1

y=f(x) dana zvezna funkcija v točki x

hx poljubna sprememba neodvisne spremenljivke x

( ) ( )f h xfxy sprememba funkcije

zaradi zveznosti: 0y če 0h

diferenčni kvocient ( ) ( )

( )x xf h f

hh

diferenčni kvocient je pri h = 0 nedoločen

2

Definicija

Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu [a,b] in poljubno izbrana točka tega intervala. Če obstaja

,x a b

0

( ) ( )( )lim

h

f h ff

x x

hx

imenujemo število odvod funkcije f v točki x

( )f x

3

Odvod je torej število, od katerega se diferenčni kvocient v točki x loči tako malo, kot hočemo, če je le sprememba neodvisne spremenljivke dovolj majhna, torej

( )f x

0, 0( ) ( )

( )f h f

fh

x xx

če je le h

4

Izrek

Če je funkcija v kakšni točki x intervala [a,b] odvedljiva, je v tisti točki tudi zvezna

Geometrično odvod funkcije predstavimo s tangensom naklonskega kota tangente na krivuljo s pozitivno smerjo abscisne osi.

5

1. Odvod konstante je enak nič

f(x) = C ( ) 0f x

2. Ovdod vsote je enak vsoti odvodov

F(x) = f(x) + g(x) ( ) ( ) ( )x f gxF x

Posplošitev

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF fx x x xf f

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nF f fx x xfx

6

3. Odvod razlike

je enak razliki odvodov

F(x) = f(x) - g(x) ( ) ( ) ( )x f gxF x

4. Odvod produkta

F(x) = f(x).g(x) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )x x xf g f gxF x

5. Funkcijo pomnoženo s konstanto odvajamo tako,da konstanto pred odvod izpostavimo.

F(x) = C.f(x) ( ) . ( )CxF xf

7

6.Odvod kvocienta

( )( )

( )

xfF

gx

x 2

( ). ( ) ( ). ( )( )

( )

x xf g f gxF

xg

xx

7. Odvod sestavljene funkcije

Dani funkciji y = f(u) in u = u(x) in

( )y uf ( )u xu

Funkcija F(x) = f[u(x)] ima odvod

( ) ( ). ( )x xuF f u

8

1. Potenčna funkcija

ny x1. nny x n R

2. Logaritemska funkcija

y x alog 1

.lnxy

a

lny x1

yx

9

3. Eksponenta funkcija

xy a lnxy a a

xy e xey4. Sinusna funkcija

sin( )y x cos( )xy

5. Kosinusna funkcija

cosy x sin( )xy

10

6. Tangensna funkcija

tan( )y x2

1

cos ( )xy

7. Kotangensna funkcija

y xctg 2

1

sin ( )xy

8. Arkus-sinusna funkcija

arcsin xy 2

1

1y

x

11

9. Arkus-kosinusna funkcija

arccos xy 2

1

1y

x

10. Arkus-tangensna funkcija

arctan xy 2

1

1y

x

11. Arkus-kotangensna funkcija

arc xy ctg 2

1

1y

x

12

Za diferenčni kvocient in odvod velja

( )y

f xx

in gre ,ko gre0 0x

xsprememba neodvisne spremenljivke x

y

sprememba odvisne spremenljivke y

13

Zvezo lahko tudi zapišemo ( ). . xf x xy

Kadar je tako majhna količina da velja ,imenujemo

x0x

diferencial neodvisne spremenljivke x in ga pišemo x

dx x

Diferencial funkcije(dy) imenujemo količino

( ).xd fy dx

14

Velja

dy y

Odvod funkcije simbolično tudi pišemo

( )f xx

d

d

y

Geometrično diferencial funkcije predstavlja spremembo na tagenti na krivuljo v točki odvoda, ko se neodvisna spremenljivka spremeni za dx

15

Kadar je odvod funkcije f(x) odvedljiva funkcija, jo lahko ponovno odvajamo

( )f x

( ) ( )f x f x

( )xf drugi odvod funkcije

( ) ( )xf f x tretji odvod funkcije

16

V splošnem

, , , , ,(4) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )..... ( )nx x x x xf f f f f xf

drugi,tretji,...odvod imenujemo višji odvodi ali odvodi višjega reda.

17

Problem

Kako izračunati vrednost funkcije f(x) v kakšni točki, če funkcija ni polinom

y xf vsaj n-krat odvedljiva funkcija

a : poljubno realno število za katerega je f(x) definirana

h : poljubna sprememba neodvisne spremenljivke

18

Vrednost funkcije v x = a + h moremo zapisati

( )2 3( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ...1! 2! 3! !

nn

nh h hf

ha a a a

af f

hf f af

nR

( 1)1( . )

( 1)!

n

nnf

n

a hhR

Temu zapisu pravimo Taylor-jeva vrsta

0 1

nR ostanek Taylor-jeve vrsta

lim 0n

nR

19

Za a = 0 in h = x Taylor-jevo vrsto imenujemo MacLaurin-ova vrsta

(3

)2(0) (0) (0) (0)

( ) (0) ...1! 2! 3! !

nn

n

x x Rn

fx

ff x

fx

ff

( )1

1 ( )

( 1)!

nn

n

xx

fR

n

ostanek MacLaurinove vrste

0 1 lim 0n

nR

Za dovolj velik n ostanek lahko zanemarimo

Uporabna za računanje vrednosti funkcij

20

Dana je funkcija ( )

( )( )

xf x

x

,x x odvedljivi pri x = a in je ter ,torej je f(x) pri x = a nedoločena.

0a 0a

Velja

( ) ( )

( ) ( )limx a

x a

x a

21

Funkcija je na nekem intervalu konkavna, kadar je vbokla navzdol.

velja ( ) 0f x

Funkcija je na nekem intervalu konveksna,kadar je vbokla navzgor

velja ( ) 0f x

22

Definicija

Funkcija y = f(x) ima v točki x = a ekstrem, kadar je sprememba funkcije v tej točki istega predznaka za vsako dovolj majhno spremembo neodvisne sremenljivke.

x h sprememba neodvisne spremenljivke

hy af a f sprememba funkcije

Ekstrem,kadar je za vsak h istega predznaka

y

23

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

5

2.5

2.5

5

7.5

10

12.5

1515

7

f x( )

df x( )

23 x x

24

Ekstrem imenujemo maksimum, kadar je sprememba funkcije za vsak h negativna in minimum, kadar je ta sprememba za vsak h pozitivna

y

torej

maksimum0y

minimum

0y

25

Izrek

Funkcija ima v točki x = a ekstrem natanko tedaj, kadar za to točko velja

1 ( ) 0f a

2 ( ) 0f a

maksimum

( ) 0f a

( ) 0f a minimum

26

Funkcija ima v točki x = a prevoj, kadar tangenta v tej točki spremeni stran krivulje

V prevoju lahko ( ) 0f a

Problem

Funkcija y = f(x) ima v točki x = a

( ) 0f a in ( ) 0f a

27

Velja

Če je ( ) 0, ( ) 0,f a af .... ( 1) ( ) 0nf a

in ( ) ( ) 0nf a

x = a prevoj,če je n liho število

x = a ekstrem,če je n sodo število

maksimum za ( ) ( ) 0nf a

minimum za ( ) ( ) 0nf a