FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS - Albergue de alojamientos de …€¦ · es una fracción irreducible, es decir, . Las gráficas pueden tener otras form as que aquí no se ... Los

$Page 1: FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS - Albergue de alojamientos de …€¦ · es una fracción irreducible, es decir, . Las gráficas pueden tener otras form as que aquí no se ... Los$
FUNCIONES ELEMENTALES

BÁSICAS

Las funciones elementales básicas son:

F. potencial:

F. exponencial:

F. logarítmicas

F. trigonométricas y sus inversas

La mayor parte de las funciones con las que trabajaremos a lo largo del curso se construyen a

partir de estas funciones elementales básicas. Conocer estas funciones y manejarlas con soltura

es primordial para seguir con éxito el curso.

Función Potencial

Una función potencial es una función de la forma:

, fijo)

en donde el exponente n es un número real fijo.

El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen

mucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes:

2 Funciones elementales básicas

Función potencial con exponente entero positivo

Si

n par

2 4 6, , , f x x x x

n impar

3 5 7, , , f x x x x

Función potencial con exponente entero negativo

Si

n par

2 4 6

1 1 1, , , f x

x x x

n impar

3 5

1 1 1, , , f x

x x x

x

y

x

y

x

y

x

y

Funciones elementales básicas 3

Función potencial con exponente fraccionario positivo

Raíces de orden par: Si q

p

Raíces de orden impar: Si q

p

1

21

;2 n f x x x

1

3 31

;3 n x x xf

2

3 3 22

;3 n x xf x

Se supone que la fracción

q

p es una fracción irreducible, es decir, .

Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Aquí damos las más usadas.

Nota:

Un error común al trabajar con raíces de cuadradas, y en general con cualquier raíz de orden

par, es pensar que la notación engloba tanto a la raíz cuadrada positiva como a la raíz

cuadrada negativa del número x, es decir, muchas veces se piensa que lo cual es

falso. Escribir es exactamente lo mismo que escribir , es decir, .

x

y

x

y

x

y


Función potencial con exponente fraccionario negativo

Raíces de orden par: Si q

p

Raíces de orden impar: Si q

p

1

21

;2

1

n f x xx

3

1

31

;1

3

n x xx

f

2

3

3 2

2;

3

1

n f x xx

Se supone que la fracción

q

p es una fracción irreducible, es decir, .

Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales.

Propiedades de exponentes y radicales

Si , entonces:

Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando . En este caso,

no hay ningún problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando

alguno de los valores es negativo y es aquí, sobre todo en la propiedades relacionadas con los

radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha precaución a la hora de usarlas.

Veamos algún ejemplo:

x

y

x

y

x

y


Ejemplo 1:

Si n es impar la propiedad

se puede aplicar cualquier valor de x y de y. Es

decir,

si n es impar

Por ejemplo,

.

Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el producto

de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos

, ¿se cumple que ?

Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad

n

nn

x x

y y .

Ejemplo 2:

Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es

.

De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general para

cualquier valor real de x.

El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la expresión

solemos simplificarla empleando la propiedad anterior (

) y concluimos que

, sea cuál sea el valor de x.

Si x es positivo, la propiedad está correctamente aplicada.

Pensemos un poco: ¿Tiene sentido la expresión cuando x es un número

negativo?

Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresión quedaría como ,

expresión que no tiene sentido porque un número positivo, (recordemos que hemos

convenido que ), nunca puede ser igual a un número negativo1.

Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta

que dice:

1 No hay que confundir lo aquí explicado con el hecho de que las soluciones de la ecuación .


Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biología. Muchas veces, al estudiar dos

variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de la otra, es

decir, si x e y representan dichas variables:

o, alternativamente:

donde k es una constante de proporcionalidad. En particular, la alometría trata de cuantificar

relaciones entre distintas medidas de un organismo, fundamentalmente con la masa de éste,

basándose en ecuaciones del tipo anterior. Por ejemplo, para mamíferos uterinos se han

desarrollado modelos que permiten relacionar variables como la tasa de consumo de oxígeno

TCO (en mililitros por minuto), la frecuencia respiratoria FR (en ciclos por minuto) y el peso de

los pulmones Ppulm (en gramos) con la masa M (en kilogramos) del animal. En la siguiente tabla

se muestran dichas ecuaciones2:

Variable dependiente Variable independiente Ecuación

Tasa de consumo de oxígeno Masa

Peso de los pulmones Masa

Frecuencia respiratoria Masa

Reflexiona: ¿Qué significado tiene el hecho de que el exponente de la función potencial sea

mayor que 1, igual a 1, comprendido entre 0 y 1 ó menor que 0?

