Fungsi Transeden

64

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN

7.1. Fungsi Logaritma Asli

Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

Dx(x3/3) = x2

Dx(x2/2) = x1

Dx(x) = 1 = x0

Dx(???) = x-1

Dx(-x-1) = x-2

Dx(-x-2/3) = x-3

Gambar 1. Jika x > 1, ln (x) = luas dari R

Definisi: Fungsi logaritma asli

Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai

ln (x) = 0,1

1

> xdttx

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif

y =1/t

65

Turunan fungsi logaritma asli adalah Dx 0,1

)ln(1

1

>== xxxDdttx

x ,

selanjutnya 0,ln1

+= uCuduu

Contoh 1:

Tentukanlah Dx ln( x)

Jawab:

Misalkan u = x = x1/2

Dx ln( x) = x

xx 2

121

.1 2/1

2/1=-

Dengan Derive: Dif(ln( x), x) enter, lalu lkilk tanda sama dengan

66

Contoh 2:

Carilah + dxx 725

Jawab:

Misalkan u = 2x + 7 maka du = 2 dx

+ dxx 725

= udu

25

= CxCu ++=+ 72ln25

ln25

Dengan Derive: Int(72

5+x

, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

67

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-4, Carilah turunan yang ditunjukkan .

1. Dx ln(x2 + 3x + p)

2. Dx ln(x 4)2

3. dy/dx jika y = 3ln(x)

4. dz/dx jika z = x2 ln(x2) + (ln (x))3

5. g(x) jika g(x) = ln( 12 ++ xx )

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang ditunjukkan.

6. + dxx 121

7. ++

dvvv

v9396

2

8. dzzz)ln(2

9. +3

05

4

2dx

xx

p

10. +++1

02 342

1dt

ttt

11. Andaikan f(x) = ln(1,5 + sin(x))

a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3p]

b. Carilah titik balik pada selang [0, 3p]

c. Hitunglah + dxx))sin(5,1ln(

12. Gambarlah grafik f(x) = x ln(1/x) dan g(x) = x2 ln(1/x) pada [0, 1]

a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, 1]

b. Carilah nilai maksimum )()( xgxf - pada selang (0, 1]

68

7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya

7.2.1. Fungsi Balikan Polinom

Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan

memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f

dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan x pada D

yang dinyatakan dengan f-1.

Misalkan y = f(x) = 2x dibalik menjadi x = f-1(x) = y21

Gambar 2.

Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y = f(x) = x2 untuk nilai y

tertentu terdapat dua nilai x yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai

invers bila D dibatasi [0, ] atau [- , 0].

f

f-1

y = 2x

69

Gambar 3.

Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan.

Contoh 3:

Perlihatkan bahwa f(x) = x5 + 2x +1 memiliki balikan.

Jawab:

F(x) = 5x4 + 2x > 0, untuk semua x. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f

memiliki balikan.

Jika f memiliki balikan f-1 maka f-1 memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi

ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan

f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y

Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi:

1. Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y.

2. Gunakan f-1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.

3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus f-1(x)

y = x2

70

Contoh 4:

Carilah f-1(x) jika f(x) = x

x-1

dan tunjukkan bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y

Jawab:

Langkah 1: x

xy

-=

1 y(1- x) = x y - yx = x y = x + yx

y = x(1 + y) y

yx

+=

1

Langkah 2: y

yyf

+=-

1)(1

Langkah 3: x

xxf

+=-

1)(1

f-1(f(x)) = f-1(x

x-1

) =

xxx

x

-+

-

11

1 = xx

x+-1

= x dan

f(f -1(y)) = f-1(y

y-1

) =

yyy

y

-+

-

11

1 =

yyy+-1

= y

Dengan Derive: Inverse(x/(1-x)) enter, lalu klik tanda sama dengan

71

Tugas Kelompok:

Misalkan f(x) = x3 + 1.

1. Bagaimanakah domain f(x) agar mempunyai invers?

2. Carilah invers dari f(x), apa domainnya?.

3. Gambarlah hasil 1 dan 2 dalam satu layar, apa yang anda simpulkan?

4. Carilah turunan f(x) dan inversnya.

5. Gambarlah fungsi turunan f(x) dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda

simpulkan?

6. Isilah tabel berikut

72

Fungsi x y (f-1)(y) f(x)

f(x) = x^3 + 1

1/2

1

2

apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f-1)(y) dan f(x)?

7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh 1, carilah (f-1)(4).

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-3, diperlihatkan grafik y = f(x), dalam setiap kasus apakah f

mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f-1(2).

1.

2.

73

Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan

bahwa f monoton murni.

4. f(x) = -x5 3x 3

5. pqqq = 0),cos()(f

6. 1,)1()( 2 -= zzzf

Dalam soal-soal 7-10, Carilah rumus untuk f-1(x), kemudian periksalah

kebenarannya bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(x)) = x.

7. f(x) = x + 1

8. 3

1)(

--=

xxf

9. f(x) = (x 1) 3

10. 12

)(3

3

++

=xx

xf

3.

74

7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan balikannya

Turunan dari ex adalah Dx ex = ex

Contoh 5:

Tentukanlah Dx e x

Jawab:

Misalkan u = x = x1/2

Dx e x = e x.

x

ex

x

221 2/1 =-

Dengan Derive: Dif(e x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Definisi:

Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh exp.

Jadi x = exp y y = ln x

75

Selanjutnya += Cedue uu

Contoh 6:

Tentukanlah - dxe x4

Jawab:

Misalkan u = -4x maka du = -4 dx atau -1/4 du = dx

Sehingga,

- dxe x4 = Cedue xu +-

=- - 441

4/1

Dengan Derive: Int(e-4x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

76

Tugas Kelompok:

Gambarlah f(x) = x ex/2 dan turunannya menggunakan derive

Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan

cekung ke bawah.

77

Soal-Soal Latihan

Dalan soal-soal 1-5, carilah Dx

1. )ln(3 xey =

2. 2+= xey

3. xexy 2=

4. 22 xx eey +=

5. )(2 implisitldiferensiagunakanxyexy =+

Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f , f, dan f dalam satu jendela, berdasarkan

gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?

6. f(x) = xex

7. 2)2()( --= xexf

Dalam soal-soal 8-10, Carilah integral-integral berikut.

8. + dxe x 13

9. ++ dxex xx 62

)3(

10. -

dxx

e x2

/1

11. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh

y = ex, y = 0, x = 0, dan x = ln(3) diputar mengelilingi sumbu-x.

12. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e-x dan garis yang melalui

titik-titik (0, 1) dan (1, 1/e).

78

7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

Dx ax = ax ln a, dan Ca

adxa xx += )ln(

1

Contoh 7:

Carilah Dx (3 x)

Jawab:

Misalkan u = x

Dx (3 x) = 3 x ln 3.

xx

x

2

3ln321 2/1 =-

Dengan Derive: Dif(3 x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Definisi:

Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.

ax = ex ln a

79

Contoh 8:

Carilah dxxx 23

2

Jawab:

Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx atau 1/3 du = x2 dx

Sehingga,

dxxx 23

2 = 1/3 duu2 = Cx

+2ln3

2 3

Dengan Derive: Int( xxx ,2 23

) enter, lalu klik tanda sama dengan.

80

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-5, Carilah turunan yang dibeikan

1. Dx(62x)

2. )3( 322 xx

xD-

3. 102 )(102

xy x +=

4. )ln(2 )1( xxy +=

5. f(x) = xsin(x)

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6. dxx x2

2.

7. dxx - 1510

8. dxx

x

4

1

5

9. dxx

xx -+1

33 1010

10. dxx xp4

0

)sin(

81

7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri

Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f-1 diperoleh dengan

mencerminkan f terhadap garis y = x maka pada fungsi trigonometri diperoleh

balikan sin(x), cos(x), tan(x), dan sec(x) adalah sebagai berikut.

Gambar 4. Sin(x) dan Inversnya

Gambar 5. Cos(x) dan Inversnya

y = sin(x); [2

,2

pp-]

y = cos(x); [2

,0p

]

y = sin-1(x); [-1, 1]

y = cos-1(x); [-1, 1]

82

Gambar. 6. Tan(x) dan Inversnya

Gambar 7. Sec(x) dan Inversnya

y = tan(x); [2

,2

pp-]

y = tan-1(x); [R]

y = sec-1(x); [R]

83

Tugas Kelompok:

1. Buatlah definisi balikan dari sin(x), cos(x), tan(x), dan sekan(x).

2. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya?

3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi

inversnya?

Turunan dari fungsi balikan trigonometri:

1. Dx sin-1(x) = 11;

1

12

84

Contoh 9:

Carilah Dx sin-1(3x-1)

Jawab:

Dx sin-1(3x-1) = )13(.

