FYSIK Astaff.lassew/AO1/mtf504/FysikA_kompendium...belopp och riktning kallas en vektor. Från kursboken vet vi att en kraft har både storlek (belopp) och riktning. Det är alltså

N I L S A L M Q V I S T

I N S T I T U T I O N E N F Ö R T I L L Ä M P A D F Y S I K , M A S K I N - O C H M A T E R I A L T E K N I K

Mg

N2 N1

KOMPLETTERINGAR TILL

FYSIK A

– FÖ R TEKN IK/ NA TUR VE T E NS KA PLIGA BAS ÅRE T

Juni 2006

FYSIK A - KOMPLETTERINGAR

· 1

Förord

Detta kompendium och bifogade laborationshandledningar används i kursen Fysik A

(MTF504, MTF404) på de tekniskt/naturvetenskapliga basåret samt på datateknisk

ingång. Kompendiet kompletterar kursboken Bergström m. fl: ”Heureka!”, ISBN 91-27-

56721-4. (alternativt Alphonce m.fl., ”Fysik för gymnasieskolan A”).

I senaste versionen av kompendiet har det tillkommit text om mätningar och mätvärden.

Det är bl.a att kursen enklare ska kunna ges som ”nätutbildning”. Dessutom finns nu

extrauppgifter till avsnittet om ellära.

Luleå, juni. 2006

Nils Almqvist

Innehållsförteckning

1. Allmänt om att lösa problem i fysik ...............................................................................2

1.1. Om mätningar och mätvärden ..............................................................................2

Storhet, mätetal och enhet ................................................................................2

Värdesiffror, gällande siffror ...........................................................................2

Grundpotensform ............................................................................................3

1.2. Problemlösningsstrategi ......................................................................................3

2. Mekanik ..........................................................................................................................5

2.1. Inledning .............................................................................................................5

2.2. Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning ...............................................6

Kraftvektorer ...................................................................................................6

Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem ..........................................6

2.3. Analytisk lösning av kraftsystem .........................................................................9

Avslutande kommentar, sammanfattning ....................................................... 11

2.4. Newtons lagar och jämvikt ................................................................................ 12

2.5. Friktion ............................................................................................................. 15

2.6. Kraftmoment ..................................................................................................... 17

Moment ......................................................................................................... 17

Kraftpar ......................................................................................................... 19

2.7. Jämvikt ............................................................................................................. 19

Jämviktsvillkor .............................................................................................. 19

Friläggning .................................................................................................... 20

Problemlösning ............................................................................................. 22

2.8. Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ............................................... 23

Allmänt ......................................................................................................... 23

Kaströrelse – plan rörelse .............................................................................. 24

Övningsuppgifter ................................................................................................................ 27

Svar ..................................................................................................................................... 41

Laborationshandledningar:

Laboration 1: Mekanik

Laboration 2: Geometrisk optik

Lektionslaboration

Laboration 3: Spänning, ström och resistans


· 2 Allmänt fysik

1. Allmänt om att lösa problem i

fysik

I den här kursen ska du lösa fysikaliska problem och träna dig i laborativt arbete. Det är

viktigt att du har en problemlösningsstrategi och att du redovisar dina lösningar så att

andra kan förstå dem. Dina lösningar ska presenteras på ett begripligt sätt och vara klara

och tydliga. Du måste också kunna hantera mätningar, mätvärden, skriva tal med

tiopotens samt hantera storhet, mätetal och enhet. Om dessa saker står det på lite olika

ställen i kursboken. Här försöker vi introducera några viktiga komponenter och visar

exempel på en möjlig problemlösningsstrategi. Det här avsnittet kan du läsa i samband

med att du löser problem.

1.1. Om mätningar och mätvärden

Storhet, mätetal och enhet

Med storhet menas det som mäts t ex längd, tid eller massa. Mätetalet är hur mycket vi

mäter. Anta att vi använder ett måttband för att mäta längden på en bil. Vi mäter längden

till 4,52 m. Då är storheten vi mäter längd, mätetalet är 4,52 och enheten är meter (m).

Det har funnits, och finns, många olika enheter för längd (t ex mil, tum, aln, fot, meter).

Inom naturvetenskapen har man enats om ett gemensamt internationellt enhetssystem som

kallas SI. SI-enheterna innehåller sju grundenheter som bl. a är meter (m), sekund (s) och

kilogram (kg). Det står mer om detta i kap. 3.4 (s.77) som ingår i nästa lektion. I

formelsamlingen (s.16) så står dessutom hur man definierar dessa enheter.

Värdesiffror, gällande siffror

Man ska kunna se direkt på ett mätetal hur noga mätningarna utförts. När vi anger att vi

mätt längden på bilen till 4,52 m så visar mätetalet att mätningarna har utförts på

centimetern när. Hade vi istället angett längden till 4,520 så menas att mätning gjorts med

millimeterprecision.

I ett heltal som inte slutar med nolla är samtliga siffror gällande. För decimaltal gäller att

nollor i början av talet inte är gällande. Nollor inuti och i slutet av decimala tal gäller

däremot.

Några exempel på antal värdesiffror:

Mätetal Gällande siffror

704 3

7,254 4

0,0034 2

120 3 (eller 2)

1,2∙102 2

Tabell 1: Antal gällande siffror hos några olika mätetal

FYSIK A - MEKANIK

3 Allmänt fysik

Grundpotensform

Tabell 1 visar att det kan vara osäkerhet i hur många gällande siffror mätetalet 120 har.

Därför är det ofta lämpligt att ge mätetal på grundpotensform, dvs. med bara en

heltalssiffra och tiopotens. Skrivs 120 som 1,20∙102 så menas att det är 3 gällande siffror.

Senare i kursen kommer vi använda prefix för att skriva tiopotensen.

Exempel 1:

En löpare springer 100 m på 17 s. Tiden har vi då mätt med ett vanligt analogt

armbandsur (med sekundvisare). Vi räknar ut löparens medelhastighet. Den

räknar vi ut som sträckan dividerat med tiden, dvs. 100/17 m/s. Knappar vi det

på vår miniräknare så får vi 5,882352941. Hur ska vi svara?

Lösning:

Eftersom vi inte kan mäta tiden noggrannare än med två värdesiffror, bör vi

inte svara med fler siffror än två. Vi ska dessutom ange enhet. Vi bör alltså

ange att löparen sprang med medelhastigheten 5,9 m/s.

Är det fort? Hur mycket är det i km/h?

hkmhkmh

km

s

km

s

km

s

m

s

m

/21/6,39,536001000

9,5

36003600

1000

9,5

1000

9,51000

1000

9,59,5

Vi kan alltså svara antingen att medelhastigheten är 5,9 m/s eller 21 km/h.

1.2. Problemlösningsstrategi

När du löser fysikproblem ska du försöka göra det på ett strukturerat sätt. EN generell

metodik som ofta fungerar är att dela in problemlösningen i olika delar, som:

1) Definiera problemet (avgränsa och förstå problemet).

2) Undersök (lufsa runt och nosa på problemet)’

3) Planera (ta fram olika lösningsvägar, samla in nödvändiga hjälpmedel)

4) Genomför (välj bästa metoden att angripa problemet)

5) Utvärdera (kontrollera resultat och redovisa)

En mer detaljerad bild av hur det kan gå till finns i Figur 1.

Exempel 2

Vid OS i München 1972 vann Gunnar Larsson OS guld i simning 400 m

medley med tiden 4.31,981 (4 min och 31,981 s). Gunnars marginal till tvåan

(Tim McKee) var 0,002 sekunder. Är det rimligt att mäta tiden så noggrant?

Ledning till lösning

Prova själv att fundera igenom lösningen, helst med metoden från Figur 1.

