Funcţii trigonometrice inverse

1.Funcţia arcsinus. Funcţia sinx: este o funcţie bijectivă deci inversabilă.

Inversa acestei funcţii este funcţia arcsinx: definită de arsiny=x dacă şi numai

dacă sinx=y. Graficele funcţiilor arcsinx şi sinx sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Principalele proprietăţi ale funcţiei arcsinx

Proprietăţi

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Gf Ox: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arcsin0= 0 O(0,0) Oy

Paritate impară

Simetria graficului În raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei - f.strict crescătoare pe .

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie mărginită

Min f(x)= Max f(x)=

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe [0,1]

-concavă pe [-1,0]

x=0 punct de inflexiune

Rezolvarea ecuaţiei arcsinx= 0 x= 0

Semnul funcţiei arcsinx 0 pentru

arcsinx 0 pentru

Bijectivitate Da

Funcţia inversă

sinx:

Graficul funcţiei f(x) = arcsin x

2. Funcţia arccosinus. Funcţia cosx: este o funcţie bijectivă deci inversabilă.

Inversa acestei funcţii este funcţia arccosx: definită de arccosy=x dacă şi numai

dacă cosx=y. Graficele funcţiilor arccosx şi cosx sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Principalele proprietăţi ale funcţiei arcsinx

Proprietăţi

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Gf Ox: f(x)=0 x= 1 A(1,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arccos0= C(0, ) Oy

Paritate Nu

Simetria graficuluiÎn raport cu C(0, ) Oy

Monotonia funcţiei - f.strict descrescătoare pe .

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie mărginită

Min f(x)= 0 Max f(x)=

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe [0,1]

-convexă pe [-1,0]

x=0 punct de inflexiune

Rezolvarea ecuaţiei arccosx= 0 x= 1

Semnul funcţiei arccos 0 pentru x [-1,1]

Bijectivitate Da

Funcţia inversă cosx:

Graficul funcţiei f(x) = arccos x

3. Funcţia arctangentă. Funcţia tgx: este o funcţie bijectivă deci inversabilă.

Inversa acestei funcţii este funcţia arctgx: definită de arctgy=x dacă şi numai dacă

tgx=y. Graficele funcţiilor arctgx şi tgx sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Principalele proprietăţi ale funcţiei arctgx

Proprietăţi R

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Gf Ox: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arctg0= 0 O(0,0) Oy

Paritate Impară

Simetria graficului În raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei - f.strict crescătoare pe R

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie mărginită

x= asimptotă verticală la +

x=- asimptotă verticală la -

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe (- ,0]

-concavă pe [0, + )

x=0 punct de inflexiune

Rezolvarea ecuaţiei arctgx= 0 x= 0

Semnul funcţiei arctgx < 0 pentru x (- ,0)arctgx > 0 pentru x (0, )

Bijectivitate Da

Funcţia inversătgx:

Graficul funcţiei f(x) = arctg x

4. Funcţia arccotangentă.Funcţia ctgx: este o funcţie bijectivă deci inversabilă.

Inversa acestei funcţii este funcţia arcctgx: definită de arcctgy=x dacă şi numai dacă

ctgx=y. Graficele funcţiilor arcctgx şi ctgx sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Principalele proprietăţi ale funcţiei arctgx

Proprietăţi R

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Gf Ox: Graficul nu taie axa Ox

Gf Oy: f(0)= C(0, ) Oy

Paritate Nu

Simetria graficuluiÎn raport cu C(0, ) Oy

Monotonia funcţiei - f.strict descrescătoare pe R

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie mărginită

y=0 asimptotă orizontală la +

y= asimptotă orizontală la -

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe (- ,0]

-convexă pe [0, + )

x=0 punct de inflexiune

Rezolvarea ecuaţiei arcctgx= 0 nu are soluţie

Semnul funcţiei arcctgx > 0 pentru x R

Bijectivitate Da

Funcţia inversă ctgx:

Graficul funcţiei f(x) = arcctg x

Aplicatii