)13(1

12

---

xDx

x

= 22 32

3

69

3

xxxx -=

+-

Dengan Derive: dif(Asin(3x-1),x) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya

adalah sebagai berikut.

85

Contoh 10:

Hitunglah -

2/1

021 x

dx

Jawab:

6)(sin

1][

2/1

0

12/1

02

p==

-

- xx

dx

Dengan Derive: Int(1/ (1-x2), x , 0, 1/2 ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

86

Soal-Soal latihan

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = ln(sec(x) + tan(x))

2. y = sin-1(2x2)

3. y = x3tan-1(ex)

4. y = (tan-1(x))3

5. f(x) = (1+ sin-1(x))3


6. dxxx )2cos()2sin(

7. dxee xx )cos( 22

8. dxx + 241

1

9. dxx

-

22

021

1

10. dxx- +

1

121

1

87

7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikan

Turunan fungsi-fungsi hiperbolik:

)sinh()cosh(),cosh()sinh( xxDxxD xx ==

)(csc)coth(),(sec)tanh( 22 xhxDxhxD xx -==

)coth().(csc)(csc),tanh().(sec)(sec xxhxhDxxhxhD xx -=-=

Contoh 11:

Tentukanlah Dx tanh(sin(x))

Jawab:

Dx tanh(sin(x)) = ))(sin(sec).cos())(sin()).(sin(sec22 xhxxDxh x =

Atau

Misal u = sin(x) maka Dxsin(x) = cos(x)

Definisi:

Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya

didefinisikan oleh:

2)cosh(,

2)sinh(

xxxx eex

eex

-- +=

-=

)sinh()cosh(

)coth(,)cosh()sinh(

)tanh(xx

xxx

x ==

)sinh(1

)(csc,)cosh(

1)(sec

xxh

xxh ==

88

Dx tanh(u) = )cos(.)(cosh

1))(sin().(sec

22 x

uxDuh x =

= )cos(.2

4)sin(.

]2

[

122

2

xee

xee uuuu ++

=+ --

= )cos(.)1(

.4)sin(.

.21.4

22

2

24

2

xe

ex

eee

u

u

uu

u

+=

++, (dikalikan e2u)

= 2)sin(.2

)sin(.2

)1()cos(..4

+xx

exe

Dengan Derive: Dif(tanh(sinx), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

89

Contoh 12:

Tentukanlah dxx)tanh(

Jawab:

Misalkan u = cosh(x) maka du = sinh dx

duu

dxxx

dxx .1

)cosh()sinh(

)tanh( ==

= CxCxCu +=+=+ ))ln(cosh()cosh(lnln

Cara mencari fungsi balikan y = cosh(x), untuk x 0 adalah:

2

xx eey

-+=

xx eey -+= 2

1)(2 2 += xx eye , (dikalikan dengan ex)

012)( 2 =+- xx yee ,

Definisi:

Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh:

)sinh()(sinh 1 xyyx == -

0),cosh()(cosh 1 == - xdanxyyx

)tanh()(tanh 1 xyyx == -

0),(sec)(sec 1 == - xdanxhyyhx

90

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam ex yang memenuhi untuk x 0

adalah:

12

4)2(2 22

-+=-+

= yyyy

ex

)1ln()ln( 2 -+= yyex , (kedua ruas ditarik ln-nya)

)1ln( 2 -+= yyx

)1ln()(cosh 21 -+=- xxx

Dengan Derive: Inverse(cosh(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

91

Tugas Kelompok:

Tunjukkan bahwa:

1. )1ln()(cosh 21 -+=- xxx

2. )1ln()(sinh 21 ++=- xxx

3. )11

ln(21

)(tanh 1xx

x-+

=-

4. )11

ln()(sec2

1

xx

xh-+

=-

5. Carilah Dx dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut

Soal-Soal Latihan:

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = sinh2(x)

2. y = cosh(3x +1)

3. y = ln(sinh(x))

4. y = tanh(x)sinh(2x)

5. y = tanh(cot(x))


6. dxx + )23sinh(

7. dxxx + )5cosh( 2p

8. dxz

z 4 3

4/12sinh(

9. dxxx ))sinh(sin()cosh(

10. dxxx ))ln(sinh()tan( 2

Documents

Fungsi Transeden