Upload
dinhcong
View
282
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Funkcje wpływu rozdziału poprzecznego
obciążeń
Wykład z Teorii Konstrukcji Mostowych dla specjalności
Inżynieria Mostowa
Dr inż. Mieszko KUŻAWA 18.11.2014 r.
Instytut Inżynierii Lądowej
I. Koncepcja
• Definicja
Funkcja wpływu RPO – funkcja opisująca wartość obciążenia rozpatrywanego dźwigara wywołanego siłą jednostkową w zależności od położenia tej siły na szerokości konstrukcji.
• Jednostki
Rzędne LWRPO są bezwymiarowe.
• Zastosowanie
a) Przybliżona analiza konstrukcji bez wykorzystania technik komputerowych.
b) Kontrola i weryfikacja obliczeń wyników komputerowych.
Linie wpływowe RPO dla dźwigara głównego mostu stalowego z żelbetowym pomostem niewspółpracującym
Siły przypadające na analizowany dźwigar, wyznaczone przy użyciu LWRPO, umożliwiają analizę rozpatrywanego dźwigara traktowanego jako element wydzielony z konstrukcji
P = 1
Źródło [3]
II. Metody wyznaczania LWRPO
Metoda
elementarna
Metoda
Guyona – Massonneta
Metoda sztywnej
poprzecznicy
Z = 0 Z = 0,1 Z = 30
x
yt
EI
EI
a
lZ
2
• Wskaźnik sztywności rusztu
Zmiana sztywności rusztu
Metoda Elementarna
Rozdział elementarny obciążeń metodą wiotkiej poprzecznicy (prawo dźwigni)
P = 1
Źródło [3]
kNmmkNMA
60)0,2(5,120)2(min
kNmmkNPM MLWALWRPOA 600,25,120)2( "2"""
max
kNmmkNMA
120)0,4(5,120)3(min
0)3(max A
M
I.
II.
III.
IV.
Wykorzystanie LWRPO
Wyznaczyć ekstremalne wartości momentu zginającego w przekroju (2) i (3) dźwigara A od siły P=20 kN.
Model mechaniczny analizowanego przekroju przęsła
Metoda sztywnej poprzecznicy (J. Courbona) – wersja podstawowa
Wyprowadzenie podstawowych związków
• Geometria analizowanej konstrukcji przęsła
• Założenia metody
a) Przekrój poprzeczny przęsła ma pionową oś symetrii.
b) Sztywności na zginanie dźwigarów i ich rozstawy są jednakowe.
c) Zagadnienie jest statyczne, liniowo-sprężyste, obowiązuje zasada zesztywnienia przekrojów dźwigarów.
d) W analizowanym przekroju poprzecznym konstrukcji przęsła zlokalizowana jest nieskończenie sztywna poprzecznica.
e) Model mechaniczny pozwalający na analizę przemieszczeń rozpatrywanego przekroju poprzecznego przęsła, wywołanych siłą P, przyjęto w postaci nieskończenie sztywnej belki z podparciem sprężystym typu Winklera w miejscu dźwigarów.
Źródło [5]
• Analiza deformacji przekroju poprzecznego przęsła pod obciążeniem siłą skupioną P
Deformacja przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
Symetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
Źródło [5]
• Symetryczna składowa część deformacji
Przekrój poprzeczny przemieścił się równomiernie (translacja) jako bryła sztywna o wektor 𝑢(𝑠) co spowoduje równe wartości reakcji we wszystkich umownych podporach sprężystych.
Warunki równowagi układu:
Symetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
0
0
0
0
)(
M
H
n
PV s Symetryczna składowa część deformacji przekroju
poprzecznego przęsła po obciążeniu w typowych konstrukcjach
• Niesymetryczna składowa część deformacji
W skutek przyjętego założenia o nieskończenie sztywnej poprzecznicy następuje rotacja przekroju poprzecznego przęsła, jako bryły sztywnej o kąt φ, a środkiem obrotu jest punkt zlokalizowany na pionowej osi symetrii układu.
• Warunki równowagi sił układu:
przy założeniu przegubowego połączenia dźwigarów z poprzecznicą!
