Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial, Logaritma, dan Pecahan

FUNGSI EKSPONEN

A.

SIAL, LOGARITMA, DAN PECAHAN

Kompetensi yang diharapkan Setelah mengikuti pelatihan diharapkan para guru makin memahami topic di

apat mengajarkan kepada para siswa dengan mantap dan benar. atas dan d B. Indikator

rta

Setelah mengikuti pelatihan diharapkan pese

pelatihan dapat 1. Menjelaskan sifat‐sifat bilangan berpangkat

nsial onensial

2. Menyelesaikan persamaan eksponep

3. Menggambarkan grafik fungsi eks

4. Menjelaskan pengertian logaritma

5. Menjelaskan sifat‐sifat logaritma

6. Menyelesaikan persamaan logaritma 7. Menggambarkan grafik fungsi logaritma

iapan untuk menggambarkan grafik 8. Melakukan perhitungan sebagai persfungsi pecahan

. Menggambarkan grafik fungsi pecahan 9

C. Sub bab Materi 1. Fungsi Eksponensial

a. l Fungsi Eksponensia

n n: Co toh penggunaa 1) Rangkaian RL

Gaya Elektromotif Konstan

LRCdte

LEetI tt =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += ∫− ααα ,)( 0

tLR

CeRE −

+= 0

R

E(t)

L

RE0

Aris Thobirin 1


2) Taraf Intensitas Bunyi Kuat lemahnya bunyi (taraf intensitas bunyi) yang dapat diterima telinga

2 2 2manusia adalah 10 watt/m s.d. 1 watt/m . Panjang Gelombang Panjang gelombang warna ungu pada pelangi 3,9 x 10–7m s.d. 4,5 x 10–7m

1014 Hz s.d. 7,7 x 1014 Hz

–1

3)

dan frekuensinya 6,7 x

4) Panjang untaian DNA Panjang untaian DNA (deoxyribonucleic acid) dalam sel adalah 10–7 m dan rata‐rata tubuh makhluk hidup terdiri atas 1014 sel

Bilangan pangkat bula positif Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka

t

na = 44 344 21 aaaafaktorn

×××× ...

t‐sifat bilangan berpangkat bulat positif

)

Sifa 1)

untuk dan

(. nmnm aaa +=

2) )(: nmnm aaa −= nm > 0≠a

3)

( ) mnnm aa =

4) b

5)

nnn aab .)( =

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , 0≠b

gan pangka sifat 2) jika dan

BilanPada

t nol nm = 0≠a maka 0)(:1 aaaa nnnn === −

Jadi 10 =a

Bilangan

Misalka

pangkat bulat negatif

n 25

3 1a

aaaaaaaa

aa

=×××××××

=

253535 = a

a

adi

Aris Thobirin 2

3

: −− == aaaa

J 22 1

aa =−

Secara umum: Jika bilangan real a 0≠a dan bilangan bulat positif, maka m

mm

aa 1

=− dan mm a

a=

1 −


Bila pangkat rasional

Jika bilangan real, n bilangngan

0≥a an bulat positif dengan 2≥n , maka n aa n =1

Bukti: Misalkan

xn aa = . Jika kedua ruas dipangkatkan n diperoleh

( ) ( )nxnn aa = nxaa =

nx=1

n Jika ≥ bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan bulat positif dengan

2≥n ,

x 1=

0an a b l dan ilangan rea 0≠ , maka n a n maa n

m

= Bukti: Misalkan xn m aa = . Jika kedua ruas dipangkatkan n diperoleh

( ) ( )nxn

n m aa =nx

m aa =

nxm =

n Sifat‐sifat bilangan berpangkat rasional

)

mx =

1)

untuk

(. nmnm aaa +=

2) )(: nmnm aaa −= 0≠a

3)

( ) mnnm aa =

4) b

5)

nnn aab .)( =

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , 0≠b

6) mm

aa 1

=−

Aris Thobirin 3

b. rsamaan Eksponensial Pe

↔1) )()( xgxf aa = 1,0),()( ≠>= aaxgxf

)2) 0,0,0)( >>()( xfxf ba = ↔ = baxf

3) ↔ ggunakan sifat‐sifat )()( xgxf ba = Penyelesaiannya men bilangan berpangkat

4) ↔ ada 4 kemungkinan )()( )()( xhxg xfx =f


a) ( ))( xhxg =

b)

c)

1)( =xf

1)( −=xf asalkan (xg sama ganjil

) dan bersama‐sama genap atau bersama‐ )(xh

d) asalkan dan 0)( =xf 0)( >xg 0)( >xh

Selesaikan persamaan berikut:

1. 7254 82 ++ = xx

2. 3143 644.2 ++ = xxx

3. 3 8109 12 =+ ++ xx

4. 3 033.2 452 =−+ ++ xx

5. 10222 )13()13(2 +− +−=+− xxx xxxx

6. 222 )44()44(2 −−−=−− xx xxxx

7. 5343 22

)3()3( −+++ −=− xxxx xx

c. Grafik Fungsi Eksponensial

0; >= aay x 1

Aris Thobirin 4

0 << a grafiknya monoton turun → grafiknya monoton naik

→

1>a

n

n ne ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→

11lim

e

...718,2=

dan xey = xy 4= xy 3=


x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

2. Fungsi Logaritma a. Pengertian Logaritma

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

→

→

→

→

→

→

=

=

=

=

...8log

...8

log

tan

82

8...

...2

82

2

3

...

3

3

3

aritmapenarikan

akarpenarikan

pemangka

a ccb =log ⇔ ba =

, disebut bilangan pokoka 1,0 ≠> aa b disebut numerus, 0>b

l logaritma

c disebut hasi

t‐sifat Lo aritma a

Sifa g1) ( )ba log b=

maka Bukti: Misalkan ba =log ax bx =

Dari xba =log maka ( ) xbaa

=log

a

b= xya

bxa = cya =2)

logyx aa loglog +=

kan dan , maka dan log

Bukti: Misal

log xab = yac = c

cbb aaaxy +== .

xya cb =+

xya log

cb +=

3)

yx aa loglog +=

yxy

aa loglog −=

n dan , maka dan

xa log

Bukti: Misalka

bxa =log cya =log xab = yac =

cbayx −cb aa == :

Aris Thobirin 5


yxa cb =−

cbyxa =log

a

−

4)

yx aa loglog −=

xnx an log= Bukti: Misalkan , maka a

logmx x

a

a =log m =

sehingg ( ) = nnm xa⇔

mn

⇔

nmn xa = xna log

⇔ =

n ⇔

xa )log(=

5)

xn alog=

abb p log

log=

pa log

Bukti: Misalkan mba =log maka am =a

b Sehingg

⇔ba pmp loglog =

m plog

⇔

ba plog=

abm p

Jadi terbukti

p

loglog

=

abb p

pa

logloglog =

i Dengan menggunakan sifat in 1logloglo

Jadi

g ==aaa p

pa

1log =aa

Jika bp = maka aa

b b loglog =

Jadi

bb log

1log=

ba

a

b ba

log1log =

6) cc ab loglog =ba .log

Bukti: bc

abcb p

p

p loglog.log =

pba

logloglog

ac

p loglog

=

p

calog=

Aris Thobirin 6


samaan Logaritma Ada variabel pada logaritma atau pada bilangan pokoknya

b. P re

c. Gra ma fik Fungsi LogaritGambarkan grafik xy log2=

xy log2=

Selesaikan persamaan berikut:

1. 02log3log 222 =+− xx2. 1)log3log(loglog 2222 +−= xx3. xxx xx 1216 log2)1log(log −−+ +=−+4. 5 4log2log =− xx xx5. 3 11 4 −+ = xx

3. nFu gsi Pecahan

a. Fungsi Pecah Linear 0, ++

≠+

= qpxqpxbaxy

Untuk menggambarkan grafiknya perlu dicari: ai fungsiengan sumbu‐sumbu koordinat ( )

1) daerah/ interval nil 2) titik potong grafik d3) asimptut mendatar ∞→x) asimptut tegak ( )

4 ∞→y

rupa hiperbola tegak

Grafik be Contoh:

212

+−

=xxy

Aris Thobirin 7


b. Fungsi Pecah dengan bentuk 0,++=

cbxaxy2

+px ≠+ qpx

rkan grafiknya perlu dicari: dengan sumbu‐sumbu koordinat

q

Untuk menggamba1) titik potong grafik

2) asimptut tegak3) asimptut miring 4) harga ekstrim

rupa hiperbola miring Grafik be

Contoh:

Gambarkan grafik

Aris Thobirin 8

1+x

Y →

22 +=

xy 3+x

Perhatikan bahwa: a bu y = 3

tidak ada 1) titik potong deng n sum

= –1 titik potong dengan sumbu X →

x + 1

2) qsimptut tegak:y = x3) asimptut miring:

4) harga ekstrem: dan

22− 2222− diperoleh di 12 −−=x

22 diperoleh di 12 −=x

c. Fungsi Pecah dengan bentuk 0, 2++= pxcbxaxy 2 ++ rqxpx

knya perlu dianalisis: sumbu‐sumbu koordinat

2

++ rqx ≠

Untuk menggambarkan grafingan1) titik potong grafik de

2) asimptut tegak (jika ada) 3) asimptut mendatar 4) titik potong grafik dengan asimptut mendatar (umumnya ada satu titik) 5) harga ekstrim (mungkin ada, mungkin tidak ada) → potongkan dengan

ngkan kyky = , cari nilai k dengan memoto = ke fungsi pecah, dicari untuk D = 0 erah grafik positif/ negatif fungsi 6) da

. Latihan D Daftar Pustaka

a: I.B.Wolters‐Groningen. Abdul Karim dan Goenara, 1952, Aldjabar, Djakart

Danuri, M., 2007, Persamaan, Pertidaksamaan, Fungsi Eksponen dan Logaritma, TK Matematika. Yogyakarta: P4

Kompetensi Matematika, jilid 1A, Jaka tJohanes, dkk., 2006, r a: Yudhistira

Kreyszig, E., 1988, Advanced Engineering Mathematics, 6th Edition, John Wiley and Sons.

Documents

Fungsi Eksponensial