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Fundamentos de la teoría de la probabilidad
Resumen
Fenómenos determinista y aleatorio. Fenómenos aleatorios discretos y
continuos. Espacio muestral de un fenómeno aleatorio. Puntos o eventos
elementales de un espacio muestral. Eventos, Eventos discretos y
continuos. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos. El concepto de probabilidad a través de diferentes escuelas: clásica,
frecuentista y subjetiva. Definición axiomática de probabilidad. Teoremas derivados de la
definición axiomática. Probabilidad condicional. Eventos independientes. Probabilidad total.
Teorema de Bayes.
2.1 Experimentos deterministas y aleatorios.
Espacio muestral de un experimento
aleatorio. Eventos. Eventos discretos y
continuos. Eventos mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivos. Fenómeno. Un fenómeno es considerado como
un sinónimo de un experimento y se define como
toda aquella acción que se realiza con el fin de
observar el resultado. Por su naturaleza pueden clasificarse de varias
formas:
Por la capacidad de predecir el resultado:
Determinísticos. Es aquel fenómeno cuyo
resultado se puede predecir con certeza.
Aleatorios. Es aquel fenómeno en el cual
no se puede predecir con certeza el
resultado. Por la capacidad de enumerar los resultados:
Continuos. Se considera a un fenómeno
como continuo cuando el número posible
de observaciones o resultados no es un
conjunto medible, es decir, los resultados
pueden tomar cualquier valor.
.
19
Discretos. Se considera un fenómeno
como discreto cuando el número posible
de observaciones o resultados es un
conjunto, en el cual se puede determinar
con certeza su tamaño, es decir, los
resultados toman valores establecidos.
Evento Elemental. Un evento elemental o
simple es aquel cuyo espacio muestral está
compuesto por un sólo elemento. Evento Compuesto . Es aquel que en dos o más
cantidades compone un espacio muestral. Evento Continuo. Es aquel cuyo resultado que
puede tomar cualquier valor. Evento Discreto. Es aquel cuyo resultado sólo
puede tomar determinados valores. Eventos mutuamente excluyentes . Si se tienen
dos eventos A y B, los eventos mutuamente
excluyentes son aquellos en donde la ocurrencia
de uno implica que el otro no puede ocurrir. Proceso de conversión analógica – digital en donde se
observan las diferencias entre una señal continua
(analógica) y una señal discreta (digital binaria)
Espacio muestral. Es el conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento;
constituye el conjunto universal de todas las
observaciones. Se suele denotar por la letra S. En general, un evento es un fenómeno aleatorio,
es decir, aquel cuyo resultado depende del azar.
En la práctica, si bien un evento puede denotar
un conjunto total de resultados de experimentos,
para cual se utiliza la notación de conjuntos
denominándolo por una letra mayúscula, en
ocasiones denota también un sólo resultado de un
fenómeno o experimento, es decir, un elemento
de un conjunto.
Evento: Algo que ocurre al azar.
Acto: Algo que ocurre con la intervención
humana.
Hecho: Algo que ocurre al azar con la
intención humana.
Eventos colectivamente exhaustivos. Son
aquellos cuya unión conforma totalmente el
espacio muestral.
A E D U
B G F C
Donde: A∪B ∪C ...Z =S
20
2.2 El concepto de probabilidad a través de
diferentes escuelas: la clásica, la frecuentista y
la subjetivista, mediante el cual se asignan
probabilidades a los eventos. Cálculo de
probabilidades utilizando combinaciones y
permutaciones. La Probabilidad resulta de la inquietud del
hombre por buscar una solución a sucesos cuyo
resultado depende en mayor o menor medida del
azar. Nace con la simple inquietud de establecer
una regla para dominar los juegos de azar, de
buscar la fórmula mágica para conocer de
antemano el resultado de dichos experimentos.
La probabilidad basa sus fundamentos
matemáticos en tres interpretaciones: la clásica,
la frecuentista y la subjetiva. Las tres
interpretaciones partes de un grupo de axiomas
de los cuales se desprende una serie de análisis y
herramientas que permiten establecer patrones de
comportamiento de determinados experimentos. Enfoque clásico
Este enfoque está basado en el principio de la
razón insuficiente. El principio de la razón
insuficiente, o principio de indiferencia, fue
utilizado por el matemático Jacobo Bernoulli
(1645 – 1705) para definir probabilidades. Este
principio señala que cuando no hay fundamentos
para preferir uno de los posibles resultados o
sucesos a cualquier otro, todos deben
considerarse que tienen la misma probabilidad de
ocurrir. Si en el caso del lanzamiento de un dado, se
considera que cualquier cara tiene las mismas
probabilidades de aparecer, dado que no hay
elementos que indiquen lo contrario, a menos
que se aclarara que se utilizará un dado cargado. El matemático francés P. S. Laplace (1749 –
1827) estableció este principio en su libro A
Philosophical Essay on Probabilities de esta
manera: “La teoría de la probabilidad consiste en
reducir todos los elementos de la misma clase a
un cierto número de casos igualmente posibles,
es decir, nosotros debemos estar igualmente
indecisos ante su existencia y para determinar la
cantidad de casos favorables para el suceso que
cuya probabilidad se busca. La relación de este
número con el de todos los casos posibles, es la
medida de la probabilidad, que es, por tanto,
sencillamente una fracción cuyo denominador es
el número de todos los casos posibles”. Este principio de la razón insuficiente tiene
varias características, una de las cuales es que
supone una simetría entre los sucesos. Así se
habla de un dado no cargado, de una moneda no
cargada, de una baraja de cartas sin trucos, etc.
