Matemática Superior I Sesión Nro. 08

• Estudiar las funciones Exponenciales y sus aplicaciones en temas como interés compuesto y crecimiento poblacional.

• Introducir las funciones logarítmicas y sus gráficas.

• Estudiar las propiedades básicas de las funciones logarítmicas.

• Desarrollar técnicas para la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Ing. Marco L. Pérez Silva

• Existe una función que desempeña una función importante no sólo en matemática , sino también en finanzas, economía y otras áreas de estudio. Incluye una constante elevada a un exponente variable:

f(x) = bx.• A tales funciones se les llama FUNCIONES

EXPONENCIALES.

Ing. Marco L. Pérez Silva

Nota: No confundir la Exponencial y = 2x con la Función Potencia y = x2. En el primer caso el exponente es el que varia mientras que en el segundo caso la base es variable mientras que el exponente es constante.

Ing. Marco L. Pérez Silva

Ing. Marco L. Pérez Silva

El numero de bacterias en un cultivo que duplica su número cada hora, está dado por N(t) = A * 2t, en donde A es el numero presente originalmente y t es el numero de horas que las bacterias se han estado duplicando. Utilice una calculadora gráfica para trazar esta función para diferentes valores de A > 1. ¿En que se parecen las gráficas?. ¿Cómo altera el valor de A la gráfica?

Ing. Marco L. Pérez Silva

t

N(t)

A

N(t)=A*2t

Tenemos: N(t)=A*2t

¿Cuántas bacterias están presentes al principio?

Entonces determinamos N(t), cuando t = 0N(t)=A*20 = A

Así que habrá A bacterias al principio

Ing. Marco L. Pérez Silva

Suponga que una inversión aumenta 10% cada año. Construya una tabla del factor por el cual la inversión aumenta a partir de la cantidad inicial para 0 a 4 años. Para cada año escriba una expresión para el aumento como una potencia de alguna base. ¿Cómo se relaciona esa base con el problema? Utilice su tabla para graficar el aumento multiplicativo como una función del número de años. Utilice su gráfica para determinar cuando se duplica la inversión.

Ing. Marco L. Pérez Silva

X Y

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

Grafiquemos la función exponencial f(x) = 2x

Ing. Marco L. Pérez Silva

Suponga que el valor de un automóvil se deprecia 15% cada año. Construya una tabla del factor por el cual disminuye de su monto original para 0 a 3 años. Para cada año escriba una expresión para la disminución como una potencia de alguna base. ¿Qué base utilizaría? ¿Cómo se relacionaría esa base con el problema? Utilice su tabla para graficar la disminución multiplicativa como una función del número de años.

Ing. Marco L. Pérez Silva

X Y

-2 4

-1 2

0 1

1 ½

2 ¼

Grafiquemos la función exponencial f(x) = (½)x

Ing. Marco L. Pérez Silva

Suponga que $ 2000 se invirtieron a 13% capitalizable anualmente. Determine el valor de la inversión después de cinco años. Determine el interés devengado durante los primeros cinco años.

Ing. Marco L. Pérez Silva

Tenemos: S = P(1+i)t

Calculando el Monto Compuesto.

Para un C = 2000, i = 13%anual y un t = 5 años

Reemplazando: S = 2000(1+0.13)5 = $ 3684.87

Calculando Interés Compuesto.

Sabemos que I = S - P

Reemplazando: I = 3684.87 – 2000 = $ 1684.87

t

N(t)

2000S(t)=2000(1.13)t

3000

4000

5000

Ing. Marco L. Pérez Silva

Una compañía nueva con cinco empleados espera que el numero de empleados crezca a una tasa de 120% cada año. Determine el número de empleados dentro de 4 años.

Ing. Marco L. Pérez Silva

Tenemos: P(t) = Po(1+i)t

Calculando el crecimiento poblacional.

Para un Po = 5, i = 20% anual y un t = 4 años

Reemplazando: P(t) = 5(1+0.20)4 = 10.36

Por lo tanto la cantidad de empleados se incrementará en 10, al cabo de 4 años

t

N(t)

5P(t)=5(1.20)t

7.0

9.5

10

• La función logarítmica de base “b”, donde b > 0 y b ≠ 1, se denota por logb y se define como:

y = f(x) = logb x ↔ x = by

Ing. Marco L. Pérez Silva

23 = 8

Formas Logarítmica y Exponencial:

Log2 8 = 3

Forma Logarítmica Forma Exponencial

Ing. Marco L. Pérez Silva

Suponga que una planta de reciclado encontró cantidad de material que se reciclará ha aumentado en 50% cada año, desde el primer año de operación de la planta. Haga la gráfica de cada año como una función del aumento multiplicativo en el reciclado desde el primer año.

Ing. Marco L. Pérez Silva

X Y

¼ -2

½ -1

1 0

2 1

4 2

Grafiquemos la función exponencial f(x) = log2 x

x

F(x)

F(x) = log2 x

Ing. Marco L. Pérez Silva

Suponga que un bote se deprecia 20% cada año. Haga la gráfica del numero de años que se conserva el bote como una función de la disminución multiplicativa de su valor original.

Ing. Marco L. Pérez Silva

X Y

¼ 2

½ 1

1 0

2 -1

4 -2

Grafiquemos la función exponencial f(x) = log1/2 x

x

F(x)

F(x) = log1/2 x