Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai

i

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

ii

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

1

Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1.1. Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran

lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi

besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.

Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

)(xfy = (1.1)

Perhatikan bahwa penulisan )(xfy ==== bukanlah berarti y sama dengan f

kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x

yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y

akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-tak-

bebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu

besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.

Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai

yang dimiliki x.

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah

sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.

Kita ambil contoh dalam relasi fisis

)1(0 TLLT λ+=

dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah

panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai

panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi

temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin

panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan

bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya.

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,

sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus

ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1.2. Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x

bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk

sebagai berikut:

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a

dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai

a < x < b

Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun

lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat

kita gambarkan sebagi berikut:

a b

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.

b). rentang nilai

a ≤ x < b

yang kita gambarkan sebagai

a b

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan

rentang setengah terbuka.

c). rentang nilai

a ≤ x ≤ b

Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini

adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan

a b

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri

Kurva. Fungsi )(xfy ==== dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam

visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal

memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan

sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi

0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat

3

menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x

memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal

terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah

bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal

terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang

jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya

adalah 3,141592654.

Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x,

memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati

titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan

sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titik-

asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga

satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita

untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik

yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak

harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y

menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y,

selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu

kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

y

x

IV

I II

III


Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai

K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di

sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada

Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II,

III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan

S[3,-2].

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan

satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki

oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan

pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang

x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan

pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.

Contoh: sebuah fungsi

xy 5,0= (1.2)

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam

suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.

Tabel-1.1.

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

Fungsi xy 5,0= yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti

tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti

terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titik-

asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari

lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah xy 5,0= .

Gb.1.2. Kurva dari fungsi xy 5,0====

∆x

∆y

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y R

P

Q

5

Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional,

setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu

persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan

persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita

bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan

sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi xy 5,0= membentuk

kurva dengan persamaan xy 5,0= di bidang x-y. Dalam contoh ini titik-

titik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5],

Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini

perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara

paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x

tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang

tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan

sebagai berikut:

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x =

c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai )()(lim cfxfcx

=→

yang kita baca limit f(x)

untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini

tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;

)(lim xfcx→

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x

= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0

(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

0untuk 0

0untuk 1 ),(

<=

≥==

xy

xyxuy


yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan

Gb.1.3.

Tak terdefinikan di x = 0.

Terdefinisikan di x = 0

Gb.1.3. Fungsi xy /1= dan y =u(x)

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.

Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x =

2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap.

Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x

y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

y

x

y = u(x) 1

0 0

7

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti

– x dan y diganti – y.

Kurva 922 =+ yx simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap

sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga

simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana

peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti

)(xfy = . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana

nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah

beberapa contoh bentuk implisisit.

8

1

1

22

2

22

=++

=

=

=+

yxyx

xy

xy

yx

(1.3)

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x

2 = 9

x

y

tidak berubah jika x dan y

diganti dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika

x diganti −x

x dan y diganti dengan −x dan −y

x dan y dipertukarkan

y diganti dengan −y


Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x

akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh

pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk

eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem

koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh

yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan

bentuk persamaan kuadrat

822 =++ yxyx ⇒ 0)8( 22 =−++ xxyy

yang akar-akarnya adalah

2

)8(4,

22

21

−−±−=

xxxyy

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan

nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita

tuliskan sebagai

2

)8(4

2

22 −−±

−=

xxxy (1.4)

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit )(xfy = . Kurva fungsi

ini terlihat pada Gb.1.5.

Gb.1.5. Kurva 2

)8(4

2

22 −−±

−=

xxxy

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4 x

y

9

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai

peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi

bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.

1). 25,0 xy = .

Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva

dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva

fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini

terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.

Gb.1.6. Kurva 25,0 xy =

2). xy += .

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia

bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.

Gb.1.7. Kurva xy +=

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,5 1 1,5 2x

y

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y


3). xy −= .

Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu

ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8.

Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

xy += . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai

baik positif maupun negatif.

Gb.1.8. Kurva xy −=

4). xy 10log= .

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat

kembali tentang logaritma.

log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti

berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi

xy 10log= berarti xy =10

01log101 ==y ;

31000log102 ==y ;

30103,02log103 ==y ; ...dst.

