Funktsioonide otildepetamisest IKT vahendite abil Allar Veelmaa Loo Keskkool

IKT vahendite kasutamist matemaatika otildepetamisel guumlmnaasiumis kaumlsitletakse kaumlesoleva kogumiku artiklis bdquoIKT vahendite kasutamisest guumlmnaasiumi matemaatikakursuste otildepeta-miselldquo Kaumlesolevas artiklis vaadeldakse potildehjalikult seda kuidas votildeib kasutada IKT vahendeid funktsioonidega seotud teemade juures Miks eelistada arvutijoonist tahvlijoonisele Enne arvutite kooli jotildeudmist tehti kotildeik joonised kriidiga tahvlile Kaasajal pole nii enam motildeistlik toimida sest tahvlijoonis on arvutijoonisest alati ebataumlpsem sellel puudub duumlnaamika ning tahvlijoonise tegemiseks kulub tarbetult palju aega Paljudel juhtudel kui visandatakse graafik (oumleldakse ka et skitseeritakse) kus oluline on graafiku kuju mitte selle taumlpne vaumlljanaumlgemine siis tasub eelistada tahvlile joonise tegemist (seda eriti siis kui tegemist on motildene joonisega koolitunni jooksul) Arvutijoonise eelis seisneb ka selles et seda saab korduvalt kasutada Vaumlited selle kohta et arvutijoonise puhul tekib joonis justkui eimillestki st kaob aumlra joonise valmimise protsess ei pea paika GeoGebraga saab joonist teha nii et see tekitatakse ekraanile sammhaaval Arvutiga jooniseid tehes saab uumlhte teljestikku luumlhikese aja jooksul teha mitu erinevat graafikut tahvlijoonise puhul pole see uumlldjuhul votildeimalik Potildehikoolis otildepitud funktsioonide kordamine GeoGebra abil Potildehikoolis otildepitakse joonestame lineaar- ja ruutfunktsiooni graafikut ning mingil maumlaumlral kasutatakse ka poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvuse graafikut 11 klassis algab funktsioonide suumlsteemne kaumlsitlus funktsiooni motildeiste defineerimisega ning esimesed funktsioonid mida potildehjalikult uuritakse ongi eespool nimetatud funktsioonid Potildehikoolis joonestatakse sirge (votilderrand y = ax + b) nii et leitakse kahe sirgel asuva punkti koordinaadid ning joonestatakse neid laumlbiv sirge Arvude a ja b geomeetrilist taumlhendust kuumlll mainitakse kuid totildeusu ja algordinaadi jaumlrgi sirge joonestamine ei kuulu otildepitulemuste hulka Sirge votilderrandi erinevate kujudega tegeletakse potildehjalikult 10 klassis Ruutfunktsiooni kaumlsitletakse erinevates potildehikooli otildepikutes erineva suumlgavusega 11 klassi jotildeudnud otildepilaselt eeldatakse et ta oskab leida funktsiooni nullkohti ning haripunkti koordinaate Kindlasti peab oskama ka maumlaumlrata kas mingi punkt paikneb paraboolil votildei mitte Kui 10 klassis otildepitakse selgeks sirge votilderrandi koostamine kahe punkti jaumlrgi siis nuumluumld tekib kuumlsimus kas parabooli uumlheseks maumlaumlramiseks on vaja kahte votildei kolme punkti Kas mis tahes kolm punkti maumlaumlravad parabooli Selle uumllesande lahendamiseks kasutame programmi GeoGebra ning 10 klassis otildepitud votildetteid lineaarvotilderrandisuumlsteemi lahendamiseks Naumlide 1 Kas punktid A(1 2) B(2 3) ja C(3 4) saavad asuda uumlhel paraboolil Kandes punktid A B ja C koordinaatteljestikku naumleme et tegemist on uumlhel sirgel asuvate punktidega (vektorid (11)AB =

uuur ja (22)AC =

uuur on kollineaarsed) Seega punktid A B ja C ei

saa olla uumlhe parabooli punktideks Naumlide 2 Kas punktid A(0 2) B(ndash1 ndash6) ja C(3 ndash2) asuvad uumlhel paraboolil Kui jah siis leidke parabooli votilderrand Parabooli votilderrand on y = ax2 + bx + c Asendades punktide A B ja C koordinaadid parabooli votilderrandisse saame votilderrandisuumlsteemi

mille lahendame programmiga Wiris (vt Joonis 1) Seega otsitav parabool on y = ndashx2 + 3x ndash 2 (vt Joonis 2)

Jooniste tegemiseks on GeoGebraga erinevaid votildeimalusi a) votildeib teha arvutustabeli leida

punktide koordinaadid ja siis punktid omavahel uumlhendada (vt Joonis 3)

b) joone votilderrandi votildeib kirjutada GeoGebra sisendribale sel juhul saame kohe graafiku

c) graafiku joonestamiseks ette antud lotildeigul [a b] kasutame kaumlsku Funktsioon Naumliteks sirge y = 3x ndash 1 joonestamiseks lotildeigul [-4 6] kirju-tame GeoGebra sisendreale Funktsioon[y=3x-1-47]

Graafiku punkthaaval joonestamiseks saab kasutada ka GeoGebra liugurit Kui soovime joonestada funktsiooni y = x2 graafiku lotildeigul [-5 5] siis loome liuguri kus muutujaks on a ning a vaumlaumlrtused muutuvad -5-st 5-ni sammuga 01 Sisendreale kirjutame P=(aaa) Nii saame uumlhe punkti Muutes liuguri asendit saame jaumlrjest kotildeik punktid ette antud lotildeigust Kui kasutada Jaumllg sees režiimi siis saame terve hulga punkte mille uumlhendamisel tekib funktsiooni y = x2 graafiku Liuguri vaumlaumlrtuste muutmiseks votildeime kasutada arvuti klaviatuuril olevaid nooli votildei hiirt Samuti on olemas votildeimalus punktide ekraanile teket automatiseerida selleks tuleb liuguril sisse luumllitada Animeerimine sees Arvutijoonise tegemisel tuleb arvestada sellega et joone jaumlmedus peab olema piisav selleks et see oleks ka klassi lotildepus istuvatele otildepilastele naumlha Soovitan kasutada vaumlhemalt 7p joont ning kirja suurus peab olema vaumlhemalt 18 Kindlasti tasub vaumlltida joonise tegemisel vaumlrve (kollane oranž helesinine jms) mille korral joonis ei ole enam haumlsti loetav