2 Éstas y muchas más ecuaciones alométricas se pueden encontrar en la página http://www.um.es/fisfar/efalom.pdf

http://www.um.es/fisfar/efalom.pdf


Función Exponencial

Para cualquier constante , se define la función exponencial de base b como la función:

La función exponencial por excelencia es aquella que tiene como base al número e de Euler o

constante de Neper ( ), es decir, . A dicha función la

denominaremos función exponencial natural o simplemente función exponencial.

Cuando el exponente de la función exponencial es complicado suele ser cómodo emplear la

notación

Por ejemplo, en vez de escribir

se puede escribir, con mayor claridad

es decir:

Nótese que en una función exponencial la base b es fija y es el exponente quien es variable.

El dominio de cualquier función exponencial es y, salvo para , que es una función

constante, la forma de su gráfica depende de que el valor de b sea mayor o menor que 1. A

continuación se muestran ambas posibilidades:


Función exponencial

Función estrictamente decreciente

Función estrictamente creciente

En la siguiente figura se observa que, si la base , el crecimiento de la función exponencial

es más rápido al aumentar el valor de b.

Funciones exponenciales para distintos valores de b ( )

La función exponencial permite modelar matemáticamente diferentes comportamientos

poblacionales, magnitudes físicas, fenómenos medioambientales,... Veamos un ejemplo:

Ejemplo:

Algunas bacterias se reproducen muy rápidamente. Supongamos una población inicial de 100

bacterias que se duplica cada hora. Sea el número de bacterias en la población en la hora t.

Puesto que la población se duplica cada hora, es fácil ver que:

x

y

1

x

y

1

y

xey

xy 4

xy 6


⇓ ⇓ ⇓ ⇓

Siguiendo la misma pauta, podemos calcular el número de individuos en la población

transcurrido cualquier número de horas. El número de bacterias en función del tiempo admite

como modelo la función:

(bacterias en la hora t)

Ahora podemos calcular el número de bacterias en la población transcurrido cualquier periodo

de tiempo: media hora, tres cuartos de hora, o en el instante 3,1 horas:

Hemos obtenido una función que permite calcular el número de bacterias en la población en

cualquier instante .

Advertencia:

No debe confundirse la función exponencial con la función potencial.

Función potencial : base variable, exponente fijo.

Función exponencial : base fija, exponente variable.

Aunque las reglas de los exponentes se apliquen a ambas son funciones con propiedades

diferentes. Un error bastante frecuente es derivar una función exponencial como si de una

función potencial se tratara.

Función Derivada

Correcto Incorrecto

Potencial

Exponencial

Cada hora que pasa la población se duplica


En el siguiente gráfico se compara la gráfica de una función potencial con una exponencial. Para

valores de x lo suficientemente grandes las funciones exponenciales (con ) crecen mucho

más rápidamente que las potenciales (con ).

En el intervalo , las funciones exponenciales ( ) crecen

mucho más rápidamente que las funciones potenciales ( )

Función Logarítmica

Sea . Para cualquier valor positivo x se define el logaritmo en base b de x como el

exponente al que debe elevarse b para obtener el número x. Al logaritmo en base b de x lo

denotaremos como logbx . Por lo tanto:

Por ejemplo:

⇓

⇓

⇓

⇓

⇓

Se denomina función logarítmica de base b a la función que a cada valor positivo de x le hace

corresponder el valor de , es decir tal que:

Por lo tanto, .

y

x

xby

nxy


Reflexiona: ¿Por qué el dominio de un logaritmo ha de ser ? ¿Por qué no se pueden

calcular logaritmos con base negativa?

Al igual que con la función exponencial, el logaritmo más empleado es el de base e. A éste se le

denomina logaritmo natural o neperiano y se le denota usualmente por ln (x), es decir

Cuando la base del logaritmo es 10, hablamos de logaritmos decimales y nos referiremos a

ellos como .3

Basándonos en la definición es fácil ver que:

Por lo tanto, como observamos en los siguientes diagramas, las funciones exponencial y

logarítmica de base b son funciones inversas, puesto que al componerlas en cualquier orden se

obtiene la función identidad.

3 Existe algo de confusión en cuanto a la notación empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notación (sin especificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notación para los logaritmos

decimales.