La otra es que se basa en razonamientos
abstractos y no depende de la experiencia. La hipótesis de la simetría reduce el campo de
aplicación de este principio, ya que, como se
advertirá más adelante, muchos experimentos no
poseen simetría. Por otra parte, puesto que los
cálculos de la probabilidad no dependen de la
experiencia, esto permite calcular las
probabilidades sin realizar una gran serie de
ensayos. Este tipo de experimentos se denominan
algunas veces a priori. Enfoque frecuentista
En su libro Foundations of the theory of probality (1933), el matemático ruso A.N. Kolmogorow explica este enfoque en relación con los experimentos de lanzar una moneda al
aire. Existen dos posibles resultados, E1 (águila)
y E2 (sol); Kolmogorow se dio a la tarea de
repetir el experimento 200 veces y tabular los resultados. A partir de la ordenación de los mismos, obtuvo las frecuencias relativas de los resultados, dividiendo el número de águilas entre el total de resultados, concluyendo que las fluctuaciones de las frecuencias relativas varían considerablemente cuando n (número de experimentos) es pequeña, pero cuando n es grande , la amplitud de las fluctuaciones disminuye. Este fenómeno se expresa diciendo: La frecuencia relativa resulta estable o la frecuencia relativa presenta regularidad estadística conforme n crece.
21
Con esto podemos suponer (formar una opinión o juicio con evidencia insuficiente) que cuando
el experimento Ei se repite una gran cantidad de
veces, la frecuencia relativa de un experimento podría ser prácticamente igual a un valor P, con un elevado grado de certeza. Siguiendo este tipo de razonamiento se construye
un modelo matemático ideal y abstracto de este
experimento que se postula como sigue: dado un
experimento E y un evento A , podemos asignar
un número P al evento A, el cual se denomina
probabilidad del evento A. Ese número P tiene
las siguientes características: Cuando el
experimento E se repite una gran cantidad de
veces (n) y el experimento sucede m veces, la
frecuencia relativa m/n será prácticamente igual
a ese número P. El número P, que se llama probabilidad del
evento A, se denota por P(A). La P(A) cumple con ciertos preceptos: Primero,
m ≤ n; es decir, el número de casos que aparece
m es igual o menor al número de veces n que
aparece el experimento. Es decir, la frecuencia
relativa es igual o menor a la unidad.
mn ≤1
Segundo, si no se presenta la ocurrencia de un
águila, entonces m = 0 y
mn = 0
por lo tanto:
0 ≤ m
n ≤1
lo que equivale a:
0 ≤ P( A) ≤1
Puede percibirse que el hecho de que P(A) = 0
no asegura que el evento A sea imposible. De la
misma forma, P(A) = 1 no asegura la ocurrencia
cierta del evento A. Este enfoque posee cuatro características:
1. Supone una gran cantidad de ensayos. 2. Supone la regularidad estadística.
3. La P(A) se estima por la frecuencia
relativa de A.
4. Está basada en la experiencia. Este enfoque es el principio en el cual se
fundamentas los estudios probabilísticos
desarrollados en los años cincuenta,
principalmente en Inglaterra y los Estados
Unidos. No obstante, este enfoque presenta
limitaciones, particularmente en lo que a sus
valores extremos se refiere, frente a la necesidad
de evaluar experimentos que no se producen
realmente o no se pueden repetir. Una corrección a este enfoque, citado en la
literatura como segundo enfoque frecuentista,
define a la probabilidad como el límite de m/n
cuando n tiende a infinito:
P( A) = Limn→∞ m
n Obsérvese que en el primer enfoque se dice sólo
que P(A) y m/n son prácticamente iguales
cuando n es grande, mientras que en el segundo
enfoque se dice que P(A) es el límite de m/n
cuando n tiende a infinito. En el primer punto de vista se da un número
P(A) para el evento A y se le llama probabilidad
de A. En el segundo P(A) es el límite de un
proceso.
22
Enfoque subjetivo
Formulado por L.J. Savage (1954) establece:
“Un punto de vista personalista sostiene que la
probabilidad mide la confianza que tiene un
individuo determinado en la verdad de una
proposición particular”. Este punto de vista permite interpretar a las
probabilidades como ponderaciones atribuidas
conforme la confianza personal) o subjetiva) en
el resultado de un experimento. Este enfoque se
aplica a experimentos que todavía no ocurren o
que lo hacen una sola vez y no requiere un
experimento con gran cantidad de ensayos ni la
hipótesis de regularidad estadística.
El primer enfoque frecuentista se puede
interpretar con base en el enfoque subjetivista. El
primer enfoque frecuentista asigna un número
P(A) a la ocurrencia del evento A, que proviene
de la frecuencia relativa m/n del evento A
(cuando el experimento se realiza un número
grande de veces). En el enfoque subjetivo, P(A)
es la medida de la confianza que una persona
razonable asigna a la ocurrencia del evento A. En
ambos casos, la frecuencia relativa y la
asignación con base en la confianza de
ocurrencia, dependen de la experiencia. Eventos colectivamente exhaustivos. Son
aquellos cuya unión conforma totalmente el
espacio muestral.
A E D U
B G F C
Donde: A∪B ∪C ...Z =S
Teoría del Conteo. También conocida como
análisis combinatorio; permite determinar el
número posible de resultados lógicos que cabe
esperar al realizar algún experimento o evento
sin necesidad de enumerarlos todos.
El análisis combinatorio contempla varios casos:
Principio fundamental del Conteo. Aunque
algunos autores consideran que el Principio
Fundamental del Conteo se compone únicamente
de la Regla del Producto, es un hecho que dicha
regla, junto con la Regla de la Suma conforman
los elementos fundamentales que permites
definir a cualquiera de los casos que conforman a
la Teoría del Conteo. Regla de la suma. Si un evento puede ocurrir de
m formas distintas y otro puede ocurrir de n
formas distintas, existen entonces m+n distintas
formas en las que uno de esos dos eventos puede
ocurrir. Regla del producto. Si un evento puede ocurrir
de m formas diferentes y otro puede ocurrir de n
formas distintas, existen entonces mxn distintas
formas en las que los dos eventos pueden ocurrir. Ejemplo. Se dispone de una urna que contiene
esferas grabadas con alguna letra de acuerdo a lo
siguiente:
A = { a, b, c, d, e} B = { α,β,γ }
23
A Β D
Aritmética Lógica Álgebra de Matemática Conjuntos
+ “o” ∪ SUMA CONJUNCIÓN UNIÓN
X “y” ∩ PRODUCTO DISYUNCIÓN INTERSECCIÓN
E
Α
Corolario:
C Γ
B
1) Cuando se trata de eventos independientes se
aplica la regla de la suma.