Kurva fungsi xy 10log= terlihat pada Gb.1.9.

Gb.1.9. Kurva xy 10log=

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

00 0, 1 1,5 2x

y

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 1 2 3 4x

y

11

5). 2xxy == .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.

Perhatikanlah bahwa 2

x tidak hanya sama dengan x, melainkan

± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.

Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x

2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai

banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.

1). Fungsi xy ±= .

Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat

pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif

saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan

pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .

Gb.1.11. Kurva xy ±=

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3x

y

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y


2). Fungsi x

y12 = .

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.

Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.

Gb.1.12. Kurva xy /12 = ⇒ xy /1±=

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu

peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.

Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan

sebagai

),( txfy = (1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan

fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang

berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi

(x) dan waktu (t).

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak

sebagai

),,,,( vuzyxfw = (1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,

z,u,dan v.

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,

misalnya

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

13

2222 zyx ++=ρ (1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif

dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

222 zyx +++=ρ (1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam

skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik

ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r

dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku

posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar

dinyatakan sebagai P(r,θ).

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

θ= sinry ;

θ= cosrx ;

22 yxr +=

)/(tan 1 xy−=θ

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

x

P

θ

r

y

rsinθ

rcosθ


1.8. Fungsi Parametrik

Dalam koordinat sudut-siku fungsi )(xfy = mungkin juga dituliskan

sebagai

)(tyy = )(txx = (1.10)

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang

demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.

1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan

Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah

bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di

buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan

kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak

dicakup oleh buku ini.

Bahasan dari Bab-2 mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16

mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat

sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17.

15

Bab 2

Fungsi Linier

2.1. Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

Kita tuliskan

ky = [2.1]

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa

garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞

sampai +∞.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 4

y = −3,5

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

4=y dan 5,3−=y .

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang

merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti

terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak

sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.

Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap

perubahan x, atau kita tuliskan

∆

∆==

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym (2.2)


Dalam hal garis lurus, rasio x

y

∆

∆ memberikan hasil yang sama di titik

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya

mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada

fungsi mxy = . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva

garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan

kemiringan yang berbeda-beda. Garis xy = lebih miring dari

xy 5,0= , garis xy 2= lebih miring dari xy = dan jauh lebih miring

dari xy 5,0= , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis

akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan

ia miring ke bawah (menurun).

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus mxy = .

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah

mxy = (2.3)

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan

semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika

m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]

melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini

memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x,

sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah

2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai

22 += xy . Perhatikan Gb.2.3.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

y = 0,5x y = x

y = 2x

y = -1,5 x

17

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong

sumbu-y di [0,b] adalah

mxby =− )( (2.4)

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah

sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas

titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke

bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b

pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong

sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4.

Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis xy 2= ,

setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis xy 2= ; atau

dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan

nilai x pada garis xy 2= dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini

terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada )1( 1 −= xx pada kurva

xy 2= .

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].

x1 x1−1

y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

y =2(x–1)

y = 2x

y = 2x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 x


Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan

kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan

mxy = dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah

)( axmy −= (2.5)

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis mxy ==== tergeser ke arah

sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah

sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan

pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan

memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2].

Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,

pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya

adalah

21

2

1

)2(0========

−−−−−−−−========

x

ym

∆∆

dan persamaan garis adalah

22 −= xy (2.6)

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan

memberikan m = 2 dan b = −2.

Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat

di [a,0] dan [0,b] adalah

a

bmbmxy −=+= dengan (2.7)

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

garis memotong sumbu x di 2,

dan memotong sumbu y di 4

Persamaan garis: 4242

4+−=+−= xxy

19

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya

dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat

dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut.

Lihat Gb.2.5.

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆= (2.8)

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua

titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

12

12

xx

yym

−

−= (2.9)

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini

adalah

)( 11 xxmyy −=− (2.10)

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m

yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y1 dan

bergeser searah sumbu-x sebesar x1.

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7)

dan Q(1,2).

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2


Kemiringan garis ini adalah 25,115

27=

−

−=

−

−=

Qp

QP

xx

yym

Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui

titik asal xy 25,1= . Persamaan garis dengan kemiringan ini dan

melalui titik P(5,7) adalah

75,025,1

725,625,1)5(25,17

+=

+−=→−=−

xy

xyxy

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi

)(xfy =

akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x −

x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y

− y1)

)(xfy = menjadi )( 1xxfy −= atau )(1 xfyy =− (2.11)

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia

berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan

kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.