Räkna t ex ut hans medelhastighet. Sedan hur långt Gunnar i medel simmade

på 0,002 sekunder. Det blir mindre än tre millimeter. Alltså, eftersom de

simmade 8 bassänglängder (ytterligare uppgift som man måste ta reda på) så

motsvarar det mindre än 0,4 mm per bassänglängd. Förmodligen är

bassänglängderna inte byggda med den noggrannheten. Det är alltså inte

rimligt att mäta med den noggrannheten om det ska vara sportsligt rättvist.

Men visst, det är ju inte lika roligt att det blir oavgjort…

FYSIK A - MEKANIK

4 Allmänt fysik

Figur 1. En generell metodik för problemlösning som har stora likheter med

”Minnesota modellen” och ”Woods metod”.

1. Avgränsa och förstå, vilket är problemet?

Förstår du orden i texten? Beskriv problemet med dina

egna ord.

Vad frågas det efter?

Rita diagram eller en skiss av problemet.

Vad är givet?

Ta med given information i skissen.

Vilka fysikaliska principer kan vara relevanta?

2. Undersök problemet och beskriv fysiken

Erinra dig liknande problem eller erfarenheter.

Vilka ekvationer beskriver de principer som kan

komma ifråga.

Vilka storheter behöver vi känna till för att kunna lösa

problemet?

Vilka antaganden och approximationer måste vi göra?

3. Gör upp en plan

Kan problemet delas upp i delproblem?

Finns det flera sätt att nå målet?

Samla in nödvändiga uppgifter.

Välj lösningsmetod.

5. Utvärdera lösningen

Är svaret rimligt? Är enheten rätt?

Kontrollera tiopotenser och enheter.

Stämmer lösningen med vad du vet från tidigare?

Hur noggrant kan resultatet ges?

Om allt verkar okay, redovisa svaret och din tolkning.

4. Genomför planen/uträkningen

Räkna med bokstäver så långt det är praktiskt möjligt.

Ev. jämför med alternativa lösningar.

Sätt in numeriska värden, gör beräkningar.

FYSIK A KOMPLETTERI NGAR

5 Mekanik -Inledning

2. Mekanik

2.1. Inledning

Mekanik är läran om partiklar och kroppar i vila och rörelse. Mekanik indelas i statik och

dynamik.

Statik behandlar kroppar som befinner sig i kraftjämvikt.

Dynamik är läran om kroppars rörelse. Dynamik brukar indelas i kinematik och kinetik. I

kinematiken beskriver man hur en kropps rörelse utan att ta hänsyn till vad som orsakar

rörelsen. I kinetik beskriver man sambandet mellan kraft och rörelse.

I den här kursen ingår både statik och dynamik. Några centrala begrepp som du ska ha

kunskap om när du läst mekanik är bl.a: kraft, kraftkomposant, kraftresultant, jämvikt,

tyngdacceleration, tyngdpunkt, friktion, Newtons lagar, vad som menas med tröghet,

mekanisk energi, lägesenergi, rörelseenergi, energiprincipen, arbete samt acceleration och

retardation.


6 Kraf tgeometri – graf isk , trigonometrisk

2F

A B

D

1F

2.2. Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning

En fysikalisk storhet som endast har belopp (storlek) kallas en skalär. Exempel på skalärer

inom mekanik är tid, massa, storlek, densitet m.fl. En fysikalisk storhet som både har

belopp och riktning kallas en vektor. Från kursboken vet vi att en kraft har både storlek

(belopp) och riktning. Det är alltså en vektor. Med kraftens verkningslinje (riktningslinje)

menar vi den linje som går genom angreppspunkten och är parallell med kraftens riktning.

Även många andra storheter inom mekanik är vektorer, t.ex. hastighet och acceleration. Vi

behöver alltså veta som menas med en vektor och lära oss räknelagar för att lägga ihop

och dela upp krafter.

Kraftvektorer

En vektor brukar betecknas med en bokstav och ett streck över bokstaven. En vektor F är

en riktad sträcka som beskrivs av sin storlek (längd) F och sin riktning α.

Figur 2.

En vektor med längden noll kallas nollvektor (Beteckning: 0 ).

Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem

Två eller fler vektorer kan ersättas av en enda vektor, resultanten. Vi ska addera

kraftvektorer grafiskt till en resultant med två olika metoder: parallellogrammetoden och

polygonmetoden. I mekanik får vi addera krafter på dessa sätt när krafterna angriper i

samma angreppspunkt. Enklast illustreras metoderna med ett par exempel. Vektorerna i

dessa exempel antas alltså vara krafter:

Exempel 3: Bestäm den resulterande vektorn till vektorerna i Figur 3 nedan

Figur 3

F

Fotpunkt

Spets

α


7 Kraf tgeometri – graf isk , t rigonometrisk

Lösning I: Parallellogrammetoden:

Rita en parallellogram där 1F och 2F är sidor.

Figur 4

R = AC är resultant till 1F och 2F . Man skriver R = 1F + 2F .

Lösning II: Polygonmetoden:

Parallellförflytta 2F så att dess fotpunkt är i B.

Figur 5

Resultanten = den vektor som ”startar” i första vektorns ( 1F ) fotpunkt och

”slutar” i andra vektorns ( 2F ) spets.

Exempel 4: Bestäm resultanten till nedanstående vektorer.

Figur 6

Lösning: Polygonmetoden är speciellt användbar när vi har mer än två

vektorer. Parallellförflytta enligt Figur 7.

Figur 7

Resultanten = den vektor som ”startar” i första vektorns fotpunkt och ”slutar”

i sista vektorns spets.

Lika väl som vi kan ersätta två vektorer med en enda, kan vi dela upp en vektor i två

andra. Vi delar upp en vektor i två mot varandra vinkelräta komposanter.

1F

2F

A B

D C

R

1F

2F

A B

C R = 1F + 2F

1F

2F

3F

321 FFFR

1F

3F

2F


8 Kraf tgeometri – graf isk , t rigonometrisk

Exempel 5: Kraftvektorn F i Figur 8 har storlek (längd) F = 10 N och verkar

i riktningen α = 30° enligt figur 7. Dela upp F i två komposanter längs x och

y.

Figur 8

Lösning:

1) Grafiskt kan vi använda parallellogrammetoden. Bestäm lämplig skala

för krafterna och rita en parallellogram genom att dra två linjer genom

F :s spets. Den ena linjen dras parallellt med y och den andra dras

parallellt med x.

Figur 9. Uppdelning i komposanter

F = 1F + 2F , F kan ersättas av de två komposanterna 1F och 2F .

F1:s längd mäts med linjal att motsvara ca. 5,0 N och F2:s längd mäts

till ca. 8,7 N

2) Trigonometriskt kan vi beräkna komponenterna längs x- och y-axeln

som:

F1 = F·sin α = 10·sin 30° 5,0 N och

F2 = F·cos α = 10·cos 30° 8,7 N

Notera att om vi istället hade vetat komposanternas storlek så kunde vi

beräknat resultantens storlek genom att använda att de är vinkelräta mot

varandra. Resultantens storlek fås då med Pythagoras’ sats som:

F = 2

2

2

1 FF 22 8,75,0 10 N

x

F y

α = 30°

F = 10 N

y

x

F

1F

2F

F

α F1

F2


9 Kraf tgeometri – analytisk lösning

1F

2F

2.3. Analytisk lösning av kraftsystem

Addition av vektorer kan ytterligare förenklas om vi beskriver vektorerna med hjälp av

koordinater. Det innebär att vi ”gör om” ett vektoriellt problem till ett skalärt problem.

Exempel 6: Vad blir resultanten till krafterna 1F och 2F i figur 10.

Figur 10

Lösning: Lägg in ett koordinatsystem enligt Figur 11.