2

2

2

2 0 0

6 ( 1) ( 1)

2 ( 2) ( 2)

a b c

a b c

a b c

⎧ minus = sdot + sdot +⎪⎪minus = sdot minus + sdot minus +⎨⎪minus = sdot minus + sdot minus +⎪⎩

Joonis 2

Joonis 1

Joonis 3

Joonis 4

Laia matemaatika VII kursus ndash bdquoFunktsioonid I Arvjadadldquo Kursus algab potildehikooli materjali kordamisega ning esimeteks uuteks motildeisteteks on funktsiooni motildeiste selle uumlldtaumlhis ning maumlaumlramis- ja muutumispiirkond Maumlaumlramispiirkonda saab leida arvutis Wirise abil Siin peab arvestama sellega et kui funktsiooni f esitavat avaldist on votildeimalik lihtsustada siis votildeib esialgse avaldise maumlaumlramispiirkond erineda lihtsustatud avaldise maumlaumlramispiirkonnast Wiris leiab maumlaumlramispiirkonna lihtsustatud avaldise jaumlrgi (vt Joonis 5 viimane avaldis) Seda kas funktsioon on paarisfunktsioon paaritu funktsioon votildei pole kumbki neist soovitan kontrollida Wirise abil (vt Joonis 6) GeoGebraga votildeib siis soovi korral teha ka joonise Jooniselt on raskusteta naumlha et kui punkt P(x y) kuulub paarisfunktsiooni graafikule siis sellel graafikul on ka punkt Pacute(-x y) Paaritu funktsiooni graafikul paiknevad punktid Q(x y) ja Qacute(-x y) Funktsiooni nullkohad ning positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad saab leida (votildei leitud vaumlaumlrtusi kontrollida) Wirise abil Nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi f(x) = 0 positiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) gt 0 ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) lt 0 Wirise abil on hea kontrollida kas nouml kaumlsitsi leitud nullkohad on otildeiged (vt Joonis 7) Sama saab teha GeoGebra abil lisaks saab joonise abil leida positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad (vt Joonis 8)

Joonis 5

Joonis 6

Joonis 7

Joonis 8

Joonisel 8 on kolm funktsiooni graafikut Neid saab algebraaknas funktsiooni nime ees oleva nupukese abil peita votildei naumlhtavaks teha Funktsiooni nullkohtade leidmiseks on GeoGebras kaumlsk Nullkohad Selle kaumlsu rakendamisel maumlrgitakse joonisele punktid kus graafik laumlbib (votildei puutub) abstsisstelge (vt Joonis 9)

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks GeoGebra joonis alati ei sobi (kui graafiku ja abstsisstelje lotildeikepunktide abstsissid on murdarvud votildei irratsionaalarvud) sest jooniselt ei saa taumlpseid vaumlaumlrtusi Kui otildepilane on uumllesande lahendanud siis tulemuste kontrollimiseks on GeoGebraga tehtud joonis piisavalt hea (irratsionaalarvuliste nullkohtade taumlpsete vaumlaumlrtuste asemel votildetame nende kuumlmnendlaumlhendid ja vaatame kas graafik lotildeikab (puudutab) seal abst-sisstelge) Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade taumlpseks leidmiseks soovitan Wirist (vt Joonis 10)

Enne seda kui otildepilased hakkavad Wirist iseseisvalt kasutama on otstarbekas selgitada maumlrkide amp ja | taumlhendus Wirises Suumlmbol amp taumlhistab siin uumlhisosa ning | hulgateoreetilist uumlhendit Funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumid leitakse selles kursuses ilma funktsiooni tuletist kasutamata Seetotildettu on uuritavad funktsioonid nii lihtsad et oleks votildeimalik kasvamis- ja kahanemisvahemikud leida graafiku abil (votildei muid omadusi kasutades) Programmis GeoGebra on olemas kaumlsk mille abil leitakse ekstreemumpunktid Kirjutades sisendreale Ekstreemum saab leida funktsiooni globaalsed ekstreemumid kuid on votildeimalik leida ka suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul [a b] (Joonis 11 ja Joonis 12)

Joonis 9

Joonis 10

Joonisel 12 on funktsiooni y = x3 ndash 3x2 graafik lotildeigul [ndash1 31] Funktsiooni ekstreemumpunktid on A ja B Lisaks leiame funktsiooni g(x) vaumlaumlrtused kohal x = ndash1 ja x = 31 Punktide K A B ja L ordinaatide votilderdlemisel leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse ette antud lotildeigul Astmefunktsioonide y = xn omaduste uurimisel arvuti abil soovitan vaadelda eraldi kahte juhtumit a) n on paarisarv b) n on paaritu arv Kui n on positiivne paarisarv (2 4 hellip) siis tuleb poumloumlrata erilist taumlhelepanu graafikute bdquokaumlitumiseleldquo vahemikus ]ndash1 1[ (vt Joonis 13)

Joonis 11

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

mille lahendame programmiga Wiris (vt Joonis 1) Seega otsitav parabool on y = ndashx2 + 3x ndash 2 (vt Joonis 2)

Jooniste tegemiseks on GeoGebraga erinevaid votildeimalusi a) votildeib teha arvutustabeli leida

punktide koordinaadid ja siis punktid omavahel uumlhendada (vt Joonis 3)

b) joone votilderrandi votildeib kirjutada GeoGebra sisendribale sel juhul saame kohe graafiku

c) graafiku joonestamiseks ette antud lotildeigul [a b] kasutame kaumlsku Funktsioon Naumliteks sirge y = 3x ndash 1 joonestamiseks lotildeigul [-4 6] kirju-tame GeoGebra sisendreale Funktsioon[y=3x-1-47]

