FUNKCIJE - 1. deo Logika iteorija skupova · DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 17 – Funkcije - I deo. Funkcije – ozna cavanjeˇ Neka je f funkcija iz skupa

FUNKCIJE - 1. deo

Logika i teorija skupova

1 Logika FUNKCIJE - 1. deo

KorespondencijeKorespondencijeKorespondencije

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.

Korespondencija iz skupa A u skup B definǐse se kao proizvoljan pod-

skup f Dekartovog proizvoda A × B.

Pojmovi

prva projekcija od f : pr1f

druga projekcija od f : pr2f

definǐsu se na sledeći način:

A

BA × B

pr1f

pr2ff

x

y (x, y)

pr1fdef= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B}

pr2fdef= {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}

DDDiiissskkkrrreeetttnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee– 2 – Funkcije - I deo– 2 – Funkcije - I deo– 2 – Funkcije - I deo

Korespondencije i relacijeKorespondencije i relacijeKorespondencije i relacije

Primetimo da je korespondencija nije nǐsta drugo do relacija izmed̄u

elemenata iz različitih skupova.

Relacija na skupu A se može tretirati kao

korespondencija iz skupa A u sebe samog.

Obratno, i korespondencija se može tre-

tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pase mnogi pojmovi koje smo definisali za

relacije mogu preneti i na koresponden-

cije.A B

A

B

A × A B × A

A × B B × B

(A ∪ B)2

f

DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruukkktttuuurrreee– 3 – Funkcije - I deo– 3 – Funkcije - I deo– 3 – Funkcije - I deo

Grafi čko predstavljanje korespondencijaGrafi čko predstavljanje korespondencijaGrafi čko predstavljanje korespondencija

Korespondencija je zapravo ono što se u terminima teorije grafova

naziva bipartitan digraf.

Radi se o takvom grafu kod koga je skup čvorova podeljen u dve klase

A i B, pri čemu svaka grana počinje u klasi A a zavřsava se u klasi B.

To je grafički prikazano na sledećoj slici:

DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuurrreee– 4 – Funkcije - I deo– 4 – Funkcije - I deo– 4 – Funkcije - I deo

Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije

Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = {−1, 0, 1}.Korespondencija iz A u B je, na primer,

f = {(a, −1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.

Ona je grafički prikazana na sledećoj slici:

a

b

c

d

−1

0

1

A B

Ovde je

pr1f = {a, c, d}

pr2f = {−1, 0, 1}.


Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencije

b) Neka je g ⊆ A × P(A), gde je A = {a, b, c, d} i

g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}.

Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridružuje neki

podskup koji ga sadrži.

Lako je odrediti projekcije.

c) Svaka relacija ρ ⊆ A2 je korespondencija iz A u A.


Kompozicija korespondencijaKompozicija korespondencijaKompozicija korespondencija

Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije

f ⊆ A × B i g ⊆ B × C.Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija

f ◦ g ⊆ A × C definisana sa

f ◦ g = {(x, z) ∈ A × C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.

f g

f ◦ g

x

y

z

A

B

C


Primer kompozicijePrimer kompozicijePrimer kompozicije

Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w},i neka su korespondencije f ⊆ A × B i g ⊆ B × C date sa

f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.

Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}.

a

b

c

d

1

2

3

u

v

w

A

B

C

f g

313

3

3

a

b

c

d

u

v

w

AC

f ◦ g


Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)

Neka su A i B neprazni skupovi.

Za korespondenciju f ⊆ A × B kažemo da je preslikavanje ili funkcijaiz A u B ako uspunjava sledeće uslove:

(i) pr1f = A;

(ii) ako je (x, y1) ∈ f i (x, y2) ∈ f , onda mora biti y1 = y2.

Uslov (i) često formulǐsemo i sa: f je definisana na celom skupu A,

ili oblast definisanosti za f je celi skup A.

Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznačnosti.

Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeći način:

(⋆) za svaki x ∈ A postoji tačno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .


Jednozna čnostJednozna čnostJednozna čnost

Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na

sledećoj slici:

xy1

y2

AB

Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke

skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.


Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije

Korespondencija prikazana na sledećoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne

zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznačnosti jer

je element a u korespondenciji sa dva različita elementa.


Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcije

Korespondencija prikazana na sledećoj slici nije definisana na celom

skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznačnosti:

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Prema tome, f nije funkcija iz A u B.

Med̄utim, kako zadovoljava uslov jednoznačnosti, f je funkcija iz skupa

{a, c, d} u skup B.


Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)

Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznačnostinazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.

Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija

iz skupa pr1f u skup B.

Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer

parcijalne funkcije:

a

b

c

d

−1

0

1

AB


Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)

Korespondencija prikazana na sledećoj slici zadovoljava oba uslova (i)

i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Prema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ Amora da postoji tačno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .Med̄utim, to ne znači da za svaki y ∈ B mora da postoji tačno jedanx ∈ A takav da je (x, y) ∈ f .



Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvimsvojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-

stvom (a moguće je da ih bude i vǐse).

a

b

c

d

−1

0

1

AB



Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja odsledećih korespondencija u A × B je funkcija?

(a) f1 = {(p, r), (r, p), (s, t)}

(b) f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)}

(c) f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}

(d) f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

Rešenje: (a) Kod f1 se element t ne javlja kao prva koordinata u

paru, tj. pr1f1 = {p, r, s} 6= A, pa f1 nije funkcija.Može se uočiti da je f1 jednoznačna korespondencija, pa je parcijalna

funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.

DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 16 – Funkcije - I deo– 16 – Funkcije - I deo– 16 – Funkcije - I deo


(b) Kod f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz Apojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f2 = A.

Med̄utim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f2 nije jedno-

značna korespondencija. Prema tome, ni f2 nije funkcija.

(c) Kod f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-ljuje tačno jednom kao prva koordinata, što znači da je pr1f3 = A i

da je f3 jednoznačna korespondencija. Dakle, f3 je funkcija.

(d) Kod f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje

dvaput.

To znači da f4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.

Dakle, ni f4 nije funkcija.


Funkcije – ozna čavanjeFunkcije – ozna čavanjeFunkcije – ozna čavanje

Neka je f funkcija iz skupa A u skup B.

Ako je (x, y) ∈ f , onda se to beleži sa f(x) = y.

Kažemo da se x slika u y, i x se

naziva original, a y njegova slika.

Skup A se zove domen ili oblast defi-

nisanosti funkcije f , dok se B naziva

kodomen.

AB

f(A)

Skup

f(A)def= {y ∈ B | y = f(x), za neki x ∈ A}

je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.


Funkcije – ozna čavanjeFunkcije – ozna čavanjeFunkcije – ozna čavanje

U primeru na slici je

f(A) = {1, 0}.

a

b

c

d

−1

0

1

AB

Ako je f funkcija iz A u B, to beležimo sa f : A → B, a koristi se ioznaka f : x 7→ f(x) (za elemente).


Zadavanje funkcijaZadavanje funkcijaZadavanje funkcija

Neka su A i B konačni skupovi, pri čemu je A = {a1, a2, . . . , an}, ineka je f funkcija iz A u B.

Tada se funkcija f može predstaviti na sledeći način:

f =

(

a1 a2 . . . an

f(a1) f(a2) . . . f(an)

)

Najčešće uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom slučaju umesto

f =

(

1 2 . . . n

f(1) f(2) . . . f(n)

)

ponekad pǐsemo samo

f =(

f(1) f(2) . . . f(n))

DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrreee – 20 – Funkcije - I deo– 20 – Funkcije - I deo– 20 – Funkcije - I deo

Jednakost funkcijaJednakost funkcijaJednakost funkcija

Funkciju odred̄uju domen, kodomen i skup ured̄enih parova, pa se ona

može smatrati ured̄enom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencija

iz A u B za koju važe uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.

To znači da su dve funkcije jednake ako imaju

(1) iste domene,

(2) iste kodomene, i

(3) iste parove koji su u korespondenciji.

Drugim rečima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako jeA = C, B = D i f = g.


Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija

Primer 1.4. a) Ured̄eni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-

zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skupsvih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x2

ili f : x 7→ x2.

Tako je

f(−√

2) = 2,

f(0) = 0,

f(−2) = 4,f(2) = 4, itd.

x−2 −√

20 2

y

0

2

4

f


Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcija

b) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruži1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.

c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda sekarakteristična funkcija podskupa H, u oznaci χ

H, koja slika A u

B definǐse sa:

χH

(x)def=

{

1 ako x ∈ H0 ako x 6∈ H.

Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristična funk-

cija i obratno.


Restrikcija funkcijeRestrikcija funkcijeRestrikcija funkcije

Ako je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definǐsemonovo preslikavanje f |X : X → B na sledeći način: za svaki x ∈ X je

f |X(x) def= f(x).

Preslikavanje f |Xnazivamo restrikcija

preslikavanja f na X.

AB

f

f(A)

X f|X


Proširenje funkcijeProširenje funkcijeProširenje funkcije

Obratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X.Za preslikavanje F : X → B kažemo da je proširenje ili ekstenzijapreslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈ A važi F (x) = f(x).Drugim rečima, F je proširenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja

F i f poklapaju na A.

Takod̄e, F je proširenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od

F na A.


Kompozicija funkcijaKompozicija funkcijaKompozicija funkcija

Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A → B i g : B → C.Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-

kavanja f , to se preslikavanje g može nadovezati na preslikavanje f .

