G Numere Complexe

  • View
    31

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Numere Complexe

Text of G Numere Complexe

  • \ .1d;11 C ={:.:=a+ bila.li ER} reprezinta. mul~in11~a 111.unerelor com- 1rl1x1. iar 1rn (-'lt>nwnt al ac
  • 7

    '

    J

    1 robleme rezolvate

    I '11111 (rt1 + ibt)(a2 + ib2) = a1a:i + a1ib2 + ib1a2 + i2b1b2 = a1a2 - b1b2 + ( 11, /12 + a2b1 )i arata di P

  • Q

    ,

    l

    l1~xercitii propuse I) J )c ... t t>t1W11tu :: 1 111m11111 ltj>ll"ll 11] .: .

    l'11tr11 :1. > E c :-.11111

  • 11

    '.l. Sa se df'tennine numerele reale :r, y pentru care (~ + ;r,i)( 1 - i) + (2 - :Ji)(y + i) = 10. .

    U. Ef, ceea ce 111st>amna di nu putem compara in seusul relatiilor de mai sus doua nu- 111

  • I >tttionstratie. Fie :::1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + bl,i, doult numere complexe 1111!1.rn carf' z1 + Zz = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Avem

    1 I :::2 = a1 +a2-(b1 +b:.1)i = a1 +a2-b1i-b2i = (a1-b1i)+(a2-b2i) = I I ::2.

    t>hservatii. 1) Proprieta.tea ramane adevarata. i pentru n numere com- pl1xp z1, z2, z11 i scriem &/

    :\. ( :onjugatn1 surnei a doua numere complexe este ega1 cu suma 1 ouju.e;atelor celnr doua numere complexe.

    I IP111onstratie. Fif' z =a+ bi i z = a - bi conjugatul luj z. Atunci =(a+ bi)(a.- bi)= a'l. - li"1i2 = a2 + b2 2 0.

    i. Prod11sul a dona. numerf' complex conjugate este un munar real. ::; z E R. (\i) ::: E C.

    I >nuina 1w z r--viue la a ,e:asi numerele realr- ;r si .If peutru care :)(.r + iy) = 8i(.1 + 1.y) +(KI - fri) sau 5.z: + !'iyi = -~y + 81 + i(~a~- !'5). Arcast.a f'galita.t.e intro llo11a numere complexe sub Iorrna algf'bnca con

    { !'i.r = -8y + 81 I . !'.; - d11cP la sisternul: ) cu so u~1a .r = .). Y = I 'f)y = 8;r - !)

    Prrn nrmare numarul complex z care vPriffra er uatj a c->ste z = 5 + 7i.

  • , A

    5. Conjugatul ca.tuiui a doua numere complexe este egal cu catul nmjngatelor celor doua. uumere.

    (Conj ugatul pl'.lteri i unui numar r.omplex este egal cu puterea conjugat ului acelui numar).

    I I .!

    I I

    ln caiul particular cand n11merde complexe snnt egale z1 = .z2 Zu = z, atunci

    lkvcni1_n la impartirea a dona nurnere cornplexe z1 = a1 + bti z2 = ''' I b2.,1, =2 f ~- Catul lor ;;- este de asemenea un uumar comple~. Tre-

    = ... = 1111111' sa precizam J)t>tltl""~l acest numar partea reala i partea imaginara, I 1111 ru aceasta Sf' amplifica fractia ;;- cu z2 ( deci cu conjugatul complex 111 lui .:2) caud avem:

    tt1+b1i = (a1H1i)(1t2-b2i) _ A+Bi _ A B - 2+b21 (rt2+b>i)(a?-b.,i) - 1l2+b2 - 112+b2 + 2+b2 i, I - - - 2 2 2 2 ''2 2

    '"" c am notat cu A, B partea reala ~i respectiv imaginara a numarului , 11111phx de la numarator. l:ximple. 1) Calculati :::-1 peutru:

    ") z = 1 + i; . b) z = -:l - i. Ir Av-m: a) z-1 = !. = _1 __ = t-i _ 1-i _ 1-i _ 1 1.

    :: I+ (I+i)(t-i) - 1+1 - T - 2 - 22 I 1) - - I = ! = _1 -r-r = -:Hi _ -3+i _ -3 1

    s -3-t (-3-i}(-3+i) - 9+1 - lO + IOZ. i, 1) ( 'alculati =i. in cazurile: ' z2 .

    ::: = -:: ( Pcntru Ct pro ha di un nnmar romp lex este pur imaginer se demonstreaz{i egalitatea ::: = -z)

    11 .. mo1~stratie. _Dae.a z_ E R"i, atunci z = bi, b E R" i deci:; = -bi, iar - In = :::. R.enproc, fie z =a+ bi cu proprietatea z = -z .

    111 aici a+ bi= -(a - bi)-::> ~a= 0 :?a= 0, p;al en difereuta conjugatelor pen- tru doua n11111ere complexe, adica

    .:1 - ::2 = .:1 - ::2., (V) Z1' :::2 E C. 1

    n n E ::k = E ::k k=l k=l

    It>

  • I'

    ~ Calrulati: a)!..!.. h) :i-2~- c) 1+2i. ]) 1+i. ) -:i+1. f) -lt:li :l-1 ' 2+:h, 1+i ' ( 1-si' e 2+:ii ' :1-si

    ) Fie> ::1=l+1.i. ::2 = -:t Z3 = !5+ !5i. ::4 = -8 - 6i. '-1.i :w calr uleze: a) =1::' h) =1+z2 c) :3-::~ d) ::1z3. f') ~ _ :::i .

    Z3 1 2z4 ' ::1.:::1 ~ Z1Z:4' ZJ Z I. Fie ;:;1 = !j + 2i, ::2 = -:l + 5i. Sa se calculeze: i) Bt"' (:i-_-2); b) re(z1J. c) Im (_3L_). :l) lm(::2l

    le(z2)' z1 -z2 ' ( lm(zi)+R:

    1) ( ~)(; + (-17v5)'' = 2: b) ( vq-i)" + (-1ti.)6 = -2. \rata~i di.:

    ll+t)b-1 = I.). ( I). {l+1i)3+(1-:.!i)3 - _ lli. (I f-1)8+1 17' \ __:., {2-i)2-(2+i)2 - 4 ,

    ' ( 1-4i)(1-i) - (:34i)(2+i) - - 48i :.!+ "2-i - ,r;'

    l ( I + Lf) ( l + ( iii ) 2) ( I + ( lf) 4) . . . ( l + ( lf) 1") ( I - 2~,, ) ( I + i), n E N. n 2: 2;

    1 I (1 + ~-) (1 + (J.ir) (1 + (1;.Jr) .. (1 + (71)2") = 0, n E N II .....: :!.

    II '-l;i 'W clf-'t,f'nni1w lllllllt-'l'P!P l"f-'

  • 11 .. monstratie. Fif':; =a+ bi. Atunci 11 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=zz.

    t lliHervatie. Acnm cat11l a doua nmnere comph~xe se poate exprima prin

    :i. Produsul dintre ui1 nmnar complex i conjugatul sau este c,gal cu pat rat ul mod11l nl u i ac

  • = :-~~:. uude at I';" ''rcitii rezolvate I ( ';.lnda.~i morlulul peutru fiecare din uuuierele:

    I ,1) ;~ + li: h) ~~:. 1 II I ):idi .: = :r + yi. a.t.nuci modulul a.cestui numar complex este

    I hmonstratie. Verificam a doua inegalitate. Cum ambii membri sunt I'" 1t ivi. ridicam la piitrat i avern echivalent I 1 I .:212:::; (lzd + l.::.!1)2 {::? (z1 + z2)(z1 + =2):::; (lz1I + lz2l)2 {::}

    1=1 + Z1Z2 + Z2Z1 + Z2Z2:::; lz1I:.! + lz2l2 + 2Jz1l lz2l- l l111 -1z1 = lz112, ::2z2 = lz212 i ultima inegalitate se reduce la

    , I- .:2::1 :::; 21.:1 I l.:21 {::} z1.:2 + =1z2:::; 2lz1 I lz2I {::? 1H1->(z1::2):::; 2lz11 l=2I {::} Re(.:lZ2):::; lz1z21, adevarat deoarece daca

    ''+bi. atuuci a= Re(z) :=:;; .Ja2 + b2 = lzj. 1 v1d.ER (daca .:1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b21., 111111 0 {::} \i 1 IJ ~ 0 {::} .A ~ 0.

    111 11111rl117.iXt' Z1 . .:2. , .:,, ,

    Demonstratie. Fit> .::1 = a1 + b1 i; z:.! = a2 + b2i. Atunci .:1=2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i ~i l.:1.::.!I = y'(a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = J(af + bf)(a~ + b~) = = Jar+ hfJa~ + b~ = lz1l lz2I-

    4. Modulul produsului a doua numere complexe este egal cu produsul modulelor celor doua uumere.

    l.:1.:::.!I = lz1l lz2!, (V) z1, Zz EC.

  • ( r;:;)3 1-iv3 . e) 2(i+i) '

    I obleme propuse I ''.ilrHla.ti modulele urmatoarelor nurnere complexe:

    ) "1+t)i h) I+.112).

    1 l1'i1 :::1,::2, z:3 EC astJd 1ncat lz1I = :3, lz2l = 4, lz:3I = 5 i I I }. + Z:~ = o. Sa se arate ca 16zf + 9zi = o.

    11 l)i11 =1 + :::2 + :::3 = 0 rczulU1 z1 + z2 + za = 0 (1), iar din lz112 = 'I , il2 = 16, lz:3J2 == 25 deducem ::1z1 = 9, z.iz2 = 16, Z;3Z:3 = 25

    111 1 - .2.., ::2 = 16 z3 = 25. Cu aceste exprimari relatia (1) devine: Z1 :2 ' Z:J S I I 11; 2~ 0 . .II'~ z1, z2 E R, atnnci zf = lz1 I:.!, zi == lz:i 12 i relatia se verifica.

    l daca z = z.