Figur 11

F1x = ( 1F :s x-koordinat) = 2

F2x = ( 2F :s x-koordinat) = 5

R = 1F + 2F ; R = 7 N (riktad längs positiva x-axeln).

Detta kan vi erhålla med koordinater på följande sätt:

Rx = F1x + F2x = 2 + 5 = 7

Således har resultanten x-koordinaten 7.

Om 1F har motsatt riktning blir F1x = -2

Rx = F1x + F2x = -2 + 5 = 3

Då blir resultanten en vektor med längden 3 riktad längs positiva x-

axeln.

0 1 2 3 4 5 6 7 x

1F

2F


10 Kraf tgeometri – analytisk lösning

Exempel 7: Bestäm resultanten till krafterna i Figur 12.

Figur 12

Lösning: Vi ska beräkna summan av krafterna (kraftsumman). Dela upp

krafterna i vinkelräta komposanter längs koordinataxlarna.

Figur 13

Vi adderar komponenterna längs x-axeln. Resultantens komponent

längs x-axeln får x-koordinaten:

Rx = F1x + F2x = 11 cos 30 - 12 cos 45 1,04 N.

Vi adderar komponenterna längs y-axeln. Resultantens komponent

längs y-axeln får y-koordinaten:

Ry = F1y + F2y = 11 sin 30 + 12 sin 45 13,99 N.

De givna krafterna 1F och 2F ersätter vi med komponenterna Rx och Ry

enligt Figur 14.

Storleken R av kraftsystemets resultant R

bestäms med Pythagoras’ sats

R = 2222 99.1304.1yx RRR

02.14 N

Vinkeln fås ur:

tan = x

y

R

R 85,7.

Svar: Storleken hos resultanten till 1F och

2F är 14 N och bildar vinkeln 85,7 med

positiva x-axeln Figur 14

y

45

º 30

º 1

F 2

F

1F = 11 N,

2F = 12 N

x

F1x = 11 cos 30

F2x = - 12 cos 45

F1y = 11 sin 30

F2y = 12 sin 45

45º 30º 1

F 2F

x F1x

F1y

F2y

F2x

y

y

x

Rx

R

x

Rx

Ry

R


11 Kraf tgeometri – analytisk lösning·

Avslutande kommentar, sammanfattning

De fysikaliska storheter som är vektorer indelas i olika klasser. Inom mekanik gäller att

kraftvektorerna är så kallade linjebundna vektorer som får flyttas längs sin verkningslinje.

Påverkan av kraften blir samma oavsett vilken angreppspunkt man väljer längs kraftens

verkningslinje. Begreppen angreppspunkt och verkningslinje är alltså viktiga begrepp i

mekanik.

Figur 15. Kropparna påverkas på samma sätt oavsett var utefter verkningslinjen

kraften verkar.

I fortsättningen använder vi ofta ett förenklat skrivsätt för vektorer. Vi använder enbart

beloppet (storleken) som beteckning för en vektor och låter pilens riktning motsvara

vektorns riktning.

Figur 16. Förenklade beteckningar för vektorer. Den bokstav eller siffra som

finns vid pilen anger vektorns storlek.

stel kropp kraftens

verkningslinje

F 7 N


12 Ne wtons lagar och kraf tjämvikt

m

M

2.4. Newtons lagar och jämvikt

Den klassiska mekaniken grundar sig på ett antal grundlagar, som inte kan bevisas

matematiskt men som kunnat verifieras genom en mångfald fysikaliska observationer.

Lagarna, som formulerades av Isaac Newton (1643-1727), lyder:

Newtons första lag (tröghetslagen): En partikel förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig

rörelse (= jämvikt), om det inte verkar någon resulterande kraft på partikeln. Det kan man

skriva 0F . Resultanten till de krafter som verkar på ett föremål (kraftsumman) i

jämvikt ska alltså vara noll. Vid problemlösning kan man då använda jämviktsvillkoret

komponentvis som t ex att ”summan av de uppåtriktade krafterna som verkar på ett

föremål måste vara lika stora som summan av de nedåtriktade krafterna som verkar på

det” (jämför Heureka s. 82, Alphonce s. 97). Ett annat viktigt sätt att skriva

jämviktsvillkoren på är:

”Summan av alla krafter i x-led ska vara noll”: 0Fx (2.1)

”Summan av alla krafter i y-led ska vara noll”: 0Fy (2.2)

Newtons andra lag (accelerationslagen): En partikels acceleration är proportionell mot

den resulterande kraften som verkar på partikeln. Kraft och acceleration är riktade åt

samma håll. Vi kommer använda Newtons andra lag i slutet av kursen.

Newtons tredje lag (lagen om verkan och motverkan/återverkan): Mot en kraft svarar

alltid en lika stor och motsatt riktad kraft. Dessa krafter verkar på olika kroppar. Krafter

uppträder alltså alltid i par, lika stora och motriktade.

Första och tredje lagen illustreras med exempel:

Exempel 8:

Lådorna i figuren är i jämvikt. Den övre lådan har massa m = 1,0 kg och den

undre har massa M = 2,0 kg. Rita de krafter som verkar på respektive låda

samt beräkna deras storlek.

Figur 17



Lösning:

Rita först alla krafter som verkar på den övre lådan. Vi säger att vi frilägger

lådan:

Figur 18.

Använder vi jämviktsvillkoret enligt (2.2) får vi att

0Fy ger:

N1 – mg = 0 N1 = mg = 9,8 N

Rita nu alla krafter som verkar på den undre lådan:

Figur 19

Vid jämvikt är summan av de uppåtriktade krafterna lika med

summan av de nedåtriktade krafterna. 0Fy ger:

N2 -N1 – Mg = 0 N2 = N1 + Mg = 9,8 + 19,6 = 29,4 N

Svar: enligt ovan

N1

Det verkar endast krafter i y-led (vertikal led) på

lådan. Här är mg tyngdkraften (9,8 N) på den övre

lådan. Den undre lådan ”håller emot” med en kraft

N1. Enligt jämviktsvillkoret så måste summan av de

uppåtriktade krafterna ha samma storlek som

summan av de nedåtriktade krafterna. Alltså måste

kraften N1 = 9,8 N. Krafterna mg och N1 är yttre

krafter till lådan.

N1 = 9,8 N

Mg = 19,6 N

N2

Enligt Newtons tredje lag så uppträder krafter i

par, lika stora och motriktade, i kontakten. Den

undre lådan trycker med kraften N1 mot den övre

lådan. Då trycker den övre lådan med en lika stor

och motriktad kraft på den undre lådan. N1 är en

kontaktkraft mellan de två kropparna.

x

y mg = 9,8 N

x

y



Exempel 9:

Med vilken kraft måste personen i figuren dra för att jämvikt ska råda?

Figur 20

Lösning:

Vi ritar knuten och bestämmer de krafter som verkar på den (frilägger).

Friläggning:

Figur 21

Jämvikt ger:

0Fx ; T – S cos 60 = 0 (1)

0Fy ; S sin 60 - 5g = 0 (2)

Ekvation (2) ger S = 60sin

g5 (3)

(3) insätts i (1) ger T = S cos 60 =

60sin

60cosg5

Numeriskt fås T ≈ 28,29 N.

Svar: Han måste dra med 28 N.

y

x

60 T

5g N

S


15 Frikt ion

2.5. Friktion

Tidigare har friktion bara omnämnts i förbigående. Här kompletterar vi bokens behandling

av makroskopisk torrfriktion med en approximativ modell av krafternas storlek vid

friktion.

Figur 22

Studera, som en låda med massa m som

placeras på ett horisontellt underlag och

påverkas av en horisontell kraft P.

Figur 23.

