de

0.08 mg/ml de alcohol en la sangre).

= 0.3 (0.5) Cantidad de alcohol en la sangre


0.08 = 0.3 (0.5) log 0.5 = 0.08

0.3

=log (

0.080.3 )

log 0.5 = 1.91

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