• Warunek zgodności deformacji:
Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
xPbbM
H
V
aa
1
)(
12
)(
20 20
0
0
1
)(
1
2
)(
2
1
)(
1
2
)(
2
bbb
u
b
u
tgaa
aa
Ostatecznie wartość reakcji w skrajnych dźwigarach wynosi:
2
2
2
1
2)(
22 bb
bxPa
ηA,A η A,B η A,C
η A,D
LWRPO wg. metody sztywnej poprzecznicy – rozwiązanie ogólne P = 1
Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia
2,
1
i
ji
jiy
yy
n
gdzie:
• n – liczba dźwigarów głównych,
• yi – współrzędna „y”: rozpatrywanego dźwigara – licznik, lub kolejnych dźwigarów - mianownik,
• yj – współrzędna „y” siły P,
η B,A η B,B η B,C η B,D
• W schemacie obliczeniowym rusztu Metodą Sztywnej Poprzecznicy można też przyjąć sztywne połączenie dźwigarów z poprzecznicą.
• Obrót poprzecznicy spowoduje wtedy, oprócz ugięcia, również skręcenie dźwigarów głównych o kąt φ.
• Równanie równowagi sił układu:
przy założeniu EI = EI1 = EI2 =…= EI6
• Przyjmując utwierdzenie na skręcanie belek w przekroju podporowym otrzymamy:
SSi
s
i MMyRM
H
V
60
0
0
1
0
Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu
2/2
t
s
SL
GJ
M
EI
LRw t
s
ii
48
31 ii bw
EI
GJL
b
RM St
i
s
iS
12
21
• Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia:
Ay
yy
nR
i
ji
ji 2,
1
y
z
u
nEI
GJLA St
12
2
Źródło [1]
• Uwaga !
Wartości kąta obrotu φ a w rezultacie także rzędnych Ri,j określono przy założeniu skręcania swobodnego dźwigarów głównych
Skręcanie swobodne
Podstawowa cecha fizyczna - w wyniku obciążenia następuje deplanacja przekroju.
• W przęsłach o konstrukcji płytowo-żebrowej, dźwigary główne posiadają z reguły małą sztywność na skręcanie w porównaniu do sztywności na zginanie, dlatego wpływ skręcania można zwykle pominąć.
• Z analizy przedstawionych zależności wynika, że uwzględniając skręcanie (ruszt o sztywnych węzłach) otrzymujemy redukcję momentu zginającego w dźwigarach głównych tym większą im większa jest wartość wskaźnika A.
Skręcanie nieswobodne
Podstawowa cecha fizyczna - przynajmniej jeden przekrój ma ograniczoną swobodę deformacji.
Metoda sztywnej poprzecznicy (J. Courbona) – wariant ogólny
Wariant ogólny metody sztywnej poprzecznicy pozwala uwzględnić niesymetrię dystrybucji materiału i jego gęstości w przekroju poprzecznym przęsła.
• Założenia dla wariantu ogólnego metody
a) Przekrój poprzeczny przęsła nie ma pionowej osi symetrii,
b) Sztywności na zginanie dźwigarów i ich rozstawy są różne,
c) Zagadnienie jest statyczne, liniowo-sprężyste, obowiązuje zasada zesztywnienia przekrojów dźwigarów,
d) W analizowanym przekroju poprzecznym konstrukcji przęsła zlokalizowana jest nieskończenie sztywna poprzecznica,
e) Przemieszczenie i-tego dźwigara jest proporcjonalne do odziaływania poprzecznicy na niego i odwrotnie proporcjonalne do jego sztywności na zginanie:
f) Założenie Courbona – relacja konstytutywna zakładająca, że przemieszczenie (translacja + rotacja) i-tego dźwigara jest wprost proporcjonalne do jego obciążenia.
i
ji
jiEI
u,
,
ijiji ycEI 0,
c0 – ugięcie od symetrycznej składowej deformacji, φj – kąt obrotu poprzecznicy od siły P w pkt. j,
jjc
Źródło [5]
iijii
iiji
EIycEIyxPM
H
EIycEIcPV
2
00
0
0
0
0
xP
P
c
c
EIyEIy
EIyEI
jiiii
iii 0
2
i
ii
EI
EIyy0
• Równanie równowagi sił względem początku układu współrzędnych
oraz w notacji macierzowej:
• Położenie odciętej środka ciężkości dźwigarów:
• Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia:
Uwaga!
yi* oraz yj* są transformowanymi współrzędnymi odpowiednio dźwigarów i siły P wg układu współrzędnych
zlokalizowanego w pkt y0
ii
ji
i
ijiEIy
yy
EIPEI
2,
1
Źródło [3]
• Porównanie LWRPO wyznaczonych metodą sztywnej poprzecznicy i przy użyciu modelu rusztowego MES
Źródło [4]
Wzory F. Leonhardta
• Wzory F. Leonhardta pozwalają określić rzędne LWRPO dla układu rusztowego z jedną poprzecznicą w przypadku gdy siła P=1 porusza się wzdłuż jej osi podłużnej.
• Rzędne LWRPO otrzymano z linii ugięcia belki
poprzecznej pod siłą ustawioną nad rozpatrywaną belką k, korzystając z zależności:
δi,k = δk,i - ugięcie belki poprzecznej w węźle i od siły stojącej w węźle k,
δk,0 – ugięcie wydzielonej z układu rusztowego belki k od siły P = 1 stojącej w węźle k.
k
ki
k
ik
kiq,0
,
0,
,
,
Zależność wynikająca z
twierdzeń o wzajemności
m.in. twierdzenia Bettiego
o wzajemności prac.
Źródło [1]
• Do wyznaczania rzędnych LWRPO do wyznaczania wzorów Leonhardta należy określić następujące współczynniki
I
IC
Q
L
an
2
3n
iCz
I
Ir R
• Przykładowe wzory na rzędne LWRPO dla dźwigarów wewnętrznych rusztów 4-belkowych są następujące:
UWAGA! Wzory na rzędne LWRPO mają zastosowanie tylko jeżeli obciążenie znajduje się w najbliższym otoczeniu poprzecznicy.
Źródło [1]
Jeżeli obciążenia układu znajdują się poza poprzecznicą to w przekrojach rozpatrywanego dźwigara pojawiają się dodatkowe siły
Sposób wyznaczania sił w wybranym przekroju dźwigara b od obciążenia równomiernie rozłożonego ustawionego dowolnie na obszarze przęsła:
• Określić należy dwie linie LWRPO – q oraz q’,
• Naciskami obliczonymi przy użyciu q obciąża się LW M0X lub LW Q0X,
• Naciskami obliczonymi przy użyciu q’ obciąża się LW M’X lub LW Q’X,
Źródło [1]
Przy użyciu LWRPO dla wszystkich dźwigarów można obliczyć linie wpływu sił wewnętrznych w poprzecznicy.
Obliczanie LW sił wewnętrznych
w poprzecznicy
LW M(y)
Pokazaną na rys. rzędną ηb dla LW M(y) obliczając moment z lewej lub prawej strony badanego przekroju w przypadku gdy siła P=1 stoi nad dźwigarem b:
• równanie momentów z lewej strony badanego przekroju
• równanie momentów z prawej strony badanego przekroju
cqbqbPaq bcbbabb
eqdq bebdb
P=1 Przypadek obciążenia dla
rzędnej ηb
Źródło [1]
• Widok z boku / Przekrój podłużny
A B C D
Dla konstrukcji, której podstawowe parametry geometryczne pokazano na rys. poniżej obliczyć maksymalny moment zginający w skrajnym dźwigarze, w UP obciążeń.
Obliczenia przeprowadzić przy użyciu LW M sporządzonej dla wydzielonego dźwigara oraz LWRPO obliczonej metodą sztywnej poprzecznicy.