Contoh:

Contoh:

Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis

yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan

kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah xy 25,1= . Garis ini

y + 2 = 2x (pergeseran –2

searah sumbu-y) y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

kurva semula

atau

y = 2(x – 1) (pergeseran +1

searah sumbu-x)

21

harus kita geser menjadi )(25,1)( axby −=− agar melalui titik P

dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan

koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan

memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan

)5(25,17 ab −=− dan )1(25,12 ab −=−

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75

sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)

dapat diperoleh, yaitu xy 25,175,0 =− atau )6,0(25,1 += xy .

Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di

−0,6.

2.4. Perpotongan Garis

Dua garis lurus

111 bxay += dan 222 bxay +=

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 21 yy =

2p21P1 bxabxa +=+

sehingga

2P2P1P1P

21

12P

atau

bxaybxay

aa

bbx

+=+=⇒

−

−=⇒

(2.12)

Contoh:

Titik potong dua garis 84dan 32 21 −=+= xyxy

112843221 =→−=+→= xxxyy

5,52

11P ==x ; 1435,5232P =+×=+= xy

atau 1485,54P =−×=y

Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut

ini.


Gb.2.6. Perpotongan dua garis.

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita

tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga

mereka berpotongan di ∞.

Contoh: Dua garis 84dan 34 21 −=+= xyxy adalah

sejajar.

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat

Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu

koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan

memiliki kemiringan garis

θ= tanm (2.13)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x

atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

P ⇒ Koordinat P memenuhi

persamaan y1 maupun y2.

y2

y1

−5

y

x | |

−

−

5

5 θ= tanm

θ

23

Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian

skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik

menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama

besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya

sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan

bukan dilihat dari grafik.

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Pada fungsi linier baxmy +−= )( , peubah y akan selalu memiliki nilai,

berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga

kontinyu dalam rentang tersebut.

Kurva fungsi mxy = simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini

tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa

fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,

merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan.

maF = ; a adalah percepatan

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a

benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

atvtv += 0)(

v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan

awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah

attv =)(

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda

adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara

anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar


l

VE =

Elektron yang

muncul di

permukaan katoda

akan mendapat

percepatan dari

adanya medan

listrik sebesar

eEa =

a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E

medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu

tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada

waktu mencapai katoda adalah

atvk =

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada

posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas

elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas

sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

kxF =

dengan k adalah konstanta pegas.

4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i

jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V.

Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan

relasi

R

VGVi == , dengan

RG

1=

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut

resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan

iRV =

yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka

resistansi dapat dinyatakan dengan

A

lR

ρ=

]]]] anoda katoda

l

25

ρ disebut resistivitas bahan logam.

Kerapatan arus dalam logam adalah A

ij = dan dari persamaan di

atas kita peroleh

El

V

RA

V

A

ij σ=

ρ===

1

dengan lVE /= adalah kuat medan listrik dalam logam, ρ=σ /1

adalah konduktivitas bahan logam.

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau

gradien dari V yang kita tuliskan dx

dVE = . Mengenai pengertian

gradien akan kita pelajari di Bab-9.

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk

terjadinya difusi,

yaitu penyebaran

materi menembus

materi lain, adalah

adanya perbedaan

konsentrasi. Situasi

ini analog dengan

peristiwa aliran

muatan listrik di mana

faktor pendorong

untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat

kita tuliskan sebagai

dx

dCDJ x −=

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam

keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini

disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa

fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien

konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan

fungsi linier dari gradien konsentrasi.

xa x

Ca

Cx

materi masuk

di xa

materi keluar

di x

∆x


Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan

dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita

menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam

praktik rekayasa.

Soal-Soal

1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima

yang tergambar di bawah ini.

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada

soal nomer-1 di atas.

3. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2;

b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4. Carilah persamaan garis yang melalui

a) titik potong y1 − y2 dan titik potong y3 – y4 ;

b) titik potong y3 − y4 dan titik potong y1 – y5 ;

c) titik potong y1 − y2 dan titik potong y4 – y5.

5. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ;

b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y1 y2

y3

y4

y5

y

x

27

Bab 3

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari

perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin

merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya

waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,

sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak

bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika

dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier,

besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-

fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis

tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis

rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita

menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan

membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang

disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk

x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai )(xu . Jadi

0untuk 0

0untuk 1)(

<=

≥=

x

xxu (3.1)

Jika suatu fungsi tetapan ky ==== dikalikan dengan fungsi anak tangga

satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak

tangga (disebut juga undak), yaitu

)(xkuy = (3.2)

Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x

≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi

)(5,3 xuy = dan fungsi )(5,2 xuy −= yang bernilai nol untuk x < 0

dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.


-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u(x)

y = −2,5 u(x)

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan

k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru

muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.

Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)( ax − . Dengan demikian maka fungsi anak tangga

)( axkuy −= (3.3)

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak

tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini

bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif

sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 3,5 u(x−1)

1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan

fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).

29

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan

kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.

Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x

< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak

tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk

x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

)(xaxuy = (3.4)

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah

)()( gxugxay −−= (3.5)

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5)

bagian )(1 gxay −= adalah fungsi linier tergeser sedangkan

)(2 gxuy −= adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3.

memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan )(1 xxuy = , fungsi ramp

)(22 xxuy = , dan fungsi ramp tergeser )2()2(5,13 −−= xuxy .

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),

ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).

3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan

menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 x

y

y1 = xu(x) y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)


berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya

adalah

)()( 21 xxauxxauy −−−= (3.6)

x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1.

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk

pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)( 12 xx − disebut lebar pulsa

12 xxpulsalebar −= (3.7)

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x

= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{ })2()1(2

)2(2)1(2

−−−=

−−−=

xuxu

xuxuy

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu

{ })2()1( −−−=′ xuxuy , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang

muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{ })()( 21 xxuxxuAy −−−=′ ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3

dan amplitudo 4, memiliki persamaan { })3()(4 −−= xuxuy .

y1=2u(x-1)

y2=-2u(x-2)

y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2)

lebar

pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

31

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar

lebar pulsanya, )( 12 xx − , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena

itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki

nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.

Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.

memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul

biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang

diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa

adalah

makson

rr yT

ty =pulsa (3.8)

dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.

Persamaan umumnya adalah

{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×= (3.9)

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan

amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=

Perhatikan bahwa 1)( =xu karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp )(21 xxuy = dengan

fungsi pulsa { })3()1(5,12 −−−= xuxuy yang hanya memiliki nilai

antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

x

y


nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil

kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{ }{ })3()1(3

)3()1(5,1)(2213

−−−=

−−−×==

xuxux

xuxuxxuyyy

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp )(1 xmxuy = dengan pulsa { })()(12 bxuxuy −−=

membentuk fungsi gigi gergaji { })()()1( bxuxuxmy −−×= yang

muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara

periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2gergaji-gigi maks

rry

y = (3.10)

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5 x

y y

x b

y2={u(x)-u(x-b)}

y1=mxu(x)

y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}

33

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

.......)()(

)()()(

22

11

+−−+

−−+=

xxuxxc

xxuxxbxaxuy (3.11)

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, )(21 xxuy = dan

)2()2(22 −−−= xuxy seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua

fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena

mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi

gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat

mencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, )(21 xxuy =

dan )2()2(4 −−−= xuxy . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

y

x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5x

y

y1=2xu(x)

y2= −2(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)

y


negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh

karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa

)3()1( −−−= xuxuy pulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti

terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk

gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga.

x

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 x

y

5

y1=2xu(x)

y2= −4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

y1=2xu(x)

y2= −4(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

35

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam

bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.

Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji

misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.

3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Fungsi anak tangga satuan yang tergeser )( axuy −= hanya mempunyai

nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan

dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥

a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang

memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris

terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan

yang tergeser.


Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada

bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak

tangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi

berikut ini.

3216315214 c). ; b). ; a). yyyyyyyyyy ++=+=+=

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :

a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.

c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan

pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan

amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertama

dari kurva periodik yang

digambarkan di samping ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama

dari bentuk kurva periodik yang

digambarkan di samping ini.

5

−3

0 x

y

perioda

1 2 3 4 5 6

−5

0 x

y

perioda

5

1 2 3 4 5 6

37

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

Documents

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai