Upload
fikri17
View
665
Download
61
Embed Size (px)
DESCRIPTION
matemtika
Citation preview
FUNGSI DUA VARIABEL ATAU
LEBIH
Tim Pengajar Kalkulus II
Fungsi Secara Umum
Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi
jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan
tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan:
f : A B
artinya f memetakan A ke B.
A daerah asal (domain) dari f
B daerah hasil (codomain) dari f.
Fungsi Secara Umum
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan
(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan
(pre-image) dari b.
a b
A B
f
Fungsi Secara Umum
Definisi fungsi real f dari dua variabel
Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah
suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan
real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan
berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada
bidang xy.
Contoh 1
Misalkan
Tentukan f(1,4), f(0,9),f(t2,t) dan tentukan domain
dari f.
13),( 2 yxyxf
Fungsi Dua Variabel
(a,b)
(a,b)
(c,d)
(e,f)
x
y
z
A B
f : (a,b) x
f
Definisi fungsi real f dari tiga variabel
Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah
suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan
real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan
berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada
ruang tiga dimensi.
Contoh 2 :
Tentukan nilai f(0,1/2,-1/2) dan domain dari fungsi
2221),,( zyxzyxf
Fungsi Tiga Variabel
(a,b)
(a,b,c)
(d,e,f)
(g,h,i)
x
y
z
A B
f : (a,b,c) x
f
Grafik Fungsi
Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai
suatu grafik dari persamaan y=f(x).
Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan
sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang
merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.
Grafik Fungsi
Contoh
Gambarkan domain dari fungsi
Contoh
Gambarkan grafik dari fungsi
)ln(),( 2 yxyxf
22 49363
1),( yxyxfz
Lengkungan Ketinggian Fungsi
(Peta Kontur)
Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong
permukaan z=f(x,y), dan lengkungan
perpotongannya diproyeksikan ke bidang xy, maka
tiap titik pada lengkungan proyeksi akan
berpadanan dengan suatu titik unik pada
permukaan tersebut yang k satuan di atasnya (atau
di bawahnya).
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2,
3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu
permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan
perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy
maka proyeksinya merupakan pemetaan
lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada
bidang xy.
Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy
dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)
Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k
yang diberikan:
4,3,2,1,0
22
k
yxz
Grafik 3-D dari
4,3,2,1,022 kyxz
Contoh: Permukaan paraboloid
dan peta konturnya
22),( yxyxgz
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Contoh
Tentukan lengkungan ketinggian fungsi
22 4936
3
1),( yxyxfz
Grafik Fungsi
Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat.
Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.
Contoh
Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 222),,( zyxzyxf