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esto es para los principiantes en calculo, se los recomiendo....obio tiene que dominar Matematicas Basicas
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[ramem] 1
UNIDAD I.- FUNCIONES
INTRODUCCIÓN
Con seguridad habremos escuchado en más de una ocasión que el cálculo ha sido uno
de los mayores logros del intelecto humano. Si hacemos un poquito de historia, veremos
que esta disciplina matemática surgió principalmente de los estudios que Isaac Newton
(1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) realizaron. Sin embargo, algunas de
sus ideas datan de la época de Arquímedes (287-212 a.C.), así como de culturas tan
diversas como la de Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón. Podemos afirmar
también que muchos de los descubrimientos científicos que han formado nuestra
civilización durante los últimos siglos no hubieran sido posibles sin el cálculo.
Es importante aclarar que el objetivo del cálculo es proporcionar una herramienta para
analizar problemas de cambio y movimiento, que son problemas fundamentales pues
vivimos en un mundo que constantemente cambia, constituido por cuerpos en movimiento
y fenómenos de flujo y reflujo. Es de esta manera que el cálculo, a pesar de inventarse para
un objetivo específico, sus aplicaciones como lo son: límites, derivadas e integrales tienen
gran trascendencia en la actualidad en la ciencia y la tecnología.
El cálculo implica el empleo de números reales o de variables para describir las
cantidades cambiantes y el uso de funciones que describen las relaciones entre diversas
variables, las cuales se verán con más detalle a continuación.
FUNCIONES
La clave para el análisis matemático de una situación geométrica o científica es por lo
general el reconocimiento de las relaciones entre las variables que describen la situación.
Tal relación puede ser una fórmula que exprese a una variable en función de otra.
Definición.- Una función real f (o cualquier otra letra que se le quiera asignar: g, h, …)
definida en un conjunto D de números reales (R) es una regla que asigna a cada número x
en D exactamente un único número real, denotado con f(x) [se lee “f de x”].
Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una regla que asocia a cada
elemento x de X, un único elemento y de Y (codominio, contradomino, ámbito, imagen
o rango). El elemento y se llama la imagen de x bajo f y se denota por f(x). El conjunto
X se llama el dominio de la función.
Con frecuencia, una función queda descrita mediante una fórmula que especifica la
forma de calcular el número f(x) en términos del número x. El símbolo f( ) se puede
considerar como una operación a realizar siempre que se inserte un número o expresión
dentro de los paréntesis.
Cuando describimos la función f con la fórmula y=f(x), los números x y y se llaman
variables. Puesto que para la función f se asignan valores a x, y como el valor de y depende
de la elección de x, la x es la variable independiente y se define a y la variable dependiente
pues su valor depende (mediante f) de la elección de x. Es así que cuando x cambia,
también lo hace y, de acuerdo a la regla dada por f. Para toda función f en consideración, es
[ramem] 2
posible indicar el dominio y el contradominio a partir de notaciones de intervalo utilizando
los símbolos: “( , )”, “[ , )”, “( , ]”, “[ , ]”.
Ejemplos:
Siendo 2 3f x x x cuyo dominio es toda la recta real R, algunos valores de f son:
Solución:
2
2 2
2 2 2
22 2 2 4 2
4 4 4 3 17
3 3
2 2 2 3 4 4 2 3 3 1
3 3
f
f a a a a a
f h h h h h h h h
f m m m m m
Sea f la función que es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tal que
, 2f x y y x podemos determinar el dominio y el contradominio como
sigue:
Solución:
: 2,
: 0,
Dominio
Contradominio
Definición.- Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos
(x,y) en R2 para los cuales (x,y) es una pareja ordenada de f.
Debemos recordar que una función debe tener sólo un valor de la variable dependiente
y correspondiente a un valor de la variable x en el dominio de la función. Así pues, la
gráfica de una función puede ser cortada por una línea vertical a lo más en un punto. La
gráfica de una función definida en R2 estará formada de dos ejes ortogonales (ejes
coordenados: x y y ): uno horizontal (para los valores de la variable independiente:
“coordenada x” o “abscisa”) y uno vertical (para los valores de la variable dependiente:
“coordenada y” u “ordenada”). Ver figura 1.1.
y
x
P (x,y)
x (abscisa de P)
y (ordenada de P)
Figura 1.1
Plano numérico
[ramem] 3
Ejemplos:
Dibujar la gráfica de f si se tiene 3f x x .
Solución:
3,
:
La gráfica consta de todos los puntos x x
Se puede hacer una lista de las abscisas y ordenadas de los
puntos sobre la gráfica de f como sigue
Valores de x y=f(x)
… …
-3 -27
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27
En la figura 1.2 se presenta la gráfica de la función y=f(x)=x3.
Figura 1.2
Gráfica correspondiente a la función f(x)=x3
x
y=f(x)
-2 -1 0 1 2
-5
0
5
[ramem] 4
Ejemplos:
Determinar el dominio, el contradominio y la gráfica de f si: a) 1f x x ,
b) f x x , y c) 1
f xx
.
Solución:
a)
1
: 1,
0 : 0,
f x x
Dominio : x 1 equivalente a
Contradominio : y equivalente a
b)
: ,
0 : 0,
f x x
Dominio : x equivalente a
Contradominio : y equivalente a
c)
1
, 0. : ,0 0,
, 0. : ,0 0,
f xx
Dominio : x x Equivalente a
Contradominio : y y Equivalente a
Ver figura 1.3.
Continúa en la siguiente página
x
y=f(x)
-1 0 1 2 3
-1
0
1
2
a) 1f x x
Función raíz
cuadrada
Figura 1.3
Continúa en la
siguiente página
[ramem] 5
b) f x x
Valor absoluto
x
y=f(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
2
4
c) 1
f xx
Función
racional
Figura 1.3
Continúa en la siguiente página
x
y=f(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-2
0
2
4
[ramem] 6
OPERACIONES
Ahora veremos algunas operaciones que pueden realizarse entre dos o más funciones
dadas, a partir de las cuales pueden formarse nuevas funciones mediante la adición,
sustracción, multiplicación y división de valores de las funciones.
Definición.- Dadas las dos funciones f y g:
Suma: denotada por f + g, es la función definida por: f g x f x g x .
Diferencia: denotada por f – g, es la función definida por: f g x f x g x .
Producto: denotada por f ∙g, es la función definida por: f g x f x g x .
Cociente: denotada por f / g, es la función definida por: f g x f x g x .
En cada caso, el dominio de la función resultante consiste en aquellos valores de x
comunes a los dominios de f y g, con el requisito adicional en el caso de la división, en el
que se excluyen los valores de x para los cuales g(x)=0.
Ejemplo:
Sean 24 y 3 1f x x g x x , encontrar la suma, diferencia, producto y
cociente de f y g.
Solución:
El dominio de f es el intervalo cerrado [-2,2] y el dominio de g es R. En
consecuencia la intersección de sus dominios es [-2,2] y las funciones están dadas por:
2
2
2
2
2
4 3 1:
4 3 1, 2 2
4 3 1, 2 2
3 1 4 , 2 2
4 1, 2 2,
3 1 3
Siendo f x x y g x x
f g x x x x
f g x x x x
f g x x x x
xf g x x x
x
Además de la combinación de dos funciones por medio de las operaciones dadas
anteriormente, consideraremos la función compuesta de dos funciones dadas.
Definición.- Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta, representada por f g ,
está definida por:
f g x f g x y el dominio de f g es el conjunto de todos los números x
en el dominio de g, tales que g(x) se encuentra en el dominio de f.
[ramem] 7
Ejemplos:
Sean 2 y 5f x x g x x x , encontrar: a) g f x , b) f g x y c)
f f x .
Solución:
El dominio de f es el conjunto de todos los número reales, y el de g está dado por
todos los números reales tales que x≥0.
a)
2 y 5 :
5 2 2 5 10 2
2, : 0,
Siendo f x x g x x x
g f x g f x x x x x
Dominio : y contradominio
b)
2 y 5 :
5 2 5 2
0, : 2,
Siendo f x x g x x x
f g x f g x x x x x
Dominio : y contradominio
c)
2 y 5 :
2 2 4
, : ,
Siendo f x x g x x x
f f x f f x x x
Dominio : y contradominio
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Valor absoluto.- Se define por:
0
0
x si xx
x si x
.
En la figura 1.4 se presentan algunas transformaciones de la función.
Función raíz cuadrada.- Se define por:
f x x .
En la figura 1.5 se presentan algunas transformaciones de la función raíz
cuadrada, así como también las gráficas de las funciones 64, yx x x .
En la figura 1.6 se presentan algunas transformaciones de la función raíz
cúbica, así como también las gráficas de las funciones 3 5 7, yx x x .
[ramem] 8
x
y=f(x)
-2 0 2
-5
0
5
2
0.5
0.5
y x
y x
y x
y x
x
y=f(x)
-2 0 2
-5
0
5
1
1
2
2
y x
y x
y x
y x
Figura 1.4
Funciones de valor absoluto
[ramem] 9
Figura 1.5
Funciones de raíces pares
2
2 3
y x
y x
y x
x
y=f(x)
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
4
6
y x
y x
y x
x
y=f(x)
-2 0 2
-5
0
5
[ramem] 10
Figura 1.6
Funciones de raíces impares
x
y
-2 0 2
-4
-2
0
2
4
3
3
3
2
2
y x
y x
y x
x
y
-2 0 2
-1
0
1
3
5
7
y x
y x
y x
[ramem] 11
Función constante.- Se define por:
f x c . Ver figura 1.7.
Función polinomial de grado n.- Se define por:
1 2 1
1 2 1 0...n n n
n n nf x a x a x a x a x a
, donde n es un entero no
negativo y a0, a1,…, an son números reales (an≠0). Ver figura 1.8.
x
y=f(x)
-4 -2 0 2 4
-10
-5
0
5
10
Figura 1.8
Funciones poliomiales
5 2
6 5 3
3 2
2 7 1
2 2
3
y x x x
y x x x x
y x x x
Figura 1.7
Funciones constantes
x
y=f(x)
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
0.5
2.5
3
2
y
y
y
y
[ramem] 12
Si el grado de una función polinomial es 1, entonces la función recibe el
nombre de función lineal (figura 1.9); si el grado es 2, la función se llama función
cuadrática (figura 1.10)y si es 3, se llama función cúbica. La función lineal
particular, definida por f(x)=x se denomina función identidad.
Función racional.- Función que se puede expresar como el cociente de dos
funciones polinomiales. Ver figura 1.11.
Función algebraica.- Es la formada por un número finito de operaciones
algebraicas en la función identidad y la función constante. Estas operaciones
algebraicas incluyen la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la
potenciación y la radicación. Ver figura 1.11.
x
y=f(x)
-4 -2 0 2 4
-10
-5
0
5
10
Figura 1.9
Funciones lineales
2 2
0.5 1
y x
y x
y x
x
y=f(x)
-4 -2 0 2 4
-10
-5
0
5
10
Figura 1.10
Funciones
cuadráticas
2
2
2
1 1
2 3 7
y x
y x
y x x
[ramem] 13
Función trascendente.- Ejemplos de estas funciones son: las funciones
trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones exponenciales. Ver figura 1.12.
Función máximo entero o función parte entera.- Frecuentemente usa el símbolo
x para denotar el mayor entero z ≤ x.
: , : 1,Definimos f x x de manera que n x n donde n es número entero .
Por ejemplo: 1.6 1, 5 2, 3, 3.5 4y . Ver figura 1.13.
x
y=f(x)
-4 -2 0 2 4
-5
0
5
Figura 1.12
Funciones
trascendentes
2
sin
log
x
y x
y e
y x
Figura 1.11
Función racional
Función algebraica
x
y=f(x)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
5
10
2
2
4
3 1
1
x xy
x
[ramem] 14
Función uno a uno (o biunívoca).- Función f de X a Y si siempre que a ≠ b en X,
entonces f(a) ≠ f(b) en Y. En otras palabras, si f es uno a uno entonces cada f(x) en
el rango es la imagen de exactamente un x en X.
Ejemplos:
Demostrar si las siguientes funciones son uno a uno: a) 3 2f x x y b)
2 5f x x .
Solución:
a)
3 2, :
3 3 3 2 3 2,
3 2 .
Siendo f x x si a b entonces
a b y a b o sea f a f b
f x x es una función uno a uno
b)
2
2 2
5,
.
: , 5 5.
