Fungsi Dan Operasi Fungsi

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

28

BAB III

KEGIATAN BELAJAR 2

A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan.

Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi fungsi dan limit

B. Indikator Perkuliahan

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Fungsi

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Limit

C. Uraian Materi

FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI

Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x

di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil).

Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.

Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.

Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E R,

yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti

y = x2 atau f(x) = x

2, x є R.

Contoh 1.

Fungsi f(x) = x2 memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x

2. Daerah asalnya adalah

R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).

Contoh 2.

Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah

asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.


29

Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian pada fungsi, sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan

daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }.

Contoh

jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g

adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x.

Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni

f p(x) = [f(x)]

p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

KOMPOSISI FUNGSI

Aturan fungsi komposisi

Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut

mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan x

ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalah

komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.

A B C

g h

f

x

y

z


30

Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus

f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

Perhatikan bahwa h g g h.

(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).

h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g

h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.

Contoh :

Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus:

g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.

b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.

Jawab:

a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.

(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81.

(iii) Misalkan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2 untuk semua x R.

Jadi Rf = {x R/ x 1}.

b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.

Berdarkan a(iii);

(2x + 1) 2 = 100

2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10

x = 421 atau x = - 5

21 .


31

FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut

1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β)

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuk

sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.

AOC = α dan BOC = β.

Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan (cos β, sin β).

Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah:

AB2 = (xA – xB )

2 + (yA – yB )

2

= (cos α – cos β )2

+ (sin α – sin β)2

= cos2 α – 2cosα cos β + cos

2 β + sin

2 α – 2sinα sinβ + sin

2 β

= cos2 α + sin

2 α + cos

2 β + sin

2 β – 2cos α cos β – 2sin α sin β

= 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

= 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) ........................ ( 1 )

Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh

AB2 = OA

2 + OB

2 – 2.OA.OB cos AOB

= 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β)

= 2 – 2 cos (α – β) ............................................................ ( 2 )

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:

2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

-2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

O

α β

A

B

C

X

Y


32

cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β )

Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh :

cos (α + β) = cos (α – (– β))

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)

= cos α cos β – sin α sin β

Contoh:

Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini!

a. cos (2a – b)

b. cos (2p + 3q)

Jawab:

a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b

b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q

Buktikan bahwa:

a. cos(2

- A) = sin A

b. cos8

5cos

8

1 - sin

8

5sin

8

1 = 2

2

1

c. cos p2

cos p6

+ sin p2

sin p6

= 2

1

d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2

Bukti:

a. cos(2

- A) = cos 2

. cos A + sin2

. sin A

= 0. cos A + 1 . sin A

= sin A (terbukti)

Ingat !

sin (-α ) = - sin α

cos (-α) = cos α

Jadi :

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Jadi:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β


33

b. cos8

5cos

8

1 - sin

8

5sin

8

1 = cos

8

1

8

5

= cos 4

3

= 22

1 (terbukti)

c. cos p2

cos p6

+ sin p2

sin p6

= cos pp62

= cos 3

= 2

1 (terbukti)

d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A }

= cos 2 (terbukti)

2. Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.

sin = cos 090

= cos 090

= cos 090 cos + sin 090 sin

= sin cos + cos sin

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih dua

sudut sebagi berikut:

sin = sin

= sin cos + cos sin

Ingat !!

sin 090 = cos

cos 090 = sin

Jadi:

Sin = sin cos + cos sin


34

= sin cos + cos sin

= sin cos - cos sin

3. Menentukan rumus untuk tan

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus

tan (α+β) sebagai berikut :

tan (α+β) = )cos(

)sin( =>ingat! tan α =

cos

sin

= sinsincoscos

cossincossin

=

coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

=

cos

sin.

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

= tantan1

tantan

Jadi:

sin = sin cos - cos sin

Jadi:

tan (α+β) = tantan1

tantan

Ingat: Pembilang dan penyebut

dibagi dengan cos α cosβ


35

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Menentukan Sudut Rangkap

a. Menentukan rumus sin 2α

Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat sin 2α = sin(α + α)

= sinα cosα + cosα sinα

= 2 sinα cosα

b. Menentukan rumus cos 2α

Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat cos 2α = cos(α + α)

= cosα cosα – sinα sinα

= cos2α – sin

2α

Rumus cos 2α = cos2α – sin

2α

dapat dinyatakan dalam bentuk lain

cos 2α = cos2α – sin

2α

= cos2α – (1 – cos

2α)

= cos2α – 1 + cos

2α

= 2 cos2α – 1

Jadi:

sin 2α = 2 sinα cosα

Jadi:


2α

Jadi:

cos 2α = 2cos2α – 1

Ingat !!

cos2α + sin

2α = 1

sin2α = 1 – cos

2α

cos2α = 1 – sin

2α


36


2α

= (1 – sin2α )– sin

2α

= 1 – sin2α - sin

2α

= 1 – 2 sin2α

2. Identitas Trigonometri

Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan

rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas

trigonometri

Contoh:

Buktikan identitas berikut!

a. (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α

b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3 α

c. 4

4

44

costan1

sincos

Bukti:

a. (sin α + cos α)2 = sin

2 α + 2 sin α cos α + cos

2 α

= sin2 α + cos

2 α + 2sin αcos α

= 1 + sin2 α

(terbukti)

b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga :

sin 3 α = sin (2 α + α)

= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2 α)sin α

= 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin

3 α

= 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin

3α

= 2sin α – 2 sin3 α + sin α – 2sin

3 α

= 3 sin α – 4 sin3 α

(terbukti)

Jadi:

cos 2α = 1 – 2 sin2α


37

c. 4

44

tan1

sincos =

)tan1)(tan1(

)sin)(cossin(cos22

2222

=

)cos

sincos(

cos

1

)sin.(cos1

2

22

2

22

=

)cos

sincos(

cos

1

sincos

2

22

2

22

=

)sin(coscos

1

sincos

22

4

22

=

4cos

1

1

= cos4 α

(terbukti)

Latihan

a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x 4

, tentukan tan 2x.

b. Nilai maksimum dari 25cos8sin15 xx

madalah 25. Tentukan nilai m

c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga.

Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan

d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 13

2, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B.

e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2 , tentukan nilai tan .


38

LIMIT FUNGSI

Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali

mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh

juga tidak

Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke

nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara

memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asal

fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x

mendekati a sama dengan L, ditulis

ax

lim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:

axlim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < .

Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilai

x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.

Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah

= 3

untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.

Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan ax

lim f(x) = L tidak

ada.


39


40

LIMIT SEPIHAK

Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1

Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:


41

Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5

Definisi Limit Kanan

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan εLxfδcx0δ0,εLxlimfcx

Definisi Limit Kiri

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan εLxfδx-c0δ0,εLxlimfcx


42

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan

kontinu kiri di b


43

2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh

3. Misalkan fungsi f diberikan oleh

Tunjukkan

4. Hitunglah

0x

0x,

1x

xsin

xf

12xxxf

16xf lim0,xf lim5x1x

xtan2x

xsinxlim

0x


44

BAB IV

KEGIATAN BELAJAR 3


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah

3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

dan penafsirannya

B. Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang turunan fungsi

C. Uraian Materi

Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.

Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah

diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:

kecepatan rata-rata = diperlukanyangwaktu

ditempuhyangjarak =

waktuperubahan

jarakperubahan.

Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas

menunjukkan perubahan nilai rata-rata:

perubahan nilai rata-rata = xiabelperubahan

fungsinilaiperubahan

var.


45

Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x).

Y y = f(x) Gambar di samping adalah

f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x).

Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h))

f(a) A adalah dua titik yang terletak pada

kurva.

Apa yang terjadi jika h mendekati

O a a+h X nilai nol?

Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai

fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h.

Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-rata

nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni:

Perubahan rata-rata = iabelnilaiperubahan

fungsinilaiperubahan

var

= aha

afhaf

)(

)()(

= h

afhaf )()(.

Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju perubahan

nilai fungsi pada x = a.

Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) = 0

limh h

afhaf )()(.

Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f (a) (dibaca: f aksen a).

f (a) = 0

limh h

afhaf )()(.

Jika 0

limh h

afhaf )()( ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a.

f (a) adalah turunan fungsi f di x = a.


46

Contoh :

Misalkan f(x) = 18x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4.

Jawab:

Turunan fungsi f(x) = 18x 2 + 19x di x = 4 adalah f (4).

f (4) = 0

limh h

fhf )4()4(

= 0

limh h

hh )4.194.18())4(19)4(18( 22

= 0

limh h

hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222

= 0

limh h

hh 218163

= 0

limh

(163 + 18h)

= 163.

Turunan dari fungsi f

Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f

memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A,

f (a) = 0

limh h

afhaf )()(, f (b) =

0limh h

bfhbf )()(, … ada nilainya;

maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A.

Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f . Jadi kita memperoleh

fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu.

f : A R dengan A R.

Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus:

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(.


47

Contoh:

Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 .

Jawab:

Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 adalah

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(

= 0

limh h

xhx 33 3)(3

= 0

limh

h

xhxhhxx 33223 3)33(3

= 0

limh

h

xhxhhxx 33223 33993

= 0

limh

h

hxhhx 322 399

= 0

limh

(9x 2 + 9xh + 3h 2 )

= 9x 2 .

Turunan Beberapa Fungsi Khusus

(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta.

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(

= 0

limh h

aa

= 0.

(Lihat latihan 7 nomor 1)

Jika f(x) = a, a konstanta; maka f (x) = 0.

(2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n .

Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:


48

f(x) x x 2 x 3 x 4 … x n

f (x) 1 2x 3x 2 4x 3 … ……

Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu dapat

mengisi …… di bawah x n ?

Jika f(x) = x n , maka f (x) = nx 1n .

(3) Turunan f(x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional.

Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:

Jika f(x) = ax n , maka f (x) = anx 1n

(4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) = nx

1

Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat polanya

turunannya, yaitu:

Jika f(x) = nx

1, maka f (x) = -

1nx

n.

Karena nx

1 = x n , maka pernyataan di atas setara dengan:

Jika f(x) = x n , maka f (x) = -nx )1(n .

Turunan f(x) yaitu f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(.


49

Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan:

1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika

ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga

fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g 0)

adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I.

2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah:

a. (f + g) (x) = f (x) + g (x).

b. (f - g) (x) = f (x) - g (x).

c. (cf) (x) = cf (x), c konstanta.

d. (f g) (x) = f(x)g (x) + g(x) f (x)

e. (f/g) (x) = 2)]([

)(')()(')(

xg

xgxfxfxg, g(x) 0.

Notasi yang juga sering digunakan adalah:

a. Jika y = u + v, maka y = u + v .

b. Jika y = u - v, maka y = u - v .

c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta.

d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3 – y

3 =2xy di titik (-1,1)

2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di sumbu

Y dan C pada kurva y = a2 – x

2. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang tersebut agar

luasnya maksimum

3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x

2 pada [-

2

1,2]

4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi

bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut

agar :

- jumlah seluruh luasnya minimum

- jumlah seluruh luasnya maksimum

5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum


50

BAB V

KEGIATAN BELAJAR 4


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi

trigonometri yang sederhana


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tak tentu

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tentu

B. Uraian Materi

Pengertian Integral

Untuk memahami pengertian operasi tentang pengintegralan, perhatikan suatu fungsi

turunan F (x) = f(x) = 2x yang dihasilkan dari berbagai dari bentuk F(x) yang mungkin. Hal ini

akan diperlihatkan pada tabel berikut.

Melalui contoh di atas jika F (x) = f(x) = 3x2, maka rumus untuk F(x) mempunyai banyak

kemungkinan, yaitu berbeda pada konstantanya, sedangkan bagian variabel x selalu berbentuk x3.

F(x) sialanPendiferen F (x) = f(x)

alanPengintegr

x3 ..…….………………..……………… 3x2

x3 - 1 ………………..………………………. 3x2

x3 + 2 ………………..………………………. 3x2

x3 + 3 ………………..………………………. 3x2

x3 + c ………………..………………………. 3x2


51

Oleh karena itu himpunan semua fungsi pengintegralan dari F (x) = f(x) = 3x2 dapat disajikan

dalam bentuk:

F (x) = x3 + c

dengan c adalah sebuah konstanta, di mana c R.

Integral Tak Tentu

Definisi:

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat F´(x) = f(x) atau F(x) dapat

didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai

himpunan anti-pendiferensialan (anti turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi

F΄(x) = f(x).

Operasi pengintegralan ditulis dengan notasi integral ∫. Misalkan ∫ f(x) dx adalah

pengintegralan dari fungsi f(x) terhadap variabel x. Hasil dari pengintegralan di atas adalah F(x)

+ C, di mana F(x) adalah fungsi integral umum dan F(x) bersifat F´(x) = f(x), f(x) disebut fungsi

integran, dan c konstanta real sembarang dan sering disebut konstanta pengintegralan.

Untuk lebih jelasnya kalian lihat contoh berikut!

1) 4x dx = 2x2 + c, jelas bahwa F(x) = 2x

2+c, sebab F (x) = 4x = f(x)

2) x2 dx = cx

3

1 3 , jelas bahwa F(x) = 3x3

1+ c, sebab F (x) = x

2 = f(x)

3) 3x2 dx = cx

4

3 4 , jelas bahwa F(x) = 4x4

3+c, sebab F (x)=3x

3 = f(x)

Teorema:

Jika n sembarang bilangan rasional keciali -1,

maka

c 1

x dx x

1 n n

n


52

f(x1)

x1

y = f(x)

f(x2)

x2

f(x3)

x3

f(xn)

xn

0 a= 0 x1 0 x2 0 x3 xn

Sifat-sifat umum integral tak tentu di bawah ini!

1. (i) cxdx

(ii) a dx ax c

2. (i) dx g(x) dx f(x) dx g(x) f(x)

(ii) dx g(x) -dx f(x) dx g(x) f(x)

3. 1- n dan rasionalbilangan n , c x

1

a dx ax 1 n n

n

Integral Tentu

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas yang di batasi oleh kurva y

= f(x) sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b, atau dalam interval tertutup [a, b] dapat ditentukan

dengan proses limit seperti berikut.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas, luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang.

Jadi L = f(x1) . x1 + f(x2) . x2 + f(x3) . x3 + … + f(xn) . xn

Dengan menggunakan notasi sigma ( ) bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat ditulis

menjadi:

n

ii xxfL1 i

. )(

Andaikan luas daerah dibawah kurva y = f(x), di atas sumbu x, antara garis x = a dan x = b

adalah L, maka n

ii xxf1 i

. )( akan mendekati L, sehingga bisa dituliskan n

ii xxfL1 i

. )( .

L1 = f(x1) . x1

L2 = f(x2) . x2

L3 = f(x3) . x3

Ln = f(xn) . xn


53

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah interval [a, b] maka

ditulis bx

xxfLa x

. )(

Bentuk penjumlahan n

ii xxf1 i

. )( disebut sebagai Jumlah Riemann.

Contoh:

Hitung

3

2

!)3( dxx

Penyelesaian:

Partisikan inteval [-2, 3] menjadi n interval bagian yang sama. Masing-masing panjangnya adalah

x = n

5.

Dalam tiap bagian interval [xi-1, xi]. Gunakan xi = xi sebagai sampel.

Diperoleh:

x0 = -2

x1 = -2 + x = -2 +n

5

x2 = -2 + 2 x = -2 +2n

5

xi = -2 + n

ixi5

2.

. ..

xn = -2 + nn

nx5

2. = 3


54

Jadi f(xi) = xi + 3 = 1 + i(n

5), sehingga

xx i

n

i if )(

1 = xx i

n

i if )(

1

= nn

in

i

5)

5(1

1

=

n

i

n

ii

nn 121

251

5

= 2

)1(2552

nn

nn

n

= 5 + n

11

2

25

Ingat:

f(x) = x + 3

Karena partisinya tetap, maka untuk

0x setara dengan n

Kita simpulkan bahwa

3

2

!)3( dxx = xx iixfLim )(

0

= nlim 5 +

n

11

2

25

= 2

35

3 -2

y = x+3

3


55

Sifat-sifat Integral tertentu

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat

sebagai berikut ini.

(1) a

a

dxxf 0)(

(2) b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

(3) b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()( , k konstanta riil sembarang

(4) b

a

b

a

b

a

dxxgdxfdxxgxf )()()()(

(5) cbadxxfdxxfdxxf

c

b

c

a

b

a

,)()()(

(6) a) Jika f(x) > 0 dalam interval a < x < b

maka

b

a

dxxf 0)(

b) Jika f(x) < 0 dalam interval a < x < b

maka

b

a

dxxf 0)(

Latihan

1. Tentukan dxxx

xx

3 24

3

4

2

2. Tentukan dxx

xx sincos3

3. Tentukan xdx7sin

4. Tentukan 29 x

dx

5. Tentukan x

dx

sin2


56

BAB VI

KEGIATAN BELAJAR 5


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda

putar


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang luas daerah di bawah kurva

dan

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang volum benda putar.

B. Uraian Materi

Luas Daerah yang Di Batasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X

Pembahasan luas daerah dibawah kurva yang telah dipelajari dalam bagian terdahulu.

Pada sub bab ini akan diawali dengan membahas luas daerah untuk kurva yang sederhana.

Perhatikan gambar berikut!

D1

0

y

y = f(x)

x = b x = a

x

(a)

D2

0

y

y = f(x)

x = b x = a

x

(b)


57

Pada gambar 1-6 (a) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu

dan tak negatif (f(x) > 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D1 daerah yang dibatasi oleh kurva y

= f(x), sumbu x dan garis x = a dan x = b.

Luas D1 ditentukan dengan rumus

L (D1) =

b

a

dxxf )(

Pada gambar (b) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan tak positif

(f(x) < 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D2 daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu

x dan garis x = a dan x = b.

Luas D2 ditentukan dengan rumus

L (D2) =

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

atau

L (D2) = b

a

dxxf )(

Contoh:

Nyatakan dengan Integral luas daerah yang diarsir berikut:

(a) (b)

y = f(x)

y

a

c b x

y = f(x)

y

a

c d

b x


58

Penyelesaian:

(a) c

a

b

c

dxxfdxxfL )()(

(b) c

a

b

d

d

c

dxxfdxxfdxxfL )()()(

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x) merupakan

kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang di batasi oleh

kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan x = b diperlihatkan pada gambar berikut :

Luas daerah ABCD = L daerah EFCD - L daerah EFBA

=

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

=

b

a

dxxgxf )()(

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan x = b ditentukan

dengan rumus :

L =

b

a

dxxgxf )()(

dengan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b

y D

y = f(x)

c

0

A

y = g(x)

B

E F

x = a x = b

x


59

Contoh:

Hitunglah luas daerah yang di batasi oleh kurva y = 3 + x - 2x2 dan

kurva y = -2x + 3!

Penyelesaian:

Sketsa grafik :

* Dicari titik potong kurva y = 3 + x - 2x2

dan y = -2x + 3

3 + x - 2x2 = -2x + 3

2x2 - 3x = 0

x (2x - 3) = 0

x = 0 atau x = 2

3

** Dari sketsa grafik tampak bahwa untuk 2

3,0 kurva y = 3 + x - 2x

2 berada diatas kurva y =

-2x + 3, ini berarti 3 + x - 2x2 > -2x + 3

Jadi luas L = 2

3

0

2 )32(23 dxxxx

= 2

3

0

2 32 dxxx

=

23

0

23

2

3

3

2 xx

= 02

)(3

23

3

22

233

= 8

11 satuan luas.

Pengintegralan Dengan Substitusi

y

-1 0 1 2

y = -2x+3 y = 3+x-2x

2

x

Teorema: Misalkan dengan substitusi u = g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai

turunan, dxxgxgf )(')( dapat diubah menjadi duuf )( jika F(u) adalah anti

pendiferensialan dari f(u), maka:

∫ f [g(x)]g (x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F[g(x)] + c


60

Untuk menyelesaikan pengintegralan dengan substitusi ini diperlukan dua langkah

sebagai berikut:

(1) Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f [g(x)]g (x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du

(2) Mencari fungsi integral umum F(u) yang bersifat F (u) = f(u)

Contoh:

Hitunglah: ∫ (4x – 3)3dx

Penyelesaian:

Pilih u = 4x – 3

du = 4 dx

4

1du = dx

Jadi dxx3

34 = duuduu 33

4

1

4

1.

= cx

cu

cu

16

)34(

1644

1 444

Latihan

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x2 di kuadran I, garis x + y = 2,

dan garis y = 4.

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang didefinisikan

f(x) = x2 + 2x – 3, x = -3, x = 1

3. Tentukan volum benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4

diputar mengelilingi sumbu Y

4. Tentukan volum benda putar yang terjadi bila daerah diantara kurva y = x2 + 1 dan

y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu X.

5. Tentukan volum benda putar daerah yang dibatasi grafik y = x , x = 4, dan sumbu

X koordinat putar terhadap garis x = -1


61

TES KOMPETENSI AKHIR SEMESTER

1. Draw the curve r = 8 sin

2. Prove that (1 – cos 2x)(1 + cot

2x) = 1

3. Find tx

txLim

tx

22

4. Find X1, X2 and X3 from

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + X2 + X3 = 6

2X1 + X2 + X3 = 7

5. Find dx

dyif y = (3x – 2)

2(3 – x

2)2

6. If f(x) = 2x – 5 and g(x) = 392x

a. Find (f 0 g)(x)

b. Find (f 0 g)(5)


62

Daftar Pustaka

GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising. Singapore

Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th

edition, New York: John Wiley & Sons,

Inc.

M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar Perkuliahan.

Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES

Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 2. Grafindo Media Pratama. Bandung

Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 3. Grafindo Media Pratama. Bandung

Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University Press

Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga

Rochmad, Mulyono. 2005. Matematika Untuk Kelas XI Program Ilmu Alam (Kelas 2 SMA/MA).

Semarang: PT Bengawan Ilmu

Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jakarta: Erlangga

Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 2. Jakarta: Erlangga

Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 1.Jakarta: Erlangga.

Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 2.Jakarta: Erlangga.

Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson Blackie Ltd

London

Subanji. 2005. Matematika Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam (Kelas 3 SMA/MA). Semarang:

PT. Bengawan Ilmu

Documents

Fungsi Dan Operasi Fungsi