( ) log ( )bf x x ( ) xg x b

( )g f x x

x log ( )b x logb xb x

( ) log ( )bf x x ( ) xg x b

( )g f x x

x xb log ( )x

b b x


Podemos repetir lo mismo para exponenciales naturales y logaritmos neperianos:

y de nuevo obtenemos que la función exponencial y el logaritmo neperiano son funciones

inversas.

Por lo tanto, al ser las funciones exponencial y logarítmica de base b funciones inversas, sus

gráficas son simétricas respecto de la recta y x :

Gráficas de las funciones exponencial y logarítmica de base b con 1b

x

y

1

1

xy blog

xby

b

b

( ) ln( )f x x ( ) xg x e

( )g f x x

x xe ln( )xe x

( ) xg x e

( )g f x x

x ln( )x ln( )xe x

( ) ln( )f x x


Reflexiona:

Si , ¿cómo son los valores de si ? ¿Y si ? ¿Cómo será la

gráfica de una función logarítmica de base b en donde ??

Propiedades de los logaritmos

Si y r es cualquier número real:

Reflexiona: ¿Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de números reales x e y?

Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes números

teniendo la ventaja de

transformar productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. Actualmente los

logaritmos se usan en ingeniería y en ciencias para manejar cantidades cuyos valores varían en

un rango excesivamente grande. Los logaritmos intervienen en la definición de pH. El pH indica

la concentración de iones hidronio [H3O+] presentes en un medio material (mezclas,

disoluciones, etc.). Esta concentración es muy variable, pudiendo tomar valores comprendidos

entre 101

y 1014

M, aproximadamente, cuando nos referimos a disoluciones en agua. Así, en

vez de trabajar directamente con la concentración de iones hidronio es más cómodo usar su

logaritmo decimal. Entonces, el pH se define como:

En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentración y el correspondiente valor del

pH:


0,1 101 1

0,01 102 2

0,001 103 3

0,000 1 104 4

0,000 01 105 5

0,000 001 106 6

0,000 000 1 107 7

0,000 000 01 108 8

0,000 000 001 109 9

0,000 000 000 1 1010 10

0,000 000 000 01 1011 11

0,000 000 000 001 1012 12

0,000 000 000 000 1 1013 13

0,000 000 000 000 01 1014 14

Concentración de iones hidronio y su correspondiente pH.

Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos:

Ejemplo 1: Sabiendo que calcula, sin usar la calculadora, ,

y .

Solución:

Ejemplo 2: Resuelve la ecuación

Solución:


Conclusión: La única solución de la ecuación es ya que el logaritmo neperiano no

está definido ni en ni en .

Ejemplo 3: Resolver la ecuación

Solución:

Puesto que hemos obtenido una ecuación que sólo depende de

la ecuación anterior se transforma en

la ecuación de 2º grado:

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son . Como no nos

interesa el valor de y sino el valor de la incógnita x hemos de deshacer el cambio de

variable:

Si

Si (no hay solución)

Conclusión: La única solución de la ecuación es .

Cambio de base:

Aunque revisando textos matemáticos anteriores a 1950 se pueden encontrar tablas de

logaritmos en base 2, en la actualidad sólo se trabaja, fundamentalmente, con logaritmos

decimales y neperianos. De todas formas, para encontrar el valor numérico de un logaritmo en

base distinta a 10 o distinta al número e se puede recurrir a las fórmulas:


Errores muy graves y frecuentes:

(Corrígelo tú mismo).

Funciones Trigonométricas

La palabra trigonometría deriva de los vocablos griegos trigonon (triángulo) y metria

(medición). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonométricas y

sus representaciones gráficas.

Definiciones:

Radián y grado sexagesimal:

Un radián (rd) es la medida del ángulo central de una circunferencia que corresponde a un arco

cuya longitud igual al radio de la circunferencia.

Un grado sexagesimal (1o) es la medida del ángulo central que corresponde a un arco cuya

longitud es 360

1 de la longitud de la circunferencia.

Por tanto:

radianes

radianes

radianes

Para hacer la conversión de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relación

anterior para deducir que:

o

oradianes radianes

180

a

Análogamente para convertir radianes a grados se utiliza la fórmula:


o oradianes180

radianesa

Definición de las funciones trigonométricas

Se considera la circunferencia de centro el origen O y radio 1 y sobre ella un punto cualquiera P

de coordenadas . Sea el ángulo que forma la dirección positiva del eje de abscisas con el

segmento OP . Las funciones trigonométricas se definen como:

Construcción de las funciones trigonométricas

sen ( ) cos( )

1tan( ) cot( )

tan( )

