Funciones Continuas Nuevo 2014

8/17/2019 Funciones Continuas Nuevo 2014

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Funciones continuas

En el curso de cálculo diferencial estudiamos una definición simple de la

continuidad que tiene una función en un punto de R

. Veamos como se planteaban

entonces.

Sea a∈ R y f : R → R una función bien definida.

Diremos que f es continua en x=a si;

1.¿ aϵ Dom (f )

2.¿∃ lim x →a

f ( x)

3.¿ lim x →a

f ( x)=f (a)

Si fallan alguna de estas tres condiciones entonces la función no es continua en x=a,

es decir; f es discontinua en x=a . demás diremos que f en continua en un

inter!alo o en un subcon"unto de R

si f en continua en cada punto del inter!alo o del

subcon"unto de R

, por consecuencia podemos decir que f es discontinua en un

inter!alo o subcon"unto de R

si lo es en un punto que pertenece a dic#o inter!alo o

subcon"unto de R

.

$as funciones continuas constituyen una clase fundamental para las operaciones del

análisis matemático.%na idea intuiti!a de función continua se tiene al considerar que su

gráfico es continuo, en elsentido que se puede dibu"ar sin le!antar el lápi& de la #o"a de

papel, como en la figura '.' y nocomo en la figura '.(.

)unción contin*a. )igura '.'


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)unción discontinua. )igura '.(

%na función continua pro!ee la expresión matemática de la situación muy frecuente de

que a +incrementospequeos- de la !ariable independiente corresponden +incrementos

pequeos- de la !ariabledependiente.En el curso de análisis matemático estudiaremos la

continuidad de las funciones de forma más formal.

Definición 1:

Sea A ⊆ R

, seaf : A→ R , y sea

c⊆ A. Se dice que f es continua en c si

dada cualquier !ecindad V de fc/, existe una !ecindadU V de c tal que si

x∈ A ∩ U V , entonces fx/ pertenece aV

.

Definición 2:


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Sea A ⊆ R

, seaf : A→ R . Si

B ⊆ A, se dice que f es continua en 0 si f

es continua en cada punto de 0.

Teorema 1

Sea A ⊆ R

, seaf : A→ R , y sea

c⊆ A. Entonces las condiciones

siguientes son equi!alentes1

i. f es continua en c

ii. Dado cualquierε>0 existe δ ( ε )>0 tal que si | x−c|0 tal que | x−c|


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ii ¿⟹iii ¿

3onsideremos una sucesión ( xn ) tal que xn∈ A , para todo n∈ N y

( xn ) con!erge a c. 2or definición de con!ergencia, para ε>0 , δ ( ε )>0 , existe

N ∈ N tal que , n> N implica que | xn−c|


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Sea A⊆ R , sea

f : A→R , y seac∈ A

. Entonces f es discontinua en c si y solo

si existe una sucesión( xn) en tal que ( xn) con!erge a c, pero la sucesión

(f ( xn )) no con!erge a fc/.

Demostración:(⟹)

4a&onemos por absurdo. Supongamos que toda sucesión( xn) en tal que ( xn)

con!erge a c, cumple que(f ( xn )) con!erge a fc/, luego por el teorema '

(iii)⟹(i) se tiene que f es continua en c77 3ontradicción ya que f es discontinua en

c, lo supuesto es falso por lo tanto existe una sucesión ( xn) en tal que ( xn)

con!erge a c, pero la sucesión(f ( xn )) no con!erge a fc/.

(⟸)

4a&onemos por absurdo, supongamos que f es continua en c, por el teorema '

(i)⟹(iii) se tiene que ( xn ) es una sucesión cualquiera de n*meros reales tal que

xn∈

A para toda n∈ N y ( xn ) con!erge a c, entonces f ( xn ) con!erge a

fc/.77 3ontradicción ya que la sucesión(f ( xn )) no con!erge a fc/. $o supuesto es

falso por lo tanto fes discontinua en c.