Graafiku punkthaaval joonestamiseks saab kasutada ka GeoGebra liugurit Kui soovime joonestada funktsiooni y = x2 graafiku lotildeigul [-5 5] siis loome liuguri kus muutujaks on a ning a vaumlaumlrtused muutuvad -5-st 5-ni sammuga 01 Sisendreale kirjutame P=(aaa) Nii saame uumlhe punkti Muutes liuguri asendit saame jaumlrjest kotildeik punktid ette antud lotildeigust Kui kasutada Jaumllg sees režiimi siis saame terve hulga punkte mille uumlhendamisel tekib funktsiooni y = x2 graafiku Liuguri vaumlaumlrtuste muutmiseks votildeime kasutada arvuti klaviatuuril olevaid nooli votildei hiirt Samuti on olemas votildeimalus punktide ekraanile teket automatiseerida selleks tuleb liuguril sisse luumllitada Animeerimine sees Arvutijoonise tegemisel tuleb arvestada sellega et joone jaumlmedus peab olema piisav selleks et see oleks ka klassi lotildepus istuvatele otildepilastele naumlha Soovitan kasutada vaumlhemalt 7p joont ning kirja suurus peab olema vaumlhemalt 18 Kindlasti tasub vaumlltida joonise tegemisel vaumlrve (kollane oranž helesinine jms) mille korral joonis ei ole enam haumlsti loetav

2

2

2

2 0 0

6 ( 1) ( 1)

2 ( 2) ( 2)

a b c

a b c

a b c

⎧ minus = sdot + sdot +⎪⎪minus = sdot minus + sdot minus +⎨⎪minus = sdot minus + sdot minus +⎪⎩

Joonis 2

Joonis 1

Joonis 3

Joonis 4

Laia matemaatika VII kursus ndash bdquoFunktsioonid I Arvjadadldquo Kursus algab potildehikooli materjali kordamisega ning esimeteks uuteks motildeisteteks on funktsiooni motildeiste selle uumlldtaumlhis ning maumlaumlramis- ja muutumispiirkond Maumlaumlramispiirkonda saab leida arvutis Wirise abil Siin peab arvestama sellega et kui funktsiooni f esitavat avaldist on votildeimalik lihtsustada siis votildeib esialgse avaldise maumlaumlramispiirkond erineda lihtsustatud avaldise maumlaumlramispiirkonnast Wiris leiab maumlaumlramispiirkonna lihtsustatud avaldise jaumlrgi (vt Joonis 5 viimane avaldis) Seda kas funktsioon on paarisfunktsioon paaritu funktsioon votildei pole kumbki neist soovitan kontrollida Wirise abil (vt Joonis 6) GeoGebraga votildeib siis soovi korral teha ka joonise Jooniselt on raskusteta naumlha et kui punkt P(x y) kuulub paarisfunktsiooni graafikule siis sellel graafikul on ka punkt Pacute(-x y) Paaritu funktsiooni graafikul paiknevad punktid Q(x y) ja Qacute(-x y) Funktsiooni nullkohad ning positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad saab leida (votildei leitud vaumlaumlrtusi kontrollida) Wirise abil Nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi f(x) = 0 positiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) gt 0 ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) lt 0 Wirise abil on hea kontrollida kas nouml kaumlsitsi leitud nullkohad on otildeiged (vt Joonis 7) Sama saab teha GeoGebra abil lisaks saab joonise abil leida positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad (vt Joonis 8)

Joonis 5

Joonis 6

Joonis 7

Joonis 8

Joonisel 8 on kolm funktsiooni graafikut Neid saab algebraaknas funktsiooni nime ees oleva nupukese abil peita votildei naumlhtavaks teha Funktsiooni nullkohtade leidmiseks on GeoGebras kaumlsk Nullkohad Selle kaumlsu rakendamisel maumlrgitakse joonisele punktid kus graafik laumlbib (votildei puutub) abstsisstelge (vt Joonis 9)

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks GeoGebra joonis alati ei sobi (kui graafiku ja abstsisstelje lotildeikepunktide abstsissid on murdarvud votildei irratsionaalarvud) sest jooniselt ei saa taumlpseid vaumlaumlrtusi Kui otildepilane on uumllesande lahendanud siis tulemuste kontrollimiseks on GeoGebraga tehtud joonis piisavalt hea (irratsionaalarvuliste nullkohtade taumlpsete vaumlaumlrtuste asemel votildetame nende kuumlmnendlaumlhendid ja vaatame kas graafik lotildeikab (puudutab) seal abst-sisstelge) Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade taumlpseks leidmiseks soovitan Wirist (vt Joonis 10)

Enne seda kui otildepilased hakkavad Wirist iseseisvalt kasutama on otstarbekas selgitada maumlrkide amp ja | taumlhendus Wirises Suumlmbol amp taumlhistab siin uumlhisosa ning | hulgateoreetilist uumlhendit Funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumid leitakse selles kursuses ilma funktsiooni tuletist kasutamata Seetotildettu on uuritavad funktsioonid nii lihtsad et oleks votildeimalik kasvamis- ja kahanemisvahemikud leida graafiku abil (votildei muid omadusi kasutades) Programmis GeoGebra on olemas kaumlsk mille abil leitakse ekstreemumpunktid Kirjutades sisendreale Ekstreemum saab leida funktsiooni globaalsed ekstreemumid kuid on votildeimalik leida ka suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul [a b] (Joonis 11 ja Joonis 12)

