Conceptos Básicos de Probabilidad

M. en C. Pedro Alejandro Calvo Guerrero

EXPERIMENTO Es cualquier acto o proceso en el que se realizan

observaciones que no puede ser predecidas con certeza. EVENTO SIMPLE

Es el resultado más básico de un experimento. Es un punto en el espacio muestral.

EVENTO O SUCESO Es una colección específica de eventos simples.

ESPACIO MUESTRAL S De un experimento es el conjunto que consta de la totalidad

de puntos muestrales (eventos simples), mutuamente excluyentes, que resultan de la ejecución del experimento.

DEFINICIONES

ENFOQUES DE PROBABILIDAD

PROBABILIDAD SUBJETIVA

PROBABILIDAD OBJETIVAClásica o a PrioriFrecuencia Relativa o a PosterioriAxiomático

Probabilidad Subjetiva

• La posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento, asignado por una persona (opinión experta) con base en cualquier información de que disponga.

• Significa evaluar las opiniones disponibles y otra información subjetiva para luego llegar a la probabilidad.

• Por ej. “esta vaca tiene una probabilidad de 60% de parir esta noche”.

• Desventajas:– 1. Son difíciles de defender cuando son

puestas en duda.– 2. Difícil de identificar los sesgos del

informante.

Probabilidad Clásica o a priori:

Se basa en la consideración de que los resultados de los experimentos son igualmente posibles y mutuamente excluyentes. Se basa en el modelo teórico. E=Suceso n=casos posibles h=número de

casos en que el suceso ocurre. Todos los eventos simples son igualmente

posibles

La probabilidad de aparición del suceso (ocurrencia) está dada por: P(E)=h/n

Probabilidad Clásica o a priori:

P(E) es un número comprendido entre 0 y 1.

p=0 es un suceso imposible; p=1 suceso cierto.

Limitaciones: En muchas situaciones la ocurrencia de

eventos simples posibles no son igualmente probable, ni mutuamente excluyentes.

Concepto de frecuencia relativa o probabilidad a posteriori• Se determina observando en que fracción de tiempo

sucedieron eventos semejantes en el pasado (Probabilidad Estimada o Empírica).

• La probabilidad será el límite de la frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.– La probabilidad así determinada es solo una

estimación del valor verdadero. – Cuanto mayor es el tamaño de la muestra mejor es

esta estimación.– La probabilidad son solo válidas bajo las mismas

condiciones en los cuales los datos fueron originados.

Concepto de frecuencia relativa o probabilidad a posteriori La probabilidad de que un evento ocurra

a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado.

P =número de veces que ocurrió en el pasado/número de observaciones.

Axiomas

PROBABILIDAD De un Evento Simple es un número entre 0 y

1. COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO: La suma de

todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1, por lo menos uno de los eventos ocurre cuando se realiza un experimento.

Calculo de la Probabilidad de un Evento

Definir el experimento: describir el proceso usado para hacer una

observación y el tipo de observación que será registrada.

Listar todos los Eventos Simples Posibles Asignar Probabilidad a cada Evento

Simple. Determinar la Composición del Evento de

interés Calcular la probabilidad del Evento

Sumando la probabilidad de los eventos simples.

Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A del espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes axiomas:

1.- No negatividad: 0 ≤ P(A)

2.- P(S) = 1

DEFINICION AXIOMATICA

3.- Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD Complemento General de Adición Especial de Adición General de Multiplicación Especial de Multiplicación

Nomenclatura Probabilidad de ocurrencia de A y B

p(AB) A intersección B

Probabilidad de ocurrencia de A o Bp(AB) A unión B

Probabilidad de B dado que ya ocurrió Ap(B|A) (probabilidad condicional)

Eventos o Sucesos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son

posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S).

Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac

Se llama evento unión de A y B, AB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos).

Se llama evento intersección de A y B, A∩B al formado por los elementos que están en A y B

S espacio muestral

S espacio muestral

AAc

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

unión intersección

Regla del Complemento Probabilidad del complemento de un evento A es el

evento donde A no ocurre (Ac o ), en otras palabras es la suma de todos los eventos simples donde A no ocurre. La suma de un evento con su complementario es igual a 1.

P(A) + P(Ac) = 1; P(A) = 1 – P(Ac)

A

• Ejemplo: – Si la probabilidad de un gatito

vacunado entre la semana 9 y 13 contra rinotraqueitis viral felina de contraer la enfermedad es de 0.04, la probabilidad de estar adecuadamente protegido (o de no contraer la enfermedad) es 1-0.04= 0.96

S espacio muestral

AAc

Regla General de Adición

La unión de dos eventos A y B es un nuevo evento, cuya probabilidad se calcula sumando las probabilidades de los puntos que lo forman:

Ejemplo cual es la probabilidad que al elegir una carta de truco aleatoriamente y que saquemos un 2 o una espada.( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

S espacio muestral

A

B

unión

**

*

*** **

*

*

*

*

S (12 elementos o puntos muestrales)

P(AB)=3/12

A

B

P(A)=7/12

Si P=1/n para cada punto

P(B)=6/12

**

*

*** **

*

*

*

*

S (12 elementos o puntos muestrales)

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P(AB)=10/12

A

B

P(AB) = [7/12 + 6/12 – 3/12] = 10/12

Si P=1/n para cada punto

**

*

*** **

*

*

*

*

S (12 elementos o puntos muestrales)

P(AB)=7/12

A

B

P(AB) = [4/12 + 3/12] = 7/12

Si P=1/n para cada punto

( ) ( ) ( )P A B P A P B

Probabilidad Condicional A veces tenemos información adicional que nos

altera la probabilidad de su presentación. Hay una reducción del espacio muestral.

La probabilidad de que A ocurra dado que B se ha presentado se denota como P(A|B).

Es igual a la P(A) cuando la ocurrencia de B no afecta la presencia de A y se dice que A y B son independientes. P(A|B) = P(A) INDEPENDENCIA

Si la probabilidad que ocurra A es afectada por la ocurrencia de B se dice que los sucesos son dependientes. ( )( | )

( )P A BP A BP B

( | ) ( )P A B P A

**

*

*** **

*

*

*

*

S (12 elementos o puntos muestrales)

A

B

P(A|B)= [3/12]/[6/12]=3/6

Si P=1/n para cada punto

( )( | )( )

P A BP A BP B

Regla General de Multiplicación

Indica que para dos eventos la probabilidad conjunta de que ambos ocurran resulta de multiplicar la probabilidad del primero por la probabilidad de que ocurre el segundo dado que el primero ocurrió.

Independencia A veces, la información de la ocurrencia de un

evento no nos da información adicional sobre la ocurrencia de otro.

Si la probabilidad de que A ocurra dado que B se ha presentado P(A|B) es igual a la P(A), quiere decir que la ocurrencia de B no afecta la presencia de A y se dice que A y B son independientes.

P(A|B) = P(A) INDEPENDENCIA( )( | )( )

P A BP A BP B

Ecuación General

Regla Especial de Multiplicación

• Esta regla requiere que los sucesos sean independientes esto es cierto si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro.

• Ejemplos:– P(sacar 2 caras) al tirar 2 monedas

al aire– P(de sacar un oro y un 3) en un

mazo de cartas.

( ) ( ) ( )P A B P A P B

Probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0

P(AB)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)

Teorema de la probabilidad totalA1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma de todas las intersecciones.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Teorema de Bayes

P(B)Ai) P(B B)|P(Ai

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

Teorema de BayesP(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

j

ijj

iii

)).P(AAP(B

)).P(AAP(BB)AP(