När vi ritar de krafter som verkar på lådan

inser vi att den påverkas av en

reaktionskraft från underlaget. För att

lådan ska vara i jämvikt (t.ex. i vila) måste

gälla att reaktionskraften ska ha en

komposant F = P parallellt med

kontaktytan och en komposant N = mg

vinkelrät mot kontaktytan. Detta är det

mest praktiska sättet att dela upp

kontaktkraften mellan kroppar som har

friktion, dvs. en komposant längs ytan och

en komposant vinkelrät däremot.

Komposanterna brukar kallas friktionskraft

respektive normalkraft.

Friktionskraften F är riktad så att den förhindrar rörelse. Man brukar säga att

friktionskraften motverkar glidning eller tendens till glidning.

Om lådan är i vila och vi successivt ökar kraften P så kommer F = P så länge lådan är i

jämvikt. Detta brukar kallas vilofriktion eller statisk friktion.

Så länge lådan är i vila gäller också att F ≤ μsN, där μs är ett dimensionslöst tal, det så

kallade friktionstalet eller statiska friktionskoefficienten. Värdet på friktionstalet beror på

ytorna dvs. vad det är för material, hur skrovliga de är mm.

När kraften P är tillräckligt stor är lådan precis på gränsen att börja glida. Man säger då att

friktionen är ”fullt utbildad” eller att det är ”på gränsen till glidning”. Då gäller F = μsN.

När lådan börjar glida blir är friktionskraften något mindre än vid fullt utbildad friktion.

När den glider gäller att F = μkN, där μk är glidfriktionstalet (kinetiska

friktionskoefficienten).

m P

N

P

mg

F

N


16 Frikt ion

Figur 24 Samband mellan friktionskraft F och dragkraft P för lådan enligt

texten.

Vi kan sammanfatta vad som gäller för lådan i en tabell:

Tillstånd Friktionskraft

Vila F = P

F ≤ μsN

Fullt utbildad friktion,

på gränsen till glidning F = P

F = μsN

Glidning F = P F = μkN

Tabell 2. Sammanställning av friktionskraftens storlek i olika fall.

Vid laborationen kommer du att ytterligare undersöka friktion.

P

F

F = P


17 Kraf tmoment ·

2.6. Kraftmoment

Moment

Definition av kraftmoment (moment, vridmoment) M är att momentet är lika med

produkten av kraft, F, och momentarm (hävarm) l.

M = F ∙ l (2.3)

Enheten för moment är newtonmeter ( [M] = Nm). Med momentarm menas vinkelräta

avståndet från vridningsaxeln till kraftens verkningslinje. Moment kan beskrivas med

vektorer, precis som krafter, men vi ska inte göra det i den här kursen. Däremot måste vi

ha ett sätt att ange positiv riktning för momentet.

Det gör vi genom att rita en krokig pil ( som i Exempel 10). Vi väljer först vilken

riktning den krokiga pilen ska ha (moturs eller medurs). Sedan räknar vi moment i pilens

riktning som positiva och moment i motsatt riktning som negativa.

Exempel 10:

Rita ut momentarm till samtliga krafter i figuren. Vridningsaxeln går genom

punkten A och är vinkelrät mot papperets plan. Beräkna även det resulterande

momentet (momentsumman) kring denna axel.

Figur 25

Lösning:

Vi räknar skalärt. Vi bestämmer att krafter som vrider moturs runt A ger ett

positivt moment och krafter som vrider medurs ger ett negativt moment.

Figur 26

Det resulterande momentet runt A, MA, blir då:

MA = - F1·l1 – F2∙l2 + F3∙l3 + F4·0

Pilen ovanför MA anger alltså den vridningsriktning som vi räknar

positiv.

I bland skriver man momentsumman AM istället för MA .

F4

F3

F1

F2

A

F2

F3

F4

F1 A l1

l2

l3


18 Kraf tmoment ·

Exempel 11:

Beräkna det moment som verkar på muttern i A i figuren. Kraften F är 200 N.

Figur 27

Lösning:

Metod I:

Figur 28 l = 0,30∙sin 60°

MA = F·l = 0,30∙sin 60° · 200 52 Nm.

Svar: Muttern påverkas av momentet 52 Nm medurs.

Metod II:

Figur 29

Vi kan dela upp kraften i komposanter och bestämma momentet

genom att summera komposanternas moment.

F1 = F·cos 30° = 200·cos 30°

MA = 0,30 F1 + 0 F2 = 0,30∙200·cos 30° 52 Nm (samma

resultat).

.

F2:s hävarm har längden noll eftersom F2:s verkningslinje går

genom momentpunkten (A).

A

Figur 28

l


19 Jämvikt

Kraftpar

Ett kraftpar är två lika stora och motriktade krafter med skilda parallella verkningslinjer.

Kraftsumman från ett kraftpar blir noll. Momentsumman från ett kraftpar blir lika stort

överallt i planet och beror bara på det vinkelräta avståndet, d, mellan krafternas

verkningslinjer.

Figur 30 Ett kraftpar ger samma moment med avseende på alla vridningsaxlar.

Övningsfråga: Hur stort är det resulterande momentet i punkterna A, B, C och D av

kraftparet i Figur 30?

2.7. Jämvikt

En kropp som är i vila eller rör sig med konstant hastighet längs en rät linje eller roterar

med konstant hastighet är i jämvikt. För att ett system ska vara i jämvikt så menas att alla

delar av systemet ska vara i jämvikt. Tidigare i kursen (Heureka 3.6, Alphonce 4.4 och

kap. 2.4 i detta kompendium) har vi använt att resultanten till de krafter som verkar på ett

föremål i jämvikt är noll och ställt upp villkor för kraftjämvikt. Vi har också använt att

kraftmomenten moturs och medurs är lika stora vid jämvikt (Heureka 11.4, Alphonce

10.4). Nu uttrycker kraft- och momentsituationen för en kropp som är i jämvikt mer

formellt och löser problem mer systematiskt.

Jämviktsvillkor

Enligt Newtons första lag förblir en partikel i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse

(= jämvikt), om kraftsumman på partikeln är noll. För en kropp gäller dessutom att

momentsumman med avseende på varje axel A ska vara noll, annars roterar kroppen allt

snabbare.

För att en kropp ska vara i jämvikt ska alltså gälla:

(2.4)

(2.5)

F = 10 N

F = 10 N d = 1 m

A

B

C

D x

0F

0MA


20 Jämvikt

I den här kursen räknar vi på problem där alla krafterna ligger i ett plan (xy-planet). Då

kan vi enligt tidigare skriva skalära jämviktsekvationer som t ex:

”Summan av alla krafter i x-led ska vara noll” (2.6)

”Summan av alla krafter i y-led ska vara noll” (2.7)

”Summan av alla moment runt en axel som är

parallell med z-axeln ska vara noll” (2.8)

Det nya här, jämfört med i kapitel 2.4 är momentekvationen (2.8). I Exempel 9 var den

automatiskt uppfylld eftersom alla krafterna hade samma angreppspunkt. Att vi har tre

ekvationer betyder att vi kan beräkna tre obekanta krafter (eller moment).

Friläggning

Friläggning är ett av de viktigaste momenten när vi löser problem i mekanik. Vi har redan

gjort flera friläggningar. Med friläggning menar vi att den kropp vi studerar isoleras från

omgivningen. Andra kroppars påverkan på kroppen ersätts med krafter, dvs. krafter ritas i

kontaktpunkterna mellan kropparna.

På nästa sida visas en tabell med några vanliga kraftsituationer i kontakter. Tabellen kan

vara till hjälp när krafter ska ritas in på en frilagd kropp.

Ett lämpligt arbetssätt vid en friläggning kan vara:

– Bestäm och anteckna vad som ska friläggas.