Ejemplos de funciones continuas:

'./ Sea f ( x )=) con ) constante. $a función f es continua en x=a con

a∈ R

En efecto1

Seaε>0 cualquiera y δ ( ε )>0 tal que si | x−a|0 tal que | x−a|


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En efecto1

Sea ε>0 , y δ ( ε )=ε>0 , como f ( x )= x entonces f (a )=a , luego;

| x−a|0 existe δ ( ε )>0 tal que si | x−c|0 tal que si | x−c|0 tal que si 0


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Teorema de límitesSi cada l6mite existe entonces1

a .¿ lim x → a

( f ( x )+g( x ))=lim x →a

f ( x)+lim x→ a

g ( x)

$ .¿ lim x → a ( f ( x )−g ( x))=lim x → a f ( x)−lim x→ a g( x )

c .¿ lim x →a

(f ( x ) + g( x ))= lim x→ a

f ( x )+ lim x→ a

g ( x)

d .¿ lim x →a (

f ( x )g( x ))=

lim x →a

f ( x)

lim x → a

g( x )si lim

x→ a

g ( x)*0

e . ¿ lim x→ a

[) + f ( x ) ]=) + lim x →a

f ( x )

f . ¿ lim x→ a

) =)

g .¿ lim x →a

(f ( x))n=( lim x →a f ( x))n

,∀ n∈ N

.¿ lim x → a

n√ f ( x )=n√ lim x→ a

f ( x ), n∈ N

donde lim x →a

f ( x )>0 sin es par .

Estos teoremas ya se probaron en el capitulo de limites capitulo anterior al de

continuidad/ y la demostración sale por definición rigurosa de limites.

Demostración de los teoremas de límites:

a./lim x→ a

( f ( x )+g ( x))=lim x → a

f ( x)+ lim x →a

g ( x)

Demostración1

!ea lim x →a

f ( x

)= - # lim

x →a

g( x

)= ,%"eremos pro$ar %"e

lim x→ a

( f ( x )+g ( x))= -+

En efecto1

Veamos por definición, como1

lim x→ a

f ( x)= -

Entonces1


8/40

∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0


9/40

lim x→ a

( f ( x )−g( x))= -−

En efecto1


lim x→ a

f ( x )= -

Entonces1

∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0


10/40

lim x→ a

( f ( x )−g( x))=lim x→ a

f ( x )−lim x→ a

g ( x)

c./lim x→ a

( f ( x ) + g ( x))=lim x→ a

f ( x) + lim x →a

g( x )

Demostración1

!ea lim x →a

f ( x )= - # lim x →a

g ( x )= ,%"eremos pro$ar %"e

lim x→ a

( f ( x ) + g ( x))= -+

En efecto1

3omo el l6mite de g existe en a, g es acotado en un entorno de a, por lo que existe un

+¿ # ) *0) ∈ R

¿ tal que |g( x )|0 , existe δ 0>0

tal que1

0


11/40

∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e00,∃δ >0 :0


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d .¿ lim x →a (

f ( x )g( x ))=

lim x →a

f ( x)

lim x → a

g( x )si lim

x→ a

g ( x)*0

Demostración1

!ea lim x →a f ( x )= - # lim x →a g ( x )= *0,%"eremos pro$ar %"e :

lim x→ a (

f ( x)g ( x))= -

En efecto1


lim x→ a

f ( x)= -

Entonces1

∀ ε>0,∃δ 1>0 tal%"e0


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Dadoε=

1

2| | , existe un δ >0 tal que

00

, tenemos que1

existe un+¿ # ) *0

) ∈ R¿ tal que |g( x )|>)

#ora1

|f ( x)g ( x)−

-

|=| + f ( x )− -+ g( x )

+ g( x) |=| + f ( x )− - + - − -+ g( x )

+ g( x) |=¿

| + f ( x )− - + g ( x) + - − -+ g( x )

+ g( x ) |=| + (f ( x )− - )

+ g( x ) −

-+ ( g ( x )− ) + g( x ) |

¿| 1g ( x) + ( f ( x )− - )− -

+g ( x)+ (g ( x)− )|

/ 1

|g( x )|+|f ( x )− -|+

| -|| |+|g( x)|

+|g ( x )− | por D . 0 .