Joonis 9

Joonis 10

Joonisel 12 on funktsiooni y = x3 ndash 3x2 graafik lotildeigul [ndash1 31] Funktsiooni ekstreemumpunktid on A ja B Lisaks leiame funktsiooni g(x) vaumlaumlrtused kohal x = ndash1 ja x = 31 Punktide K A B ja L ordinaatide votilderdlemisel leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse ette antud lotildeigul Astmefunktsioonide y = xn omaduste uurimisel arvuti abil soovitan vaadelda eraldi kahte juhtumit a) n on paarisarv b) n on paaritu arv Kui n on positiivne paarisarv (2 4 hellip) siis tuleb poumloumlrata erilist taumlhelepanu graafikute bdquokaumlitumiseleldquo vahemikus ]ndash1 1[ (vt Joonis 13)

Joonis 11

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Laia matemaatika VII kursus ndash bdquoFunktsioonid I Arvjadadldquo Kursus algab potildehikooli materjali kordamisega ning esimeteks uuteks motildeisteteks on funktsiooni motildeiste selle uumlldtaumlhis ning maumlaumlramis- ja muutumispiirkond Maumlaumlramispiirkonda saab leida arvutis Wirise abil Siin peab arvestama sellega et kui funktsiooni f esitavat avaldist on votildeimalik lihtsustada siis votildeib esialgse avaldise maumlaumlramispiirkond erineda lihtsustatud avaldise maumlaumlramispiirkonnast Wiris leiab maumlaumlramispiirkonna lihtsustatud avaldise jaumlrgi (vt Joonis 5 viimane avaldis) Seda kas funktsioon on paarisfunktsioon paaritu funktsioon votildei pole kumbki neist soovitan kontrollida Wirise abil (vt Joonis 6) GeoGebraga votildeib siis soovi korral teha ka joonise Jooniselt on raskusteta naumlha et kui punkt P(x y) kuulub paarisfunktsiooni graafikule siis sellel graafikul on ka punkt Pacute(-x y) Paaritu funktsiooni graafikul paiknevad punktid Q(x y) ja Qacute(-x y) Funktsiooni nullkohad ning positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad saab leida (votildei leitud vaumlaumlrtusi kontrollida) Wirise abil Nullkohtade leidmiseks lahendame votilderrandi f(x) = 0 positiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) gt 0 ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks lahendame votilderratuse f(x) lt 0 Wirise abil on hea kontrollida kas nouml kaumlsitsi leitud nullkohad on otildeiged (vt Joonis 7) Sama saab teha GeoGebra abil lisaks saab joonise abil leida positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad (vt Joonis 8)

Joonis 5

Joonis 6

Joonis 7

Joonis 8

Joonisel 8 on kolm funktsiooni graafikut Neid saab algebraaknas funktsiooni nime ees oleva nupukese abil peita votildei naumlhtavaks teha Funktsiooni nullkohtade leidmiseks on GeoGebras kaumlsk Nullkohad Selle kaumlsu rakendamisel maumlrgitakse joonisele punktid kus graafik laumlbib (votildei puutub) abstsisstelge (vt Joonis 9)

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks GeoGebra joonis alati ei sobi (kui graafiku ja abstsisstelje lotildeikepunktide abstsissid on murdarvud votildei irratsionaalarvud) sest jooniselt ei saa taumlpseid vaumlaumlrtusi Kui otildepilane on uumllesande lahendanud siis tulemuste kontrollimiseks on GeoGebraga tehtud joonis piisavalt hea (irratsionaalarvuliste nullkohtade taumlpsete vaumlaumlrtuste asemel votildetame nende kuumlmnendlaumlhendid ja vaatame kas graafik lotildeikab (puudutab) seal abst-sisstelge) Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade taumlpseks leidmiseks soovitan Wirist (vt Joonis 10)

Enne seda kui otildepilased hakkavad Wirist iseseisvalt kasutama on otstarbekas selgitada maumlrkide amp ja | taumlhendus Wirises Suumlmbol amp taumlhistab siin uumlhisosa ning | hulgateoreetilist uumlhendit Funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumid leitakse selles kursuses ilma funktsiooni tuletist kasutamata Seetotildettu on uuritavad funktsioonid nii lihtsad et oleks votildeimalik kasvamis- ja kahanemisvahemikud leida graafiku abil (votildei muid omadusi kasutades) Programmis GeoGebra on olemas kaumlsk mille abil leitakse ekstreemumpunktid Kirjutades sisendreale Ekstreemum saab leida funktsiooni globaalsed ekstreemumid kuid on votildeimalik leida ka suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul [a b] (Joonis 11 ja Joonis 12)

Joonis 9

Joonis 10

Joonisel 12 on funktsiooni y = x3 ndash 3x2 graafik lotildeigul [ndash1 31] Funktsiooni ekstreemumpunktid on A ja B Lisaks leiame funktsiooni g(x) vaumlaumlrtused kohal x = ndash1 ja x = 31 Punktide K A B ja L ordinaatide votilderdlemisel leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse ette antud lotildeigul Astmefunktsioonide y = xn omaduste uurimisel arvuti abil soovitan vaadelda eraldi kahte juhtumit a) n on paarisarv b) n on paaritu arv Kui n on positiivne paarisarv (2 4 hellip) siis tuleb poumloumlrata erilist taumlhelepanu graafikute bdquokaumlitumiseleldquo vahemikus ]ndash1 1[ (vt Joonis 13)

Joonis 11

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Joonisel 8 on kolm funktsiooni graafikut Neid saab algebraaknas funktsiooni nime ees oleva nupukese abil peita votildei naumlhtavaks teha Funktsiooni nullkohtade leidmiseks on GeoGebras kaumlsk Nullkohad Selle kaumlsu rakendamisel maumlrgitakse joonisele punktid kus graafik laumlbib (votildei puutub) abstsisstelge (vt Joonis 9)

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks GeoGebra joonis alati ei sobi (kui graafiku ja abstsisstelje lotildeikepunktide abstsissid on murdarvud votildei irratsionaalarvud) sest jooniselt ei saa taumlpseid vaumlaumlrtusi Kui otildepilane on uumllesande lahendanud siis tulemuste kontrollimiseks on GeoGebraga tehtud joonis piisavalt hea (irratsionaalarvuliste nullkohtade taumlpsete vaumlaumlrtuste asemel votildetame nende kuumlmnendlaumlhendid ja vaatame kas graafik lotildeikab (puudutab) seal abst-sisstelge) Positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade taumlpseks leidmiseks soovitan Wirist (vt Joonis 10)

