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C U R S O 2 0 1 5 - 2 0 1 6

Funciones, límites y continuidad

Funciones, limites y continuidad

1) Concepto de función. Dominio y recorrido. Pág. 194 2) Puntos de corte con los ejes. Pág. 264 (tema 10) 3) Simetría. Pág. 265 (tema 10) 4) Tipos de funciones. Pág. 196 y tema 10 5) Operaciones de funciones. Pág. 198 6) Límites de una función en un punto. Pág 200 7) Límites en el infinito. Pág 202 8) Cálculo de límites. Tabla de Indeterminación. Pág. 204 9) Técnicas del cálculo de indeterminaciones (∞-∞; 0/0;1𝑒) 10) Continuidad/discontinuidad Pág 206 11) Asíntotas. Pág. 208 12) Estudio completo de gráficas

Los puntos rojos son los que entran en el examen de 2º evaluación

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1) Concepto de función. Dominio y recorrido. Pág. 194

En matemática, una función f(x) es una relación entre dos magnitudes x e y, de forma que a cada elemento x le corresponde un único elemento y=f(x). La 1º magnitud: x. Se llama variable independiente

La 2º magnitud: y=f(x). Se llama variable dependiente o imagen de x

• Se llama dominio de la función y lo representamos por

D(f(x)) o dom(f(x)), al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente “x”

• Se llama imagen o recorrido de la función y lo representamos Img(f(x)) o R(f(x)), al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”

Gráfica de una función :

es el conjunto formado por todos los puntos (x, f(x)) de la función f(x)

2x)x(f

42)2(f2x

42)2(f2x

11)1(f1x

11)1(f1x

00)0(f0x

2

2

2

2

2

)4.2(E

)4,2(D

)1,1(A

)1,1(B

)0,0(C

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1) Funciones polinómicas: Su dominio son todos los números reales 2) Funciones racionales Su dominio son todos los números reales, excepto los valores de x que

anulan el denominador. NOTA: los valores de x, que anulan el denominador son las asíntotas verticales de la función

3) Funciones radicales con Su dominio son todos los valores de x que hacen que P(x) sea mayor o

igual a 0. 4) Funciones logarítmicas; Su dominio son todos los valores de x que hacen que P(x) sea mayor que

0.

RxfDom )(

)(

)()(

xQ

xPxf

0}queQ(x)cumplen que {)( xRxfDom

n xPxf )()( parnn º

0}P(x) quecumplen que {)( xxfDom

))x(Plog()x(f

0}P(x) que cumplen que x{)x(f Dom

Calculo de dominio de tipos de funciones

Obtener el domino de las siguientes funciones

racionales

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Obtener el domino de las siguientes funciones logarítmicas o radicales

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𝐷 𝑥 = 0, +∞

𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟𝑠𝑒. 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠. 𝐸𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑥 = 0

𝐷 𝑓 = 0, +∞ − 0 = = 0, +∞

𝐷 1 − 𝑥2 = −1, 1

𝐷 𝑥2 − 1 = −∞, −1 ∪ 1, +∞

𝐷 𝑓 = −1, 1

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x

xxf

29)(

09 2 x

)3)(3(9)( 2 xxxxP

3,3)9( 2 xD 03,3)( fD

xxg 4)(

xxxgxf 41)()(

,1)1( xD

4,)4( xD

1)( xxf

4,14,,1)]()([ xgxfD

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Con el eje X( eje de abscisas) 1º paso: sustituir y=f(x)=0 2º paso: despejar x Los puntos (si existen) son de la forma

Raa tq)0 , (

• Con el eje Y( eje de ordenadas) 1º paso: sustituir x=0 2º paso: despejar y El punto (si existe) es de la forma

Raa tq) , 0(

1) Puntos de corte con los ejes. Pág. 264 (tema 10)

Puntos de corte de las siguientes funciones

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Si f(- x)=f(x) la función tiene simetría par o simetría respecto del eje Y Si f(- x)= - f(x) la función tiene simetría impar o simetría respecto del punto (0,0)

3) Simetría. Pág. 265 (tema 10)

Indica si existe algún tipo de simetría en las siguientes funciones

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Funciones polinómicas 1 º grado( Función lineal)

La función polinómica de primer grado o función lineal tiene esta forma

f(x)= y = mx + n Su gráfica es una recta de pendiente m y que pasa por el punto (0,n). La n se llama ordenada en el origen.

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Funciones trasladadas

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Funciones lineales conocida su gráfica

Funciones polinómicas 2º grado( Función cuadráticas)

Las funciones cuadráticas son de la forma

Sus gráficas son parábolas.

Si La parábola se abre hacia arriba Su vértice (mínimo absoluto)

La parábola se abre hacia abajo Su vértice (máximo absoluto )

El vértice ser calcula : (

Las parábolas son funciones simétricas respecto a la recta vertical

Punto de corte con el eje Y (0, c) Punto o puntos de corte con el eje X (x, 0) donde x es la solución de la ecuación 𝑎𝑥2+bx+c=0

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Funciones cuadrática conocida su gráfica

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Esboza la grafica de la siguiente función polinómica

Funciones polinómicas grado mayor que 2

2345 33)( xxxxxf

1) Dominio 2) Puntos de corte con los ejes de coordenadas 3) Signo de la función Construir un cuadro con los factores de la función

4) Simetría

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Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales sirven para describir fenómenos como: El crecimiento de la población humana o variación de un capital a un interés compuesto, etc….

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f (x)= sen x

Funciones trigonométricas

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f (x)= cos x

f (x)= tg x

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Límites

Se quiere estudiar el comportamiento de una función cuando la variable x toma valores aproximados a un número real dada

Ejemplo

( como se comporta la función cuando x tiende a 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥2

x 1,9 1,99 1,999 X 2 por la izq.

f(x)

x 2,1 2,01 2,001 X 2 por la derech.

f(x)

2

2 lim

-

xx

2

2 lim x

x

Límites de una función en un punto

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Ejemplo

( como se comporta la función cuando x tiende a 0)

𝑓 𝑥 =1

𝑥

x -0,1 -0,01 -0,001 X 0 por la izq.

f(x)

x 0,1 0,01 0,001 X 0 por la derech.

f(x)

xx

1lim

-0

xx

1lim

0

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Se quiere estudiar el comportamiento de una función cuando la variable x toma valores cada vez mayores o valores cada vez menores

Límites de una función en el infinito

Ejemplo

( como se comporta la función cuando x tiende a números muy grandes o muy pequeños ) 𝑓 𝑥 = 𝑥2

x 10 100 1000 X ∞ por la izq.

f(x)

x -10 -100 -1000 X -∞por la derech.

f(x)

2

lim x

x

2

- lim x

x

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Cálculo de límites

En el anterior apartado, se ha calculado el valor de distintos límites de funciones utilizando una tabla de valores

1. En un punto dando a la variable independiente

valores próximos a ese punto (por la derecha o por la izquierda)

2. En el infinito dando a la variable independiente valores cada vez más grandes o más pequeños.

En muchos casos no es necesario utilizar este proceso, no

siempre proporciona el valor del límite de forma rápida y segura.

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Existe una manera más fácil para calcular límites.

Se sustituye en cada caso la variable x por el valor hacia el que tiende

Límites determinados

Límite indeterminado

Este método nos puede llevar a límites indeterminados

(estos límites necesitan más cálculo para determinarlos)

253

xxlim 17235

32xxlim 32

xx

x

x 220

lim 0

0

020

02

Propiedades de limites

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Indeterminaciones

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Cálculo de indeterminaciones

0

0

Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (numerador y denominador polinomios) 1) Descomponer el numerador y el denominador 2) Simplificar Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (numerador y/0 denominador tienen raíces ) 1) conjugado 2) Simplificar

xx

x

x 220

lim 0

0

020

02

xx

x

x 220

lim )(lim

20 xx

x

x

2

1

0 xxlim

20

1

2

1

Cálculo de indeterminaciones

Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos; 1) Dividir numerador y denominador por la

potencia de base x de mayor exponente 2) Simplificar

22

x

x

xlim

22

22

2

2

2

x

x

x

xx

x

xlim

22 x

x

xlim

x

x

x2

1

1

lim

2

1

1

01

0

01

0

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Cálculo de indeterminaciones

Se elimina esta indeterminación realizando un paso; 1) Cálculo de la tabla de valores por la

izquierda y la derecha

númerounasiendoa

0

2

4

2 xxlim

0

4

22

4

2

4

-2 xxlim

2

4

2 xxlim

-

Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (tienen raíces ) 1) conjugado 2) Simplificar

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Funciones valor absoluto

1)( xxf

1 si 1

1 si 1

xx

xx