¿ 1

) + ε + )

2 +

| -|| |+|g( x )|

+ ε + ) +| |

2| -| por ( ' ) # ( '' )

¿ ε

2+

ε

2=ε

s61

∀ ε>0,∃δ >0 :0


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lim x→ a (

f ( x)g ( x))= -

Es decir;

lim x→ a (

f ( x)g ( x))=lim

x→ a

f ( x )

lim x →a

g( x) si lim x → a g( x )*0

e .¿ lim x→ a

) =)

Demostración1

Veamos por definición1

Sea ε>0 y δ >0 cualquiera tal que 0


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Entonces1

∀ ε>0,∃δ >0 tal%"e00,∃δ >0 tal %"e0


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lim x→ a

( f ( x ))) +1= lim x →a

[ ( f ( x))) + f ( x )]≝. de potencia

¿ lim x→ a

[( f ( x))) ]+ lim x→ a

f ( x )teorema c .¿del 2 mites

¿( lim x →a f ( x)))

+ lim x → a f ( x) por1 . ' .

¿( lim x → a f ( x))) +1≝.depotencia

s6;

lim x→ a

( f ( x ))) +1=( lim x →a f ( x))) +1

2or lo que se cumple para n='.

$uego, por el proceso de inducción matemática, tenemos que1

lim x→ a

( f ( x ))n=(lim x→ a f ( x ))n, ∀n∈ N

.¿ lim x → a

n√ f ( x )=n√ lim x→ a

f ( x ), ∀n∈ N , donde lim x→ a

f ( x )>0 sinespar .

Demostración1

!ea lim x →a

f ( x )= -

3aso '1 $=?

3omo n√ -=n√ 0=0 , debemos probar que dado ε>0 , existe δ >0 tal que1

0


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0


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n√ f ( x )−n√ -= ( n√ f ( x))

n

−( n√ - )n

(

n

√ f ( x)

)

n−1+

(

n

√ f ( x )

)

n−2 n

√ -+⋯+

n

√ f ( x )( n

√ - )

n−2+( n

√ - )

n−1

n√ f ( x )−n√ -= f ( x )− -

n√ ( f ( x))

n−1+n√ (f ( x))

n−2 -+⋯+

n√ f ( x ) -

n−2+n√ -n−1

(2)

3uando0


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Sea g ( x )=(−1 ) f ( x ) , se tiene que1

lim x→ a

g( x)=lim x →a

(−1 ) f ( x )=(−1 ) lim x → a

f ( x )= (−1 ) ->0

$uego, por el caso ( y como n es impar, tenemos que1

lim x→ a

n√ g( x )=n√ lim x→ a

g( x )= n√ (−1) -

⟹ lim x → a

n√ (−1 ) f ( x)= n√ (−1) -

⟹(−1) lim x→ a

n√ f ( x)=(−1) n√ -

⟹ lim x → a

n

√ f ( x)= n

√ -

2or lo tanto1

lim x→ a

n√ f ( x)= n√ lim x →a

f ( x) ,∀n∈ N ,donde lim x →a

f ( x)>0 sinespar

Ejercicios de continuidad:

'./ $as funciones f (3 )=sen(3) y g (3 )=cos (3) son continuas en todo R .

Demostración1

Sea a∈ R cualquiera.

Debemos probar que dado ε>0 , existe δ >0 tal que1

|3−a|


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$a longitud del cateto !ertical es |sen (3 )−sen(a)| .

$a longitud del cateto #ori&ontal es |cos (3 )−cos(a)| .

$a longitud de la #ipotenusa esd ( - (3 ) , -(a)) , la distancia de -(3) a -(a) .

$a longitud del arco entre -(3) y -(a) es |3−a| .

Es claro que la longitud de la #ipotenusa es menor que el arco entre -(3) y

-(a) .