– Rita en figur med enbart de ”yttre gränserna” hos kroppen som friläggs. Det är

viktigt att verkligen frilägga delen/kroppen från omgivningen (som vi gjorde t

ex i Exempel 8).

– Rita in alla yttre krafter som verkar på kroppen. Ersätt alla tidigare kontakter

med omgivningen med en kontaktkraft. Inför resterande yttre krafter såsom

tyngdkraft. Om verkningslinjen för en kraft är känd, rita kraften som en vektor

längs verkningslinjen.

– Rita in alla yttre moment som verkar på kroppen.

– För in alla vinklar och viktiga mått i figuren, lägg in ett koordinatsystem.

0Fx

0Fy

0Mz


21 Jämvikt

Typ av kontakt Kraftsituation på den kropp som friläggs

1. Snöre, rep, lina eller kedja

(masslöst).

Kraften T är riktad från kroppen längs linan

(Man kan inte trycka med en lina).

2. Friktionsfri trissa

Kraften T är lika stor i båda snörändarna.

3. Glatt yta

Kraften är vinkelrät mot kontaktytan.

4. Sträv yta

När vi har friktion är det lämpligt att dela upp kontaktkraften i en komposant

vinkelrät mot kontaktytan (normalkraften N) och en komposant tangentiellt

längs kontaktytan (friktionskraften F).

5. Rullager eller rullstöd

Tänk dig att balken utsätts för en kraft i x-led. Då skulle rullstödet inte kunna

”hålla kvar” balken. Man säger att rullstödet bara kan ta upp krafter i y-led.

6. Fast lager

Ett fast lager kan ta upp krafter i både x- och y-led.

7. Fast inspännig

En fast inspänning kan även ta upp moment.

8. Friktionsfri led

En friktionsfri led kan ta upp krafter i både x- och y-led.

Tabell 3 Kontaktkrafter vid olika kraftsituationer.

T T

F


22 Jämvikt

Problemlösning

Följande metod kan vara lämplig att använda då vi löser problem:

– Bestäm vad som ska friläggas för att vi ska kunna lösa det efterfrågade.

– Frilägg, dvs. ”såga ut” delen och rita in alla yttre krafter o. dyl. enligt tidigare.

– Ställ upp lämpliga jämviktsvillkor, ekvation (2.6) – (2.8).

Vid beräkningar kan det vara smart att välja momentcentrum så att så många

krafter (okända) som möjligt passerar genom det.

– Beräkna den efterfrågade kraften eller momentet samt kontrollera att svaret är

rimligt.

Exempel 12

Var ska en nedåtriktad kraft F = 3 N placeras för att stången i figuren ska vara i

jämvikt? Beräkna även stödkraften på leden G. Avståndet mellan två hål är 1

m.

Figur 31

Lösning:

Frilägg stången, inga krafter i horisontalled:

Figur 32

Jämvikt ger:

0MG ; x·3 - 4·10 - 2·7 + 1·4 - 2·2 + 3·15 = 0

3·x = 9; x = 3 m.

0Fy ; N1 – 10 - 7 + 4 – 3 + 2 – 15 = 0

N1 = 29 N

Svar: F ska placeras 3 m till höger om leden G.

Kraften som verkar på leden G är 29 N

10 N 7 N

4 N 2 N

15 N

G

10 N 7 N

4 N 2 N

15 N

x

y

G

N1

F = 3 N

x


23 Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ·

atvv 0

2

attvss

2

00

)ss(a2vv 02

02

2.8. Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse

Allmänt

I kapitel 5 och 12 i kursboken Heureka (kap.9 och 11 i Alphonce) har vi studerat

partikeldynamik. Inom kinematik beskriver vi en partikels rörelse genom att ange hur dess

lägeskoordinater, hastighet och acceleration varierar med tiden. Vi har studerat det

enklaste fallet av rörelse för en partikel, nämligen rätlinjig rörelse (linjebunden rörelse).

Då behöver vi bara införa två rörelseriktningar t.ex. en åt vardera hållet längs banan som

en bil (partikeln) kör. Speciellt har vi studerat likformig rörelse (konstant hastighet) och

likformigt accelererad rörelse (konstant acceleration).

Vid likformigt accelererad rörelse har vi funnit att:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

I ekvationerna ovan är v0 och s0 farten respektive lägeskoordinaten då vi startar

tidtagningen (tid = 0). Accelerationen a har samma värde hela tiden. Vi kan då räkna ut

lägeskoordinaten (s) och farten (v) vid en senare tidpunkt (t).

I den här beskrivningen har vi inte tagit hänsyn till riktningsändringar. När en partikel har

kroklinjig rörelse är det därför lämplig att uttrycka hastighet och acceleration med

vektorer.

Hastigheten, liksom accelerationen, har belopp (fart) och riktning. På precis samma sätt

som vi tidigare gjort med kraftvektorer, kan vi addera hastighetsvektorer till en resultant

eller dela upp en hastighetsvektor i komposanter.

Tidigare (kapitel 11 i kursboken) har vi också studerat kinetik, dvs. hur ett föremåls

rörelse ändras då det påverkas av en kraft. Enligt Newtons andra lag (F = m·a) så gäller:

– Är kraftresultanten noll, så är rörelsen likformig (med konstant hastighetsvektor).

– Om kraftresultanten är konstant, så är rörelsen likformigt accelererad (konstant

acceleration).



I Fysik B kursen kommer vi att studera kroklinjig plan rörelse lite mer, nämligen när

partiklar/föremål rör sig i cirkulära banor med konstant fart. Här ska vi ta upp ett annat

viktigt specialfall av plan rörelse, nämligen kaströrelse.

Kaströrelse – plan rörelse

I ett kraftfält beror kraften på en partikel enbart på var den befinner sig. Vi kan betrakta

gravitationsfältet nära jordytan som homogent. Det betyder att ett föremål med massan m

överallt påverkas av tyngdkraften gmF som är konstant både till belopp och till

riktning. Tyngdkraften är ju överallt mg och riktad ”nedåt”.

Vi kastar iväg en boll snett uppåt med en viss utgångshastighet 0v enligt figur 32. Vi

försummar eventuellt luftmotstånd på bollen. Den heldragna linjen i figuren visar bollens

bana, den så kallade kastparabeln. Vi kan ange bollens läge vid olika tidpunkter med två

koordinater, en x-koordinat i horisontell led och en y-koordinat i vertikal led. När vi

försummar luftmotståndet verkar inga krafter på bollen i x-led under rörelsen. I y-led är

det endast den konstanta tyngdkraften som verkar. Enligt Newtons andra lag ( amF ) är

accelerationen noll då kraften är noll och accelerationen är konstant då det verkar en

konstant kraft. Alltså borde rörelsen i x-led vara likformig (konstant fart) och rörelsen i y-

led borde vara likformigt accelererad (konstant acceleration). Det visar sig att vi kan dela

upp rörelsen i två oberoende rörelser, en horisontell och en vertikal. Därför delar vi upp

hastighetsvektorn i dess komponenter i x-led respektive y-led. Vi anger

hastighetskomponenterna med tecken. Den horisontella rörelsen sker med konstant

hastighet vx = vx0 = v0·cos α. Den vertikala rörelsen motsvaras av att bollen kastas rakt

uppåt med hastigheten vyo = v0·sin α vid tiden t = 0.

Figur 33. Kaströrelse, bollens bana följer den heldragna linjen.

Vi ska nu beräkna vilken hastighet bollen har i läge B, vid tiden t efter utkastet då vi

känner utgångshastigheten v0 och vinkeln α:

x

y

0v

x0v

y0v vy

x

y B vx

v

β



Beräkna utgångshastigheterna:

v0x = v0·cos α

v0y = v0·sin α

Den horisontella rörelsen är likformig:

Hastigheten i x-led vid tiden t blir vx = v0x

x-koordinaten vid tiden t blir x = v0x·t

Rörelsen i y-led är likformigt accelererad. Eftersom y-axelns riktning är uppåt och

accelerationen är riktad nedåt, blir accelerationen negativ: a = -g.