Siendo f x x entonces no es función uno a uno pues existen
números diferentes en el dominio que tienen la misma imagen
Por ejemplo f a f a ya que a a
Funciones pares o impares.-
o Función par.- Toda aquella función que para toda x en el dominio de f,
f x f x .
o Función impar.- Toda aquella función que para toda x en el dominio de f,
f x f x .
Figura 1.13
Función entera
y x
[ramem] 15
En ambas partes se entiende que –x está en el dominio de f siempre que x esté.
Además se tiene que la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. Y
de la definición de una función impar, la gráfica de una función impar es simétrica
respecto al origen.
Ejemplos:
Demostrar si las siguientes funciones son pares, impares, o ninguna de las dos:
a) 4 23 2 7f x x x , b) 5 32 5 8g x x x x
y c) 4 3 22 5 8h x x x x .
Solución:
a)
4 2
4 2 4 2
4 2
3 2 7 :
3 2 7 3 2 7
. 3 2 7 .
Siendo f x x x
f x x x x x de donde puede observarse
que f x f x f x x x es una función par
b)
5 3
5 3 5 3 5 3
5 3
2 5 8 :
2 5 8 2 5 8 2 5 8
.
2 5 8 .
Siendo g x x x x
g x x x x x x x x x x
de donde puede observarse que g x g x
g x x x x es una función impar
c)
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
4 3 2
2 5 8 :
2 5 8 2 5 8
2 5 8 :
.
2 5 8 .
Siendo h x x x x
h x x x x x x x
x x x de donde puede observarse que
h x h x y h x h x
h x x x x no es una función par ni impar
Funciones inversas.- Esencialmente, en un par de operaciones inversas, una de
ellas “deshace” lo que hace la otra. Por ejemplo, la adición y la sustracción son
operaciones inversas; si a x se le suma 4, el resultado es x+4; si de esta suma se
resta 4, la diferencia es x.
o Si dos funciones son inversas se cumple: f g x g f x .
o Si f es una función biunívoca (uno a uno), entonces, existe una función f -1
,
llamada inversa de f, para la que se satisface que:
1x f y si y sólo si y f x . El dominio de f -1
es el contradominio de f, y
el contradominio de f -1
es el dominio de f.
[ramem] 16
Ejemplos:
Sea 4 4f x x y g x x , entonces:
Solución:
: 4 4,
4 4
4 4
Si se tiene que f x x y g x x
f g x x xson funciones inversas
g f x x x
Sea 2 3 3
1 2
x xf x y g x
x x
, entonces:
Solución:
2 3 3: ,
1 2
2 3 3 232 3
2 2
31
2
x xSi se tiene que f x y g x
x x
x xx
x xf g x
x
x
3 2
2
x x
x
2 3 3 2
3 2
2 6 3 6 5,
3 2 5
2 3 3 12 33
1 1
2 32
1
x x
x x
x x xx
x x
x xx
x xg f x
x
x
2 3 2 1
1
x x
x
2 3 3 1
2 3 2 1
2 3 3 3 5.
2 3 2 2 5
x x
x x
x x xx son funciones inversas
x x
Determinar si la función: 21f x x , tiene o no función inversa.
Solución:
2
2 2
2
: 1 , :
1 , 1 , 1;
:
1, 1 , .
Si se tiene que f x x realizamos un despeje de la variable x
y x y x x y
de donde haciendo cambio de variables se tiene
y x lo cual no es función f x x no tiene función inversa
[ramem] 17
Determinar si la función: 4 3f x x , tiene o no función inversa.
Solución:
: 4 3, :
34 3, 3 4 , ;
4
3: .
4
Si se tiene que f x x realizamos un despeje de la variable x
yy x y x x haciendo cambio de variables
xse tiene y que corresponde a la función inversa
Determinar si la función: 2 5, 0f x x x , tiene o no función inversa.
Solución:
2
2 2
: 5, 0, :
5, 0; 5 , 0; 5;
: 5 .
Si se tiene que f x x x realizamos un despeje de la variable x
y x x y x x x y haciendo cambio de variables
se tiene y x que corresponde a la función inversa
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Función exponencial de base a.- Si a es cualquier número positivo y x cualquier
número real, entonces la función exponencial de base a está definida por:
xf x a . Cuando a=e se tiene la función exponencial natural.
Nota: El número e se define por la fórmula e=exp(1)=2.7182818…. Se escogió
la letra “e” en memoria del matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783),
y se llama “número de Euler”. El número e es un número trascendental, es decir, no
se puede expresar como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El
número π es otro número trascendental.
Propiedades:
0
ln ln
1
e ex
xx y x y x x
xx y x y
y
yx xy x a x a
a a a ab a b
aa a a a
a
a a a
En la figura 1.14 se presentan gráficas de funciones exponenciales, cuyas
bases “a” son números enteros positivos.
En la figura 1.15 se presentan gráficas de funciones exponenciales, cuyas
bases están definidas en el intervalo: 0 < a < 1.
[ramem] 18
x
y
-1 0 1
-1
0
1
2
4.5
exp
x
x
x
y
y
y e x
x
y
-2 0 2
-2
0
2
Figura 1.14
Funciones exponenciales
con bases enteras positivas
1
3
0.5
0.5 1
x
x
x
x
y e
y e
y e
y e
x
y
-4 -2 0 2 4 6 8
0
5
Figura 1.15
Funciones exponenciales
con bases definidas en
entre 0 y 1
0.1
0.4
0.8
0.95
x
x
x
x
y
y
y
y
[ramem] 19
Función logaritmo de base a.- Es la inversa de la función exponencial de base a,
en donde a es cualquier número positivo excepto 1.Está definida por:
logaf x x . Cuando a=e se tiene la función logaritmo natural. Ver figura 1.16.