Es decir; d ( - (3 ) , - ( a ) )


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lim x→ a

f ( x )=lim x→ a

(an xn+5+a1 x+a0)s"stit"#endo f

¿ lim x→ a

(an xn)+5+ lim

x →a(a1 x )+ lim

x →a( a0 ) teoremaa. ¿del osl2mites

alim x→ a

(¿¿ 0) teorema f .

¿an lim x→ a

( xn )+5+a1 lim x → a

( x)+¿delos l2mites

¿an an+5+a1 a+a0teoremae .¿ , g .¿ #

f ( x )= x es contin"a en a .

¿ f ( a ) s"stit"#endo f

2or lo tanto1lim x→ a

f ( x )=f (a )

$uego, por el teorema (, se cumple que1f es continua en a. y por la definición ( se tiene que1

f es continua en R .

./ Si f es una función racional, entonces fes contin*a en cualquier punto de su

dominio.Demostración1

!ea f ( x )= P( x)6( x )

con P ( x ) # 6 ( x ) f"nciones polinomicas # 6 ( x)*0

$uego; Domf = { x∈ R tales %"e 6( x)*0 } y sea a∈ Domf , as6 6(a)*0 .#ora, calculemos el l6mite de f cuando x tiende a aF.

lim x→ a

f ( x )=lim x→ a (

P( x )6( x))s"stit"#endo f

¿lim x→ a P( x )lim x →a

6( x) teoremad .¿delosl2mites

¿ P (a)6(a)

porel e7ercicio anterior( 87 .1decontin"idad)

¿ f ( a ) por≝.de f # como6 (a)*0

2or lo tanto;

lim x→ a

f ( x )=f (a)


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s6; por el teorema ( se cumple que f es continua en a. y por la definición ( tenemos

que f es continua en R

.

A./ Seaa∈ R

, probar que si f es continua en a yf ( a )>0

, entonces existe un

inter!alo abierto (a−δ , a+δ ) tal que1

f ( x )>0,∀ x∈ (a−δ , a+δ ) .

Demostración1

2or ser f continua en a, paraε=

1

2 f (a)

, existe unδ >0 tal que1

| x−a|


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2araε1=δ 1 , existe δ >0 tal que1

0


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¿ lim→0

f ()+lim→0

f (a) por a.¿delteoremadel2mites

¿0+ f ( a ) por e. ¿delos teorema del2mites # (¿)

¿ f (a)

2or lo tanto;

lim x→ a

f ( x )=f (a)

s6 por el teorema ( tenemos que; f es continua ena∈ R .

H./ Si f es una función continua en un inter!alo cerrado Ia,bJ y si # es un n*mero

tal que1

f (a )


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3omo ( x )*0 para todo x∈ A , se cumple que

lim x→ c

( x)*0

9 por los teoremas de los l6mites podemos decir que1

lim x→ c (

f ( x)( x) )=

lim x→ c

f ( x )

lim x →c

( x )

$uego sustituyendo ( ' ) y ( '' ) en lo anterior tenemos que1

lim x→ c (

f ( x)( x) )= f (c)(c )=( f )(c)

s6 por el teorema ( se cumple que1f / es continua en c.

Corolario 1 del teorema 3.

Sea A⊆ R

, sea f y g funciones de a R

, y sea) ∈ R

. Sea f y g son

continuas en .

a./ Entonces f +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en .

b./ Si : A →R es continua en c y si ( x )*0 para todo x∈ A ,

entonces el cociente f / es continuo en .

Demostración:2arte a1

Sea c∈ A , 3omo f y g son continuas en por la definición ( se tiene que f y g

son continuas en c. $uego por el teorema parte a se tiene que1f +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en c, y como c es un punto

cualquiera de entonces por la definición ( se tiene quef +g , f −g, f +g#) + g son funciones continuas en .

2arte b1

Sea c∈ A , 3omo f y # son continuas en por la definición ( se tiene que f y

g son continuas en c. demás ( x )*0 para todo x∈ A , as6 (c)*0 ,

luego por el teorema parte a, se cumple quef / es continuo en c, y como c


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es un punto cualquiera de . entonces por la definición ( tenemos que,f / es

continuo en .