2) Cuando se trata de eventos dependientes se Primer experimento : de cuántas formas se
puede seleccionar una sola esfera, sin importar el
alfabeto al que pertenezca la letra grabada en
ella. La respuesta es: se puede seleccionar una esfera
con una letra latina o una con una letra griega. 1° Experimento = selecciona una esfera → 5+3
=8 Segundo experimento: de cuántas formas se
puede seleccionar dos esferas simultáneamente si
cada una de ellas debe tener letras de alfabetos
diferentes. 2° Experimento = selecciona dos esferas → 5X3
= 15 Puede percibirse que en el primer experimento
no hay relación alguna entre los alfabetos, ya que
no importa a cual de ellos pertenece la letra
grabada en la esfera; es decir, no hay
dependencia entre el evento A y B. Por otra parte, en el segundo experimento sí hay
una relación directa entre los posibles resultados,
ya que deben ser las letras de cada una de las dos
esferas de alfabetos diferentes. En el experimento uno, hay independencia entre
los eventos. En el segundo, los eventos son
dependientes. Asociando estas definiciones a la
lógica matemática:
aplica la regla del producto.
Ejemplo. Para ir de CU a la Villa se dispone de
5 camiones. ¿De cuantas maneras diferentes
puede ir una persona de CU a la Villa y regresar
a CU en camiones diferentes? 1° viaje → CU a la Villa = 5 camiones 2° viaje → La Villa a CU = 4 camiones
porque se utiliza uno menos El 1° y 2° viajes son eventos dependientes, por
lo que 5X4 = 120 formas diferentes
Ejemplo . En un librero se tienen 22 libros, de
los cuales 5 están en inglés, 7 en alemán y 10 en
francés. a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 2
libros que están escritos en idiomas
diferentes? Los posibles resultados son extraer parejas de
libros en: Inglés y Alemán, ó Inglés y Francés, ó Alemán y Francés.
24
Lo cual matemáticamente es: (5)(7) + (5)(10) + (7)(10) = 155 formas
diferentes b) ¿ De cuántas maneras se pueden seleccionar 2
libros sin importar el idioma en que están
escritos?
1° libro 22 opciones 2°
libro 21 opciones
∴(22)(21) = 462 formas diferentes. Ejemplo. Para ir del punto A al punto B existen
3 caminos y para ir del punto B al C hay dos
caminos. a) ¿De cuántas maneras diferentes se puede
viajar de A a C pasando por B?
A → B = 3 B → C = 2 2X3 = 6 formas
b) De cuantas maneras diferentes se puede ir de
A a C pasando por B y regresar a B?
A → C = 6
C → B = 2 6 X 2 = 12 formas
c) ¿De cuántas maneras diferentes se puede
hacer un viaje redondo de A a C a A si no se
permite usar cada camino más que una vez?
A → B = 3
B → C = 2 C → B = 1 B → A = 2 3X2X1X2 = 12 formas
Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden hacer
viajes redondos que inicien en A y regresen al
mismo punto, teniendo en cuenta que los tramos
sólo pueden ser recorridos en el sentido indicado
en la figura? A → B = 2 B → C = 1 C → B = 1 B → A = 2 2X1X1X2 = 4
Ejemplo. Cuántos números diferentes mayores
de 246 se pueden formar con los dígitos
1,2,3,4, si no se permite repetir dígitos en un
mismo número formado? Números de 3 cifras.
> 246
2op. 3op 2op ⇒ (2)(3)(2) = 12
Números de 4 cifras.
> 246
4op 3op 2op 1op ⇒ (4)(3)(2)(1) = 24
25
Si ahora se pretende la repetición en la formación
del número mayor que 246, ¿De cuántas maneras
se pueden formar de 3 y 4 dígitos? a) De tres dígitos.
> 246
2op 4op 4op ⇒ (2)(4)(4) = 32 De cuatro digitos.
> 246
4op 4op 4op 4op ⇒ (4)(4)(4)(4) = 256
Ordenaciones sin repetición. Se entiende por
ordenaciones de n objetos tomando r de ellos a la
vez, sin repetirlos, a los diferentes grupos que se
pueden formar al seleccionar r de los n objetos
guardando cierto orden. Conjunto A = { a, b, c } n = 3
• Ordenaciones tomando 1 elemento (r = 1)
a b c . . . Tres formas
• Ordenaciones tomando 2 elementos (r = 2)
ab ac ba
bc ca cb . . . Seis formas
• Ordenaciones tomando 3 elementos (r = 3)
abc acb bac
bca cab cac . . . Seis formas
Se les conoce como ordenaciones porque al
existir un orden al formar los diferentes arreglos,
son ordenaciones diferentes ab y ba o abc y bac. El número de formas en que se pueden ordenar r de n objetos equivale a colocarlos en r localidades. Existen n formas de llenar la
primera localidad, n-1 formas de llenar la 2ª, y
así sucesivamente, existirán n-r+1 formas de llenar la r-ésima localidad.
n n-1 n-2 n-r+1
1
2
3
………
r r > 0
n ≥ r
A partir de la regla del producto:
O(n, r )=n(n −1)(n − 2)(n −3)...(n − r +1)
Por otra parte:
n! =O(n, r )(n − r )(n − r −1)...(3 )(2)(1)
(n − r )!=(n − r )(n − r −1)...(3 )(2 )(1)
n! =O(n, r)(n − r )!
O(n, r)= ( n!
) n
− r ! Del ejemplo anterior:
Arreglos de una letra r = 1
O(3,1)= ( 3!
) = 3 3 −1 !
Arreglos de dos letras r = 2
O(3,2)= ( 3!
) = 6 3 − 2 !
26
Arreglos de tres letras r = 3
O(3,2)= ( 3!
) = 6 3 −3 !
Para este tipo de arreglos se cumple r < n Ejemplo. Calcular el número de arreglos
diferentes de 4 letras que se pueden formar con
las letras de la palabra Volkswagen si en los
arreglos no se permite tener letras repetidas. 10 Letras n = 10 r = 4
O(10,4) = 10!
= 10*9*8*7*6!
=5040
(10−4)! 6!
arreglos Ejemplo. Se dispone de los dígitos 2,3,5,6,7,9
a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se
pueden formar?
O(6,3) = (6 −6!
3)! =120 números.
b) ¿Cuántos son pares?
2 Para el dígito menos
6
significativo (par)
2!
O(2,1) = =2
(2 −1)!
5 posibilidades
O(5,2) =
5!
=20
para el resto (5−2)!
Total = (2)(20) = 40 números pares
¿Cuántos son impares?
3,5
O(4,1) = (4 4!
−1)! = 4
7,9
O(5,2) = 20
Total = ( 4 )( 20 )= 80 números impares.
d) ¿Cuántos múltiplos de 5?
O(1,1)
1!
5
= (1 −1)!
=1
O(5,2) = (5 −5!
2)! = 20
Total = ( 1 )( 20 ) = 20 números múltiplo de 5.
Ordenaciones con repetición. Son aquellas
ordenaciones en las cuales pueden repetirse los
objetos que la forman.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3
Tomando 1 letra : a b c
. . tres arreglos
Tomando 2 letras: aa ab ac
ba bb bc
ca cb cc
. . . nueve arreglos
Tomando 3 letras: aaa aab aac aba abb abc
aca acb acc
27
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc caa cab cac cba cbb cbc
cca ccb ccc
. . . 27 arreglos
Si consideramos que tenemos r lugares
disponibles para colocar n objetos, los cuales se
pueden repetir, existen n formas para la primera
posición, n para la segunda, n para la tercera y
así consecutivamente.
1 2 3 r
Por la regla del producto:
OR(n,r) = n*n*n*n*n*………n = n r
OR(n, r)= nr
En este caso, r ≥ n.
Ejemplo. Para controlar a los vehículos de la
República Mexicana se tiene una placa de
identificación que consiste de 3 letras y tres
números con este sistema. ¿Cuántos vehículos se
pueden controlar como máximo?
Total Letras = 26 Total Dígitos = 10
OR (26,3) = 17,576 OR(10,3) = 1,000
Total de vehículos = (17,576)(1000)
= 17,576,000
Para el DF, la placa se forma con el número
primero y las letras después de estas últimas la
primera sólo puede ser a,b,c,d
OR (26,2) = 676 OR (10,3) = 1000
Total de vehículos = (676)(1000)(4)= 2,704,000
Ejemplo. Se tienen 20 banderas de las cuales 5
son blancas, 5 son rojas, 5 negras y 5 azules.
Calcular el número de señales diferentes que se
pueden formar al colocar 5 banderas
simultáneamente en un asta bandera. Colores = 4 n = 4 Posiciones = 5
Total de señales = OR(4,5) = 45 =1024
Ejemplo. Cuántos lenguajes se pueden formar
con el punto y la raya del alfabeto morse, si en
cada uno de ellos se puede utilizar hasta 4
elementos. N = 2 (dos signos)
Lenguaje 1 signo OR ( 2,1 ) = 2 Lenguaje 2 signo OR ( 2,2 ) = 4 Lenguaje 3 signo OR ( 2,3 ) = 8 Lenguaje 4 signo OR ( 2,4 ) = 16
Total = 30 lenguajes
28
Permutaciones. Son las ordenaciones de esos
mismos n objetos tomados todos a la vez. En este caso: r = n
O ( n , r ) =
n !
= n !
( n − n )!
Pn = O(n,n) = n!
Ejemplo. Si se tienen 3 letras = a b c ; ¿Cuantas
ordenaciones de tres letras se pueden hacer?
abc, acb, cba, cab, bac, bca = 6 formas
P3 = 3! = 6
Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden
colocar 10 libros, si 4 de ellos deben estar
siempre juntas?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dado que cuatro de ellos deben permanecer
juntos, en realidad existen siete libros
permutables.
P7 = 7! = 5040 Por otra parte, los cuatro libros que deben
permanecer juntos también son permutables.
P4 = 4! = 24 Total de arreglos = 5040X24 = 120,960 Si ahora se desea que el grupo de 4 libros esté
siempre en el mismo lugar, de cuantas maneras
se pueden colocar.
P6 = 6! = 720 (seis libro
permutables) P4 = 4! = 24
Total de arreglos = 720 * 24 = 17,280
Permutaciones con repetición. Son las
ordenaciones con repetición cuando se toman los
n elementos a la vez, es decir, cuando r = n.
PRn = OR(n, n)= nn
Conjunto A = { a, b, c } n = 3
aaa aab aac aba abb abc aca acb acc baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc caa cab cac cba cbb cbc
cca ccb ccc
. . . 27 arreglos
Permutaciones con grupos de elementos
repetidos. A partir del siguiente ejemplo: Conjunto A = { a, b, c } n = 3 Las seis permutaciones son:
abc, acb, cba, cab, bac, bca Ahora, si en el conjunto A se hace el cambio de
un elemento: Conjunto A = { a, b, a } n = 3 Las seis permutaciones son:
aba, aab, aba, aab, baa, baa Los
colores son para notar la sustitución. Puede observarse que:
aba = aba aab = aab baa = baa En realidad sólo hay tres permutaciones
diferentes.
29
Supóngase que se tienen n objetos dados dentro
de los que hay un grupo de α objetos iguales y
otro de β objetos iguales entre sí. Para determinar el número de permutaciones distintas
que se pueden formar con los no objetos dados,
supóngase que están formadas todas las
permutaciones y que x es su número. En cada una de las x permutaciones formadas,
sustitúyanse los α objetos iguales por α objetos
distintos y permútense de las α! maneras
posibles. Se obtendrán x ⋅α! permutaciones de n objetos en las que figuran solamente β objetos
iguales.
En cada una de las x ⋅α! últimas permutaciones formadas, sustitúyanse ahora los iguales por β objetos distintos y permútense
también de las β! maneras distintas. Se
obtendrán x ⋅α!⋅ β! permutaciones de n objetos
en las que no figuran ni el grupo de α objetos
repetidos ni el de β objetos iguales entre sí. Pero este número es precisamente el de las
permutaciones de n objetos distintos, por lo que
se puede escribir:
x ⋅α!⋅ β! = n!
despejando
x = α!n⋅!β!
en forma general, las permutaciones de n objetos
con grupos de q1 , q2 , q3 ...qn elementos iguales:
P(n, q1 , q2 , q3 ,..., qn )= n!
q1!, q2 !, q3!,..., qn !
donde : q1 + q2 + q3 +...+ qn ≤ n
Ejemplo . Un fabricante de vestidos produce 12
unidades al día y por la moda necesita entregar 3
azules, 2 rojos, 2 verdes, y 5 blancos. ¿De
cuántas formas diferentes puede fabricarlos? n = 12
q1 = 3 q2 = 2 q3 = 2 q4 =5
P(12,3,2,2,5)= 3!⋅2!12!
⋅2!⋅5! =166,320
formas diferentes Permutaciones circulares. Estas permutaciones
se refieren al número de maneras distintas en que
pueden colocarse n objetos alrededor de un
círculo de manera que queden igualmente
espaciados y sin que importen las posiciones
absolutas de los objetos en el círculo, sino
únicamente las posiciones relativas de los
objetos con respecto a sí mismos. Dos
permutaciones circulares son iguales si todos sus
elementos tienen el mismo precedente y
consecuente.
a c
c b b a
Estas permutaciones circulares son iguales Para determinar la respectiva expresión,
considérese la permutación lineal de n
elementos:
α1 α2 α3 ...αn−1 αn
Si se lleva el último elemento de la permutación
al primer lugar, se obtiene la nueva permutación.
α n α1 α2 α3 ...αn−1
30
β objetos
A ésta se le conoce como permutación cíclica de
la anterior y puede observarse que si el proceso
de llevar el último elemento al primer lugar se
repite n veces se llega a la permutación inicial.
Además, puede verse fácilmente que si las n
permutaciones cíclicas se colocan alrededor de
un círculo, no se distinguen entre sí, sino que
forman una sola permutación circular. Luego
puede concluirse que n permutaciones cíclicas de
n objetos generarán una permutación circular y,
razonando en forma inversa, que recíprocamente
una permutación circular genera n permutaciones
cíclicas que son linealmente diferentes.
Supóngase ahora que PCn es el número de
permutaciones circulares distintas que se pueden
formar con n objetos. Por lo antes visto puede
afirmarse que, por cada una de las permutaciones
circulares se obtienen n permutaciones cíclicas.
Luego, el número de permutaciones ordinarias
obtenidas a partir de las permutaciones circulares es n⋅ PCn y puede escribirse:
n⋅ PCn = Pn n⋅ PCn = n! despejando
PCn = n!
= n(n −1)!
= (n −1)!
n n
PCn = (n −1)!
De acuerdo con esta expresión, con las tres letras
a, b, c pueden formarse (3-1)! = 2 permutaciones
circulares distintas:
a a
1 2
c b b c
Puede observarse que si el círculo uno se
proyectara como espejo sobre el círculo dos, ambas
permutaciones se confundirían. En consecuencia,
puede afirmarse que si el círculo en donde se
colocan los objetos al formar permutaciones
circulares puede voltearse, o verse por sus dos
lados, el número de permutaciones
esencialmente distintas se reduce a la mitad. Así,
la fórmula para calcular las permutaciones
circulares de n objetos en este caso será:
PCn =
(n −
21)!
Ejemplo. Calcular el número de maneras
diferentes en que cinco personas pueden
colocarse: a) En fila P5 = 5! = 120
b) Alrededor de una mesa PC5 = (5-1)! = 24
siempre que no se permita al observador
asomarse por debajo de la mesa. c) Alrededor de una mesa si una persona debe
ocupar un lugar determinado. PC5 = (5-1)! = 24 Como en las permutaciones circulares no
interesa la posición absoluta de los objetos en el
círculo, sino sólo la relativa con respecto a sí
mismos, se resuelve el inciso igual que el
anterior, pidiendo a las personas colocadas en la
mesa que giren alrededor de la mesa, sin perder
sus posiciones relativas, hasta que quede en el
lugar adecuado la persona de la condición.
d) Alrededor de una mesa si dos personas deben
estar siempre juntas. PC4 ⋅ P2 = (4 −1)! ⋅ 2! =12 Se considera como una a las dos personas que
deben estar juntas y después se permutan de
todas las maneras posibles esas dos personas. d) En la rueda de la fortuna.
PC5 =
(5 −
21)!
=12
Combinaciones sin repetición. Se les llaman
combinaciones de n objetos de orden r a los
diversos grupos que pueden formarse al elegir r
de n objetos dados, de tal manera que dos
combinaciones se consideran distintas si difieren
en uno de sus objetos por lo menos.
31
A diferencia de las ordenaciones, en las
combinaciones no interesa el orden de los
objetos, sino únicamente la clase de los mismos.
Conjunto A = { a, b, c } n = 3
Tomando 1 letra : a b c
. . . tres arreglos
Tomando 2 letras: ab bc ca
. . . tres arreglos
Tomando 3 letras: abc . . . un arreglo
Para determinar el número de las combinaciones
de n objetos de orden r, considérense formadas
todas las combinaciones O(n,r). Si en todas se
permutan sus r objetos de las r! Maneras
posibles, se obtendrán en total r! O(n,r)!
ordenaciones de los n objetos dados de orden r. En la forma antes descritas , se han formado
todas las ordenaciones de n objetos de orden r,
ya que las provenientes de una misma
combinación son diferentes porque difieren en el
orden de sus objetos, y las que vienen de
combinaciones distintas difieren por lo menos en
uno de sus objetos.
r! C(n , r )! = O(n , r )
C(n, r) = O(n, r)
= n!
r ≤ n
r! r!(n, r)!
Ejemplo. De un grupo de diez personas debe
elegirse un comité formado por cinco. Calcular
el número de comités diferentes que se pueden
elegir si: a) Las diez personas son elegibles libremente.
C(10,5)= 10!
= 252
(10 −5)! 5!
b) Dos de las personas elegibles no pueden
aparecer juntas en el comité. Si las dos personas de la condición están en el
comité, los otros tres miembros se elegirán de las
ocho personas restantes de:
C(8,3)= 8!
= 56
(8 −3)! 3!
Por lo tanto, hay 252 – 56 = 196 comités en los
que no están juntos las dos personas aludidas. c) Dos de las personas elegibles deben estar
siempre juntas, dentro o fuera del comité. Si las dos personas de la condición están en el
comité, las tres personas restantes se escogen de:
C(8,3)= 8!
= 56
(8 −3)! 3!
Los comités en los que la pareja no está es:
C(8,5)= 8!
= 56
(8,5)! 5!
El total de comités es: 56 + 56 = 112
d) En el comité debe haber un presidente. Existen 10 formas de elegir un presidente y
C(9,4)= 9!
=126
(9 − 4)! 4!
El total de comités es: 10 x 126 = 1260
Combinaciones con repetición. Este tipo de
arreglos permite repetir objetos en una misma
combinación, por lo que el orden puede ser
mayor que el número de objetos dados. Conjunto A = { a, b, c } n = 3
32
Tomando 1 letra : a b c
. . . tres arreglos
Tomando 2 letras:
aa bb cc
ab bc
ac . . . seis arreglos
Tomando 3 letras:
aaa bbb ccc
aab bbc
aac bcc
abb
abc
acc . . . diez arreglos
La expresión que denota el número de
combinaciones con repetición es:
CR(n , r ) = C(n + r −1, r )
Ejemplo . En una escuela mixta, de hombres y
mujeres, se va a formar un comité de cinco
alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden
formar, con respecto a su composición de
hombres y mujeres? Deberán seleccionarse cinco de dos objetos
diferentes (hombre y mujer):
CR(5,2) = C(5 + 2 −1,2)= 6!
= 6
(6 − 2)! 2!
Números combinatorios. A los números n! generados
por la expresión ( )
para n, r ! r!
cuando r varía desde 1 hasta n reciben el nombre
de números combinatorios y tienen la notación n
, donde n es el numerador y r es el
r
denominador del número combinatorio.
Los números combinatorios poseen tres
propiedades: 1. Los números combinatorios de orden cero
valen la unidad. Asimismo, los números
combinatorios de orden igual a n también
valen la unidad.
n =1
n =1
0
n
Demostración:
n n!
Si = , sustituyendo:
r!(n − r)!
r
n n! n!
= = =1
0!(n − 0)!
n!
0
por lo tanto: n
=1
0
Por otra parte:
n n! n!
= = =1
n!(n − n)!
n!
n
por lo tanto: n
=1
n
33
2. Los números combinatorios de órdenes
complementarios son iguales entre sí.
n n =
r
n − r
Demostración:
n n!
Si: = , sustituyendo:
r!(n − r)!
r
n n! n! n
= = =
(n − r)![n − (n − r)]!
(n − r)!r!
n − r
r
n =
n
n − r
r
3. La suma de los números combinatorios de
igual numerador y órdenes diferentes en una
unidad es igual a un número combinatorio de
numerador igual a una unidad más grande
que la de los sumandos y orden igual al
mayor de los órdenes de los combinatorios
sumandos.
n n n +1 + =
k −1
k
k
Demostración:
n n!
Si: =
r!(n − r)!
r
Para hacemos para (n,k-1) + (n,k) debemos
obtener (n+1,r) de ahí que sustituyendo nos
queda:
n! + n! = kn!+(n − k +1)n!
(k −1)!(n − k +1)! k!(n − k )! k!(n − k +1)!
= (k + n − k +1)n! = (n +1)n! = (n +1)! n +1
=
k!(n − k +1)!
r!(n − r + 1)!
k!(n − k +1)!
k
Triangulo de Pascal. Los números
combinatorios pueden ser acomodados en un
arreglo piramidal, en el cual se observan
plenamente sus propiedades.
0
0
1 1
0
1
2 2 2
0
1
2
3 3 3 3
0
1 2 3
4 4 4 4 4
0
1
2
3
4
Observando el Triangulo de Pascal pero con sus
valores: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 Propiedad Uno: Los números que están sobre los
vértices del triangulo denotan esta propiedad
(color verde). Propiedad dos: Los números que están a la
misma distancia a la derecha y a la izquierda de
los vértices del triangulo denotan esta propiedad
(colores naranja).
34
Propiedad tres: Al sumar dos números
combinatorios en el mismo nivel, resulta el
número de un nivel posterior en medio de los
mismos. Teorema del Binomio. A partir de cualquier
binomio elevado a una potencia entera, por
ejemplo:
(a +b)4 = a 4 + 4a3b + 6a 2
b2 + 4ab
3 +b4
puede observarse que los coeficientes de los
sumandos del binomio coinciden con los
números combinatorios de orden n = 4. Una expresión general para obtener el desarrollo
de cualquier binomio elevado a una potencia es:
n n (a +b)n = ∑ a n−r br
r =0
r
Diagrama de Árbol. Es una herramienta gráfica
usada para enumerar todas las posibilidades
lógicas de una secuencia de datos que ocurren de
una forma finita de maneras. El árbol está formado por puntos o nodos que
representan instantes en el tiempo o lugares en el
espacio y por líneas o ramas que representan las
posibles acciones que puedan tomarse; los nodos
y las ramas siempre están unidos.
El diagrama de árbol conforma el espacio
muestral en una dimensión de un evento. Ejemplo. Los toros de Chicago y los Celtics de
Boston participan en un torneo de Basketbol; el
primero que gane dos juegos consecutivos o un
total de tres será el vencedor del torneo. ¿Cuántas maneras posibles podría terminar el
torneo?
Existen diez formas de desarrollar el torneo. En todo caso, el diagrama de árbol conforma el
espacio muestral de un evento. 2.3 La definición axiomática de probabilidad.
Algunos teoremas derivados de la definición
axiomática.
Un Axioma en una verdad evidente que no
requiere de demostración. La probabilidad basa
sus desarrollos en tres axiomas:
1) P(A) ≥ 0
2) P(S) = 1
3) P(A1+A2+…+An) =
P(A1)+P(A2)+)+…+P(An)
donde A1, A2, A3 ... An son
eventos mutuamente excluyentes.
35
Teoremas derivados de la definición
axiomática.