Enne seda kui otildepilased hakkavad Wirist iseseisvalt kasutama on otstarbekas selgitada maumlrkide amp ja | taumlhendus Wirises Suumlmbol amp taumlhistab siin uumlhisosa ning | hulgateoreetilist uumlhendit Funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumid leitakse selles kursuses ilma funktsiooni tuletist kasutamata Seetotildettu on uuritavad funktsioonid nii lihtsad et oleks votildeimalik kasvamis- ja kahanemisvahemikud leida graafiku abil (votildei muid omadusi kasutades) Programmis GeoGebra on olemas kaumlsk mille abil leitakse ekstreemumpunktid Kirjutades sisendreale Ekstreemum saab leida funktsiooni globaalsed ekstreemumid kuid on votildeimalik leida ka suurim ja vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul [a b] (Joonis 11 ja Joonis 12)

Joonis 9

Joonis 10

Joonisel 12 on funktsiooni y = x3 ndash 3x2 graafik lotildeigul [ndash1 31] Funktsiooni ekstreemumpunktid on A ja B Lisaks leiame funktsiooni g(x) vaumlaumlrtused kohal x = ndash1 ja x = 31 Punktide K A B ja L ordinaatide votilderdlemisel leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse ette antud lotildeigul Astmefunktsioonide y = xn omaduste uurimisel arvuti abil soovitan vaadelda eraldi kahte juhtumit a) n on paarisarv b) n on paaritu arv Kui n on positiivne paarisarv (2 4 hellip) siis tuleb poumloumlrata erilist taumlhelepanu graafikute bdquokaumlitumiseleldquo vahemikus ]ndash1 1[ (vt Joonis 13)

Joonis 11

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Joonisel 12 on funktsiooni y = x3 ndash 3x2 graafik lotildeigul [ndash1 31] Funktsiooni ekstreemumpunktid on A ja B Lisaks leiame funktsiooni g(x) vaumlaumlrtused kohal x = ndash1 ja x = 31 Punktide K A B ja L ordinaatide votilderdlemisel leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse ette antud lotildeigul Astmefunktsioonide y = xn omaduste uurimisel arvuti abil soovitan vaadelda eraldi kahte juhtumit a) n on paarisarv b) n on paaritu arv Kui n on positiivne paarisarv (2 4 hellip) siis tuleb poumloumlrata erilist taumlhelepanu graafikute bdquokaumlitumiseleldquo vahemikus ]ndash1 1[ (vt Joonis 13)

Joonis 11

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Kui n on paaritu arv siis tuleb jaumlllegi otildepilastele selgitada miks vahemikus ]ndash1 1[ f(x) lt g(x) Eraldi tuleb uurida juhtumeid kus n on negatiivne taumlisarv st uurime funktsioonide y = xndash2 yndash3 jne graafikuid (taumlpsemalt oumleldes graafikute abil nende funktsioonide omadusi) (vt Joonis 15) GeoGebra abil saab hotildelpsasti uurida ka funktsioonide y x= 3y x= jms graafikuid ning nende funktsioonide omadusi (vt Joonis 16)

Joonis 14

Joonis 15

Joonis 16

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Funktsioonide f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) kus a isin a 0ne graafikute joonestamiseks saab kasutada programmi GeoGebra Kui otildepilane peab skitseerima graafiku vihikusse siis peab ta teadma kuidas arv a motildejutab vastava funktsiooni graafiku asendi muutumist funktsiooni f(x) suhtes Siin soovitan kasutada liugurit ja motildeningatel juhtudel ka bdquoJaumllg seesldquo režiimi Muutes arvu a vaumlaumlrtust muutub ka funktsiooni f(x) + a f(x + a) f(ax) ja af(x) graafiku asend funktsiooni f(x) graafiku suhtes Uumlks naumlide on joonisel 17 millel on funktsiooni f(x) = x2 ndash 2x ja f(ax) graafikud Jadade (sh aritmeetiline ja geomeetriline jada) liikmeid kujutavaid punkte saab esitada GeoGebra abil Joonisel 18 on jadade an = 4 + 9n ja an = 32n ndash 1 liikmeid kujutavad punktid (abstsissteljel on jada liikme jaumlrjekorranumber ja ordinaatteljel jada liikme arvvaumlaumlrtus) Jada liikmeid kujutavad punktid defineeritakse GeoGebras nii P=(a4+9a) ja Q(a32^(a-1) Taumlhist (st taumlhte P votildei Q) ei ole motildetet naumlidata selle asemel naumlitame teljestikus punktile vastavat jada liikme jaumlrjekorra-numbrit ja vastava liikme arvvaumlaumlrtust Jada piirvaumlaumlrtuse otildeppimisel votildeime kasutada sama kujutamisviisi kuid sel juhul on joonisel vaid uumlhe jada liikmed