Continuación de los ejercicios de continuidad:

L./ Sea f una función continua en el inter!alo cerrado[0,1] . 2robar que1

0/ f ( x )/1,∀ x∈ [0,1 ]⟹ f tiene"n p"nto fi7o

Es decir; existe un c en I?,'J tal que f ( c )=c .

Demostración1

3aso '1 f?/=?

3omo 0/ f (0 ) /1 ya que f?/=?/ y f?/=? entonces ? es un punto fi"o para f.

3aso(1f'/='

3omo 0/ f (1 )/1 ya que f'/='/ y f'/=' entonces ' es un punto fi"o para f.

3aso 1f (0 )*0 # f (1)*1

3onsideremos la función g ( x )= x−f ( x) . 2or ser f continua en I?,'J, g

tambiMn lo es por el corolario del teorema /.demás1

g (0 )=0− f (0 )=−f (0 )0 por ipotesis

s61 g (0 )


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b./ Si f es continua en A

, entonces |f | es continua en .

Demostración1

2arte a1

Sea c∈ A , 3omo f es continua en por la definición ( se tiene que f es continua en

c.

$uego por el teorema ' tenemos que1

∀ ε0>0,∃δ 0>0 :| x−c|


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b./ Si f es continua en A , entonces √ f es continua en .

Demostración1

2arte a1

3omo f es continua en c y como c∈ A entonces f (c ) &0 , luego por el

teorema (

5enemos que1

lim x→ c

f ( x )=f ( c )( ' )

$uego por el teorema del l6mite de una ra6& tenemos que1

lim x→ c

√ f ( x)=√ lim x →c

f ( x)( '' )

Sustituyendo ( ' ) en ( '' ) tenemos que1

lim x→ c

√ f ( x)=√ f (c )

s6 por el teorema ( obtenemos que1

√ f es continua en c.

2arte b1

Sea c∈ A , como f es continua en , por la definición ( se tiene que f es continua en

c. $uego por el teorema B parte a/ obtenemos que √ f es continua en c.

s6 por la definición ( tenemos que √ f es continua en .

Teorema ":

Sean A ,B⊆ R , y sean

f : A→ R yg :B →R funciones tales que

f ( A )⊆B . Si f es continua en c∈ A y g es continua en $=f (c)∈B , entonces

la composición g∘ f : A→ R es continua en c.

Demostración1


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Sea N una !ecindad de gb/. 2uesto que g es continua en b, #ay una !ecindad V

de b=fc/ tal que si #∈B ∩V entonces g( # )∈9 . 3omo f es continua en c, #ay

una !ecindad % en c tal que si x∈ A ∩ U

, entoncesf ( x)∈V

. 2uesto que

f ( A )⊆B , se tiene que si x∈ A ∩ U , entonces f ( x)∈B∩V de manera que

( g∘ f ) ( x )=g( f ( x ))∈9 . 2ero como N es una !ecindad arbitraria de gb/, esto

implica que g∘ f es continua en c.

Corolario del teorema ":

Sean A ,B⊆ R , y sea

f : A→R continua en y seag :B → R continua

en 0. Si f ( A )⊆B , entonces la función composición g∘ f : A→ R es continua en

.

Demostración1

Sea c∈ A , por la definición ( se tiene que f es continua en c y como f (c)∈B

entonces g es continua en fc/ luego por el teorema G se cumple queg∘ f : A→ R es

continua en c. 9 por la definición ( se cumple que g∘ f : A→ R es continua en .

Ejemplos:

a./ Sea f , g : R→ R definidas por f ( x )= x−1 y g ( x )=2 x+3 , son

continuas en R por ser polinomicas, luego;

( g∘ f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g ( x−1 )=2 ( x−1 )+3=2 x−2+3=2 x+1

( g∘ f ) ( x )=2 x+1

El cual es polinomica por lo tanto !erificamos que la composición de funciones

continuas es una función continua.