Estos teoremas se obtienen de una aproximación
entre la teoría de conjuntos y la aritmética y el
álgebra. Principalmente es necesario contar con
lo antecedentes de las operaciones con conjuntos
(unión, intersección, complemento, etc.) para
desarrollarlos. Por otra parte, debe tomarse en cuenta los
fundamentos de la lógica matemática que
establece las relaciones entre diversas
operaciones matemáticas:
“Y” (conjunción) ⇔ ”x” (producto) ⇔ Evento
Dependiente
“O” (disyunción) ⇔ ”+” (suma) ⇔ Evento
Independiente Teorema 1: P(∅) = 0 Demostración:
Si P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅)
(por el axioma 3) y
S ∪ ∅ = S, entonces P(S ∪ ∅) = P(S) = 1 (axioma 1)
∴ 1 = 1 + P(∅) ⇔ P(∅) = 0 e.q.d.
Teorema 2: P( A ) = 1 – P(A) Demostración:
Si P(A) + P( A ) = P(S)
y P(S) = 1
∴ P(A) + P( A ) = 1 ⇔ P( A ) = 1 – P(A) e.q.d.
Teorema 3: P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Si A ∪B = A ∪(A ∩ B)
y B = (A ∩B)∪(A ∩ B)
luego entonces
P( A ∪ B) = P( A) + P(B ∩ A )
y P(B) = P(A ∩ B)+ P( A ∩ B)
restando ambas ecuaciones
simplificando
P( A ∪ B) − P(B) = P( A) − P( A ∩ B)
P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B) e.q.d.
36
Este teorema se reduce al axioma 3 cuando los
conjuntos son disjuntos1.
Teorema 4: Teorema 5:
P( A ∩B) = P( A) + P(B) − P( A ∪B)
Leyes de D’Morgan
( A ∪ B )' = A'∩B' ⇔ ( A ∪B) = A ∩B
( A ∩ B )' = A'∪B' ⇔ ( A ∩B) = A ∪B 2.4 Probabilidad condicional. Diagramas de
árbol. Eventos independientes. Probabilidad
total. Teorema de Bayes. Si A y B son dos eventos del espacio muestral S,
la probabilidad de que el evento B ocurra con la
condición de que previamente haya ocurrido el
evento A, se le conoce como probabilidad
condicional de B y se representa como P(B I A) (
Léase probabilidad de B dado A ) A partir de los
eventos A y B :
1 Si dos conjuntos A y B no tienen elementos
comunes, es decir, ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos.
Al realizar el experimento correspondiente,
supóngase que ocurre el evento A y una vez
ocurrido éste, se desea observar si también
ocurrió el B. Puesto que ya ocurrió el evento A,
el evento B sólo puede ocurrir si tiene eventos
elementales en A es decir si existe A ∩ B. Además, en ese momento el evento A es el
espacio total de eventos posibles. Luego P(B I A)
se puede calcular como. P(BIA) = Eventos elementales en A y en
B Eventos elementales en A
Lo que puede escribirse como:
P(BIA) = n( A ∩ B)
si n(A) ≠ 0 n( A)
se define P( AB) = ( A ∩ B)
n(S)
y P( A) = n( A)
n(S)
37
de tal forma P(B I A) =
finalmente P(B I A) = P( AB)
P( A)
P(A) ≠ 0
La secuencia en que ocurren los eventos pueden
mostrarse con claridad a través de un diagrama
de árbol, siempre y cuando se trate de eventos
mutuamente excluyentes, colectivamente
exhaustivos con un número finito de resultados.
A partir de la información del experimento a
estudiar, primeramente deben especificarse los
eventos, posteriormente la secuencia o
subordinación entre ellos. En la generalidad, las probabilidades
condicionales se advierten porque los eventos se
subordinan con la conjunción si (condicional, de
diferente significado que el sí afirmativo). De la
misma forma, suele detectarse en la definición
del experimento que la probabilidad condicional
es un dato histórico, tal que cuando es
mencionada aún no se produce el evento. Asimismo, la probabilidad simultánea
corresponde a dos eventos que ocurren al mismo
tiempo, en el instante en que se estudia el
experimento y la subordinación entre ellos se
detecta a través de la conjunción Y.
38
Ejemplo. Con base en la experiencia un médico
ha recabado la siguiente información, relativa a
las enfermedades de sus pacientes:
5% creen tener cáncer y lo tienen 45% creen tener cáncer y no lo tienen
10% no creen tener cáncer y lo tienen 40% no creen tener cáncer y no lo tienen
Si se selecciona un paciente al azar. Determine
las siguiente probabilidad.
a) Que tenga cáncer si cree tenerlo
b) Que tenga cáncer si no cree tenerlo
Evento
A → El paciente cree tener cáncer
B → El paciente tiene cáncer
a) P(B I A) = P( AB) = 0.05 = 0.1 =10%
P( A)
0.5
P(
B)
0.1
b) P(B I
) = A = = 0.2 = 20%
A
P(
)
0.5
A
Eventos Independientes. Dos eventos
son independientes si : P(A \ B) = P(A) ----------- 1
P( A / B) = P(
AB)
--------2 P(B)
= P( AB)
⇒
P( A) P(A) P(B) = P(AB) P(B)
del ejemplo anterior
P(A) = 0.50 (0.5)(0.15) ≠ 0.05
P(B) = 0.15
P(AB) = 0.05 ∴ A y B no son independientes Ejemplo. Suponiendo la siguiente información
CONTRAE NO CONTRAE
CANCER CANCER
FUMADOR 0.5 0.2 0.7
NO FUMADOR 0.1 0.2 0.3
0.6 0.4 1. Encontrar la probabilidad de que un
individuo contrae cáncer dado que es
fumador 2. Encontrar la probabilidad de que un
individuo tenga cáncer dado que no es
fumador 3. Determinar si son eventos independientes
39
1) P(B / A) = ¿?
= P( AB)
= 0.5
= P(B / A) 0.71 P( A) 0.7
2) P(B / A) = ¿?
P(B / A) = P
P((A
AB
)) = 0
0..3
1 = 0.333
3) P(A) = 0.7 (0.7)
(0.6) ≠ 0.5
P(B) = 0.6
no son ind.