Drugim rečima, može se definisa-

ti kompozicija ili proizvod presli-

kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kaopreslikavanje iz A u C, definisano

sa

f ◦ g(x) def= g(f(x)).

f g

f ◦ g

x

f(x)

g(f(x))

A

B

C

Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slučaj kompozicije

korespondencija, a time i kompozicije relacija.


Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcija

Primer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f(x) = x2, ag : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x

2.

Tada je f ◦ g : Z → Q funkcija zadata sa

(f ◦ g)(x) = x2

2.

Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2

2.



Primer 1.6. Neka su date funkcije

f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2 + 72x + 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2 + 3x + 4

(e) nijednim od njih

Rešenje:



Primer 1.6. Neka su date funkcije

f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.

Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).

(a) 9x3 + 4x2

(b) 27x2 + 72x + 48

(c) 9x2 + 4

(d) 3x2 + 3x + 4

(e) nijednim od njih

Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b).



Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je

(f ◦ g)(x) = g(f(x))= g(3x + 4)

= 3 · (3x + 4)2

= 3 · (9x2 + 24x + 16)= 27x2 + 72x + 48

Dakle, (f ◦ g)(x) = 27x2 + 72x + 48, tj. tačno je (b).



Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2



Rešenje: Postupak odred̄ivanja kompozicije f◦g prikazan je sledećomanimacijom:

f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ g




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f

– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo



f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost f(1) med̄u argumentima

u tabeli funkcije g




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3

Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuće mesto

u tabeli funkcije f ◦ g




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3

Ponavljamo isti postupak za argument 2

u tabeli funkcije f ◦ g . . .




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1 2




f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1 2

DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo– 31 – Funkcije - I deo



f =

1 2 3 4

2 3 4 1

g =

1 2 3 4

4 3 1 2

f ◦ g =

1 2 3 4

3 1 2 4


Komutativni dijagramKomutativni dijagramKomutativni dijagram

Ako je

f : A → B, g : B → C i h : A → C,onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.

A B

C

f

h g

Ako je pri tome h = f ◦ g, kaže se da dijagram komutira.


Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija

Kompozicija funkcija može se tretirati kao poseban slučaj kompozicije

korespondencija, a ova se dalje može posmatrati kao poseban slučaj

kompozicije relacija.

Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zaključujemo da

su takve i kompozicije korespondencija i funkcija.

Med̄utim, daćemo i direktan dokaz za to.



Tvrd̄enje 1:

Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada je

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, akodomen je D.

Dalje, za proizvoljan x ∈ A je

f ◦ (g ◦ h)(x) = g ◦ h(f(x)) = h(g(f(x))),

(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f(x))),

pa je jednakost dokazana.



Asocijativnost kompozicije funkcija može se objasniti i sledećim dija-

gramom:

A B

CD

f

g

h

g◦ h

f ◦g

(f ◦ g) ◦ h=

f ◦ (g ◦ h)


Identi čka funkcijaIdenti čka funkcijaIdenti čka funkcija

Identičko preslikavanje ili identička funkciju na skupu A je preslikavanje

IA : A → A definisano sa:

IA(x)def= x, za svaki x ∈ A.

Tvrd̄enje 2: Neka je f : A → B. Tada je

IA ◦ f = f ◦ IB = f.

Dokaz: Domen funkcije IA ◦ f je očito A, a kodomen B.Dalje je IA ◦ f(x) = f(IA(x)) = f(x), tj. IA ◦ f = f .Dokaz druge jednakosti je sličan.


Levo i desno ozna čavanjeLevo i desno ozna čavanjeLevo i desno ozna čavanje

Funkcije se u praksi označavanju na dva načina: postoji levo označavanje

i desno označavanje.

Kod levog označavanja, znak funkcije se pǐse levo od argumenta, na

primer f(x), kako smo to i do sada činili.

Ukoliko funkcije označimo grčkim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na

koje one deluju latiničnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada ne

moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) možemo pisati samo ϕx.

Kod desnog označavanja, znak preslikavanja se pǐse desno od argu-

menta, na primer xϕ.

Takvo označavanje se ponegde zove još i Poljska notacija, jer ju je uveo

Poljski matematičar - logičar Lukašijevič.


Levo i desno ozna čavanjeLevo i desno ozna čavanjeLevo i desno ozna čavanje

U slučaju levog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja

ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa

(ϕ ◦ ψ)x def= ψ(ϕx).

U slučaju desnog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja

ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa

x(ϕ ◦ ψ) def= (xϕ)ψ.

Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.

Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-

tičkoj analizi.

Prednost je, inače, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na

primer, koristi vǐse nego leva notacija.


Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kažemo da je injektivno, ”1–1” (to čitamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A važi

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),

što je ekvivalentno sa

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici:

fx1

x2

y

A B


Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije

Za preslikavanje f : A → B kažemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako važi

za svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,

tj. ako je f(A) = B.






Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način:

A B







A B

za svaki y ∈ B







A B

y za svaki y ∈ B







A B

y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A







A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A







A B

x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f(x) = y







A B

fx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A

tako da je f(x) = y



Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija

prikazana na sledećoj slici:

A B

f(A)

f


Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcija



A Bf



A Bf

Primer ”1-1” funkcije



A Bf


A Bf



A Bf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”1-1”



A Bf


A Bf


ABf



A Bf


A Bf


ABf

Primer ”na” funkcije



A Bf


A Bf


ABf


A Bf



A Bf


A Bf


ABf


A Bf

Primer funkcijekoja nije ”na”


Bijektivne funkcijeBijektivne funkcijeBijektivne funkcije

Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kažemo da

je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.

Identička funkcija IA na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.

Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija

iz A u A.

Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.

A Bf

Primer permutacije


Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije

Primer 4:

a) Funkcija f : R → R, definisana sa f(x) = 2x, je injektivna, jer izx1 6= x2 sledi 2x1 6= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.

Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takod̄e i

sirjektivna, tj. bijekcija je.

b) Funkcija f : R → R+∪{0}, definisana sa f(x) = x2, je sirjektivna,jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja

√a.

Budući da se u a preslikava i −√a, ova funkcija nije injektivna.



Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja odsledećih korespondencija u A × B je funkcija koja nije ni injektivna nisirjektivna?

(a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

(b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}

(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}

(d) nijedna od njih

Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b).



(a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.

Med̄utim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element

ne javlja dvaput.

Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava tražene uslove.



(b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:

– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,

– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.

Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.

Takod̄e, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju

elementi q i r.

Dakle, ova funkcija ima tražena svojstva.

(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,

– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznačna.


PermutacijePermutacijePermutacije

Neka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata sa

f =

(

1 2 . . . n

f(1) f(2) . . . f(n)

)

Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan način može uočiti da li

je f injektivna ili sirjektivna funkcija.

Naime:

❏ f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj

vrsti ove matrice med̄usobno različite.

❏ f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje

matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.


PermutacijePermutacijePermutacije

Zadatak 1.1. Neka je A konačan skup i f : A → A. Dokazati da susledeći uslovi ekvivalentni:

(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.

Rešenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).

Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednosti

f(1), f(2), . . . , f(n)

Ako je f injekcija, tada su svi članovi ovog niza med̄usobno različiti,

pa kako niz ima n članova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,

što znači da je f sirjekcija.

Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi

elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko članova koliko i skup A, to

znači da su svi njegovi članovi različiti, odakle sledi da je f injekcija.


Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija

Tvrd̄enje 3: Neka je f : A → B i g : B → C.

(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.

(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦ g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tadaf ◦ g(x1) = f ◦ g(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) (definicija kompozicije)

⇒ f(x1) = f(x2) (injektivnost za g)⇒ x1 = x2 (injektivnost za f),

što znači da je i f ◦ g injekcija.



(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C.Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), azbog sirjektivnosti za f , postoji x ∈ A tako da je y = f(x).Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f ◦ g(x), pa je i f ◦ gsirjekcija.

Posledica: Kompozicija bijekcija je takod̄e bijekcija.



Tvrd̄enje 4: Neka je f : A → B i g : B → C.

(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.

(b) Ako je f ◦ g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.

Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvida je f(x1) = f(x2).

Tada je g(f(x1)) = g(f(x2)), zbog jednoznačnosti za g, tj.

f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),

odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.Ovim smo dokazali injektivnost za f .



(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C.Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z.S obzirom da je f(x) = y ∈ B, to sledi da za z ∈ C postoji y ∈ B,tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.


Funkcije - I deoKorespondencijeKorespondencije i relacijeGraficko predstavljanje korespondencijaPrimeri korespondencijeKompozicija korespondencijaPrimer kompozicijeFunkcije (preslikavanja)JednoznacnostKorespondencije koje nisu funkcijeParcijalna funkcija (preslikavanje)Primer funkcije (preslikavanja)Funkcije -- oznacavanje)Zadavanje funkcijaJednakost funkcija)Još primera funkcija)Restrikcija funkcijeProširenje funkcijeKompozicija funkcijaPrimer kompozicije funkcijaKomutativni dijagramAsocijativnost kompozicije funkcijaIdenticka funkcijaLevo i desno oznacavanjeInjektivne ("1-1") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijePrimeri "1-1" i "na" funkcijaBijektivne funkcijePrimeri -- injekcije, sirjekcije, bijekcijePermutacijeSvojstva injekcija i sirjekcija

Documents

FUNKCIJE - 1. deo Logika iteorija skupova · DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee– 17 – Funkcije - I deo. Funkcije – ozna cavanjeˇ Neka je f funkcija iz skupa