Teorema #:


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Sean : ,; ⊆ R . Sean y 0 cerrados en

R tales que : = A ∩ B . Sean

f : A→; yg :B →; funciones continuas tales que f ( x )=g ( x ) , para todo

x∈ A ∩ B . Entonces la función : : →; definida por

( x )={f ( x ) si x∈ Ag ( x ) si x∈BEs continua.

Demostración1

3aso '1 x∈ A

3omo x∈ A

entonces por definición de # se tiene que ( x )=f ( x) y como f es

continua entonces # es continua.

3aso (1 x∈B

3omo x∈B

entonces por definición de # se tiene que ( x )=g( x ) y como g es


3aso 1 x∈ A ∩ B

3omo x∈ A ∩ B

entoncesf ( x )=g ( x )=( x ) y como f y g son continua entonces #

es continua.

s6; la función # es contin*a.

Ejemplo:

'./ Seaf : R → R definida por

f ( x )={ x2si x /0

| x|si x&0

OSera f continua en todo

R

PSolución1

Sea A= { x∈ R : x/0 } y B={ x∈ R : x&0} luego A ∩B={ x∈ R : x=0 }

$uego para x∈ A se cumple que f ( x )= x2

el cual es continua por ser

polinomica/, para x∈B se cumple que f ( x )=| x| el cual es continua por

el teorema A parte b/ y para x∈ A ∩ B se tiene que 02=0 y |0|=0 por

lo quef (0 )=0

as6 por el teorema H se tiene que f es continua en todo R

.


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Corolario del teorema #

Sean : ,; ⊆ R . Sean y 0 abiertos en R tales que : = A ∩ B . Sean

f : A→; y g :B →; funciones continuas tales que f ( x )=g ( x ) , para todo

x∈ A ∩ B . Entonces la función : : →; definida por

( x )={f ( x ) si x∈ Ag ( x ) si x∈BEs continua.

Demostración1

3aso '1 x∈ A

3omo x∈ A entonces por definición de # se tiene que ( x )=f ( x) y como f es


3aso (1 x∈B

3omo x∈B entonces por definición de # se tiene que ( x )=g( x ) y como g es


3aso 1 x∈ A ∩ B

3omo x∈ A ∩ B entonces f ( x )=g ( x )=( x ) y como f y g son continua entonces #

es continua.

s6; la función # es contin*a.

E"emplo1

Sea f : R → R definida por

f ( x )={2 x+1 si x0

OSera f continua en R−{0 }

P

Solución1

Sea A= { x∈ R : x0} luego A ∩B=∅

s6 para x∈ A se cumple que f ( x )=2 x+1 la cual es contin*a por ser

polinomica/ y para x∈B se cumple que f ( x )= x2− x la cual es contin*a


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por ser polinomica/ luego por el corolario ' del teorema H se tiene que1 f es

continua en todo R .

2odemos decir que las #ipótesis del teorema H y de su corolario son tan importantes

para garanti&ar la continuidad de funciones ramificadas, !eamos un e"emplo de una

función ramificada que solo es continua en un solo punto de su dominio.

Ejemplo:

Sea f : R →R definida por

f ( x )={ x s i x∈6− x si x∈ R−6a./ 2robar que f es continua en ?

b./ 2robar que f no es continua en R−{0 } .

2rueba1

2arte a.

f (0 )=0 por definición de f.

Sea x∈ R

, por propiedad de !alor absoluto se tiene que; | x|=|− x|

s6, |f ( x)|=| x| para ambos casos.

$uego;

∀ ε>0,∃δ =ε>0 tal %"e| x−0|


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2ero |f ( x )−f ( # )|=|− x− #|=|−( x+ # )|=| x+ #|>| x| ya que x y #

tienen el mismo signo.

s6; |f ( x )−f ( # )|>| x|=ε

2or lo tanto, por el teorema ' se cumple que f no es continua en x∈ R− {0 }2or consecuencia f es continua solo en ?.