    1 1,1 - .r + iy i se face verificarea imediat. l -2 ')I 12 2 -:.! 21 12 ( ) Al A d I u 2 I It 1 1 1 + :::, :::; ~ ::1 , z'2 + z2 :::; z2 * . ( unan rezu ta z1 +

    1 I ~ + z2'2:::; 2(lz11'2 + lz212). Cum mai sus rela~ia este cu egalitate se d1 .J11ct' di trebuie sa avem egaJit,ate lll (*), adica Z1 = Z12, Z2 = Z2.

    1 I l.11'i1 :::1, ::2. :::3 E C i z1 + z2 + .z:3 = z1z2 + z2za + Z;3Z1 = 0, atunci I ii l~2l == l::::JI I( 11111 ~:3 = -::, - Z2 i Z1Z2 + Z2Z:3 + Z;3Z1 = 0 rezulta zf + Z1Z2 + zJ = 0, ' ''' 11111111ltita. rn .:1-:::2 da. zl == z]. Luand aici modulul gasim lzil = lz2I ' 11 ii 11.C. I ::2 I = I .::31.

    I>, ;iici se obtiue sisternul ( dupa uncle calcule din prima i a doua egali- ( 8;r + 2y - 11 = 0 . . 7 s

    I tic): ~ ., O cu solutia :r = ;;, '.II= -6 lx+y-L= v I '1111 urrnare uumarul cautat care verifica egalitatile din euun] este

    7 t5i () .

    lzl = -J.r2 + y2. a) Aveni 13 + 4il = .J;p + 42 = v'25 = 5. A b ) Modulul catului este egal cu catul modulelor. ln acest caz avem:

    1 1-i I = II-ii = Ji+i_i = 1 (Am utilizat egalitatea lzl = lzl). l+i II+il IHI 2. Sa se arate ca:

    a) Jz + 2iJ2 + 4 Im(z) = lzJ2 + 4, (V) z E C. b) lzl2 == 2Re2(z) - Re(::-2), (V) z EC.

    R. a) Fie z = :r + iy. Atunci . . lz + 2il2 == j:i: + (y + 2)i\2 = .t:2_+ (y + 2)2_-= ::.2 + ~2 + 4y + 4. Cum Im(z) = -y. membrul stang al egahtatn devine

    . z I 12 4 x2 + y2 + 4v + 4 - 4y == ::c2 + y + 4 == z + . . . . I 12 2 2 C 2 2 y2 + 2xyi b) Dac.a z == .r + yi, atunci z = x + y . .-urn z == x -

    membrul drept devine . . . . 2;1:2 _ (x2 _ y2) == .r2 + yz = lzl2 i prin urmare cei doi membri sunt egali, 3. Sa sf> arate dt oricare ar fi:: E C -{-1}, lzl = 1, exista a E iR astfe . 't 1.!!i (1) inca z == l-(i' . .., =-I R. Fie z E C - {-1}, lzl =I. Drn (1) reznlta a= i(z+l)" Trebuie aratat di a E R. Se stie ca a E iR q a == a. _ Probam ultima egalitate calculaud a. Avern (utilizam ca lzl == 1 q z z

    - 1 . 1-1 --1 - =- - = - -~- - a l ): a= -i(.~+1) - -i(f+1) - i(::+1) - . A ) - D .x - - i+m atnnci..,-'- -1 Observatie. re oc sr recrproca. a

  • l111licatii i raspunsuri

    .11 JlK: b) l c) l d) Ji e) -1- f) Ji g) fi'i(i'. . ' ' 2 ' . 2Ji' 8 , v .:., .. ,, I >.11;1 .r esk uumarul dat, .atunci .r E R {::? :l' = x. Din 1;1 + 1;1 = x

    11 il.t.i :2+1.:-12 = .~:zl.:I sau ~2 = ;rlzlz-: lzl2 Acum se ia a_= xjz_L. l!_- 1

    4 . ) ') .31 . l ) .3 + 2 . ) .3 . d) (} (' . ' . ) a - - 'T. ) - 2 i; c 4 - 1.; o - n; -8 - 6i; e 11 1' f) (-2 + J7)i, (2 - VT)'i, 1, :{.

    1)~1'{i; h).r=y=-l~v'3; c)6+I7i,6+8i. 111 S z1 .:::2 .::1 E C ast.frI lucat :.:1 + ::2 + z:1 # 0 .. :f + ::i + z:~ = 0 :-Ji

    . (1-i)2(i+i)3 . f) (t+iJ3}3(I-i-fi)2'

  • It ciolvarea ecuatiei de gradul al doilea cu coeficienti ' 0111pleci I 111o1~i1~ a.r2+b:c+c = 0. a, b, c E R, a =J 0 a fost rezolvata anul precedent

    I tt I dis O, atunci z , y au acelasi semn (ori amandoua negative, arnandoua positive), iar peutru b < 0, uumerele z , y au semne coutrar Deci In toate cazurile z admite doua radacini opuse.

    Teorema. Orice numar complex uenul admite doua radacini patrate opuse.

    Exemplu. Numarul complex "i = 1 + i este o radacina patrata a l z = 2i. deoarece ri = (1+i)2=1+2i + i2 = 2i = z. De asemenea uumarul complex r2 = -( 1