• Przekrój poprzeczny
Przykład zastosowania LWRPO w analizie
żelbetowych monolitycznych przęseł wielobelkowych
Lp Element Obliczenia
1. Bariery 0,50 1,35 0,675 1,00 0,50
ikg , mkN / 1f igmax, 1f igmin, mkN / mkN /
iAi Kg ,
• Przykład obliczeń oddziaływań na rozpatrywany dźwigar od wybranych elementów wyposażenia
Lp Element Obliczenia
1. Nawierzchnia
jezdni 2,84 1,35 3,834 1,00 2,84 g
• Przykład obliczeń oddziaływań na rozpatrywany dźwigar od ciężaru nawierzchni jezdni
kg mkN / 1f maxg 1f igmin, mkN / mkN /
+ -
• Sumaryczne obciążenia stałe przypadające na rozpatrywany dźwigara
gk = 56,6 kN/m – Characteristic value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,
gmax = 76,4 kN/m – Maximum value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,
gmin = 56,6 kN/m – Minimum value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,
Nr. Element Calculations gk,i
[kN/m] γ>1
gmax,i
[kN/m] γ=1
gmin,i
[kN/m]
1. Main girders 1,712m2*(0,7+0,4+0,1-0,2)*25kN/m3 42,81 1,35 57,794 1,00 42,81
2. Curbs 0,038m2*(0,550-0,050)*27kN/m3 0,51 1,35 0,6885 1,00 0,51
3. Sidewalks 0,25m*(2,120m-0,989m)*24kN/m3 6,78 1,35 9,153 1,00 6,78
4. Road
pavement 0,09m*(1,419m-0,047m)*23kN/m3 2,84 1,35 3,834 1,00 2,84
5. Barriers 0,5kN/m*(0,850+0,650-0,150-
0,350) 0,50 1,35 0,675 1,00 0,50
6. Edge beams 0,227m2*(0,850-0,350)*24kN/m3 2,73 1,35 3,6855 1,00 2,73
7. Insulation 0,01m*(3,825m-0,74m)*14kN/m3 0,43 1,35 0,5805 1,00 0,43
Total actions gk=56,6 gmax=76,4 gmin=56,6
• Obciążenia ruchome mostów drogowych wg norm EN
Load Model 1 consists of two partial systems:
• Double-axle concentrated loads (tandem system : TS), each axle having the weight αQ∙Qk.
• Uniformly distributed loads (UDL system), having the weight per square metre of notional lane αq∙qk.
Load Model 1 should be applied on each notional lane as well as on the remaining areas.
On notional lane number i, the load magnitudes are referred to as:
Qik – magnitude of characteristic axle load on notional lane no i (i = 1, 2...),
qik – magnitude of characteristic vertical distributed load on notional lane no i (i = 1, 2...),
qrk – magnitude of characteristic vertical distributed load on the remaining area of the carriageway,
αQi, αqi – adjustment factors of some load models on lanes i.
Ca
rria
ge
wa
y w
idth
– w
Notional
Lane
Nr.
Notional
Lane
Nr.
Notional
Lane
Nr.
Remaining
area
Remaining
area
Load Model LM1: concentrated and uniformly distributed loads, which cover most of the effects of the traffic of lorries and cars. This model should be used for general and local verifications.
ikiq Qikiq Q
ikqi q
kq q11
kq q22
rkqr q
• Obliczenie oddziaływań ruchomych na analizowany dźwigar
• TS action on girder A:
Characteristic value
Design value
2,221,11max QkQQkQk QQP
kF PP max
• UDL (q1k + q2k + pk) action on girder A:
Characteristic values
Design values
12,221max,11max pkqkqqkqk pqqq
maxmax kF qq
232min pkqkk pqq
minmin kF qq
35,1F
max min
• Obliczenie maksymalnego momentu zginającego w przekroju α-α w dźwigarze A
kNmM 5,4243max
mP
mGmG
qgqgM
)804,3355,4(
655,0817,0157,2375,3
max
minmax
2minmin1maxmaxmax
LW Mα-α, A [m]
LWRPO „A” [-]
Metoda Guyona-Massonneta-Braesa
Metoda opracowana przez Y. Guyona (1946 r.) i Ch. Massonneta (1950) była pierwszą z metod obliczeniowych LWRPO wykorzystującą podobieństwo przęsła płytowo-belkowego do płyty ortotropowej.
Metoda wykorzystuje model zastępczej płyty ortotropowej i wprowadza podział przęsła na elementy modelujące sztywność przęsła w kierunku podłużnym i poprzecznym.