P(AB) = 0.5
Frecuentemente se desea encontrar la
probabilidad de que ocurran conjuntamente una
serie de eventos A1, A2, A3,……., An ya sea
simultáneamente, o bien, uno a continuación del
otro. En el caso de dos eventos
P(A1 A2) = P(A2 / A1) P(A1 A2)
En el caso de tres eventos
En general
Si los eventos A son independientes:
P(A1 A2 A3 ...An )= P(A1 )P ( A2 )P ( A3 )... P(An )
A esta expresión se le conoce como regla de
la multiplicación.
40
Ejemplo.
4 Bolas Blancas
3 Bolas Negras
2 Bolas Rojas
9 Experimento: Se extraen 3 bolas (Sin
Reemplazo) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3
sean negras? Eventos Ni → Sale Negra
Bi → Sale Blanca
Ir → Sale Roja
P(N1N2N3) = P(N1) P(N2/N1)
P(N3/N1N2) = 93
• 82
• 1
7 = 0.0119 Si se hace con reemplazo
P(N2/N1) = P(N2) = P(N3) = P(N3/N1N2)
P(N1N2N3) = 3/9 • 3/9 • 3/9 = 0.03
El reemplazo garantiza la independencia de los
eventos. Teoría de la Probabilidad Total Sea un conjunto de eventos B1, B2, B3, …,Bn
mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivas. Para cualquier evento A, A ⊂ S De acuerdo a los axiomas de probabilidad
41
A = (A∩B1)∪(A∩B2)∪ …… (A ∩ Bn)
Ya que (A∩Bi) son mutuamente excluyentes
P(A) = P(AB1) + P(aB2) + ….+ P(ABn) Si P(ABi ) = P(A/Bi) P(Bi)
n
P(A) = ∑P( A / Bi) P(Bi) →Teorema de la i =1
Probabilidad total.
Teorema de Bayes
P( A
B)=
P(A B) =
P( A B) =
P(B
Ai )P(Ai )
i
i
i
∑n P( Ai )P(B
Ai )
∑n P( Ai B)
∑n P( Ai B)
i=1 i=1 i=1
Las anteriores expresiones definen al Teorema
de Bayes, que también es conocido como de la
probabilidad a posteriori, ya que denota
probabilidades en forma posterior a la
realización del experimento.
P(Ai B) : Probabilidad de que haya ocurrido Ai
dado que ocurrió B .
En la práctica no siempre después de haberse
realizado el experimento o evento se conoce el
resultado del mismo. De existir esta
incertidumbre, el resultado es aún motivo de una
probabilidad. A partir de la probabilidad condicional, sean n
eventos A1, A2,, ..., An mutuamente excluyentes
y colectivamente exhaustivos, entonces para
cualquier evento B, B ⊂ S que ocurre
posteriormente se tiene:
P( B )= ∑n P( Ai ) P(B / Ai )
i =1 Teorema de la Probabilidad Total
P(B
Ai )=
P( A B)
i
P( A )
i
Probabilidad condicional
El Teorema de Bayes propone modificar el orden
o la secuencia de los eventos:
P( A B)= P( Ai B) Sustituyendo el Teorema de
P( B )
i
la Probabilidad Total:
El cambio en la secuencia de los eventos debe
detectarse a partir de las condiciones del
experimento. Ejemplo. Raúl está acusado de un crimen. La
probabilidad de que el jurado emita el veredicto
correcto es de 0.95, es decir, la probabilidad de
que el jurado condene a un culpable verdadero y
de que absuelva a un inocente verdadero es de
0.95. Se sabe que la labor de la policía es tal que el
60% de las personas que se presentan a la corte
para ser juzgadas son verdaderamente culpables. Determinar la probabilidad de que Raúl sea
inocente si el juzgado lo declara culpable. 1er evento A = Raúl es detenido porque es
culpable A = { Raúl es culpable }
2do evento B = Raúl es declarado culpable porque lo
es B = { Raúl es declarado culpable}
42
Ejemplo. Una empresa de asesoría alquila autos
de 3 agencias:
20% de la agencia D
20% de la agencia E
60% de la agencia F
Si: 10% de los autos de la agencia D
12% de los autos de la agencia E 4%
de los autos de la agencia F
tienen neumáticos en mal estado. ¿Cuál es la
probabilidad de que la empresa rente un auto con
neumáticos en mal estado? Si el auto tiene los
neumáticos en mal estado, ¿Cuál es la
P(
B)= P( AB)
= P( AB)
= 0.02
= 0.29
A
P( B ) P( AB)+ P( AB) 0.05 +0.02
probabilidad de que sea de la agencia F ?
1er evento → Rentar un auto
2do evento → Que tenga los
neumáticos defectuosos
P(M) = ¿? Por el Teorema de Probabilidad Total P(F / M) = ¿?
43
Ejemplo. En una fábrica, 3 máquinas, A,B y C,
producen la misma pieza. El 6% de las piezas de
la máquina A están defectuosas, el 7% de las de
la máquina B también están defectuosas,
mientras que sólo el 3% de las producidas por la
máquina C lo están. La producción se distribuye de la siguiente
forma:
Máquina A → 65%
Máquina B → 13%
Máquina C → 22%
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una
pieza del almacén resulte que está defectuosa, la
haya producido la máquina B? Evento A → Fabricar la pieza
A = {Fi} = {A,B,C} Evento B → Pieza defectuosa
Bibliografía
Canavos, Probabilidad y Estadística, Edit. Mc Graw Hill, México 1988.
Borras, et. al. Apuntes de Probabilidad y
Estadística, Facultad de Ingeniería UNAM,
México 1985.
Villarreal , Probabilidad y Modelos Probabilísticos, UAEM, México 1989.
Hines, Montgomery; Probabilidad y
Estadística, Edit. CECSA, 3ª edición,
México 1993.
Vilenkin, ¿De cuántas formas?
Combinatoria, Editorial Mir, Moscú 1972.
Iriarte, Apuntes de Métodos Numéricos,
Facultad de Ingeniería UNAM, México.
Vilenkin, ¿De cuántas formas?
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Iriarte, Apuntes de Métodos Numéricos,
Facultad de Ingeniería UNAM, México.
Captura y Edición: M.A. María Torres Hernández.
44