Ekvationerna (8.1 ) – (8.3) ger:

vy = v0y – gt

y = v0yt - 2

gt 2

Nu har vi räknat ut läget (x, y) samt hastighetskomposanterna (vx, vy) när bollen passerar

B. Ofta vill man beräkna farten v och vinkeln β istället för hastighetskomposanterna.

Pythagoras’ sats ger då:

2

y

2

x vvv ; Vinkel β ges av tan β = x

y

v

v

Vi kan nu bestämma bollens läge och hastighet vid vilken tidpunkt som helst under

rörelsen under förutsättning att luftmotståndet kan försummas och att bollen inte har

”skruv” (roterar). Luftmotståndet är långt ifrån alltid försumbart. Om vi ska ta hänsyn till

luftmotståndet blir beräkningarna komplicerade. I Figur 34 nedan visas en datorberäkning

av banan för en baseboll med utgångshastighet 50 m/s, med respektive utan, hänsyn till

luftmotståndet. Det är tydligt att luftmotståndet spelar stor roll för rörelsen. För en

kulstötare, å andra sidan, är luftmotståndet tämligen försumbart.

Figur 34 Resultat av datorberäkning av rörelsen för en baseboll.

Utan luftmotstånd

Med luftmotstånd



Exempel 13:

En stuntman kör motorcykel utför en brant klippa. Precis på klippkanten är

hans hastighet horisontell med beloppet 9 m/s. Bestäm var motorcykeln

befinner sig och vilken total hastighet den har 0,50 sekunder efter den lämnat

klippkanten.

Lösning:

Figur 34.

Läget efter 0,50 s fås direkt ur ekvation 2.4

x-led: x = v0xt = {v0x = v0} = 9,0 · 0,5 = 4,5 m

y-led: y = (-2

gt 2

) = 2

50,08,9 2 = - 1,2 m

Hastighetskomposanterna efter 0,50 s fås med hjälp av ekvation 2.3

x-led: vx = v0x = 9 m/s

y-led: vy = - gt = -9,8 · 0,5 = - 4,9 m/s

Hastighetens belopp fås med Pythagoras’ sats

2

y

2

x vvv = 22 )9,4()0,9( = 10,2 m/s

vinkeln α = arctan(-4,9/9,0) = - 29°

Svar: Motorcykeln befinner sig i (4.5,-1.2) dvs. den har rört sig 4,5 m i

horisontell led och samtidigt fallit 1,2 m.

Motorcykelns hastighet är 10,2 m/s och vinkeln α i figuren är 29°.

vx

v

α

vy

y

x 0v


27·

Övningsuppgifter

K1. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till krafterna i varje fall nedan:

a) b)

c) d)

e) f)

K2. Rita av krafterna och bestäm deras resultant.

a) b)

K3. Bestäm resultantens storlek till de två vinkelräta krafterna.

a) b)

K4. Dela upp kraften F i två vinkelräta komposanter längs de markerade riktningarna (x

och y).

a) b)

2 N 4 N 2 N 4 N

4 N 2 N

3 N

4 N

4 N

3 N

4 N

4 N

3 N

4 N

4 N

4 N 2 N

3 N

10 N

6 N

45º 10 N

6 N

45º

6 N

45º

4 N

3 N

12 N 5 N

x

y

38º

F = 58 N

30º

F = 300 N


28·

1000 N

500 N

1000 N 1500 N

K5. I en punkt angriper krafterna F1 = 100 N, F2 = 20 N och F3 = 40 N. Bestäm

resultanten till krafterna om:

a) Alla tre är riktade åt samma håll.

b) F2 och F3 är motriktade F1.

c) F1 är vinkelrät mot F2 och F3, som är riktade åt samma håll.

d) F1 är riktad vinkelrät mot F2 och F3, som är motriktade.

e) Om vinklarna mellan F1 och F2 respektive F2 och F3 i tur och ordning moturs är

60 resp. 160.

K6. Fyra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk.

Beräkna resultanten till storlek och riktning.

K7. Två krafter, F1 och F2, är givna av sina komponenter (= koordinater): F1x = 100 N,

F1y = 200 N, F2x = 50 N, F2y = -100 N .

Beräkna F1, F2 samt deras riktningar.

K8. Beräkna x- och y-komponenterna för snörspänningen T = 15 kN i figuren.


29·

K9. Tre av de fyra krafterna i nedanstående figur har storleken 10 N. Den fjärde kraften

har storleken 5 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de fyra krafterna

analytiskt (ej grafisk).

K10. Två av de tre krafterna i nedanstående figur har storleken 5 N. Den tredje kraften har

storleken 8 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de tre krafterna

(analytiskt eller grafiskt)

K11. Fyra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk.

Beräkna analytiskt (ej grafiskt) krafternas resultant till storlek och riktning.

K12. På en liten låda med massa 1,0 kg verkar de tre

krafterna enligt figuren. Krafterna har gemensam

angreppspunkt och inga andra krafter verkar på

lådan. Beräkna storleken hos resultanten till de tre

krafterna i figuren.

45º

30º 60º

60º

5 N

10 N

10 N

10 N

45º

30º 60º

5,0 N

5,0 N

8,0 N

400 N

700 N 1250 N

750 N

5,0 N

30º 60º

11,0 N

9,8 N


30·

A

B

C

K13. Tre identiska böcker A, B och C är staplade ovanpå varandra på ett bord. Vardera

bokens massa är 0,5 kg.

Rita samtliga krafter som verkar på

a) boken A

b) boken B

c) boken C

K14. En last på 10000 N skall lyftas med en symmetrisk anordning. Man har två längder på

bärlinorna enligt figur. Beräkna dragkrafterna i linorna i de två fallen då lasten

befinner sig i jämvikt.

K15. En last hänger fast i en lina i punkten C. Lastens tyngd är 1000 N.

a) Beräkna dragkrafterna i lindelarna CA och CB p.g.a. enbart lasten.

b) Hur stor kraft F erfordras i horisontell led i C för att en lindel ska bli helt

spänningsfri (Det finns två möjligheter)?

K16. Med vilken kraft måste mannen dra i repet för att det ska vara jämvikt? Lös uppgiften

grafiskt!


31·

K17. En planka och en låda är i jämvikt enligt figur. Plankans massa är m. Lådans massa är

M. Kontaktytan mellan lådan och plankan är friktionsfri (glatt). Mellan lådan och

golvet, liksom mellan plankan och golvet, finns friktion. Rita ut de krafter som verkar

på lådan respektive de krafter som verkar på plankan!

K18. En låda med massan m1 = 10 kg befinner sig i jämvikt på ett lutande plan enligt figur.

Rita de krafter som verkar på lådan och beräkna

a) friktionskraften Fµ

b) normalkraften N.

K19. Beräkna momentet M0 som P ger kring axeln genom punkten 0 i nedanstående figur.

Utnyttja att man kan parallellförflytta P längs sin verkningslinje.

a) Parallellförflytta P så att P:s vertikala komposant ger momentet noll.

b) Parallellförflytta P så att P:s horisontella komposant ger momentet noll.

K20. Beräkna momentet MB som F ger kring axeln genom punkten B i nedanstående figur.