Joonis 17

Joonis 18

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Laia matemaatika VIII kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Kursus algab liitprotsendilise kasvamise ja kahanemise kaumlsitlemisega Saadud seoste graafikuid saab esitada GeoGebraga Naumlide Juhanil on 10000 euro eest kinnisvara mille vaumlaumlrtus aastas kasvab ca 5 Juhani vennal Aadul on 100000 euro maksev Lexus mille turuvaumlaumlrtus kahaneb aastas ca 15 Kui mitme aasta paumlrast on kinnisvara vaumlaumlrtus votilderdne Lexuse turuvaumlaumlrtusega Juhani kinnisvara vaumlaumlrtus on n aasta paumlrast 100000 105 nJ = sdot Aadu auto vaumlaumlrtus n aasta moumloumldudes 100000 085 nA = sdot Joonestades bdquovaumlaumlrtusteldquo graafikud naumleme et auto vaumlaumlrtus on 11 taumlisaasta moumloumldudes vaumliksem kinnisvara hinnast ning hinnad on votilderdsed ligikaudu 109 aasta paumlrast (vt Joonis 19) Siin tuleb arvestada veel mitmete asjaoludega kinnisvara hind votildeib majanduses toimuvate protsesside totildettu oluliselt kiiremini totildeusta (kuid votildeib ka mingil maumlaumlral langeda) jms seega on saadud aeg 109 aastat hinnanguline Eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute joonestamiseks soovitan kasutada jaumlllegi GeoGebrat Eksponentfunktsiooni xy a= uurime kahel erineval juhul a) 0 lt a lt 1 ja b) a gt 1 Graafiku joonestamisel saab kasutada liugurit ning selle abil muuta arvu a vaumlaumlrtust Niiviisi on muutused graafiku kujus haumlsti esiletoodavad samuti on naumlha et graafikul on uumlks puumlsipunkt (0 1) Logaritmfunktsiooni graafikut joonestades tuleb arvestada sellega et GeoGebrat kasutades ei saa kirjutada logaritmi alust seega saab kasutada uumlksnes naturaallogaritmi ln votildei kuumlmnendlogaritmi ning vajaduse korral on tarvis uumlle minna alusele 10 (votildei alusele e) Enne programmi kasutamist on vaja uumlle vaadata millise logaritmiga on tegemist kui kirjutada log(x) lg(x) ja ln(x) Sotildeltuvalt GeoGebra versioonist votildeivad siin olla erinevused GeoGebra 3200 puhul sisendreale kirjutatud log(x) ja ln(x) annavad naturaallogaritmi ning kuumlmnend-logaritmi saamiseks tuleb kirjutada lg(x) GeoGebra versioon 42 (Beta) esitab joonisel ka logaritmi aluse kuid motildeningatel juhtudel on kirjapilt meile harjumatu Kui soovime

Joonis 19

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

joonestada 2( ) logf x x= graafikut siis teisendame logaritmi aluselt 2 alusele 10 ning saame

2log( ) log log 2

xf x x= = arvutijoonisele ilmub aga tekst 10

10

log ( )( ) log (2)

xf x =

Eksponent- ja logaritmfunktsioone kasutatakse fuumluumlsikas bioloogias majandusotildeppes jne Matemaatika tunnis on votildeimalik neid funktsioone uurida ning saadud tulemuste potildehjal joonestame graafiku mida saab edasi kasutada motildenes eespool nimetatud otildeppeaine tunnis IX kursus ndash bdquoFunktsiooni piirvaumlaumlrtus ja tuletisldquo Funktsiooni piirvaumlaumlrtuse ja tuletise arvutamisel soovitan kasutada programmi Wiris Vaatleme motildenda naumlidet (vt Joonis 21 ja Joonis 22)

Joonis 10

Joonis 21

Joonis 22

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Funktsiooni uurimise uumllesande lahendamine viib terve rea uumlksikute alauumllesannete lahendamisele a) maumlaumlramis- ja muutumispiirkond b) nullkohad c) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond d) esimese tuletise kriitilised vaumlaumlrtused e) ekstreemumid f) graafiku kumerus ja notildegusus g) asuumlmptoodid Koolis lahendatakse osauumllesanded paberi ja pliiatsi abil ning saadud tulemuste potildehjal skit-seeritakse joonis Arvuti abil on votildeimalik kontrollida osauumllesannete lahenduste otildeigsust ning samuti saab votilderrelda kaumlsitsi joonestatud graafikut arvuti abil saadud graafikuga Kindlasti tuleb otildepilastes arendada graafikute lugemise oskust (seda laumlheb vaja ka igapaumlevaelus) st ette antud graafikult leitakse nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad ekstreemumid jms Funktsiooni uurimise uumllesande arvutusliku poole votildeib realiseerida Wirise abil graafikud soovitan teha GeoGebraga (vt Joonis 23 ja Joonis 24)

Funktsiooni graafiku puutujaga seotud uumllesannete puhul saab GeoGebras kasutada spetsiaal-set nuppu bdquoPuutujaldquo Joone puutuja kohta leiab mitmeid materjale mottwikist sh Sirje Sildacutei (Notildeo Reaal-guumlmnaasium) poolt koostatud GeoGebra toumloumllehed

Joonis 24

Joonis 23

Joonis 25

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlus algab perioodilise (mitteperioodilise) funktsiooni motildeiste defineerimise ja perioodi leidmisega Seejaumlrel jotildeutakse funktsioonideni y = sin x y = cos x ja y = tan x Tavaliselt konstrueeritakse siinus- ja koosinusfunktsiooni graafik uumlhikringi abil Vastava GeoGebra toumloumllehe votildeib iga otildepetaja ise koostada kuid votildeib kasutada ka juba olemasolevaid1 Viidatud toumloumlleht on saksakeelne kuid eeldatavalt kotildeigile arusaadav Vaumlga oluline on et esimeste tahvlile skitseeritud (votildei ekraanile naumlidatud) graafikute puhul on otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes (vt erinevust joonistel 26 ja 27)

Joonis 26 Joonisel 26 on proportsioonid otildeiged joonisel 27 ilmselgelt valed Sirge y = x poolitab esimese ja kolmanda koordinaatveerandi joonisel 27 see nii ei ole Kuigi erinevatel telgedel votildeib valida erineva pikkusega pikkusuumlhikud siis antud juhul pole see otildeigustatud sest votildeib viia potildehimotildetteliste vigadeni

