CALCULO II FUNCIONES TRASCENDENTES

DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Lic. Martín J. Alonso

UNAN-LEON

04/04/2011

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADISTICA

Lic. Martín Alonso

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CALCULO II

UNIDAD I: FUNCIONES TRASCENDENTES

Clase: #2

Tema: FUNCION LOGARITMO NATURAL (derivada e integral)

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL (derivada e integral)

FUNCION LOGARITMO NATURAL

Leyes de los Logaritmos Naturales:

Si a y b sin cualesquiera dos números positivos, y r es cualquier número racional, entonces:

• ln1= 0

• ln(a.b)= lna +lnb

• �� �� � ��� � ���

• lnar = r.lna

La función logaritmo natural satisface las siguientes propiedades.

i. Su dominio es el conjunto de los números reales positivos.

ii. Su contradominio es el conjunto de los números reales.

iii. La función es creciente en su dominio.

iv. La función es continua en todos los números de su dominio.

v. Su grafica es cóncava hacia abajo en todos sus puntos.

vi. La grafica de la función es asintótica a la parte negativa del eje y a través del cuarto

cuadrante.

Figura 1: Gráfico f(x) = lnx, x>0

Derivada de la función logaritmo natural

Teorema 1

( )x

xdx

d 1ln =

Teorema 2:

Si u es una función diferenciable de x y u(x) > 0, entonces ��� � � 1 .

Ejemplo 1: Calcule f ’(x) si f(x) = ln(3x2- 6x + 8)

Ejemplo 2: Calcule f’(x) si f(x) = ln(2x- 1)3

Ejemplo 3: Determine dy/dx si � � �� � ���

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Ejemplo 4: Calcule dy/dx si � � √�������√��

Integral que producen funciones logarítmicas naturales

Teorema 3:

∫ += Cxdxx

ln1

y ∫ += Cuduu

ln1

Para cualquier número racional n se define

� ���� � � ����� � 1 � !" � # �1��|�| � !" � � 1 % Ejemplo 5: Evalué & '

��� �(

Ejemplo 6: Calcule el valor exacto de & '���� �(�)

Respuesta: 3ln3

Ejemplo 7: Evalué & *� �(

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

Definición de la función exponencial natural

La función exponencial natural es la inversa de la función logarítmica natural; por tanto, se

define como

ex = y si y solo si x = lny

Nota: es común usar la notación exp(x) en muchos programas

ex = exp(x)

El valor de e con 7 cifras decimales es e = 2.7182818

Este número se obtiene originalmente de los límites siguientes:

lim�./ �1 � ���� � 0 ó lim1.)�1 � 2�34

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Figura 2: Gráfico de f(x)= exp(x) y f(x) = lnx, x>0

Figura 3: Gráfico de f(x)= exp(x)

La función exponencial natural satisface las siguientes propiedades.

i. Su dominio es el conjunto de los números reales.

ii. Su contradominio es el conjunto de los números reales positivos.

iii. La función es creciente en su dominio.

iv. La función es continua en todos los números de su dominio.

v. Su grafica es cóncava hacia arriba en todos sus puntos.

vi. La grafica de la función es asintótica a la parte negativa del eje x a través del cuarto

cuadrante.

Leyes de los exponentes de base e

Si a y b son cualesquiera dos números reales, entonces

• e0 =1

• ln(e) = 1

• 0� . 0� � 0���

• 0� 5 0� � 0�6�

• �0��� � 0�.�

Derivada de la función exponentes de base e: Teorema 4:

( ) xxee

dx

d=

Teorema 5:

Si u es una función diferenciable de x, entonces �07� � 07. �

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Ejemplo 8: Obtenga dy/dx si � � 0��*�

Integrales exponenciales de base e

Teorema 6: Cedxexx

+=∫ y Cedueuu

+=∫

Ejemplo 9: Evalúe ( )dxxexx 5252

−∫−

Ejemplo 10: Evalúe & 8√9√ �(

OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Definición de función exponencial de base a

Si a es cualquier número real positivo y x es cualquier número real, entonces la función f

definida por

f(x) = ax

se denomina función exponencial de base a.

Figura 4: Gráfico de f(x)= a

x para: a > 1 y a < 1.

Figura 5: Gráfico de f(x)= a

x para: 0 < a < 1 y a < 0.

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La función exponencial de base a satisface las mismas propiedades que la función exponencial

natural.

Teorema 7

Si x y y son cualesquiera dos números reales, entonces

• ln(e) = 1

• a0 =1

• �. �: � ��:

• � 5 �: � �6:

• ���: � �.:

Derivada de la función exponencial de base a

Teorema 8: Si a es cualquier número real positivo y u es una función diferenciable de x,

entonces

;<�= � � = �>?=�;<

Ejemplo 10: Calcule f’(x) si @�(� � 3'

Integral de la función exponencial de base a

Teorema 9: Si a es cualquier número real positivo de 1, entonces

� �7�� � �7��� �

Ejemplo 11: Evalué & √10��(

Definición de función logarítmica de base a

Si a es cualquier número real positivo diferente de 1, la función logarítmica de base a es la

inversa de la función exponencial de base a: esto es,

y = loga x si y solo si ay = x

Figura 6: Gráfico de f(x)= loga (x) para: a > 1 y a < 1.

La función logarítmica de base a satisface las mismas propiedades que la función logaritmo

natural.

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Leyes de los logaritmos de base a

• loga1 =0

• loga(a) =a

• loga (xy) = loga (x) + loga (y)

• loga (x/y) = loga (x) - loga (y)

• loga (xn) =n loga (x)

• �CD�0 � �*��

Cambio de base

�CD�( � ��(���

Teorema 10

Si u es una función diferenciable de x, entonces ��CD��� � *EFG87 . � ↔ ��CD��� � ��*���7 . �

Ejemplo 12: Calcule dy/dx si � � �CD�) ��'��

Ejemplo 13: Si y = xx, donde x>0, calcule dy/dx

Ejemplo 14: Evalué dxx

x∫

10log

Uso del software MATLAB (orientaciones)

Para hacer cálculo de derivadas e integrales se debe de escribir primero el comando:

syms variables1 variable2 variable3 . . .

Para la derivada de una función usaremos el comando: diff( función a derivar )

Para integrar funciones usaremos el comando: int( función a integrar)

Para integrales definidas tenemos que tomar encuentra sus límites de integración.

Miremos algunos ejemplos:

Ejemplo 15: Calcule f ’(x) si H�<� � I6<J

>> syms x y f

>> f=exp(-x^2);

>> diff(f)

ans =

-2*x*exp(-x^2)

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Ejemplo: Evalué la integral definida:

� J< � K<J � < L<

Solución:

>> y=(2*x-1)/(x^2-x)

y =

(2*x-1)/(x^2-x)

>> int(y)

ans =

log(x*(x-1))

Ejemplo 16: Evalué la integral definida

� MN << L<OK

Solución:

>>y=(log(x)/x)

y =

log(x)/x

>> int(y,1,4)

ans =

2*log(2)^2

Tarea:

Ejercicios

Calcule la deriva de f(x)

1) )62ln()( 24−+= xxxf

2) 32)( x

exf−

=

Evalué

3) dxxx

x∫

+−

−

12

142

4) ∫ dxexx32

5) & �9√ �(

Bibliografia: El Cálculo 7ma

Edición, Autor: Louis Leithold

Capitulo 5: paginas 403 – 455