Låda Planka

P = 500 N 3

2


32·

K21. Storleken på alla krafter F1-F6 i figuren nedan är 10 N.

a) Beräkna momentet som kraften F1 i figuren nedan ger kring punkten A.

b) Beräkna momentet som kraften F2 i figuren nedan ger kring punkten A.

c) Beräkna momentet som kraften F3 i figuren nedan ger kring punkten A.

d) Beräkna momentet som kraften F4 i figuren nedan ger kring punkten A.

e) Beräkna momentet som kraften F5 i figuren nedan ger kring punkten A.

f) Beräkna momentet som kraften F6 i figuren nedan ger kring punkten A.

K22. Beräkna momentet som krafterna på den 2,0 m långa balken i nedanstående figur ger

kring axeln genom punkten A. Kraften 10 N angriper i balkens mitt.

K23. För att kunna resa flaggstången i figuren måste T ge ett moment kring O på 72 kNm.

Bestäm T

F5

2,0 m

2,0

m

A

45º

F1

F2

F3

F4

F6

60º

20º

10,0 N

54,9 N 10,0 N

54,9 N

2,0 m

A


33·

K24. Figuren nedan visar fyra krafter i xy-planet. Bestäm kraftsystemets resultant.

I svaret ska resultantens storlek, riktning och verkningslinje anges.

K25. Bestäm den kraft R som kan ersätta de fyra krafter som verkar på balken i figuren.

Ange också hur långt från väggen R:s verkningslinje ligger.

K26. Ett jämntjockt gungbräde är 6,0 m långt och kan vrida sig kring en axel genom

mittpunkten. Två pojkar som väger 25 respektive 35 kg sätter sig längst ut på

gungbrädet, en på vardera sidan. Var ska en tredje pojke, som väger 20 kg, sätta sig

för att gungan ska väga jämnt?

K27. För att måla en flaggstång har man fällt den till horisontellt läge enligt figuren. Med

vilken kraft trycker bocken mot stången?

Stångens massa är 130 kg. Rita ut de krafter som verkar på stången.

G är flaggstångens tyngdpunkt.


34·

K28. Bommen AB i figuren är homogen och jämtjock samt vridbar kring ett gångjärn i A.

Vad väger den?

Ledning: Snörkrafterna är lika stora på båda sidor om blocket.

K29. En stav med massan 3,1 kg och längden 1,5 m är i jämvikt enligt figuren nedan.

a) Frilägg staven

b) Vad visar dynamometern?

c) Vilken kraft verkar på staven i P (storlek och riktning)?

K30. En tunn homogen stång är vridbar i ena änden. Stången väger 52,5 kg och är 8,0 m

lång. På slutet av stången hänger en vikt med massan 30,0 kg. På ¾ :s avstånd från

vridningspunkten hålls stången i jämvikt av en lina i vertikalled.

a) Frilägg stången

b) Beräkna kraften F i linan.

K31. Förklara följande begrepp:

Arbete (Vilken enhet?). Energi (Vilken enhet?). Lägesenergi. Potentiell energi.

Nollnivå. Rörelseenergi. Konserveringslag. Energiprincipen. Effekt (vilken enhet?)

30 kg

F

Stång

Lina

48º

Dynamometer

Stav

P Friktionsfri led


35·

K32. En partikel rör sig enligt nedanstående vt-diagram. Hur långt har den rört sig efter

10 sekunder?

K33. En partikel med massan 1,0 kg rör sig rätlinjigt mellan två punkter i ett horisontalplan

enligt nedanstående hastighet-tid-graf (vt-diagram). Partikeln startar från

utgångspunkten vid tiden t = 0 s. Bestäm med hjälp av diagrammet:

a) Hur lång sträcka partikeln totalt avverkar (0 – 13 s)

b) Hur stor acceleration partikeln har under de första 4,0 sekunderna

c) Hur stor acceleration partikeln har under tiden 5,0 s – 10,0 s

d) Hur stor medelhastigheten är under de 13,0 sekunderna

e) Partikelns rörelseenergi efter 7,0 sekunder

5

4

3

2

1

0

Fart v (m/s)

151050Tid t

(s)

K34. En låda med massan 400 g kastas utför ett lutande plan enligt figuren. Kroppens fart

är 2,0 m/s då den passerar A. Under rörelsen påverkas kroppen av en konstant

friktionskraft på 2,3 N. Avståndet mellan A och B är 125 cm.

a) Vilken fart har kroppen då

den passerar punkten B?

b) Hur långt från A befinner sig

kroppen när den stannat?

K35. En fotboll, som väger 500 gram, påverkas när två spelare samtidigt sparkar på den av

en kraft som varierar med tiden enligt figuren nedan. Vilken hastighet erhåller

fotbollen om den ursprungligen var i vila?

30,0°

A

125 cm

B


36·

K36. Anta att ett fordon rör sig med konstant hastighet. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur

ser ett (v-t)-diagram ut?

K37. Anta att ett fordon rör sig likformigt accelererat. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur

ser ett (v-t)-diagram ut?

K38. Anta att fordonet rör sig med olikformig rörelse, och vi har ett (s-t)-diagram som

beskriver rörelsen. Hur avläser vi medelhastighet och momentanhastighet?

K39. Hur lyder Newtons andra lag?

K40. Hur ser man i ett (hastighet-tid)-diagram att accelerationen är

a) noll

b) konstant

c) positiv

d) negativ?

K41. Hur räknar man ut vilken sträcka en kropp har åkt om man har hastighet-tid

diagrammet för rörelsen?

K42. Ett järnvägslok med massan 3,5 ton accelererar, varvid dess hastighet varierar med

tiden enligt nedanstående graf.

a) Hur stor är den accelererande kraften som loket påverkas av efter 5 s?

b) Ange ett närmevärde till hur långt loket har avlägsnat sig från startpunkten vid

denna tidpunkt!

K43. Förklara följande begrepp:

Hastighet (Vilken enhet?). Medelhastighet. Vägintervall. Tidsintervall. Likformig och

olikformig rörelse. Momentanhastighet. Acceleration (Vilken enhet?) Vektor eller

skalär?). Medelacceleration. Momentanacceleration. Retardation. Likformigt

accelererad rörelse:

K44. Hur är stigtid och motsvarande falltid relaterade till varandra?

K45. Vad gäller vid kaströrelse för hastigheten i horisontell respektive vertikal led?

K46. Hur tillämpar vi energiprincipen på en kaströrelse?

K47. En bil kommer sakta rullande och börjar vid tiden t = 0 accelerera. Den tillryggalagda

vägsträckan s meter beror av tiden t sekunder enligt 2t2ts .

a) Bestäm hastigheten som funktion av tiden t

b) När är hastigheten 13 m/s?

c) Bestäm accelerationen

K48. En kropp rör sig i rät linje så att den på tiden t tillryggalagda vägsträckan är

proportionell mot t3.

a) Vilken slutsats kan man dra om accelerationen? Är den konstant? Ökar den?

Minskar den?

b) Vilken slutsats kan man dra om krafterna som verkar på kroppen?


37·

K49. En sten kastas ut horisontellt från 20 m höjd över en vattenyta.

a) Hur lång tid förflyter från utkastningsögonblicket till dess stenen når vattnet?

b) Hur långt ut i vattnet hamnar den?

K50. Från ett flygplan på låg höjd (30 m) över marken släpps en postsäck till en isolerad

by. Planet flyger horisontellt med farten 40 m/s. Säcken släpps rakt ovanför en stolpe.

a) Hur långt från stolpen träffar säcken marken?

b) Hur ska man rikta blicken, om man från planet vill se säcken just som den slår

ned?

K51. En liten kula skjuts iväg från P och träffar punkten R, belägen 110 m i horisontell

riktning från P (se figuren). Den horisontella hastighetskomponenten är 22 m/s.

a) Hur lång tid behöver kulan från P till R?

b) Hur lång tid behöver kulan från P till högsta punkten i banan?

c) Hur stor är vy0?

d) Beräkna h.

