Funciones de dos variables. Graficas y superficies.

1. Funciones de dos variables. Graficas

El cálculo diferencial e integral, visto en los cursos anteriores, se enfocó en el estudio de las funciones de una variable,

f : R → R

El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas funciones se representan a menudo mediante el sımbolo:

z = f (x, y)

(esta mezcla de notacion z y f es comun).

Es posible representar graficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su grafica:

graf(f ) = {

(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y)}

Esta grafica es, hablando informalmente, una superficie en R3: sobre cada punto (x, y) del plano

xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las imagenes

de todos los puntos (x, y) de U es la grafica de f .

Ejemplo 1.1. El ejemplo mas sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un polinomio de grado 1, de la forma:

z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes

Esta funcion tan sencilla tiene, naturalmente una grafica sencilla. La grafica esta formada por los puntos del plano

z = ax + by + c

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Naturalmente, si se consideran funciones mas complicadas sus graficas se corresponden consuperficies mas complejas que el plano.

Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funcion

f(x, y) = (3/2)e1

1+(x−1)2+(y−1)2−(5/2)e1

1+(1/4)(x+1/2)2+(1/36)(y−1)2 +2e1

1+(x−2)2+(y−2)2 +2e1

1+(x−1)2+(y+1)2

tiene una grafica con este aspecto:

Como puede verse en este ejemplo, en general una grafica se corresponde a una superficie conun paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etcetera. Uno de nuestros objetivos esser capaces de identificar y describir esas caracterısticas de la grafica, al igual que hemos hechoen el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma lagrafica se corresponden con los maximos locales de la funcion z = f(x, y), y en las aplicacionesresulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos maximos contanta precision como se desee.

2. Curvas de nivel

Hemos comparado la grafica de una funcion z = f(x, y) con un paisaje con un cierto re-lieve. En cartografıa se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) algunainformacion tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura semuestra una parte de un mapa cartografico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos enel que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.

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En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaciongeologica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo explıcito la idea decurvas de nivel. He aquı una foto de ese pico:

Las curvas de nivel se obtienen cortando la grafica con planos horizontales situados a distintasalturas. En la siguiente figura se muestra una grafica (la del ejemplo previo) cortada con dosplanos horizontales a distintas alturas.

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Si cortamos la grafica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvassituadas sobre la grafica:

Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la grafica, elpaisaje, desde arriba, a vista de pajaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvasde nivel de esta grafica:

Con algo de entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas paradeducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa.

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2.0.1. Ecuacion de las curvas de nivel

Un plano horizontal tiene por ecuacion: z = c con c constante La interseccion de la graficade f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f(x, y) = c. Paraentender como es la grafica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyeccion de esteconjunto sobre el plano (x, y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x, y) delplano en los que f toma el valor c.

Definicion 2.1. La curva de nivel c de la funcion z = f(x, y) es el conjunto de puntos (x, y)del plano que cumplen

f(x, y) = c

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c. Iremos viendo a lo largo del cursoalgunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantesen sı mismos. Ademas, las curvas de nivel pueden servir, como decıamos, para ayudarnos avisualizar la grafica de una funcion z : R2 → R. Porque, como hemos dicho, el c-conjunto denivel es la proyeccion en el plano xy de la interseccion de la grafica de f con el plano horizontalz = c.

Puesto que en los puntos del conjunto nivel fc la funcion vale c, podemos imaginar quetomamos el conjunto de nivel y lo situamos a altura z = c. De esa forma obtenemos una partede la grafica de la funcion. Repitiendo esto para muchos valores de c se obtiene una aproximaciona la grafica de f . Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2.2. Dada la funcion z = f(x, y) = x2 + y2, ¿cuales son sus curvas de nivel?Se trata de estudiar los conjuntos:

zc = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = c}

Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio√

c.

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En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene estafigura:

De hecho la grafica de f , representada en un ordenador, es ası:

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Se trata de una superficie que se denomina paraboloide circular, de la que hablaremos masadelante.

3. Secciones con planos verticales

La informacion que se obtiene a partir de las curvas de nivel de una funcion f se puedecomplementar mediante el estudio de las secciones de dicha grafica con planos verticales. Laecuacion de un plano vertical cualquiera que pasa por el punto (x0, y0) es:

a(x− x0) + b(y − y0) = 0, (∗)

donde a, b son dos coeficientes que deciden la direccion del plano.

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Podemos estudiar estas secciones, por ejemplo, usando la ecuacion (∗) para despejar y =b + mx. Entonces, un punto que este a la vez en la grafica de f y en el plano vertical tiene quecumplir esta relacion:

z = f(x, y) = f(x, b + mx)

La cual permite expresar la coordenada z de esos puntos como funcion solo de la coordenadax. Esta funcion de una variable es como las que hemos estudiado en el primer curso de calculo,y podemos aplicarle todos los metodos que allı se aprenden; en particular la idea de derivada,aplicada a estas funciones, nos va a conducir en un capıtulo posterior a las derivadas parcialesy direccionales.

Para entender algunas graficas sencillas, son especialmente utiles las secciones con los planosparalelos a los dos planos coordenados verticales: el plano xz (de ecuacion y = 0) y el plano yz(de ecuacion x = 0.) En el siguiente ejemplo ilustramos la utilidad de estas secciones.

Ejemplo 3.1. Vamos a tratar de entender la grafica de la funcion

g(x, y) =√

x2 + y2

Para estudiar sus curvas de nivel plantemos la ecuacion:√

x2 + y2 = c

y descubrimos que (para c > 0) la curva de nivel c es una circunferencia de radio c (para c < 0es vacıa). Eso significa que el conjunto de curvas de nivel en este ejemplo coincide con el de lafuncion

f(x, y) = x2 + y2

ejemplo 2.2. ¡Pero eso no significa que las dos graficas sean iguales! De hecho la misma circun-ferencia corresponde a valores distintos de c en cada uno de los dos casos. La diferencia entre

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las dos graficas queda de manifiesto si se estudian sus cortes con el plano vertical x = 0. En elcaso de f se obtiene

z = f(0, y) = y2

que representa una parabola en el plano yz. Esto encaja con nuestros anteriores descubrimientos,ya que el corte del paraboloide con el plano yz es precisamente una parabola, como se muestraen la figura:

Sin embargo en la funcion g el corte con el plano yz produce

z = f(0, y) =√

y2 = |y|Por lo tanto el perfil de la grafica es este:

Y un minuto de reflexion, combinando esta informacion con la forma de las curvas de nivel,convencera al lector de que la grafica de g es un cono invertido con vertice en el origen:

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4. Un ejemplo importante: la silla de montar

No queremos cerrar este tema sin presentar un ejemplo que sera muy importante mas adelanteen el curso. Se trata de la funcion

z = f(x, y) = x2 − y2

Sus curvas de nivel son la familia de hiperbolas

x2 − y2 = c

Es decir:

Situando cada una de esas hiperbolas a la altura correspondiente al valor de c se concluye quela grafica es esta:

Esta superficie se conoce como paraboloide hiperbolico o silla de montar.

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