Teorema $:

Sean : e ; subcon"untos de R , f : : → ; una función.

f es continua si y solo si la imagen in!ersa de un con"unto abierto en ; es

un con"unto abierto en : .

Demostración1

(⟹)

SeaV ⊆; un con"unto abierto en

; . s6;

∀ 0t .% .(


35/40

(⟸)

Supongamos que f −1(V ) es abierto en : para todo V ⊆ R abierto en

; .

Sean x0∈ : y ε>0 . Sea V =( f ( x0 )−ε , f ( x0 )+ε )

s6;

f ( x0 )∈V ⟹ x0∈ f −1 (V )≝.deimageninersa

⟹∃ δ >0 t . % . ( x0−δ , x0+δ )⊆ f −1 (V ) por f −1 (V )es a$ierto

Sea x tal que | x− x0|0t .% .| x− x0|


36/40


37/40

V es cerrado⟹V ces a$ierto≝.decerrado

⟹ f −1 (V c )esa$ierto0eorema9

⟹( f −1 (V ))c esa$ierto-ema 1

⟹ f −1 (V )es cerrado≝. de cerrado

∴ f −1 (V ) es cerrado en :

s6; la imagen in!ersa de un con"unto cerrado en;

es un con"unto cerrado en :

.

(⟸)

Sea A

un con"unto abierto en;

.

A esa$ierto⟹ Aces cerrado≝.decerrado

⟹ f −1 ( Ac )escerrado por ipotesis

⟹ ( f −1 ( A ) )c escerrado -ema1

⟹ f −1 ( A ) esa$ierto≝.decerrado

∴ f −1

( A )es a$iertoen : para"n a$ierto Aen; .

2or el teorema R se tiene que;

f es contin"a

'eferencias ilior*ficas

Neb1


38/40

'./ #ttp1TTT.gooofullsearc#.comgooglePcx=partnerKpubK

GAAGB'AH(''BLL1dotstKGa?Ucof=)48D'?Uie=%5)K

LU#l=esUq=TTT.monografias.comtraba"os'?#istorix#istorix.s#tml

(./ #ttp1TTT.


39/40

C-C%/,0-

En este traba"o que acabamos de presentar mostramos un enfoque más

anal6stico de las funciones continuas a tra!Ms de !ecindad y de con"untos

abiertos. [o obstante cabe mencionar la importancia que tienen di!ersos

teoremas clásicos del cálculo demostrados en este traba"o desde sus principios

usando esta definición. Sin embargo, mencionamos ortos nue!os #ec#os que no

se mencionan en cálculo como la continuidad uniforme y su relación con la

continuidad de funciones.

2ara la elaboración de este traba"o tomamos en cuenta las fuentes

bibliográficas como libros anal6sticos, de cálculo y arte de la información fue

encontrada en la Teb en las páginas mencionadas en la bibliograf6a.


40/40

,-D,CE2ág.

8ntroducción i

4epaso de continuidad '

Definición ' 3ontinuidad/ (

Definición ( 3ontinuidad en 3on"unto / (5eorema ' (

3orolario del teorema ' 3riterio de discontinuidad/

E"emplos de funciones continuas A

5eorema ( A,B

5eoremasde $6mites B

Demostraciones de los 5eoremas de $6mites GK'G

E"ercicios de continuidad 'GK('

5eorema (',((

3orolario del5eorema ((

3ontinuación de los e"ercicios de continuidad ((,(

5eorema A (,(A5eorema B (A,(B

5eorema G (B

3orolario del 5eorema G (B

E"emplos (B

5eorema H (G

E"emplos (G

3orolario del 5eorema H (G

E"emplos (GK(L

Definición y e"emplos (LK(R

5eorema L (R

3orolario del 5eorema L (R

E"ercicios ?

5eorema R ?,'

$ema' ',(

5eorema '? (

:istoria de las )unciones 3ontinuas KH

3onclusión L

0ibliograf6a y 4eferencias 0ibliográficas R

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Funciones Continuas Nuevo 2014