K52. En sten kastas rakt uppåt och når 11,5 m höjd över utgångspunkten, innan den börjar

falla nedåt igen. Luftmotståndet är ringa.

a) Hur stor är stenens utgångsfart?

Nu kastas stenen på ett annat sätt. Den kastas nu snett uppåt (vinkel 57º mot

horisontalplanet) från utgångspunkten P, enligt figuren nedan. Stenens utgångsfart är

då 15 m/s och den högsta höjden stenen når över marken (P) är 8,0 m. Bestäm för

detta kast:

b) Stenens fart i banans högsta punkt.

c) På vilken höjd över P är farten 10 m/s?

d) Efter hur lång tid träffar stenen marken igen?

Sten

v

8,0 m

15 m/s

P 57º


38·

Uppgifter i ellära

K53. Två likadana glödlampor, A och B, är seriekopplade till en spänningskälla med

konstant spänning enligt figuren. En voltmeter med stor ("oändlig") resistans mäter

spänningen över lampan A. När båda lamporna är hela visar den 8,2 V.

Vad visar voltmetern om

a) lampan A är hel men glödtråden i B har brunnit av?

b) lampan B är hel men glödtråden i A har brunnit av?

K54. Beräkna värdet av en ersättningsresistans till de tre resistorerna i figuren nedan.

K55. Fyra motstånd kopplas som figuren nedan visar.

Beräkna kopplingens ersättningsresistans.

K56. Strömmen genom 10 Ω-motståndet är 0,30 A. Hur stor är strömmen genom 20 Ω-

motståndet?

K57. I kretsschemat nedan:

a) Beräkna en ersättningsresistans för motstånden på 4, 6 och 10 kΩ

b) Beräkna strömmen genom 5 kΩ-motståndet.

c) Beräkna strömmen genom 10 kΩ-motståndet.

d) Beräkna potentialen i punkten A.

e) Beräkna potentialen i punkten B.

a) B b) A


39·

12 V

3,0 Ω

2,0 Ω 3,0 Ω

7,0 Ω

K58. Ett motstånd, vars resistans R ska mätas, ansluts i serie med en amperemeter till en

spänningskälla enligt figuren nedan. Amperemeterns resistans är 0,50 . Parallellt

med resistorn kopplas en voltmeter, vars resistans är 0,30 M.

Instrumentavläsningarna anges i figuren.

Bestäm motståndets resistans. Observera att du ska ta hänsyn till att mätinstrumenten inte är

ideala.

Not: Att mäta enligt figuren ovan brukar kallas inre voltmeterkoppling (”spänningsriktig”, dvs. spänningen mäts över R medan

strömmen som mäts är genom både resistorn och voltmetern).

K59. Hur stor är spänningen över 7,0 Ω motståndet i kretsen nedan?

K60. Figuren nedan visar kopplingen inuti en voltmeter som har tre olika mätområden (3V,

15V och 150 V). När voltmetern används så kopplas den ena anslutningen till ”+” och

den andra till det önskade mätområdet.

Instrumentet ger fullt utslag då strömmen genom motståndet RG = 40,0 Ω är 1,00 mA.

a) Bestäm storleken hos R1 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 3,00 V.

b) Bestäm storleken hos R2 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 15,0 V.

Använd värdet på R1 från uppgift a)

c) Bestäm storleken hos R3 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 150 V.

Använd värdet på R1 och R2 från uppgift a) och b).


40·

K61. Bryggkopplingen enligt figuren nedan används för att mäta resistansen hos en

motståndstermometer. Resistansen, Rx, hos termometern ändras när temperaturen

ändras. Utspänningen, V, på voltmetern är direkt proportionell mot

resistansförändringen. Voltmetern antas ha oändlig resistans så att strömmen genom

den är försumbar.

De kända värdena är: = 10 V, R1 = 2,00 k, R2 = 500 , R3 = 30,0 .

Vid ett visst tillfälle är Rx = 150 . Använd Kirchhoffs spänningslag för att vid detta

tillfälle bestämma:

a) Strömmen genom motståndet R1

b) Strömmen genom motståndet R2.

K62. – ett svårt tal

Inget av motstånden i figuren nedan får belastas med mer än 3 W.

Vilket är det största värde man kan ha på U, utan att man förstör något av de tre

motstånden?

Article II. V

R1 R2R1

R3R1

RxR1

R1

+R1

V


41·

Svar

1. a) 6 N åt höger b) 2 N åt vänster

c) 3 N åt höger d) 0 N

e) 3 N åt vänster f) 0N

2. a) 15 N b) 13 N

3. a) 5N b) 13 N

4. a) 46 N och 36 N

b) 260 N och 150 N

5. a) 160 N; b) 40 N; c) 117 N; d) 102 N;

e) 80 N

6. 1570 N riktad 34,2 nedåt från negativa x-axeln.

7. F1 = 224 N, riktning 63,4 moturs positiva x-axeln.

F2 = 112 N, riktning 63,4 medurs positiva x-axeln.

8. Tx = 12 kN, Ty = 9 kN

9. Resultanten har storleken 2,6 N.

Riktningen är 33º medurs från positiva x-

axeln.

10. Resultantens storlek är 7,0 N i riktning 57°

enligt figur (sydost).

11. 1297 N? riktad 44,5 nedåt från negativa x-axeln

12. 7,0 N 13 a) Normalkraft 4,9 N

b) Normalkrafter 4,9 N och 9,8 N

c) Normalkrafter 9,8 N och 14,7 N

14. 19,31 kN respektive 5,77 kN

15. a) 900 N resp. 730 N

b) 1730 N åt vänster eller 1000 N åt höger

16. 870 N

17. -

18. 59 N, 79 N

19. ca. 832 Nm i båda fallen

20. 28 kNm

21. a) 0; b) 20 Nm medurs; c) 20 Nm moturs; d) 20 Nm medurs, e) 0; f) 10 Nm medurs.

22. 0,0 Nm

23. 8,7 kN

24. 10 N i positiv x-riktning längs y = 5

25. 1,5 kN i negativ y-led

11m från väggen.

26. 1,5 m från mittpunkten

27. 5,0·102 N

28. 8,7 kg

29.

30 - a) –

b) 7,36·102 N

31 -

32. Partikeln har rört sig 9 m

33 a) 30,5 m b) – 0,60 m/s c) 0 m/s2

34 a) 1,4 m/s b) 2,3 m

35. Hastigheten blir 10 m/s

36–41: -

42. a) Accelererande kraft är 1800 N

b) Loket har flyttat sig 8,8 m. 43-46:.

47. a) 1+4t

b) När t=3 s

c) 4 m/s2

48. a) Den ökar

b) Deras resultant måste växa proportionellt

mot tiden.

49. a) 2,0 s

b) 18 m

50. a) 99 m

b) Lodrätt nedåt 51. a) 5,0 s

b) 2,5 s

c) 24,5 m/s,

d) 31 m

52. a) 15,0 m/s

b) 8,2 m/s

c) 6,4 m

d) 2,6 s

53. a) 0; b) 16,4 V

54. 31 Ω 55. 41 Ω

56. 0,18 A

57. a) 5,0 kΩ; b) 1,0 mA; c) 0,50 mA; d) +2,0 V; e) -

3,0 V

58. 2,13 kΩ

59. 8,4 V

60. a) 2960 Ω; b) 12,0 k Ω; c) 135 k Ω

61. a) 4,65 mA ; b) 18,9 mA

62. U får högst vara 29 V

Documents

FYSIK Astaff.lassew/AO1/mtf504/FysikA_kompendium...belopp och riktning kallas en vektor. Från kursboken vet vi att en kraft har både storlek (belopp) och riktning. Det är alltså