Propiedades:
ln ln ln ln ln ln
ln logln ln log
ln log
ln1 0
a
a
AAB A B A B
B
x xx a x x
a a
x
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
0
1
2
4
20
log
log
log
ln
y x
y x
y x
y x
x
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
0
1
2
Figura 1.16
Funciones
logarítmicas
1
2
ln
ln 1 ln 1
2ln 0.5 ln 0.5
ln 0.5
y x
y x x
y x x
y x
[ramem] 20
Ejemplos:
Calcular el valor de 32 , utilizando ln lne exx a x aa :
Solución:
33 ln2 3ln2: 2 e e 3.32, .Tenemos que utilizando dos dígitos
Calcular el valor de 7log 4 :
Solución:
7
ln 4 log 4: log 4 0.71242437...
ln 7 log7Tenemos que
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En geometría, un ángulo se define como la unión de dos rayos llamados lados que
tienen un punto extremo común llamado vértice. Cualquier ángulo es congruente a un
ángulo que tenga su vértice en el origen y un lado, llamado lado inicial, sobre el lado
positivo del eje x. La medida de un ángulo suele darse en grados cuando se trabajan
problemas que incluyen ángulos de triángulos. Sin embargo, en esta materia interesan las
funciones trigonométricas de números reales, y se usa la medida en radianes.
Definición.- Si s unidades es la longitud del arco de la circunferencia recorrida por el punto
A cuando el lado inicial OA es girado hasta el lado terminal OB, la medida en radiantes, t,
del ángulo AOB está dada por:
o t=s si la rotación es en sentido contrario al del reloj.
o t=-s si la rotación es en el sentido del reloj.
Tenemos que entre las unidades de ángulos (radianes y grados), podemos establecer la
siguiente regla a partir de la cual podemos hacer las conversiones de radianes a grados y
viceversa:
180
radianes grados
Funciones Trigonométricas.- En la siguiente tabla se presentan las funciones
trigonométricas:
_ 1cos sec
cos _
_ 1sin csc
sin _
sin _ 1 costan cot
cos _ tan sin
Cateto Adyacente Hipotenusa
Hipotenusa Cateto Adyacente
Cateto Opuesto Hipotenusa
Hipotenusa Cateto Opuesto
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
_
_
Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
[ramem] 21
A continuación se presentan los tres parámetros (amplitud, frecuencia y fase) de las
funciones sinusoidales (seno y coseno) que son tan importantes para el análisis y
procesamiento de señales. Para hablar de estos parámetros dando un enfoque a señales, es
que en lugar de utilizar f(x) utilizaremos f(t). Dichos parámetros se trabajarán a través de
gráficas en las cuales consideraremos inicialmente la función cosenoidal f(t)=cos t, como
punto de comparación de otra función en la cual uno de los parámetros se ha modificado.
Es importante definir la información de los tres parámetros que obtenemos con la
función f(t)=cos t:
Amplitud (A)=1 u, -1 A 1.
Frecuencia angular ()=1 rad/s. A partir de este dato podemos definir:
2π
Periodo T segundosω
. Indica el tiempo en el que se lleva a cabo un ciclo
o una vuelta.
1
2/
ωFrecuencia f Hz ciclos seg
T π . Indica, cuántas vueltas se
realizan en un periodo de tiempo (normalmente segundos). En el caso de este ejemplo, T = 2 seg. y f = 1/2 Hz.
Fase () = 0 rad. Es decir, no hay corrimiento de la señal en el tiempo (atraso ó adelanto).
Con la información anterior, definimos la gráfica de f(t)=cos t, mostrada en la figura 1.17-a.
Como podemos observar, se trata de una señal con una amplitud definida de –1 a 1, con periodo
igual a 2 seg, y sin defasamiento, es decir, no hay corrimiento de la señal en el tiempo (adelanto o
atraso), lo cual se observa en f(0) = 1.
Por otro lado, tenemos otra señal sinusoidal, definida por f(t) = sen t, esta función, contiene los
mismos parámetros de amplitud, frecuencia angular y fase, que la función cosenoidal, sin embargo,
su gráfica es diferente como se puede observar en la figura 1.17-b.
En la figura 1.18 podemos observar que las funciones coseno y seno tienen la misma forma, la
única diferencia radica en que la gráfica de la función seno se encuentra desplazada hacia la derecha
/2 unidades, con respecto a la función coseno. Es por lo anterior, que se diga que la función seno
está atrasada con respecto a la función coseno /2 segundos. Es decir:
2
sin cosf t t t
.
Nota: Hablaremos de una función adelantada cuando tengamos en el argumento de la
función trigonométrica t , y de una función atrasada cuando se tenga t .De ahí
que con el signo de la fase, sabremos si existe un corrimiento de la señal hacia la izquierda
(adelanto) o hacia la derecha (atraso).
[ramem] 22
a) f(t)=cost
b) f(t)=sint
FIGURA 1.17
[ramem] 23
Figura 1.18
A continuación, trabajaremos en cada figura, dos gráficas: una corresponderá a la función
cosenoidal f(t) =cos t, y la otra, será esta misma función pero con uno de los tres parámetros
(amplitud, frecuencia angular y fase) modificados. Con lo anterior se espera que sea más claro
identificar el comportamiento que definen los cambios de parámetros en las señales sinusoidales
(recordando que en la función senoidal, los parámetros presentan el mismo comportamiento que en
la función cosenoidal).
La información de las figuras que a continuación se presentan, se da en la siguiente tabla:
Parámetro Figura Gráfica
Amplitud
19 –a f(t) = cos t y f(t) = 2 cos t
19 –b f(t) = cos t y f(t) = -2 cos t
19 –c f(t) = cos t y f(t) = 1/2 cos t
19 –d f(t) = cos t y f(t) = -1/2 cos t
Frecuencia angular
20 –a f(t) = cos t y f(t) = cos ( 2t )
20 –b f(t) = cos t y f(t) = cos ( -2t )
[ramem] 24
Parámetro Figura Gráfica
Frecuencia angular
20 –c f(t) = cos t y f(t) = cos (0.5 t)t
20 –d f(t) = cos t y f(t) = -2 cos(-0.5 t)
Fase
21 –a f(t) = cos t y f(t) = cos ( t + /2 )
21 –b f(t) = cos t y f(t) = cos ( t - /2 )
a ) b)
c) d)
Figura 1.19
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-1
0
1
2
Tiempo (s)
f(t)
cos t
2 cos t
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-1
0
1
2
Tiempo (s)
f(t)
cos t
-2 cos t
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
0.5 cos t
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
-0.5 cos t
[ramem] 25
a ) b)
c) d)
Figura 1.20
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (2t)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (-2t)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (0.5 t)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (-0.5 t)
[ramem] 26
En la figura 1.22 se muestran gráficas de la función tangente: f(x)= tan x:
En la figura 1.23 se muestran las gráficas de seno-cosecante, coseno-secante, tangente-
cotangente:
x
y
-4
-2
0
2
4
Figura 1.22
Funciones
tangentes
tan
3tan 2
2
tan 2
y x
y x
y x
a) b)
Figura 1.21
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (t+pi/2)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (s)
f(t)
cos t
cos (t-pi/2)
[ramem] 27
x
y
-5
0
5
Figura 1.23
Funciones
trigonométricas
sin
csc
y x
y x
x
y
-5
0
5
x
y
-5
0
5
cos
sec
y x
y x
tan
cot
y x
y x
[ramem] 28
En la figura 1.24 se muestran algunas gráficas de la función cotangente: f(x)= cot x:
En la figura 1.25 se muestran algunas gráficas de la función secante: f(x)= sec x:
x
y
-4
-2
0
2
4
Figura 1.25
Funciones
secantes
sec
3sec 2
2
sec 2
y x
y x
y x
x
y
-4
-2
0
2
4
Figura 1.24
Funciones
cotangentes
cot
3cot 2
2
cot 2
y x
y x
y x
[ramem] 29
En la figura 1.26 se muestran algunas gráficas de la función cosecante: f(x)= csc x:
Para el cálculo de funciones trigonométricas, podemos utilizar las siguientes figuras, a partir de
las cuales podemos obtener el resultado de la función con ángulos de: 30º, 45º y 60º, así como
también, aquéllos ángulos ubicados en otros cuadrantes pero que se relacionan con los ya
mencionados.