Olulisel kohal on trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kaumlsitsi skitseerimine mingis ette antud lotildeigus [a b] Seda oskust eeldatakse ka riigieksami uumllesannete lahendamisel Kui on antud funktsioon siny a kx= (votildei cosy a kx= tany a kx= ) siis tuleb otildepetajal selgitada arvude a ja k taumlhendust ning motildeju graafiku asendile (neid funktsioone kasutatakse ka guumlmnaasiumi fuumluumlsika kursuses) GeoGebra abil tehtud joonised votildeimaldavad maumlaumlrata ka trigonomeetriliste votilderrandite lahendite arvu mingis lotildeigus votildei vahemikus Samuti saab leida votilderrandi ligikaudseid lahendeid kui votilderrand pole teiste votildetetega lahendatav (naumliteks x + sin x = 2) Graafikute jaumlrgi funktsioonide tuvastamiseks votildeib teha otildepilastega mitmesuguseid harjutusi GeoGebra abil votildeib valmis teha graafikud ning neid votildeib naumlidata interaktiivsele tahvlile koos

1 httpwwwgeogebratubeorgstudentm1631

Joonis 27

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

votildeimalike analuumluumltiliste esitustega Otildepilased viivad funktsiooni vastavusse graafikuga ja selgitavad oma valiku potildehjuseid Uumlhekordseks kasutamiseks sobib ka joonisel 28 olev tabel kus on erinevate funktsioonide graafikud Otildepilased leiavad amplituudi perioodi ning saadud andmete potildehjal maumlaumlravad mis funktsiooniga on tegemist

Joonis 28

Otildepilaste jaoks on votilderreldes eelmiste naumlidetega keerulisemad need juhtumid kus uumlhte teljes-tikku tuleb joonestada kahe (votildei enama) trigonomeetrilise funktsiooni graafik Sel juhul soovitan alustada arvutijoonistega ning siis uumlle minna kaumlsitsi graafikute skitseerimisele Motildened naumlited mida tasub klassis uurida on joonisel 29

Joonis 29 Laia matemaatikakursuse kaumlsitlemisel leiab lisaks eespool toodule lisamaterjale Koolielust2 mottwikist3 Miksikesest4 GeoGebraTubeacutest5 Youtubest6 (videomaterjalid) Teachertubeacutest7 jt matemaatikaga seotud internetilehekuumllgedelt Enne mingi tundmatu otildeppematerjali kasuta-mist tuleb see kriitilise pilguga uumlle vaadata et vaumlltida piinlikke olukordi koolitunnis Tundideks ettevalmistamisel votildeib teha abimaterjale ka ise Kuigi nende valmistamiseks kulub palju aega siis eeliseks on see et sel juhul otildepetaja teab taumlpselt mida antud otildeppematerjal sisaldab ning on votildeimalus erineva tasemega paralleelklasside jaoks materjale kohandada

2 httpwwwkoolieluee 3 httpmotteduee 4 httpwwwmiksikeee 5 httpwwwgeogebratubeorg 6 httpwwwyoutubecom 7 httpteachertubecom

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Kitsa matemaatika V kursus ndash bdquoFunktsioonid Ildquo Kursuse alguses tegeletakse kordavalt lineaarfunktsiooni ruutfunktsiooni ja poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega Need teemad on kuumlll potildehikoolis laumlbitud kuid praktika naumlitab et nii motildenigi otildepilane jaumlaumlb haumltta sirge votildei parabooli joonestamisega Seepaumlrast on vajalik et otildepetajal on uumllesandeid kus otildepilane teeb graafikuid paberile kuid harjutamiseks ning kinnistamiseks votildeib kasutada arvutiprogrammide abi

Uumllesanne 1 Joonestage teljestikku sirged y = x + 3 y = 2 23

xminus minus ning paraboolid y = ndashx2 + 1

ja y = (x + 3)(x ndash 2) Kontrollige jooniste otildeigsust programmiga GeoGebra 10 klassis tuleb selgitada ja naumlidata arvude a b ja c motildeju funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku kujule Seda saab teha programmiga GeoGebra vaumlga lihtsalt kui kasutada liugureid (vt Joonis 30) Selle joonise abil saab selgitada ka seda miks arv a ei tohi olla null Joonisele votildeib soovi korral lisada parabooli telje ning haripunkti Analoogiliselt votildeib toimida lineaarfunktsiooniga y = ax + b ning poumloumlrdvotilderdelise sotildeltuvusega

y = ax

Funktsiooni maumlaumlramispiirkonna nullkohtade positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade leidmiseks votildeib kasutada neid soovitusi mis on antud laia kursuse samade teemade kohta Siin tuleb arvestada sellega et kitsas kursuses vaadeldavad funktsioonid on uumlldjuhul lihtsamad votilderreldes laia kursuse funktsioonidega Kui maumlaumlramispiirkond nullkohad positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad on otildepilasel kaumlsitsi arvutades leitud siis tuleb leida votildeimalus tulemuste kontrollimiseks arvuti abil Klassis saab seda teha nii et naumlidatakse funktsioonide graafikud jaumlrgemoumloumlda ekraanile (interaktiivsele tahvlile vms) Kodutoumloumlde kontrollimiseks saavad otildepilased ise GeoGebrat kasutada ning see soovitus koos elementaar-sete programmi kasutamise votildetetega tuleb otildepilastele ka anda (see ei taumlhenda seda et kulutatakse 2-3 tundi spetsiaalselt GeoGebra ja Wirise otildepetamiseks) Kindlasti tuleb arendada graafikute lugemise oskust Selleks votildeib otildepetaja teha PowerPointi esitlusfaili kus on kuumlmmekond graafikut ning nendelt leitakse nii palju erinevaid omadusi kui votildeimalik PowerPointi asemel votildeib kasutada ka interaktiivse tahvli tarkvara naumliteks Smart Notebook 10 vms Graafikute joonestamisel on vaja kaumlsitleda ka juhtumeid kus telgedel olevad arvud ulatuvad sadadesse votildei isegi tuhandetesse Graafikute lugemise oskust on otildepilastel vaja fuumluumlsikas geograafias kui ka motildeningate bioloogia uumllesannete lahendamisel ja loomulikult igapaumlevaelus ajalehtedes votildei ajakirjades oleva teksti motildeistmiseks Mitmesuguseid graafikuid rahanduse valdkonnast leiab SEB ja Swedbankacutei veebilehelt