1 1csc ( ) sec( )

sen( ) cos( )

y x

y

x

Algunas fórmulas importantes

a) Se dice que un ángulo es complementario del ángulo si 2

radianes. Es fácil

deducir entonces que si y son ángulos complementarios se cumple que

sen( ) cos( )

cos( ) sen( )

tan( ) cot( )

b) Identidad fundamental

2 2sen ( ) cos ( ) 1x x

Se deduce por tanto que

2sen( ) 1 cos ( )x x

2cos( ) 1 sen ( )x x

El signo quedará completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sitúa

el ángulo x. A partir de la anterior fórmula es fácil ver que también se cumple que:

Ox

y

P x y( , )

1

1

-1

-1

1 y

x


2 2tan ( ) 1 sec ( )x x

c) Identidades para la suma y la resta

sen( ) sen( ) cos( ) cos( ) sen( )

cos( ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( )

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

Es fácil deducir entonces las relaciones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad:

2 2

2

1 cos( )sen(2 ) 2 sen( ) cos( ) sen( / 2)

2

1 cos( )cos(2 ) cos ( ) sen ( ) cos( / 2)

2

2 tan( ) 1 cos( )tan(2 ) tan( / 2)

1 tan ( ) 1 cos( )

xx x x x

xx x x x

x xx x

x x

d) Algunos valores importantes

x sen (x) cos (x) tan (x)

0 0 1 0

6

2

1

2

3

3

3

4

2

2

2

2 1

3

2

3

2

1 3

2

1 0 No definida

0 1 0

2

3 1 0 No definida

2 0 1 0

Ejercicio 1: Dado un ángulo deduce las razones trigonométricas de los ángulos ,

, y .


Representación gráfica de las funciones trigonométricas

sen( )y x cos( )y x tan( )y x

csc( )y x sec( )y x cot( )y x

En todas las gráficas el ángulo x está dado en radianes.

Funciones elementales

A las funciones exponenciales y logarítmicas junto con las trigonométricas y sus inversas se les

denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como

funciones elementales básicas. Las funciones elementales básicas se pueden combinar usando

las operaciones aritméticas de suma (), resta (), multiplicación (×) y división (÷) y la

composición de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las denominamos funciones

elementales.

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

0,5

0,5

1

x

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

0,5

0,5

1

x

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5p

1

-1

x

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5px

y

2,5p 2 p 1,5p p 0,5p 0,5p p 1,5p 2 p 2,5px

y


El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un

aspecto tan complicado como:

3

)8cos(

2

3 74

5

))8(ln(sen

5arctg)(

x

x

ex

xxf

Sin embargo, hay funciones que no son elementales y son tan sencillas como:

0 si1

0 si1)(

x

xxg

La función anterior no es elemental al intervenir en su definición una operación lógica (el "si"

condicional). Estas operaciones no están permitidas en la definición de funciones elementales.

Transformaciones de funciones

Muchas veces la gráfica de una función se puede obtener mediante transformaciones sencillas

de funciones conocidas. Por ejemplo, es fácil dibujar la gráfica de la función 3( ) ( 2)g x x o

de 3( ) ( 5)h x x si conocemos la gráfica de 3( )f x x .

FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones elementales básicas

F. potenciales F. exponenciales

F. logarítmicas

F. trigonométricas


Gráficas de 3

( )f x x , de 3

( ) ( 2)g x x y de 3

( ) ( 5)h x x

Las tres gráficas tienen

exactamente la misma forma.

Las gráficas de 3( ) ( 2)g x x y de

3( ) ( 5)h x x se

obtienen mediante

traslación horizontal de la

gráfica de 3( )f x x

Las transformaciones más sencillas son:

Traslaciones

Reflexiones

Contracciones y expansiones

TRASLACIONES VERTICALES

Si Si

La gráfica de

“a” unidades hacia arriba.

La gráfica de

“a” unidades hacia abajo.


TRASLACIONES HORIZONTALES

Si Si

La gráfica de

“a” unidades hacia la derecha.

La gráfica de

“a” unidades hacia la izquierda.

En definitiva, si quedan resumidas en el siguiente

esquema:

Ejercicio 2: Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las

siguientes funciones:

(a) (b)

(c) (d)

Traslaciones de



funciones:

(a) (b)

(c) (d)

REFLEXIONES

Reflexión respecto al eje OX

La gráfica de

respecto al eje de abscisas OX.