• Schemat podziału elementów przęsła stosowany w metodzie Guyona-Massonneta-
Bareša i innych metodach opartych na charakterystycznych parametrach
• Założenia:
• Przęsło prostokątne i swobodnie podparte.
• Belki jednakowej sztywności i w stałym rozstawie.
• Kształt rozkładu momentów zginających, sił tnących i ugięć w przekroju poprzecznym przęsła jest niezależny od położenia podłużnego obciążenia oraz od rozpatrywanego przekroju poprzecznego
• Główne współczynniki LWRPO wyznaczono dla obciążeń sinusoidalnie zmiennych, lecz wykazano, że mogą być one stosowane również dla innych rodzajów obciążeń.
• Obciążenia sinusoidalnie zmienne przyjęto, aby uzyskać rozwiązania płyt ortotropowych dostępnymi w tamtych czasach metodami.
Obciążenie sinusoidalne przyjęte w rozwiązaniu Y. Guyona i
Ch. Massonneta przy wyznaczaniu powierzchni ugięcia płyty
Źródło [1]
Przęsło jest opisywane dwoma bezwymiarowymi parametrami, charakteryzującymi sztywność przęsła:
• Współczynnik sztywności na zginanie
• Współczynnik sztywności na skręcanie α
c
EI
a
EI
c
JG
a
JGtG
yx
yx
2
3
3
4
y
x
I
c
a
I
L
b
• Wyznaczanie współczynników sztywności w przęsłach stalowych
c
EI
a
EI
c
JG
a
JG
e
JGG
yx
yxż
2
3
3
4
y
x
I
c
a
I
L
b
• Wyznaczanie współczynników LWRPO z tablic
Położenie
analizowa
nego
dźwigara
Położenie
rzędnej
LWRPO
Źródło [1]
• Wpływ sztywności poprzecznej przęsła na rozdział obciążeń w skrajnych dźwigarach
x
yt
EI
EI
a
lZ
2
• Wskaźnik sztywności rusztu
LWRPO „1” [-]
„1” „2” „3” „4”
„1” „2” „3” „4” Z = ∞ 0,70 0,40 0,10 -0,20
Z = 10 0,751 0,346 0,054 -0,151
Z = 1 0,89 0,19 -0,04 -0,03
Z = 0 1,00 0,00 0,00 0,00
• Rzędne LWRPO „1” w punktach „1” – „4”
• Wpływ sztywności poprzecznej przęsła na rozdział obciążeń w wewnętrznych dźwigarach
x
yt
EI
EI
a
lZ
2
• Wskaźnik sztywności rusztu
„1” „2” „3” „4”
„1” „2” „3” „4” Z = ∞ 0,40 0,30 0,20 0,10
Z = 10 0,346 0,363 0,237 0,054
Z = 1 0,19 0,58 0,28 -0,04
Z = 0 0,00 1,00 0,00 0,00
• Rzędne LWRPO „2” w punktach „1” – „4”
LWRPO „2” [-]
Zmienność poprzecznego rozdziału obciążeń na długości przęsła
η1
η2
η1 η2
LWRPO w układach ciągłych
Przy obliczaniu rusztów wieloprzęsłowych metodą G-M-B należy uwzględnić zmianę sztywności belek wywołaną ich ciągłością, ponieważ wpływa ona na RPO.
• RPO zależy bezpośrednio od wartości ugięć dźwigarów – >
• Korekta współczynników sztywności na skręcanie i zginanie
0
00
4*
*
Materiały wykorzystywane
1. Szczygieł J.: Mosty z betonu zbrojonego i sprężonego, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1978,
2. Ryżyński A.: Mosty stalowe, Wydawnictwo: Warszawa : Państw. Wydaw. Nauk., 1984,
3. Hołowaty J.: Uproszczone metody rozdziału poprzecznego obciążeń w mostach drogowych. Mosty nr 4/2010, s. 14-23,
4. Hołowaty J.: Sposób oceny rezerw nośności mostów dźwigarowych. Mosty nr 1/2011, s. 44 – 47,
5. Karaś S.: O metodzie Courbona, Drogownictwo nr 5/2011, s. 172-176,
Dziękuję za uwagę!