Joonis 30

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstremaalsete vaumlaumlrtuste leidmiseks kasutatakse funktsioonide graafikuid (tuletis tuleb hiljem) Otildepilaste taumlhelepanu tuleb juhtida sellele et kasvamis- ja kahanemisvahemike kirjapanemisel ei tohi kasutada hulgateoreetilise uumlhendi (U ) maumlrki sest see votildeib viia vastuoluni kasvamise ja kahanemise definitsiooniga Eksponent- ja logaritmfunktsiooni kaumlsitlemisel votildeib jaumlrgida neid soovitusi mis on antud laia kursuse puhul Kitsas kursuses tuleb lahendada mitmesuguseid rakendusuumllesandeid (populatsiooni kasv objekti vaumlaumlrtuse suurenemine votildei vaumlhenemine otildehurotildehk erinevatel kotildergustel merepinnast radioaktiivne lagunemine jms) Kotildeiki neid protsesse saab esitada graafiliselt Trigonomeetriliste funktsioonide kaumlsitlemisel on jaumlllegi oluline roll graafikute skitseerimisel ja nendelt vastuste leidmisel esitatud kuumlsimustele Soovitused trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise osas on uumlldjoontes samad mis laia kursuse puhul Siinus- ja koosinusfunktsiooni graafiku joonestamisel soovitan abstsissteljele maumlrkida nurgad

radiaanides (st 0 3 4 2 4π π π π ) ja vaumlltida kraadimotildeotildedu kasutamist Et otildepilastel on

harjumuspaumlrasem (ja ka lihtsam) opereerida nurgakraadidega siis tuleb alternatiivina kotildene alla ka votildeimalus et nurgad on kirja pandud nii radiaanides kui ka kraadides Igal juhul peab vaumlhemalt esimeste graafikute puhul saumlilitama otildeiged proportsioonid koordinaattelgede suhtes Kitsa matemaatika VI kursus ndash bdquoFunktsioonid IIldquo Selles kursuses keskendutakse funktsiooni tuletise leidmisele ja kasutamisele Funktsioonide hulk millest tuletist leitakse on uumlsna piiratud Kuna tuletise otildeppimisele ei eelnenud piir-vaumlaumlrtuse kaumlsitlemist siis potildehjendamise (tuletamise) osa on selle teema puhul tagasihoidlik ning potildehiliselt keskendutakse elementaarfunktsioonide tabeli ja tuletise leidmise eeskirjade selgeksotildeppimisele Tuletise leidmisel (siin ka tuletis antud kohal x0) soovitan kasutada programmi Wiris (vt Joonis 31) Jooniselt on naumlha et tekkisid probleemid tuletise vaumlaumlrtuse arvutamisel kohal x = 0 ja x = ndash2 Motildeni nutikam otildepilane leiab kindlasti ka potildehjuse miks tuletist nendel kohtadel ei saa leida Sarnaseid naumliteid votildeib tuua teisigi Funktsiooni uurimisel tuletise abil soovitan kasutada GeoGebrat ning votildeib joonestada funktsiooni ja selle tuletise graafiku uumlhte koordinaatteljestikku (vajadusel saab tuletise graafiku ka aumlra bdquopeitaldquo) Nii saab graafiku abil leida (votildei arvutustulemusi kontrollida) tuletise nullkohad ning need siduda funktsiooni ekstreemumkohtadega analoogiliselt saab siduda omavahel funktsiooni kasvamisvahemikud ja tuletisfunktsiooni positiivsuspiirkonna (funktsiooni kahanemisvahemikud ja tuletisfunktsiooni negatiivsuspiirkonna) (vt Joonis 32) Kaumlsitsi arvutades tasub votilderratuste lahendihulkade otildeigsuses veendumiseks kasutada programmi Wiris Otildepetajal tuleb otildepilastele eelnevalt selgitada suumlmbolite | ja amp taumlhendust Wirises

Joonis 11

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13

Maumlrkeruudu abil on votildeimalik tuletis-funktsiooni graafik jooniselt eemaldada (selle saab vajaduse korral tagasi tuua) Kui on vaja leida funktsiooni suurim votildei vaumlhim vaumlaumlrtus ette antud lotildeigul siis joonestame graafiku selles lotildeigus GeoGebras on selleks kaumlsk Funktsioon Kirjutades Funktsioon[x2-3-24] kaumlsureale saame funktsiooni y = x2 ndash 3 graafiku lotildeigul [ndash2 4] Jooniselt leiame suurima ja vaumlhima vaumlaumlrtuse antud lotildeigul Reaalse sisuga ekstreemumuumllesannete puhul on jaumlllegi otstarbekas teha nii vastava funktsiooni kui ka tuletisfunktsiooni graafik uumlhte teljestikku Sel juhul ongi tuletisfunktsiooni nullkohad votildeimalikud uumllesande lahendid Uumllesanne Ristkuumllikukujulisest plekitahvlist motildeotildetmetega 50 cm ja 80 cm lotildeigatakse nurkadest aumlra ruudukujulised tuumlkid ning servad murtakse uumlles Nii saadakse pealt lahtine karp Kui pikk peab olema aumlralotildeigatava ruudu kuumllg et tekiks suurima ruumalaga karp Ruumala sotildeltuvust ruudu kuumlljest kirjeldab funktsioon V(x) kus v(x) = 4x3 ndash 260x2 + 4000x Leiame funktsiooni v(x) tuletise vacute(x) = 12x2 ndash 520x + +4000

Votilderrandi 12x2 ndash 520x+4000 = 0 lahendid on 10 ja 33 1 3

Neist esimene sobib uumllesande lahendiks (vt joonist) Funktsioonide kaumlsitlemisel arvutiprogrammidega on see oht et otildepilased teevad valdava osa graafikutest ning arvutustoumloumlst arvuti abil ning minetavad graafikute kaumlsitsi skitseerimise oskuse Seepaumlrast tuleb aeg-ajalt otildepilastel lasta ka mahukaid uumllesandeid kaumlsitsi lahendada

Joonis 12

Joonis 13