Reflexión respecto al eje OY

La gráfica de

respecto al eje de ordenadas OY.


funciones:

(a) (b)


funciones:

(a) (b)



funciones

(a) (b)

EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES

Expansión

vertical

Contracción

vertical

EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES

Expansión

horizontal

Contracción

horizontal


Ejercicio 7: Partiendo de la gráfica de la función obtén la ecuación y

dibuja la gráfica de las funciones:

(a) (b)

(c) (d)

Cualquier parábola es una transformación de la función

Ejercicio 8: Reescribe la ecuación de las siguientes parábolas en la forma:

y utiliza dicha escritura para dibujar su gráfica partiendo de la gráfica de la

función .

(a) (b)

(c) (d)

Indicación:

La ecuación de cualquier parábola (vertical), , se puede reescribir

en la forma:

Para ello, basta con igualar los dos términos de la derecha, identificar coeficientes y

resolver el sistema obtenido.

Por ejemplo, consideremos la parábola de ecuación Si deseamos

escribir esta parábola como tendremos que igualar ambas

ecuaciones. Así:

Desarrollando el término de la derecha

Identifiquemos coeficientes:

Grado [2]


Grado [1]

Grado [0]

Grado [2]: Si . Por comodidad 4 elegimos .

Grado[1]:

⟹

Grado[0]:

. Puesto que se tiene que , es decir,

Luego, la ecuación ha quedado reescrita como

Podemos utilizar esta reescritura para dibujar la gráfica de la parábola

a partir de transformaciones sobre la gráfica de la función .

Problemas propuestos

1. Halla todos los números reales x que verifican las siguientes desigualdades:

(a) 3x 5x (b) 5(x 1) 3 (c) x3 3x 2

(d) x3 2x

2 5x 6 (e)

2

1 1

1 2x

2. Dadas las funciones ( )xx

x

1

3 5 y 2( ) 4x x , calcula (1/x), 1/(x), (2x),

(0) y (2x).

3. Sea 1

( ) log1

xf x

x

. Comprueba que f a f b f

a b

ab( ) ( )

1.

4 Ta bié s u i a a α va ativ si qu s s a h t st s á u s


4. Sean f(x) log ( x) y g(x) x3. Calcular f(g(a)) y g( f(a)) . ¿Es conmutativa, en

general, la composición de funciones?

5. Resuelve la ecuación 1 2 327 9x x

.

6. Despeja x en las siguientes ecuaciones:

2

x xe ey

x x

x x

e ey

e e

7. Despeja u en las ecuaciones:

log 1 ln 1s u u 510 us

8. Los sismólogos utilizan la escala de Richter para medir y reportar la magnitud de los

terremotos. La magnitud o número de Richter de un terremoto depende del cociente de la

intensidad, I, de un terremoto entre la intensidad de referencia, 0I , que es el movimiento

más pequeño de la tierra que puede registrarse en un sismógrafo. Los números de Richter a

menudo se redondean a la cifra de las décimas o las centésimas y está dado por la fórmula

10

0

logI

RI

Si se determina que la intensidad de un terremoto es 50000 veces la intensidad de

referencia, ¿cuál es su lectura en la escala Richter? Resuelve sin calculadora. Indicación:

10log 5 0,69

9. El volumen, L, de un sonido, en decibeles (dB), que percibe el oído humano depende del

cociente de la intensidad, I, de dicho sonido entre el umbral, 0I , de escucha del oído

humano promedio, según la fórmula

10

0

10 log dBI

LI

Encuentra el volumen de un sonido que posee una intensidad 10000 veces el umbral de

escucha del oído humano promedio. Resuelve sin calculadora.

10. El gas de invernadero más abundante es el dióxido de carbono. Según el pronóstico de las

Naciones Unidas, en el peor escenario posible, la cantidad de dióxido de carbono en la

atmósfera se puede aproximar con

0.00353( ) 277 tC t e con 0 350t


donde t es el tiempo en años a partir de 1750 y ( )C t viene medido en ppm (partes por

millón).

a) Aplica el modelo para estimar la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera en

1950, 2000, 2050 y 2100.

b) Según el modelo, ¿cuándo, aproximando a la década más cercana, esa cantidad

rebasará las 700 ppm?

11. El carbono 14 es un isótopo inestable que se desintegra de forma continua transformándose

en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 que queda en una muestra que contenía al

principio A gramos de carbono 14 está dada por

( ) 0,999879tC t A

donde t es el tiempo en años. En la actualidad, un fósil contiene 4,06 g de carbono 14. Se

estima que originalmente el fósil contenía 46 g. Calcula, aproximadamente, la edad del

fósil.

12. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote

el número de personas infectadas está dado por

10000( )

1 ktf t

C e

Si 2 000 personas estaban infectadas al principio y 5 000 habían sido infectadas al final de

la cuarta semana, ¿cuántas personas estarán infectadas al final de la octava semana?

Resolver sin calculadora.

13. La concentración de alcohol en sangre de una persona es 0,2mg/dl tras ingerir una bebida

alcohólica. Si la cantidad de alcohol en la sangre decrece de forma exponencial y se

elimina la cuarta parte cada hora, encuentra la función ( ) tf t A e con ,A que

mide la concentración de alcohol en sangre, transcurridas t horas desde la ingestión.

14. Las ventas de ordenadores están sujetas a fluctuaciones estacionales. Los ingresos

trimestrales de la empresa Computer Phaseos en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la

función

( ) 0,11 sen(1,39 ) 0,5f t t con 81 t

donde t representa el tiempo en trimestres (t =1 el final del primer trimestre de 1995) y

)(tf viene medido en miles de millones de euros. ¿Cuáles fueron los ingresos máximos y


mínimos de la empresa?

15. En un cultivo están desarrollándose bacterias. El tiempo t (en horas) para que el cultivo se

duplique (denominado tiempo de generación) es función de la temperatura T (en oC) del

cultivo. Si el tiempo de generación viene dado por:

1 11si 30 36

24 24

4 175si 36 39

3 4

T T

t f T

T T

Determina el dominio de f, calcula 33f , 36f y 38f y dibuja su gráfica.

16. La gráfica de la función es conocida. Describe cómo obtendrías la gráfica de

cada una de las siguientes funciones partiendo de la gráfica de f.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

(f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

(m) (n)

(o)

(p)

17. Explica cómo puedes obtener la gráfica de :

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)


(g)

(h)

18. Esboza cada una de las siguientes gráficas partiendo de la gráfica de una función elemental

básica:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

19. Calcula el dominio natural de definición de las siguientes funciones:

(a) 1 x (b) 43 7x x (c) 3 3x a x b

(d) a x

a x

(d)

1

10 3cos( )x ( f )

2arcsen( )x

(g) 2

x

x (h)

2

1

6x ( i )

2

91

x

(j) 3

1

x

x

(k)

3

1

x

x

( l ) 3 26 11 6x x x

(m) ln( )x (n) ln( )x (ñ) 2ln 25x

(o) 2ln 5 4x x (p) 1/ln 1 xe (q) 1

2

1

2

2

lnx

x

(r)

2 4ln

( 6)

x

x x

(s) 2

1

ln 36 x ( t )

1

ln cos( )x

(u) ln [tan ( x)] (v) 2

4ln

2

x

x

(w)

2 3 4ln

3

x x

x

(x) 1/( 2)

5x

x

(y)

3

2

21

x

x

(z)

2

1

41

7

xx

x


Bibliografía

AITKEN, MICHAEL R. F.: Mathematics for biological scientists / Mike Aitken, Bill

Broadhurst, Steve Hladky New York : Garland Science, cop. 2009.

ANTON, HOWARD: Cálculo: trascendentes tempranas / Howard Anton, Irl Bivens,

Stephen Davis. México: Limusa Wiley, cop. 2009 (2ª. ed).

CRAUDER, BRUCE: Functions and change: a modeling approach to college

algebra / Bruce Crauder, Benny Evans, Alan Noell. Belmont: Brooks Cole, cop. 2010.

FERNÁNDEZ, M.J.; MULAS, R.; RAMOS, M.T.: Para empezar a entendernos

LARSON, RON: Precálculo / Ron Larson, Robert Hostetler. Barcelona: Reverté, 2008.

NEUHAUSER, CLAUDIA: Matemáticas para ciencias / Claudia Neuhauser;

traducción, Ana Torres Suárez. Madrid [etc.] : Pearson, 2004 (2ª ed.)

RIVERA FIGUEROA, ANTONIO: Cálculo y sus fundamentos para ingeniería y

ciencias / Antonio Rivera Figueroa. México DF: Grupo Editorial Patria, 2007

STEWART, JAMES: Precálculo: matemáticas para el cálculo / James Stewart,

Lothar Redlin, Saleem Watson. México: Thomson, 2007 (5ª ed.)

http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212

http://www.slideshare.net/mfatela/transformacin-de-funciones-1767212

Documents

FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS - Albergue de alojamientos de …€¦ · es una fracción irreducible, es decir, . Las gráficas pueden tener otras form as que aquí no se ... Los