Ejemplos:
Calcular las siguientes funciones utilizando la figura 1.26:
tan 60 Solución: tan 60 3
tan 120 Solución: tan 120 tan 240 tan 60 3
cos150 Solución: 3
cos150 cos302
csc300 Solución: 1 1 3
csc300 csc 60sin 60 2sin 60
cot 240 Solución: 1
cot 240 cot 603
1
1 2
45º 2 30º
60º
1
3
Figura 1.26
x
y
-4
-2
0
2
4
Figura 1.26
Funciones
cosecantes
csc
3csc 2
2
csc 2
y x
y x
y x
[ramem] 30
sin120 Solución: 3
sin120 sin 602
3
csc4
Solución:
3 1 1csc csc135 csc45
4 sin 45 2
5
tan3
Solución:
5tan tan300 tan 60 3
3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Recordemos que es necesario que una función sea biunívoca (o uno a uno) para que
tenga una inversa. Como puede observarse en la figura 1.27 que muestra la función seno, se
tiene que cualquier número de su contradominio es el valor funcional de más de un número
en su dominio. Por lo que la función seno no es biunívoca, y por consiguiente diríamos que
no tiene función inversa. Sin embargo, aún cuanto la función seno no tiene inversa, a partir
del siguiente teorema 1 se concluye que: sin 2 2f x x y x , sí tiene una
función inversa.
Teorema 1.- Supongamos que la función f tiene como dominio el intervalo cerrado [a,b].
Entonces:
o si f es continua y creciente en [a,b], f tiene una inversa f -1
que está definida en
[f(a), f(b)].
o si f es continua y decreciente en [a,b], f tiene una inversa f -1
que está definida
en [f(b), f(a)].
De acuerdo al teorema anterior, como el dominio de f es 2, 2 y su
contradominio es [-1,1], se tiene una función f continua y creciente, de manera que la
inversa de la función seno, se conoce como la función seno inversa (antiseno, arco-seno), y
cuya gráfica se muestra junto con la del seno en la figura 1.27.
x
y
-1
0
1
Figura 1.27
Función seno y
su inversa
1
sin
sin
y x
y x
[ramem] 31
Función seno inversa.- Es representada por sin -1
(o arcsin), y se define como:
1sin sin , 2 2f x x si y sólo si x y y cuadrantes I y IV .
Ver figura 1.27.
Al igual que la función seno, el coseno no es una función uno a uno, por lo que no tiene
función inversa. Para definir la función inversa, se restringe el coseno a un intervalo en
donde la función sea monótona. Para ello escogemos el intervalo 0, 2 en el cual como
podemos observar en la figura 1.28, es una función decreciente. De manera que
considerando la función como: cos 0f x x y x , en donde su contradominio es el
intervalo cerrado [-1,1], se determina una función continua y decreciente en su dominio,
por lo que tiene una función inversa llamada función coseno inversa (anticoseno, arco-
coseno).
Función coseno inversa.- Es representada por cos -1
(o arccos), y se define como:
1cos cos , 0f x x si y sólo si x y y cuadrantes I y II . Ver figura 1.28.
Para obtener la función tangente inversa primero se considera la gráfica de la función
tangente que se muestra en la figura 1.29. La función es continua y creciente en el intervalo
abierto 2, 2 . La función tangente se restringe a este intervalo de manera que quede
definida por: tan 2 2f x x y x , en donde su contradominio es el conjunto
de todos los números reales. Puesto que f(x) es continua y creciente en su dominio, tiene
una función inversa, llamada función tangente inversa (antitangente, arco-tangente).
Función tangente inversa.- Es representada por tan -1
(o arctan), y se define como:
1tan tan , 2 2f x x si y sólo si x y y cuadrantes I y IV .
Ver figura 1.29.
x
y
-1
0
1
2
3
Figura 1.28
Función coseno
y su inversa
1
cos
cos
y x
y x
[ramem] 32
Siguiendo un procedimiento similar a los anteriores, tenemos que la función cotangente
tiene una función inversa, llamada función cotangente inversa (anticotangente, arco-
cotangente).
Función cotangente inversa.- Es representada por cot -1
(o arccot), y se define como:
1 1cot 2 tan .
.
f x x x donde x es cualquier número real
Se define en cuadrantes I y II
Ver figura 1.30.
x
y
-2
0
2
Figura 1.30
Función
cotangente y su
inversa
1
cot
cot
y x
y x
x
y
-2
0
2
Figura 1.29
Función
tangente y su
inversa
1
tan
tan
y x
y x
[ramem] 33
Función secante inversa.- Es representada por sec -1
(o arcsec), y se define como:
10 2 1
sec sec .3 2 1
y si xf x x si y sólo si x y y Cuadrantes I y III
y si x
Ver figura 1.31.
Función cosecante inversa.- Es representada por csc -1
(o arccsc), y se define como:
1 1csc sec 1. .2
f x x x para x Se define en cuadrantes I y III
Ver figura 1.32.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2y
x
Figura 1.32
Función
cosecante inversa
1cscy x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5y
x
Figura 1.31
Función secante
inversa
1secy x
[ramem] 34
Ejemplos:
Calcular el valor exacto de las siguientes funciones:
1 3
sin sin4
Solución:
1 1 1 1
1
1
3 1sin sin sin sin 135 sin , sin
4 2
1, : sin 45 , :
42
3sin sin
4 4
como x se define en
cuadrantes I y IV se tiene que por lo que
1 1
cos sin2
Solución:
1 1
1 1
1cos sin sin , :
2
1 1 3sin 30 , : cos sin cos
2 6 2 6 2
como x se define en cuadrantes I y IV se tiene que
por lo que
1cot 1 Solución:
1
1
1 1 1
1
cot 1 , ,
:
3cot 1 135
4
cot 1 tan 1 , tan ,2
: tan 1 ,4
podemos calcularlo en cualquiera de las siguientes formas
sólo hay que recordar que se define en cuadrantes I y II
como x se define en cuadrantes I y IV
se tiene que
1 3: cot 1
2 4 4por lo que
1csc 2 Solución:
1
1
1 1 1
1
csc 2 , ,
:
csc 2 306
csc 2 sec 2 , sec ,2
: sec 2 60 ,3
podemos calcularlo en cualquiera de las siguientes formas
sólo hay que recordar que se define en cuadrantes I y III
como se define en cuadrantes I y III
se tiene que por
1: csc 22 3 6
lo que
[ramem] 35
1 1
sin cos2
Solución:
1 1
1
1
1sin cos , cos
2
1 2, : cos 120 , :
2 3
1 2 3sin cos sin
2 3 2
hay que recordar que se define en cuadrantes
I y II de manera que se tiene por lo que
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Se basan en potencias de e, tienen propiedades similares a las de las funciones
trigonométricas. Es así, que ciertas combinaciones de ex y e
–x aparecen con tanta frecuencia
en los problemas de matemáticas que reciben nombres especiales. Dos de esas funciones
son la función seno hiperbólico y la función coseno hiperbólico. Los valores de la función
se relacionan con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera de manera
similar a la forma en que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas, se
relacionan con las coordenadas de los puntos de una circunferencia.
Función seno hiperbólico.- Es representada por sinh(x), y se define como:
sinh .2
.
x xe ef x x El dominio y el contradominio son el conjunto
de todos los números reales
. Ver
figura 1.33.
x
y
-10
0
10
Figura 1.33
Función seno
hiperbólico
sinhy x
[ramem] 36
Función coseno hiperbólico.- Es representada por cosh(x), y se define como:
cosh .2
.
x xe ef x x El dominio y el contradominio son el conjunto
de todos los números reales
Ver figura 1.34.
En la siguiente tabla se presentan el resto de las funciones hiperbólicas:
1 2 1 2csch sech
sinh cosh
sinh coshtanh coth
cosh sinh
x x x x
x x x x
x x x x
x xx e e x e e
x xe e e ex x
x e e x e e
x
y
-1
0
1
Figura 1.35
Función
tangente
hiperbólica
tanhy x
x
y
0
2
4
6
8
Figura 1.34
Función coseno
hiperbólico
coshy x
[ramem] 37
Algunas identidades de las funciones hiperbólicas:
2 2
2 2
2 2
2 2
cosh sinh 1
1 tanh sec
1 coth csc
sinh sinh cosh cosh sinh
cosh cosh cosh sinh sinh
sinh 2 2sinh cosh
cosh 2 cosh sinh
x x
x h x
x h x
x y x y x y
x y x y x y
x x x
x x x
FUNCIONES ESPECIALES
Hay varias funciones (señales) elementales que sobresalen notablemente en el estudio
de señales y sistemas. Estas señales sirven como los bloques funcionales para la
construcción de señales más complejas. También son importantes por mérito propio, ya que
es posible usarlas para modelar muchas señales físicas que ocurren en la naturaleza.
Función escalón La versión en tiempo discreto de la función escalón se denota por lo común por u[n] y
se define por:
0, <0
1, 0
nu n
n
, que se muestra en la figura 1.36.
Figura 1.36
Secuencia escalón unitario discreto
La función escalón unitario u(t) continua se define de manera similar a su contraparte
discreta. Específicamente
0, <0
1, 0
tu t
t
, como se muestra en la figura 1.37.
[ramem] 38
En tiempo continuo, la función escalón u(t) es de aplicación particularmente simple. Se
aplica eléctricamente una batería o fuente de cd en t=0 cerrando un interruptor, por
ejemplo. Como una señal de prueba, es útil debido a que la salida de un sistema producto
de una entrada escalón revela en gran medida qué tan rápido el sistema responde a un
cambio abrupto en la señal de entrada. Un comentario similar se aplica a u[n] en el
contexto de un sistema en tiempo discreto.
Función impulso
La versión en tiempo discreto de la función impulso se denota por lo común por [n] y
se define por:
0, 0
1, 0
nn
n
y está representada en la figura 1.38.
Figura 1.38
Impulso unitario discreto (muestra)
La versión en tiempo continuo del impulso unitario se denota por lo común por t) y se
define por:
0, 0
1
t para t
y t dt
y está representada en la figura 1.39.
0
u(t)
t
Figura 1.37
Función escalón
unitario continuo
[ramem] 39
En otras palabras, el impulso unitario ([n]) es una señal que vale cero siempre excepto
para n=0 donde vale uno. En tanto que la señal analógica (t), que también se conoce como
impulso unitario y vale cero siempre excepto en t=0, pero en donde tiene área unidad, la
secuencia respuesta impulsional es mucho menos complicada matemáticamente.
Existe una relación muy cercana entre el impulso unitario y el escalón unitario discreto.
De manera particular, el impulso unitario discreto es la primera diferencia del escalón
discreto:
1n u n u n . Y a la inversa, el escalón unitario discreto es la sumatoria de la
muestra unitaria. Esto es,
0
k
u n n k
, o de manera equivalente, 0k
u n n k
. En este caso, el valor
diferente de cero de n k se encuentra en el valor de k igual a n, por lo cual
nuevamente vemos que la sumatoria de la ecuación es 0 para n<0 y 1 para n ≥ 0.
Una interpretación de la ecuación 0k
u n n k
es semejante a la superposición de
impulsos retrasados, es decir, la ecuación se puede ver como la suma de un impulso
unitario n en k=0, un impulso unitario 1n en n=1, 2n en n=2, etc.
Por otro lado, de manera análoga a la relación en forma discreta el escalón unitario
continuo es la integral continua del impulso unitario:
t
u t d
.
Y al impulso unitario continuo lo podemos obtener de la primera derivada del escalón
unitario continuo: d u t
tdt
.
x(t)
-T/2 T/2 0
Área=1
Área=1
Área=1
t 0 t
at)
a
Figura 1.39
(a) Evolución de un pulso rectangular de área
unitaria en un impulso de intensidad unitaria.
(b) Símbolo gráfico para un impulso de peso a.
(a) (b)
[ramem] 40
¿Cuál es el uso práctico del impulso unitario? No podemos generar una función de
impulso físico, ya que correspondería a una señal de amplitud infinita en t=0 y que es cero
en cualquier otro lado. Sin embargo, la función de impulso sirve a un propósito matemático
brindando una aproximación a una señal física de extremadamente corta duración y alta
amplitud.
Ejemplo:
Consideremos la señal discontinua x(t) mostrada en la figura. Graficar la derivada.
Solución:
Específicamente, la derivada de x(t) resulta ser claramente 0, excepto cuando se
presentan discontinuidades. En el caso del escalón unitario, hemos visto que la
diferenciación da lugar a un impulso unitario localizado en el punto de discontinuidad.
La derivada de un escalón unitario con una discontinuidad de tamaño k origina un
impulso de área k en el punto de discontinuidad. Esta regla se cumple para cualquier
otra señal con un salto discontinuo. En consecuencia, podemos dibujar su derivada x(t),
como se muestra en la figura 1.siguiente, con área igual al tamaño de la discontinuidad.
Observemos, por ejemplo, que la discontinuidad en x(t) en t=2 tiene un valor de -3, de
manera que un impulso escalado por -3 se localiza en t=2 en la señal x(t).
Rampa unitaria
Otra de las señales elementales es la conocida como rampa unitaria, que se define como
sigue:
0, <0
, 0
nr n
n n
o de modo equivalente r[n]=nu[n]. Su representación gráfica
se muestra a continuación en la figura 1.40:
0
-1
x(t)
t
-3
4 2
2
2
-1
4 2
x(t)
0 t
[ramem] 41
En tanto que la función rampa r(t) se define como:
0, <0
, 0
tr t
t t
, o de modo equivalente r( t )=tu( t ).
La función de impulso (t) es la derivada de la función escalón u(t) con respecto al
tiempo. Por el mismo motivo, la integral de la función escalón u(t) es una función de rampa
de pendiente unitaria.
En términos mecánicos, una forma de rampa puede visualizarse del modo siguiente. Si
la variable de entrada se representa como el desplazamiento angular de un eje, entonces la
rotación de velocidad constante del eje brinda una representación de la función rampa.
Como una señal de prueba, la función de rampa nos permite evaluar cómo un sistema en
tiempo continuo respondería a una señal que aumenta linealmente con el tiempo.
t -2 0 -1 1 2
Figura 1.40
Rampa unitaria 1
3
x(t)
…
[ramem] 42
EJERCICIOS 1:
I. Determinar si el conjunto dado es una función. Si fuera función ¿cuál es su dominio?
¿cuál es su contradominio?
1. , 4x y y x
2. 2, 4x y y x
3. 2, 4x y y x
4. 2 2, 4x y x y
5. 2,x y y x
6. 2,x y x y
7. 3,x y y x
8. 3,x y x y
9. 2, 1 2x y y x
10. 2, 1 2x y x y
11. 3, 2 1x y y x
12. 3, 1 1x y x y
II. Suponiendo que 3 4 3f x x x encontrar:
1. 1f
2. 2f
3. f a
4. 2
f a
5.
0f a h f a
hh
III. Dada 23 4g x x encontrar:
1. 1
2g
2. g x h
3. g x g h
4. 2g x
5. g g x
IV. A partir de las funciones definidas en cada punto, encontrar el dominio de la función
resultante: a) f g , b) f g , c) f g , d) g
f, e)
f
g, f) f g , g) g f , h) f f
e i) g g :
1. 25; 1f x x g x x
2. 1 1
;1
xf x g x
x x
3. 2; 4f x x g x x
4. ; 3f x x g x x
5. 2 1;f x x g x
x
6. 2 1; 1f x x g x x
[ramem] 43
V. En cada ejercicio definir las siguientes funciones y determinar el dominio de la
función resultante: a) 2f x , b) 2
f x , y c) f f x si:
1. 2 3f x x 2.
2
1f x
x
VI. Dada 2 2G x x x , expresar G(x) sin barras de valor absoluto si x está en el
intervalo dado:
Ejercicios Soluciones
1. 2,
2. ,0
3. 0,2
4. ,
1. 0
2. 4
3. 4-2x
4.
4, ,0
4 2 , 0,2
0, 2,
f x x
VII. Resolver los siguientes problemas:
1. Cargas uniformemente distribuidas se colocan en alambres de 1 pulgada de ancho
por 6 pulgadas de largo. La tabla muestra datos experimentales para la máxima carga
segura D (en libras) de un alambre de longitud L (en pies).
L 5 10 15 20
D 800 470 270 200
a) Graficando los puntos ¿qué información puede determinarse de la gráfica?
b) ¿Es L una función de D? si es así, ¿cuál es su dominio e imagen?
2. El número de caballos de fuerza H requeridos por un automóvil para vencer la
resistencia del aire está dada aproximadamente por:
20.002 0.005 0.029H x x x donde x es la velocidad en millas/hr.
a) Representar gráficamente la función H(x).
b) Reescribir la función de modo que x es la velocidad en Km/hr. Es decir, encontrar
H(1.6x)
VIII. Determinar si la función resultante es par, impar, o ninguna de las dos: (a) el producto
de dos funciones pares, (b) el producto de dos funciones impares, (c) el producto de
una función par por una función impar.
IX. Determinar si la función que se da es par, impar, o ninguna de las dos:
1. 4 22 3 1f x x x
2. 2 1f x x
4. 1, 0
1, 0
xf x
x
[ramem] 44
3. 2
2
1
1
rf r
r
5. 2 1
xg x
x
6. 3
2 1
y yh y
y
X. En cada ejercicio, determinar el dominio y el ámbito de la función, y trazar la gráfica.
1. 25f x x
2. 29f x x
3. 1
ln 2 3f x x
4. 2f x x
5. 5 1g x x
6. f x x
7. 3
3log 3 1f x x
8. 3xf x e
9. 3 6f x x
10. 3 2g x x
11. 2
6, 4
16 , 4 4
6 , 4
x x
f x x x
x x
12. xf x e
13. 2 4, 3
2, 3
x xf x
x
14. 23 4xf x e
15. 1 1h x x x
16. 4g x x
17. 2 5 6f x x x
18. 24 1
2 1
xf x
x
19. 2
2
4 3
6
x xf x
x x
20. 3
ln 2 3 4f x x
21. x
g xx
22. 34 4xf x
23. 22 3 1f x x x
XI. Determinar si la función dada es uno a uno.
1. 2 3f x x
2. 34h x x
3. 21f x x
4. 2
3g x
x
5. 1 cos , 0f x x x
6. 2f x x
7. 4g x
8. 23h x x
XII. Resolver la ecuación: 23 4x .
XIII. Calcular los siguientes resultados utilizando como mínimo 4 cifras:
1. ee
2. 2
2
3. 5log 3
4. 30log 40
5. 5
6. 2log 0
7. ln e
8. 50log 50
[ramem] 45
XIV. En los siguientes ejercicios determinar si la función dada tiene inversa. Si la inversa
existe, hacer los siguiente: (a) obtener y señalar su domino y contradominio, (b) trazar
las gráficas de la función y su inversa en el mismo sistema de coordenadas. Si la
función carece de inversa, mostrar que la recta horizontal intersecta la gráfica de la
función en más de un punto:
1. 3
4f x x
2. 3 1f x x
3. 3
1
xf x
x
4. 29f x x
5. 2 34 9,
2f x x x
6. 3 1 1
2 1 ,2 2
f x x x
XV. Resolver los siguientes problemas:
1. Si x es la temperatura en grados Celsius, entonces, el equivalente en grados
Fahrenheit puede expresarse como una función de x. Si tal función es f, entonces f(x)
es la temperatura Fahrenheit, y f(x)=32+x. Determinar la función inversa f -1
que
exprese una temperatura Celsius en función de una temperatura Fahrenheit.
2. Si f(t) unidades monetarias (u.m.) es el monto que se alcanza en t años al invertir 1000
u.m. a 12% de interés simple, 1000 1 0.12f t t . Determinar la función inversa
f -1
que exprese el número de años por los que habrá que invertir las 1000 u.m. a un
interés simple de 12% en función de la inversión original.
3. Si 216 , 0 4f x x x , mostrar que f es su propia función inversa.
XVI. Obtener los parámetros de amplitud, frecuencia angular, periodo, frecuencia y
defasamiento (indicando atraso ó adelanto) de las siguientes funciones y graficar:
24 3 45 4
5 3
2 2 12
5 3 3 3
13 4 4
3 2 5
cos sin
sin cos
sin cos
f t t f t t
f t t f t t
f t t f t t
XVII. Sabiendo que la expresión matemática que define toda función cosenoidal está dada
por: cosf t A t , a partir de la información proporcionada, obtener la
gráfica de la función resultante:
A = 5, T = 5 seg, = 50º
A = -1/3, f = 1/2 Hz, = /3
A = 3, f = 2/3 Hz, = -/2
XVIII. Sabiendo que la expresión matemática que define toda función sinoidal está dada por:
sinf t A t , a partir de la información proporcionada, obtener la gráfica de
la función resultante:
[ramem] 46
A = 5, T = 5 seg, = 50º
A = -1/3, f = 1/2 Hz, = /3
A = 3, f = 2/3 Hz, = -/2
XIX. Definir la función f g y determinar su dominio:
32
12
xf x x g x x f x x g x
f x x g x x f x x g xx
sin , tan ,
csc , cot ,
XX. Determinar el valor exacto de la función:
5 3
6 2 2 4
5 5 3
6 6 2 6
5
4 2 4
a d g j
b e h k
c f i l
sin csc cos cot
cos tan csc cos
cot sec cot tan
XXI. Determinar el valor exacto de la función:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 33
2 23
1 23 0
2 3
1 1 11
3 3 3
a d g j
b e h k
c f i l
sin csc cos cot
cos tan csc cos
cot sec cot tan
Soluciones:
5 5
3 3 6 6
2 4
3 3 3 2
2
3 3 6
a d g j
b e h k
c f i l
XXII. Dada 1 1sin
2x
, calcular el valor exacto de cada una de las siguientes
expresiones:
a x b x c x d x e xcos ; tan ; cot ; sec ; csc
[ramem] 47
XXIII. Dada 1 1cot
3x
, calcular el valor exacto de cada una de las siguientes
expresiones:
a x b x c x d x e xcos ; sin ; tan ; sec ; csc
XXIV. Dada 1 2sec
3x
, calcular el valor exacto de cada una de las siguientes
expresiones:
a x b x c x d x e xcos ; sin ; tan ; cot ; csc
XXV. Determinar el valor exacto de la función:
1 1 1
1 1 1
1 1
4 3
6 3 2
2 1
3 3 2
7 5
6 3
a d g
b e h
c f i
sin sin cot cot tan sin
cos cos sec sec cos sin
tan tan csc csc tan c 1 1 ot
XXVI. Dibujar las formas de onda de las siguientes señales:
1. 2x t u t u t
2. 1 2 1x t u t u t u t
3. 3 2 1 2 1 3x t u t u t u t u t
4. 1 2y t r t r t r t
5. 2 1 1 2y t r t r t r t r t
Solución:
Continúa en la siguiente página
1.- x(t)
1
2
t
-1
-1
2.- x(t)
1
1
t
-3 -1
4
3.- x(t)
1
1
t
3
[ramem] 48
XXVII. Práctica por computadora. Utilizar un software de graficación para obtener las
gráficas de las funciones de los siguientes apartados:
IV, IX-XI, XIV-XVIII
-2 2 1
1
-1
t
4.- y(t)
2 1
1
t
5.- y(t)
