1. Fungsi1.1Pengenalan

1. Dalam konsep hubungan, set pertama dikenali sebagai domain. Manakala set kedua dikenali sebagai kodomain. Imej ialah unsur dalam set kedua yang sepadan dengan unsurnya di dalam set pertama. Unsur ini dikenali sebagai objek.

2. Julat ialah set yang terdiri daripada imej-imejnya.

3. Terdapat empat jenis hubungan yang berlainan:

a) Satu kepada satub) Satu kepada banyakc) Banyak kepada satud) Banyak kepada banyak

Fungsi ialah hubungan khas dengan keadaan setiap objek di domain dapat dikaitkan dengan satu imej sahaja di kodomain. Maka 3(a) dan 3( c) ialah fungsi.

4. Tatatanda bagi fungsi f: x y atau f (x) = y dibaca sebagai f memetakan objek x kepada imej y.5. Fungsi boleh diwakilkan dengana) Gambar rajah anak panahb) Pasangan bertertibc) Graf

1.1.1Pasangan terurut (Pasangan bertertib)Contoh:A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

1.1.2 RelasiRelasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentuContoh:A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan faktor dari, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}Diagram panahnya:

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkansetiap anggota himpunan Akehanya satu anggota himpunan BNotasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A BA disebutdomain (daerah asal)B disebutkodomain (daerah kawan)Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebutrange (daerah hasil)Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x y = f(x)dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:Domain = Df= {1, 2, 3, 4}Range = Rf= {2, 4}

1.1.3Menentukan Daerah Asal FungsiAgar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:Daerah asal untuk fungsi

adalah:x2+ 3x 4 > 0(x + 4)(x 1) > 0Pembuat nol: x = 4 dan x = 1Jika x = 0 maka hasilnya 02+ 3.0 4 = 4 (negatif)

Jadi Df= {x | x < 4 atau x > 1}

1.1.4 Aljabar FungsiJika f : x f(x) dan g : x g(x) maka:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f g)(x) = f(x) g(x)(f g)(x) = f(x) g(x)

Daerah asalnya:Df+g, Dfg, Dfg= Df Dg(irisan dari Dfdan Dg)Df/g= Df Dgdan g(x) 0

1.2 Komposisi fungsi ( Fungsi Gubahan)Fungsi Gubahan ialah fungsi yang menggabungkan dua atau lebih daripada dua fungsi secara berturutan.Contoh: fg(x) , gf(x), f(x) dan lain-lain.fg(x) bermakna lakukan operasi g terlebih dahulu diikuti oleh f dan gf(x) adalah sebaliknya (akasnya)fx = ff(x) iaitu lakukan operasi berulang 2 kali bagi fungsi f.

Notasi:f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca f bundaran g)(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)Ilustrasi:Contoh:f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

1. Tidak bersifat komutatif(f o g)(x) (g o f)(x)2. Asosiatif(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:f(x) = 3x + 2g(x) = 2x + 5h(x) = x2 1Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)= 3(2x + 5) + 2= 6x + 15 + 2 = 6x + 17

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)= 2(3x + 2) + 5= 6x + 4 + 5 = 6x + 9

(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x2 1))= f(2(x2 1) + 5)= f(2x2 2 + 5)= f(2x2+ 3)= 3(2x2+ 3) + 2= 6x2+ 9 + 2 = 6x2+ 11atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x2 1)= 6(x2 1) + 17= 6x2 6 + 17= 6x2+ 11

Contoh 2:f(x) = 3x + 2(f o g)(x) = 6x + 17Cari g(x)!(f (g(x)) = 6x + 173.g(x) + 2 = 6x + 173.g(x) = 6x + 17 23.g(x) = 6x + 15g(x) = 2x + 5

Contoh 3:g(x) = 2x + 5(f o g)(x) = 6x + 17Cari f(x)!f(2x + 5) = 6x + 17misalkan: 2x + 5 = a 2x = a 5f(a) = 3(a 5) + 17f(a) = 3a 15 + 17f(a) = 3a + 2f(x) = 3x + 2

Contoh 4:f(x) = x2+ 2x + 5(f o g)(x) = 4x2 8x + 8Cari g(x)!f(g(x)) = 4x2 8x + 8(g(x))2+ 2g(x) + 5 = 4x2 8x + 8Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna(g(x) + 1)2 1 + 5 = 4x2 8x + 8(g(x) + 1)2= 4x2 8x + 8 4(g(x) + 1)2= 4x2 8x + 4(g(x) + 1)2= (2x 2)2g(x) + 1 = 2x 2 atau g(x) + 1 = (2x 2)g(x) = 2x 3 atau g(x) = 2x + 3atau

f(g(x)) = 4x2 8x + 8(g(x))2+ 2g(x) + 5 = 4x2 8x + 8Karana pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b(ax + b)2+ 2(ax + b) + 5 = 4x2 8x + 8a2x2+ 2abx + b2+ 2ax + 2ab + 5 = 4x2 8x + 8a2x2+ (2ab + 2a)x + (b2+ 2ab + 5) = 4x2 8x + 8Samakan koefisien x2di ruas kiri dan kanan:a2= 4 a = 2 atau a = 2samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:untuk a = 2 2ab + 2a = 84b + 4 = 84b = 12 b = 3untuk a = 2 2ab + 2a = 84b + 4 = 84b = 12 b = 3Jadi g(x) = 2x 3 atau g(x) = 2x + 3

1.3 Invers Fungsi ( Fungsi Songsang)Fungsi songsang ialah fungsi yang memetakan imej kepada objek. Tatatandanya ialah jika f ialah fungsi asal. Fungsi songsang hanya wujud untuk fungsi satu kepada satu sahaja. Jika f(x) = y, maka (y) = x.NotasiInvers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan (x)

Ilustrasi

Contoh:Jika f(2) = 1 maka f1(1) =2Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Invers Fungsi:

(f1)1(x) = f(x)(f o f1)(x) = (f1o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas(f o g)1(x) = (g1o f1)(x)Ingat:(f o g1)(x) (f o g)1(x)

Mencari invers fungsi

Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f1(y)Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f1(x), yang merupakan invers fungsi dari f

Contoh 1:f(x) = 3x 2invers fungsinya:

Contoh 2:

Contoh 3:f(x) = x2 3x + 4Invers fungsinya

Contoh 4: