1  

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf h kl b df h kl

 

 

 

Apuntes de clases del Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski 

 

Estadística II Facultad Politécnica UNA Funciones Generadoras de Momentos y Funciones Características 

Abril/2010  

  

 

  

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 Funciones Generadoras 

Sabemos que  ( )mm E Xμ′ = es llamado el momento de orden m de una distribución. Si  1m = , 

tenemos  la  esperanza  matemática,  la  cual  es  el  primer  momento.  ( )2E X es  el  segundo 

momento  alrededor  del  origen  el  cual  es  2 2σ μ+ .  El  cálculo  de  cualesquiera  de  estos 

momentos  es  engorroso  y  por  lo  tanto  sería  deseable  derivar  los  momentos  de  una 

distribución de algún esquema más general antes que computar  ( )mE X para cada  .m  

La Función Generadora de Momentos 

Definición 

La  función  ( ) ( ) ( )Xt xt xtm t E e e f x dx e dF∞ ∞

−∞ −∞= = =∫ ∫ es  llamada  la  función generadora de 

momentos  (también  conocida  como  la  transformada  de  Laplace)  de  .X   La  función  está 

definida para aquellos valores de  t para los cuales la integral existe. 

La Función Característica 

Definición 

La  función  ( ) ( )iXtt E eφ = donde  2 1i = − ,  esto  e,  el  complejo  i ,  es  llamada  la  función 

característica de  .X  

Usando las expansiones de series de potencia de  ixte ,  sin ,xt y  cos xt , se puede verificar que 

cos sin .ixte xt i xt= +  Por lo tanto, 

  ( ) ( ) ( )cos sin cos sint xtdF i xtdF xtf x dx i xt f x dxφ∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞= + = +∫ ∫ ∫ ∫  

Cada una de las integrales es llamada una transformada de Fourier. Porque  cos xt  y 

sin xt no exceden 1 y porque una función de densidad de probabilidad integra o suma 1, cada 

una de las integrales de Fourier existe y por lo tanto  ( )tφ siempre existe. Así la función 

característica siempre existe a pesar de que la función generadora de momentos puede no existir. 

La expansión de series de potencia de  iXte es 

  

3

 ( )

0 !

riXt

r

iXte

r

∞

=

=∑  

Por lo tanto, la función característica también puede escribirse como 

  ( )( )

0 0! !

rr r

rr r

E iXt i ttr r

φ μ∞ ∞

= =

⎡ ⎤⎣ ⎦ ′= =∑ ∑  

donde  ( )rr E Xμ′ = es el momento de orden  r de  .X  Así podemos observar que el momento 

de orden  r , si existe, es generado como el coeficiente de ( )

!

r ri tr

 en la serie de expansión 

infinita de  ( ).tφ  Por lo tanto, si podemos obtener la función característica de una 

distribución, podemos obtener todos los momentos de una distribución más fácilmente. 

Teorema. 

Una función característica es uniformemente continua sobre la línea real. 

Las pruebas pueden encontrarse en Ramanathan y Lukacs.  

 

Asumiendo que  ( )tφ es diferenciable bajo el signo de la integral obtenemos que: 

  ( ) ixtt e ixdFφ∞

−∞′ = ∫  

Sigue que  ( ) ( )0 iE Xφ′ = . Procediendo de manera similar, obtenemos que 

  ( ) ( )0

0r

r rr

d ti

dtφ

φ μ⎡ ⎤

′= =⎢ ⎥⎣ ⎦

 

suponiendo que la derivada de orden  r existe. Así, si el momento existe y solo si las derivadas 

correspondientes de  ( )tφ existen en  0,t =  la técnica descrita aquí es muy útil para derivar los 

momentos de una distribución. 

Dado que la función característica siempre existe, incluso una distribución como la de Cauchy para la cual los momentos no existen tiene una bien definida función característica. Puede 

demostrarse que la función característica de una distribución Cauchy es  ( ) tt eφ −= . Pero, 

porque  ( )tφ no es diferenciable en  0,t = su primer y mayores momentos no existe. 

Ejemplo: Función Característica de la Normal Estándar y de la Normal General 

  

4

Derivemos la función característica de una distribución normal estándar  ( )Z y luego 

deduzcamos lo mismo para una distribución  ( )2,X N μ σ∼ . Queremos que  ( )iZtE e la cual 

es 

 

( )( )

( )

2 22

2 22 2

22

22 2

1 12 2

z it tizt z

Z

z it tt t

t e e dz e dz

e e dz e

φπ π

⎡ ⎤− − −∞ ∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦−

−∞ −∞

⎡ ⎤− − −∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦− −

−∞

= =

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ 

porque el integrando es la función de densidad normal con media  it y varianza 1 y por lo tanto 

integra a 1. Así,  ( ) 2 2tZ t eφ −=  para una distribución normal estándar. 

Para obtener la función característica para una distribución  ( )2,X N μ σ∼ primero notemos 

que  .X Zμ σ= +  

 ( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2i t

i Z t i t iZ t i tX Z

i t t t

t E e e E e e t

e e eμ

μ σ μ σ μ

μ σ σ

φ φ σ+

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦⎣ ⎦

= = 

Por lo tanto la función característica de  ( )2,X N μ σ∼ es 2 2 2i t te

μ σ− . Podemos usar la función 

característica para derivar la media y la varianza de la normal general. 

Diferenciando  ( )tφ con respecto a  t obtenemos que 

  ( ) ( )2 2 2 2i t tX t e i t

μ σφ μ σ−⎡ ⎤′ = −⎣ ⎦  

Por lo tanto,  ( ) ( )0 .XiE X iφ μ′= =  Se deduce de esto que  ( ) .E X μ=  

Diferenciando una vez más, 

  ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2i t i tt tX t e i t e

μ μσ σφ μ σ σ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ = − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦  

Por lo tanto, 

  ( ) ( )2 2 2 2 2 20Xi E X i iφ μ σ′′= = +  

Por lo tanto,  ( )2 2 2E X μ σ= +  y  ( ) 2.Var X σ=  Esto establece el resultado expuesto 

anteriormente, que  ( )2,X N μ σ∼ tiene media μ  y varianza  2.σ  

Ejemplo: Función Característica de la Distribución Binomial 

Para la distribución binomial,  ( ),B n p , tenemos que 

  

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  ( ) ( ) ( ) ( )0 0

n n x niXt ixt x n x it n x itn nt E e e p q pe q q pe

x xφ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑  

la que hace uso de la expansión binomial. Diferenciando  ( )tφ con respecto a  t , tenemos que 

( ) ( ) 1.

nit itt n q pe pe iφ−

′ = +  Por lo tanto (observando que  1),p q+ = ( ) ( )0 .iE X inpφ′= =  

La media de una binomial es por lo tanto  .np  Diferenciando  ( )tφ′ tenemos, 

  ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 22 1n nit it it itt n q pe pe t n n q pe pe tφ− −

′′ = + + − +  

Por lo tanto, 

  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 1i E X i np n n p tφ′′= = + −  

Por lo tanto,  ( ) ( )2 2 2 1E X n p np p= + −  de lo cual tenemos que, 

( ) ( )1 .Var X np p npq= − =  La distribución binomial tiene por lo tanto media  np  y varianza 

igual a  .npq  

Ejercicios a Resolver para el Exámen 

1. Derive la asimetría y la kurtosis para una distribución  ( )0,1 .X N∼  

2. Compute  ( )tφ para la distribución exponencial estándar con la función de densidad 

( ) xf x e−= , para  0,x > y cero en cualquier otro lado. Úsela para derivar la media, la 

varianza, la asimetría y la kurtosis.